椭圆抛物面

如果取两个这样的抛物线，它们所在的平面 互相垂直，它们的顶点和轴都重合，而且两抛物 线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于 自己（即与抛物线所在的平面平行）且使其顶点 在另一个抛物线上滑走，那么这一抛物线的运动 轨迹便是一个 椭圆抛物面.
z
见下面的演示. x
0
y
两个开口向上、互相垂直的 抛物线，形成椭圆抛物面
x
0
y
如果我们用平行于xoz面的平面
y=t截割椭圆抛物面,得截线方程:
x2 y2 2 2z 2 a b
2 t2 x 2a 2 ( z 2 ) （4） 2b 是抛物线 y t 显然抛物线（4）与主抛物线（1）全等， z
且它所在的平面平行于 主抛物线（1）所在的 平面和有相同的开口方向.
x 2 2a 2 z y 0 y 2 2b 2 z x 0
x
0
y
因此，椭圆抛物面可以看成是由一个椭圆的变动 （大小位置都改变）而产生的.这个椭圆在变动中，
保持所在平面平行于xoy面且两对顶点分别在抛 物线（1）与（2）上滑动. z
x 2 2a 2 z y 0 y 2 2b 2 z x 0
x
例 2 作出曲面 z 4 x 2 与平面 2 x y 4， 三坐标面所围成的立体在第一卦限部分的立体图 形
为抛物柱面， z 4 x 它的母线平行于 y 轴, 准线为 xOz面上的抛物线,
解
2
抛物线的顶点为 S (0,0, 4),
相反.
开口方向与z 轴的方向
平面 2 x y 4 平行于 z 轴，它与xoy面的交线
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o y
三个坐 标平面
第一卦限
x
z 4 x
顶点
2
z
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o y
三个坐 标平面
第一卦限
x
z 4 x
顶点
2
z
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o
Q
y
三个坐 标平面 P
第一卦限
在主抛物线（6）上
（8）
h>0时顶点( a 2h ,0, h)
z y o x
x 2 2a 2 z y 0
当
（6）
h 0 时，双曲线（8）的实轴 与y轴平行，
y 2b z x 0
虚轴与x轴平行， 顶点 (0,b 2h , h) 在主抛物线（7）上 2 2 （7）
x
即: 抛物线(9)的顶点在(7)上, 开口、大小与（6）相 同且平行. 它这样移动就生成整个马鞍面(双曲抛物 面 看下面的演示
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y 2 2 2z 2 a b
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
双曲抛物面
x2 y 2 2 2z 2 a b
也称马鞍面
2. 双曲抛物面
定义 4.6.2 在直角坐标系下，由方程
x2 y2 2 2z 2 a b
（4.6-2）
所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（4.6-2）叫 做双曲抛物面的标准方程，其中 a, b 为任意的正 常数.
对称性 显然曲面（4.6-2）关于 xOz 面， yOz 面与 z 轴 对称，但是它没有对称中心.
2
2
用坐标面 y 0及 x 0截割曲面， 得方程
x 2 2a 2 z y 0
与 这是抛物线
（1）
y 2 2b 2 z x 0
（2）
这两个抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线.
这两个主抛物线的特点.
x 2 2a 2 z y 0
与 （1） 开口方向: z 轴的正向一致
与
x y 0 a b z 0
y 2 2b 2 z x 0
（7）
两抛物线. 这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线.
主抛物线的特点.
z
（6）
x 2 2a 2 z y 0 y 2 2b 2 z x 0
y o
（7）
x 0 y 0
x 2 2a 2 z y 0
0
(1)
y x
2 2 t 2 x 2a ( z 2 ) 2b y t
（4）
此外，抛物线（4）的顶点
z
t (0, t , 2 ) 2b
位于主抛物线（2）上，
2
y 2 2b 2 z x 0
0
(2) x
y
因此我们得到下面得结论：
下面考虑 与xoy面 平行的平 面的截口
下面考虑与xoy面平行的平面的截口
x2 y2 2 2z 2 a b
用坐标平面 xOy 来截曲面 只得一点（0，0，0）, 用平行于xoy面的平面 z h(h 0) 来截曲面, 截线方程
x2 y2 2 2 1 2a h 2b h z h
4.6 抛物面 1. 椭圆抛物面
定义 4.6.1 在直角坐标系下，由方程
x2 y2 2 2z 2 a b
（4.6-1）
所表示的曲面叫做椭圆抛物面，方程（4.6-1）叫 做椭圆抛物面的标准方程，其中 a, b 是任意的正 常数。
对称性
显然椭圆抛物面（4.6-1）对称于 xOz 与 yOz
坐标面， 也对称于
（3）
为椭圆. 这个椭圆的两对顶点分别为 ( a 2h ,0, h)
(0,b 2h , h)
这两个顶点在哪些曲线上.
它们分别在主抛物线（1）与（2）上.
x2 y2 2 2 1 顶点 ( a 2h ,0, h) (0,b 2h , h) 2a h 2b h z z h
x
我们设想用一平行于yoz面的平面来截割它们，
那么截得一矩形ABCD
z 4 x
顶点
2
z
S (0,0,4)
A
B
S (0,0,4)
平面
D
o
2x y 4
三个坐 标平面 P
Q
C
y
第一卦限
x
我们设想用一平行于yoz面的平面来截割它们，
那么截得一矩形ABCD
双曲面
椭球面
抛物面
思考与练习：第173页. 4. （图示见后） 作业：第173页. 1. 5.
x
它们所在的平面互相垂直，
有相同的顶点与对称轴.
但两抛物线的开口方向不同，抛物 线（6）沿z 轴 方向开口，而抛物线（7）的开口方向却与 z 轴 方向相反.
双曲抛物面主截线
x2 y 2 2 2z 2 a b
z
z=0 x=0 y=0
y o x
与坐标面平行的平面的截口
如果用平行于 xoy面的平面
z
轴，但是它没有对称中心.
x2 y2 2 2z 2 a b
它与对称轴(z轴)交于点（0，0，0）, 这点叫做椭圆抛 物面的顶点.
从方程（4.6-1）知
1 x2 y2 z ( 2 2)0 2 a b
所以曲面全部在 xOy 平面的一侧，即在 z 0 的一侧.
平行截割法
x y 2 2z 2 a b
x 1.与抛物线（6）是全等的， 2.平行于这个主抛物线所在 的平面xoz
2 2 t 2 x 2a ( z 2 ) （9） 2b y t 2 t 3.顶点 (0, t , 2 ) 2b
z
在另一主抛物线（7）上
o
y
y 2 2b 2 z （7） x 0
（马鞍面）
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
.
双曲抛物面
x2 y 2 2 2z 2 a b
（马鞍面）
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
.
椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们 都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。
2
z 4 或 z 2 由（2）知 z 0 ，所以取 z 2，因此交线方程
可改写为
x y z 8 或 z 2
2 2 2
x2 y 2 4 z 2
z
这是平面 z 2上 的一个圆，圆心 为 0,0,2） ，半径 （ 为 2 ，它的图形 如图. O y
y 2 2b 2 z x 0
（2）
开口方向: z 轴的正向一致
它们有着共同的轴与相同的开口方向，即开 口方向都与 z 轴的正向一致.
下面看主截口演示
主截口演示
z
图形主框架
x 2 2a 2 z y 0 y 2 2b 2 z x 0
x
y 0
x 00 y
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
p173. 作图练习 (1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
Leabharlann Baidu
6
p173. 作图练习 (1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
p173. 作图练习 4(1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成立体图
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
y
2
x
6
p173. 作图练习
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
y
2
x
6
p173. 作图练习 (1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z h(h 0)
z
x2 y2 2 2z 2 a b
来截割曲面 截线方程为:
2 x2 y 2 2 1 2a h 2b h （8） z h
y o x
总是双曲线. 当 双曲线（8）的实轴 h 0 时，
与x轴平行， 虚轴与 y 轴平行，
x2 y2 2 2 1 2a h 2b h z h
6 z
x+y+z=6
0
.
6
y
2 4
x
6
p173. 作图练习 (1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
2 x y 4 是一条直线 , 这条直线与x轴, y轴分别交于 z 0 点 P(2,0,0), Q(0,4,0)
z 4 x
顶点
2
z
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o y
三个坐 标平面
第一卦限
x
2x y 4
z 4 x
顶点
2
z
S (0,0,4)
作出球面 x y z 8 与旋转抛物面 2 2 x y 2 z 的交线。 例1 解
2 2 2
两曲面的交线为
（2）代入（1）得
即 ∴
x2 y 2 z 2 8 2 x y 2 2z
（1） （2）
z 2z 8 0 ( z 4)( z 2) 0
因此，曲面被 xoy平面分割成上下两部分， 上半部沿x轴的两个方向上升，
下半部沿 y 轴的两个方向下降，
曲面的大体形状象一只 马鞍子， 所以双曲抛物面也叫做 马鞍曲面.
z
y o x
双曲抛物面的形状比较复杂，为了进一步明确它的 结构， 我们再来观察用平行于xoz面的一组平行平面 y t 来截割曲面
z
y 0
x
平行截割法生成椭圆抛物面
x2 y 2 2 2z 2 a b
z
平行截割法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
x y 2 2z 2 a b
在椭圆抛物面方程中，如果
2
2
a b
那么方程变为
x 2 y 2 2a 2 z
曲面就成为旋转抛物面。
稍息继续讲授双曲抛物面
x2 y2 2 2z 2 a b
与坐标面的截线 用坐标平面 z 0曲截割曲面，就得
x2 y2 2 2 0 b a z 0
是什么曲线？
（5）
这是一对相交于原点的直线，方程可以进一步写为：
x y 0 与 （5'） a b z 0 其次用坐标平面 y 0 与 x 0 来截割曲面 2 2 x y 分别得方程 2 2z 2 a b 2 2 x 2a z （6） y 0
用平行于xoz面的一组平行平面
y t 来截割曲面
所得的截线方程
2 2 t 2 x 2a ( z 2 ) （9） 2b y t
z
x2 y2 2 2z 2 a b
o
y
这时截线仍然为抛物线 与主抛物线(6)比较
x 2 2a 2 z （6） y 0