数值计算方法37
数值计算方法(山东联盟)智慧树知到答案章节测试2023年中国石油大学(华东)
第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()A:截断误差;B:观测误差;C: 模型误差；D:舍入误差.答案:AD2.A:只有模型误差、截断误差与观测误差。
B: 只有舍入误差、截断误差与观测误差；C:只有模型误差、观测误差与舍入误差；D:只有模型误差、截断误差与舍入误差；答案:C3.A:4位B:5位C:3位D:2位答案:A4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是A:B:C:D:答案:A5.A:B:C:D:答案:B第二章测试1.A:0.5000B:0.6250C:0.5625D:0.6875答案:C2.A:B:C:D:答案:CD3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：A:Steffensen迭代法使得收敛的迭代格式加速收敛，发散的迭代格式更快发散。
B:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。
C:Steffensen迭代法使得任何收敛的迭代格式加速收敛。
D:Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。
答案:BD4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：A:求解任一方程的Newton迭代法都是2阶收敛的。
B:Newton迭代格式若收敛，则一定是超线性收敛的。
C:D:Newton迭代格式可能收敛也可能发散。
答案:CD5.A:6B:3C:5D:4答案:A第三章测试1.A:若求解失败，则说明矩阵A奇异。
B:算法的计算量与近似成正比。
C:若A的对角线元素的绝对值都大于1，则求解结果的精度一定较高。
D:只要A非奇异，则求解结果的精度一定较高。
答案:B2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：A:提高了稳定性，减少了误差的影响。
B:方程组的系数矩阵奇异时也可以求解。
C:能求出方程组的精确解。
D:减少了计算量。
答案:A3.A:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。
B:只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。
最新-数值计算方法课件CH3插值法与最小二乘法—37数据拟合的最小二乘法-PPT文档资料
转化
(a0,a1, 取,an 极)小值
a0*,的a1*问,题,an*
由多元函数取极值的必要条件
得：
(a0,a1,,an) 0
ak
k0,1,,n
ak
m
n
i[2( ajj(xi)yi)k(xi)] 0
i0
j0
移项整理得：
mn
m
i ajj(xi)k(xi) iyik(xi)
i0 j0
i0
交换求和号顺序得：
n[ mij(xi)k(xi)a ]j miyik(xi) (k0,1, ,n) (7)
j0i0
i0
即
m
m
m
a0 i0(xi)k(xi)a1 i1(xi)k(xi) an in(xi)k(xi)
m
Байду номын сангаас
m
((jj,, kk)) ij(xi)k(xi) ik(xi)j(xi)(k,j) (8)
i0
i0
m
(f,k) iyik(xi)
(9)
i0
方程组(7)便可化为:
n
n
(j,k)aj (k,j)aj (f,k)(k0,1, ,n) (10)
一、最小二乘法的基本概念
根据上述实例图中测试点的分布情况,可以画出很多条靠 近这些点的直线,其方程都可表示为：
S(t)atb
(1)
其中: a, b 待定.要从形如(1)式的所有直线中,找出一条用某种 度量标准来衡量最靠近所有数据点 (ti , si ) (的i直0,1线,....m ,)
若 a, b 给定,计算值 S(ti) 与测量数据 si 之差为:
数值计算方法
14
误差与有效数字
例 用毫米刻度的直尺量一长度为 x 的物体，测得其近似值为 x⋆ = 84mm。 因直尺以 mm 为刻度，其误差不超过 0.5mm，即有
|x − 84| ⩽ 0.5 mm or x = 84 ± 0.5 mm.
15
14
误差与有效数字
定义 : 绝对误差与绝对误差限 设某个量的精确值为 x，其近似值为 x⋆，则称
E(x) = x − x⋆ 为近似值 x⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得
|E(x)| = |x − x⋆| ⩽ η 则称 η 为近似值 x⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。 η 越小，表示近似值 x⋆ 的精度越高。
5
研究数值方法的必要性
而对于行列式，可以采用 Laplace 展开定理进行计算： 定理 : Laplace 展开定理 |A| = ai1|Ai1| + ai2|Ai2| + · · · + ain|Ain|, Aij为aij的代数余子式
6
研究数值方法的必要性
实际操作中，该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计 算。事实上，设 k 阶行列式所需乘法运算的次数为 mk，则
所以，
|E⋆r (x)|
=
|x − x⋆| |x⋆|
⩽
1 2
×
10m−n
α1 × 10m−1
=
1 2α1
× 10−(n−1)
反之，由
|x
−
x⋆|
=
|x⋆|
·
|E⋆r (x)|
⩽
(α1
+
1)
数值计算方法主要知识点
数值计算方法主要知识点数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、方法和算法。
它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。
下面是数值计算方法的主要知识点（第一部分）。
1.近似数与误差：数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。
近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。
误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对误差为绝对误差与真实值的比值。
通过控制误差可以评估数值计算结果的准确性。
2.插值与多项式：插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似计算。
插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。
主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
3.数值微分与数值积分：数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。
常用的数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。
数值积分则是研究如何通过数值方法去近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
4.非线性方程的数值解法：非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。
常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。
这些方法基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方程的近似解。
5.线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。
其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未知的解向量。
常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分解法等。
这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。
6.插值型和积分型数值方法：数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。
插值型数值方法是通过插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。
而积分型数值方法是通过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。
37%的计数单位是多少
37%的计数单位是多少
37%的计数单位是「三百七十分之一」。
这个数字相较具体，用于表明一种特定的比例、程度或者量度。
是数量上精准的表述，要求准确度较高。
它的主要价值在于可以作为一种共通的表示，比如准备分配某种资源的时候，可以从三七看出分配的大致规模。
37%的计数单位，还是广泛应用于科学研究，主要是测量究竟有多少動物或者
植物，细胞等生物存活数量，以及评估一段时间内生物活动的变化情况等，可以帮助科学家们深入探讨生物的变化率。
37%的数字单位，也应用于社会研究，例如对性别、年龄等特定方面，那么可
以从三七看出当地或者国家位于指定方面的比例。
此外，37%的数字单位，也还用于企业和政府组织之间的评估比较，例如某个产品实验中的成功率，制定某个新方案提高生产效率，可以让负责人有效控制和审查项目进程，有效提供变更方案。
因此可以看出，37％的计数单位在日常生活及科研中，均有着不可替代的作用。
它的灵活性和具体的表示方式，为解决复杂的问题提供了更多可能性，未来可期。
数值计算方法
数值计算方法1. 简介数值计算方法是一种利用计算机对数值进行近似计算的方法。
在实际问题中，无法直接找到解析解的情况下，数值计算方法可以通过一系列的数学算法和计算机程序来求解数值近似解。
本文将介绍数值计算方法的常见算法和应用。
2. 常见数值计算方法2.1 二分法二分法是一种通过逐步缩小区间来逼近根的方法。
它可以用于求解方程的根或函数的零点。
二分法的思想是首先选择一个区间，然后将区间分为两个子区间，根据函数的性质判断根可能在哪个子区间中，然后在选择的子区间内继续进行二分，不断逼近根的位置，直到达到指定的精度。
2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程根的方法。
它通过计算函数在某点的斜率，然后使用一条直线来逼近函数，进而求解方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式如下：X[n+1] = X[n] - f(X[n])/f'(X[n])其中，X[n]是第n次迭代的近似根，f(X[n])是函数在X[n]处的值，f'(X[n])是函数在X[n]处的斜率。
2.3 插值法插值法是一种通过已知数据点来构造代表函数的曲线或多项式的方法。
在插值方法中，可以利用已知数据点之间的关系，通过求解系数来构造函数的近似表达式。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2.4 数值积分数值积分是一种通过将函数转化为插值多项式来计算定积分的方法。
数值积分方法可以将曲线的面积近似分成多个小矩形或梯形，然后计算各个小矩形或梯形的面积之和来得到定积分的近似值。
3. 数值计算方法的应用数值计算方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理、金融、工程等。
以下是数值计算方法的一些典型应用：3.1 方程求解数值计算方法可以用来求解方程的根，例如光速逼近法可以用来求解非线性方程，在实际物理问题中有广泛的应用。
3.2 数据拟合数据拟合是一种通过已知数据点来构造函数的曲线或多项式的方法。
数值计算方法可以通过插值法或最小二乘法来拟合数据，用来分析和预测数据的趋势。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。
数值计算方法与算法
数值计算方法与算法数值计算方法是指用数学模型和算法来解决数值计算问题的一类方法。
它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分、方程数值解、数值线性代数等内容。
随着计算机的快速发展，数值计算方法在科学研究、工程设计和生产实践中得到了广泛应用。
1.数值计算方法以数值模拟为基础，通过将连续问题离散化为离散问题，通过计算机程序的数值计算来进行近似解析解。
数值计算方法的关键是建立适当的数学模型和合理的离散化方法。
2.数值计算方法是一种近似解的方法，它通过增加计算精度和精心设计的算法来提高结果的精度。
数值计算方法中常用的方法包括有限差分法、有限元法、数值积分法等。
3.数值计算方法的核心是算法。
算法是为了解决具体数值问题而设计的一组操作过程。
合理的算法可以提高计算效率和精度。
在数值计算方法中，常用的算法有迭代法、插值法、逆插值法、线性方程组求解法等。
4.数值计算方法的优缺点：优点是可以处理复杂的数学问题，可以得到数值解；缺点是结果的精度有限，有时会受到计算机运算精度的限制。
1.数值逼近：数值逼近方法用于确定给定函数的近似值。
它将函数的连续性问题转化为有限阶多项式或有限阶插值函数的问题，通过计算机程序来计算得到逼近解。
2.数值积分：数值积分方法用于计算给定函数在一定区间上的定积分值。
它将定积分问题转化为有限阶多项式或插值函数的计算问题，通过计算机程序来计算得到积分近似值。
3.数值微分：数值微分方法用于计算给定函数在其中一点处的导数值。
它将导数计算问题转化为有限差分或插值函数的计算问题，通过计算机程序来计算得到导数近似值。
4.方程数值解：方程数值解方法用于求解给定方程的数值解。
它将方程求解问题转化为迭代计算或数值优化问题，通过计算机程序来计算得到方程的数值解。
5.数值线性代数：数值线性代数方法用于解决线性方程组和特征值问题等。
它将线性方程组的求解问题转化为矩阵运算和迭代计算问题，通过计算机程序来计算得到线性方程组的数值解。
数值计算方法马东升等第 版习题解答
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
计算机数值计算方法
计算机数值计算方法
计算机数值计算方法是指利用计算机进行数值计算的方法。
随着计算机技术的不断发展，计算机数值计算方法也在不断地更新和完善。
本文将从数值计算的基本概念、数值计算方法的分类、数值计算方法的应用等方面进行介绍。
一、数值计算的基本概念
数值计算是指利用数值方法对数学问题进行计算的过程。
数值计算的基本概念包括误差、精度、稳定性等。
误差是指计算结果与真实值之间的差异，精度是指计算结果的准确程度，稳定性是指计算结果对输入数据的微小变化的敏感程度。
二、数值计算方法的分类
数值计算方法可以分为数值逼近方法、数值微积分方法、数值代数方法、数值微分方程方法等。
其中，数值逼近方法是指利用函数逼近的方法来求解数学问题，数值微积分方法是指利用微积分的方法来求解数学问题，数值代数方法是指利用代数的方法来求解数学问题，数值微分方程方法是指利用微分方程的方法来求解数学问题。
三、数值计算方法的应用
数值计算方法在科学计算、工程计算、金融计算等领域都有广泛的应用。
在科学计算中，数值计算方法可以用于求解物理问题、化学
问题、生物问题等。
在工程计算中，数值计算方法可以用于求解结构力学问题、流体力学问题、电磁场问题等。
在金融计算中，数值计算方法可以用于求解金融衍生品定价问题、风险管理问题等。
计算机数值计算方法是现代科学技术的重要组成部分，它在各个领域都有着广泛的应用。
随着计算机技术的不断发展，数值计算方法也将不断地更新和完善，为人类的科学研究和生产生活带来更多的便利和效益。
(完整版)数值计算方法教案
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
数值计算方法课件
2020/8/1
4
1.1 算法
一、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数学问题
时，常常要事先拟定一个计算方案，规划一下计算的步骤。 所谓算法，就是指在求解数学问题时，对求解方案和计算 步骤的完整而明确的描述。
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一个方法 是程序流程图。算法也可以用人的自然语言来描述。如果 用计算机能接受的语言来描述算法，就称为程序设计。
1 x ne x1d x
0
x ne x1
1 0
1 n x n1e x1d x
0
1 n 1 x n 1 e x 1 d x 0
2020/8/1
17
或
En 1 nEn1 （ n=2， 3， ...）
这里
1 E1 e 0.3678794412
E1
1 xe x1dx
0
1 xd e x 1 0
如
取
E
的
20
近
似
值
为
零
，
以
它
为
起
始
值
，
则
起
始
误
差
最
大
为
1。 21
此
误
差
在
求
E 1 9时
乘
了
1， 20
因
此
E
1
的9ຫໍສະໝຸດ 误差最大
为
1 20
1。 21
E
的
9
误
差
最
大
，
为
1 10
1 11
时 ， 起 始 误 差 已 减 小 至 2.5 10 8。
1 20
1。 21
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过数学模型和计算机算法来解决实际问题的方法。
它包括了数值分析、数值逼近、数值代数、数值微分方程等多个领域。
数值计算方法在科学工程领域有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学、经济学和工程学等领域都有着重要的地位。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，并探讨其在实际问题中的应用。
一、数值计算方法的基本原理。
数值计算方法的基本原理是将实际问题转化为数学模型，然后通过计算机算法来求解这个数学模型。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的方程或者函数，无法通过解析方法求解。
这时就需要借助数值计算方法来进行近似求解。
数值计算方法主要包括了离散化、逼近和求解三个步骤。
1. 离散化。
离散化是将连续的问题转化为离散的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些连续的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要将连续的问题转化为离散的问题，然后通过计算机算法来求解。
离散化的方法有很多种，比如有限差分法、有限元法、谱方法等。
2. 逼近。
逼近是指通过一些简单的函数或者多项式来近似表示复杂的函数或者方程。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要通过逼近的方法来近似表示这个函数或者方程，然后通过计算机算法来求解。
逼近的方法有很多种，比如插值法、拟合法、最小二乘法等。
3. 求解。
求解是指通过计算机算法来求解离散化的问题或者逼近的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的离散化问题或者逼近问题，无法直接求解。
这时就需要通过计算机算法来求解这个离散化问题或者逼近问题。
求解的方法有很多种，比如迭代法、直接法、迭代法等。
二、数值计算方法的常用技术。
数值计算方法有很多种常用技术，下面将介绍一些常用的技术。
1. 有限差分法。
有限差分法是一种常用的离散化方法，它将微分方程转化为差分方程，然后通过计算机算法来求解。
有限差分法的基本思想是将函数在一些离散点上进行逼近，然后通过差分近似来求解微分方程。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
37的二进制计算过程
37的二进制计算过程37的二进制表示为100101。
二进制是一种计数系统，只有两个数码，分别是0和1。
在二进制中，每一位表示的是2的幂次方。
最右边的位是2^0，依次向左，每一位的幂次方增加1。
例如，二进制数100101中的最右边的位是2^0，接着是2^2、2^4、2^5，依次类推。
一、二进制加法二进制加法与十进制加法类似，只是进位的规则不同。
在二进制加法中，当两个位上的数字相加等于2时，需要向左进位。
例如，1+1=10。
以37的二进制表示100101为例，我们来进行二进制加法运算。
我们将100101与自身相加：100101+100101--------1001010进位：0+0=0，1+1=10，0+0=0，1+1=10，0+0=0，1+1=10，0+0=0得到结果1001010，即42的二进制表示。
二、二进制减法二进制减法与十进制减法类似，只是借位的规则不同。
在二进制减法中，当被减数小于减数时，需要向左借位。
例如，1-0=1，0-1需要向左借一位。
以37的二进制表示100101为例，我们来进行二进制减法运算。
我们将100101减去10011：100101- 10011--------10110借位：0-1需要向左借一位，1-0=1，0-0=0，1-1=0，0-0=0，1-1=0得到结果10110，即22的二进制表示。
三、二进制乘法二进制乘法与十进制乘法类似，只是进位的规则不同。
在二进制乘法中，每一位与另一个数的每一位相乘，然后将结果相加。
以37的二进制表示100101为例，我们来进行二进制乘法运算。
我们将100101乘以10：100101x 10--------1001010乘法过程：0乘以10等于0，1乘以10等于10，0乘以10等于0，1乘以10等于10，0乘以10等于0，1乘以10等于10得到结果1001010，即74的二进制表示。
四、二进制除法二进制除法与十进制除法类似，只是进位的规则不同。
《数值计算方法》电子教案
Rn (x b)
f (n1) ( ) (x b)n1
(n 1)!
为x、b之间的数，
主讲教师：宋红伟
25
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
设 f(x) 是一元函数，x 的近似值为x*，以 f(x*) 近似 f(x)
（即f(x*) 为 f(x) 的近似值），其误差限为 ( f (x))，可用泰
重点讨论
程序 设计
Yangzte University
第一章 绪论
可 收敛性：方法的可行性
则 数 靠 稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值性
方 法
分 析
误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且
的
能够控制误差
设 计
计 算
便于编程实现：逻辑复杂度要小
原 复 计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短
x x* 1 10mn1 2
主讲教师：宋红伟
21
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
例： 3.1415926538597932;
* 3.14, 3.1416
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
m=0
n=3
证明：* 3.14 100 (3 1101 4 102)
主讲教师：宋红伟
17
绝对误差限
往往未知
代替相对误差
代替相对误差限
* r
(
x
*
)
2 15
13.33%
* r
(
y
*
)
5 1000
0.5%
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
37度的正弦余弦值
37度的正弦余弦值正弦余弦是一个重要的数学概念，特别是在做几何、微积分和普通数学的时候。
计算机也经常用它来做图形处理和信号处理。
在计算机编程和数学计算中，37度的正弦余弦值也常常被使用。
一、37度的正弦值37度的正弦值为0.5877853605280673，可以用sin(37)来表示，也可以用函数式子sin38°=0.5877853605280673来表示。
二、37度的余弦值37度的余弦值为0.809016994374945，可以用cos(37)来表示，也可以用函数式子cos37°=0.809016994374945来表示。
三、如何求37度的正弦余弦值（1）用正弦和余弦的三角函数的定义求解。
正弦和余弦的定义分别是：正弦：sin（37°）= a/c余弦Cos：cos（37°）= b/c（2）如果我们知道三角形的三条边的边长，那么可以用这些边长求37度的正弦余弦值。
（3）可以使用数学计算器，例如TI-84、Graphing Calculator等，把37度转换成弧度然后直接输入sin（37）和cos（37）求解37度的正弦余弦值。
（4）可以写程序，使用 37度的正弦余弦值求解问题。
C++、Java等编程语言都可以实现这个功能，它们有一些库函数可以用来计算37度的正弦余弦值。
四、37度的正弦余弦值在实际应用中的作用（1）37度的正弦余弦值可以用来解决一些几何学问题，例如求解三角形的边长，求解圆的面积和周长，计算曲线的长度等。
（2）37度的正弦余弦值可以用来计算圆周率π，以及π和直角三角形关系等数学概念。
（3）37度的正弦余弦值可以用来求解一些微积分学问题，例如用来解决波动方程，从而得出衰减率和阻尼等等。
（4）37度的正弦余弦值也经常用在数字信号处理和图像处理中，可以用来解决傅立叶变换和快速傅立叶变换的问题，用来做图像滤波，进一步完成图像处理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数
9
求 ( a 0 ,a 1 , ,a n ) 的( 极 最 ) 点 a 小 小 0 * a 1 * , ,a 值 值 n * 的
由多元函数取极值的必要条件
(a0,a1,,an)0
ak
k0,1,,n
得
ak
mn
[2( ajj(xi)yi)k(xi)] 0
i0 j0
mn
即
[ ajj(xi)k(xi)yik(xi)]0
仍然定义平方误差
m
m
华长生制作
2 2
i2
(S(xi ) yi )2
6
i0
i0
我们选取的度量标准是
在函数中 类选取一个 S*函 (x)数
n
S*(x) a*jj(x)
---------(2)
j0
a 0 * 0 ( x ) a 1 * 1 ( x ) a n * n ( x )
m
*
2 2
(S*(xi)yi)2
i0
m
min S( x)
2 2
Sm (x) in i0(S(xi)yi)2
---------(3)
m
其中 S(x) ajj(x)为中的任意函数
华长生制作
j0
7
n
称满足 (3)条 的件 求函 S*(x数 ) a*jj(x)的方法为 j0
数据拟合的最小二乘法
n
其中 0,1为待定参数
华长生制作
3
我们y(希 x)望 01x与所有的 (样数 本 )x (i据 ,点 yi)点
越接近越好
必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点
一、最小二乘法的基本概念
令 iy(xi)yi
在回归分析中称为残差
一般使用
m
m
2 2
i2
(y(xi ) yi )2
i0
i0
i0 j0
mn
m
ajj(xi)k(xi) yik(xi)
华长生制作 i0j0
i0
10
mn
m
ajj(xi)k(xi) yik(xi)
i0j0
i0
nm
m
[ j(xi)k(xi)a ]j yik(xi)
j0 i0
i0
k0,1,,n
---------(4)
即
m
m
m
a0 0(xi)k(xi)a1 1(xi)k(xi)an n(xi)k(xi)
(k, f) k(xi)yi i0
---------(5) ---------(6)
显然内积满足交换律 (k ,j ) (j,k)
华长生制作
12
方程组(4)便可化为
a 0 ( k ,0 ) a 1 ( k ,1 ) a n ( k ,n ) ( k , f )
k0,1,,n
---------(7)
i0
i0
i0
m
yik(xi) i0
k0,1,,n
华长生制作
11
显(4 然 )是一a 个 0,a1, 关 ,an的 于 n1元线性方
引入记号
r (r(x 0 ),r(x 1 ) ,,r(x m ))
f (y0,y1,,ym)
则由内积的概念可知
m
(k,j) k(xi)j(xi) i0 m
其中S(x)来自函数类 如(1)中y(x)来自线性函数类
设函 的 数基 类 函 i(x)i( 数 0,1, 为 ,n) 一般要n求 m
也 称 是由 i(x)i(0,1,,n)生成的 ,即 函数集
sp {0 ( x a )1 ,( x n ) ,,n ( x )}
n
S(x) ajj(x) j0
0 1
n
( ( (
0, 1, n,
f f
f
) ) )
华长生制作
-----(8)
13
称 (8)式为函数 0(x序 ),1(列 x) , ,n(x)
在点 x0,x1,,xm上的法方程组
并且其系数矩阵为对称阵
由 0于 (x),1(x) ,,n(x)为函 的 数 基 类
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
2
纤维强度随拉伸 倍数增加而增加
并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可以认为强度 y与拉伸倍数 x的主 要关系应是线性关 系
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
34567 Nhomakorabea8
9
10
y(x)01x ---------(1)
j0
华长生制作
8
二、法方程组
由 可知
n
S(x) ajj(x) j0
m
mn
2 2
(S(xi)yi)2
(
ajj(xi)yi)2
i0
i0 j0
为拟合 aj(j 系 0,1, 数 ,n)的函数 因此可假设
mn
(a0,a1,,an) ( ajj(xi)yi)2 i0 j0
因此求最小二乘解转化为
华长生制作
这是一(个 k,j)系 常 , 数 数 (为 k项 ,f)的 为线性方
将其表示成矩阵形式
( ( (0 n 1 , , , 0 0 0 ) ) )( ( (0 n 1 , , , 1 1 1 ) ) ) ( ( (0 n 1 , , , n n n ) ) ) aaa
S*(x) a*jj(x)为最小二乘解 j0
n
S(x) ajj(x)为拟合 ,aj(j函 0,1,数 ,n)为拟合
j0
*
2称为最小二乘解的误平差方
2
在确定S 了 (x)后 拟 ,如合 何函 求 aj数 (拟 j0,1 合 ,,n)系
n
使得 S*(x) a*jj(x)满足拟合 (3)呢 条？ 件
Axb
第二章 插值与逼近
a11 a12 a1n
i1
A
§ a221.9
an1
aan2数22 据拟aa合2nnn (最小二x乘i 法bii )2 jlii,13l,ij x j ,n
华长生制作
1
§2.9 数据拟合(最小二乘法)
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录:
编 号 拉伸倍数 xi
1
1.9
2
2
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4
10
4
11
4.5
华长生1制2作
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
作为衡 y(x)量 与数据 (xi,y点 i)偏离程度大小 准的度
称为平方误差
华长生制作
4
从而确定(1)中的待定系数
m
m
2 2
2 i
(y(xi ) yi )2
i0
i0
在回归分析中称为残差平方和
注意(1)式是一条直线 但x, y的关系并不一定是线关性系
因此将问题一般化
华长生制作
5
设(xi,yi)(i0,1,,m)为给定的一组数据 设 x,y的关系y为 S(x)