数值分析-第五章-函数近似计算的插值法
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pn ( xi ) fi i 0,1,2, ,n
则满足插值条件
--------(2) --------(3)
的插值多项式 pn ( x) a0 a1x a2 x2 存在且唯一.
an xn
虽然线性方程组(1)推出的插值多项式存在且唯一,
但通过解线性方程组(1)求插值多项式却不是好方法.
10
第五章
§
函数近似计算的插值法
5.2 Lagrange插值多项式
11
Lagrange插值多项式
一、 代数多项式的构造: 若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式
Pn ( x) 系数Biblioteka Baidua i Pn ( x)
, 不但计算工作量较大, 且难于得到
的简单表达式.
通过找插值基函数的方法,得到插值多项式! 十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进 行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式， 称为Lagrange插值公式。 它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。
2. 有的函数虽然有表达式,但比较复杂, 计算函数 f ( x ) 很 不经济且不利于在计算机上进行计算.
这两种情况下, 都希望用简单的函数 p( x) 来逼近原函数 f ( x).
2
一、插值问题的数学提法
插值：已知[a, b]上的函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值:
x
f(x)
x0
f0
x1
l j ( x)
( x x0 )( x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
7
二、代数插值多项式的存在唯一性
设函数 y f ( x) 在区间 [a, b] 上的代数插值多项式为
pn ( x) a0 a1x a2 x
2
an x
n
且满足
pn ( xi ) fi
i 0,1,2,
, n,
其中ai是n+1个待定的系数.
8
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1, a2 ,
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.5
1
1.5 1.5
2 2
2.5 2.5
3 3
3.5 3.5
x x x
对于被插函数 f ( x) 和插值函数 P( x)
在节点 xi 处的函数值必然相等
但在节点外 P( x) 的值可能就会偏离 f ( x)
因此 P( x) 近似代替 f ( x) 必然存在着误差
5
整体误差的大小反映了插值函数的好坏. 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式或有理函数.
本章讨论的就是代数插值多项式.
6
对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：
1. 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x); 即插值多项式的常用构造方法有哪些？ 3. 用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计； 4. 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 f(x)。
称函数P( x)为函数f ( x)的 插值函数
如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2,, n, 称为插值节点
区间 [a, b]称为插值区间 如函数y sin x, 若给定 [0, ]上5个等分点
其插值函数的图象如图
4
sinxµ IJ å Öµ
1
yy
2 a a x a x 0 1 0 2 0 2 a0 a1x1 a2 x1 a a x a x2 0 1 n 2 n
, an满足线性方程组
n an x0 f0 n an x1 f1
--------(1)
n an xn fn
且满足插值条件: pn ( xi ) fi
i 0,1, 2,
,n
其中 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
f ( xi ) fi i 0,1,2, ,n
20
如果a x0 x1 x2 xn b为区间 [a, b]上的一组节点
我们作一组 n次多项式l j ( x), j 0,1,2,, n
第五章
函数近似计算的插值法
§ 5.1 插值问题的提出
1
插值问题的提出
1. 在工程实际问题中,某些变量之间的函数关系是存在的, 但通常不能用式子表示,只能由实验或观测得到y f ( x ) 在一系列离散点 xi 上的函数值 f i .
希望通过这些数据 ( xi , fi ) 计算函数y f ( x)在其他 指定点处的近似值或获取其他信息.
19
显然0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性无关 且任意n次多项式Pn ( x)可由0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性表示
Pn ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
如果Pn ( x)为某个函数 f ( x)的插值函数 则称0 ( x),1 ( x),,n ( x)为插值基函数
f1
x2
f2
xn
fn
求简单函数P(x)，使得 计算f(x)可通过计算P(x)来近似代替。如下图所示。 y
f(x) P(x) f0 x0 f1 x1 f2 x2
P( xi ) fi
i 0,1, , n
(*)
fi
xi
fi+1
xi+1
fn-1 xn-1
fn
xn
x
3
这就是插值问题, (*)式为插值条件,
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1 x0
2 n x0 x0 2 1 n 1
xi x j 1 x1 x x ( x j xi ) 0 V i 0 j i 1
n 1
n
1 xn
2 n xn xn
9
由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解 定理1. 若插值节点 xi x j (i j ),
12
根据线性空间的理论,
所有次数不超过 n的多项式构成的线性空 间是 n 1 维的
这个n 1维线性空间的基也由n 1个多项式组成
并且形式不是唯一的
而任意一个n次多项式可由基线性表示
且在不同的基下有不同的形式
设0 ( x),1( x), ,n ( x)为上述n 1维线性空间的一个基
则满足插值条件
--------(2) --------(3)
的插值多项式 pn ( x) a0 a1x a2 x2 存在且唯一.
an xn
虽然线性方程组(1)推出的插值多项式存在且唯一,
但通过解线性方程组(1)求插值多项式却不是好方法.
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第五章
§
函数近似计算的插值法
5.2 Lagrange插值多项式
11
Lagrange插值多项式
一、 代数多项式的构造: 若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式
Pn ( x) 系数Biblioteka Baidua i Pn ( x)
, 不但计算工作量较大, 且难于得到
的简单表达式.
通过找插值基函数的方法,得到插值多项式! 十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进 行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式， 称为Lagrange插值公式。 它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。
2. 有的函数虽然有表达式,但比较复杂, 计算函数 f ( x ) 很 不经济且不利于在计算机上进行计算.
这两种情况下, 都希望用简单的函数 p( x) 来逼近原函数 f ( x).
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一、插值问题的数学提法
插值：已知[a, b]上的函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值:
x
f(x)
x0
f0
x1
l j ( x)
( x x0 )( x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
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二、代数插值多项式的存在唯一性
设函数 y f ( x) 在区间 [a, b] 上的代数插值多项式为
pn ( x) a0 a1x a2 x
2
an x
n
且满足
pn ( xi ) fi
i 0,1,2,
, n,
其中ai是n+1个待定的系数.
8
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1, a2 ,
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.5
1
1.5 1.5
2 2
2.5 2.5
3 3
3.5 3.5
x x x
对于被插函数 f ( x) 和插值函数 P( x)
在节点 xi 处的函数值必然相等
但在节点外 P( x) 的值可能就会偏离 f ( x)
因此 P( x) 近似代替 f ( x) 必然存在着误差
5
整体误差的大小反映了插值函数的好坏. 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式或有理函数.
本章讨论的就是代数插值多项式.
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对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：
1. 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x); 即插值多项式的常用构造方法有哪些？ 3. 用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计； 4. 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 f(x)。
称函数P( x)为函数f ( x)的 插值函数
如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2,, n, 称为插值节点
区间 [a, b]称为插值区间 如函数y sin x, 若给定 [0, ]上5个等分点
其插值函数的图象如图
4
sinxµ IJ å Öµ
1
yy
2 a a x a x 0 1 0 2 0 2 a0 a1x1 a2 x1 a a x a x2 0 1 n 2 n
, an满足线性方程组
n an x0 f0 n an x1 f1
--------(1)
n an xn fn
且满足插值条件: pn ( xi ) fi
i 0,1, 2,
,n
其中 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
f ( xi ) fi i 0,1,2, ,n
20
如果a x0 x1 x2 xn b为区间 [a, b]上的一组节点
我们作一组 n次多项式l j ( x), j 0,1,2,, n
第五章
函数近似计算的插值法
§ 5.1 插值问题的提出
1
插值问题的提出
1. 在工程实际问题中,某些变量之间的函数关系是存在的, 但通常不能用式子表示,只能由实验或观测得到y f ( x ) 在一系列离散点 xi 上的函数值 f i .
希望通过这些数据 ( xi , fi ) 计算函数y f ( x)在其他 指定点处的近似值或获取其他信息.
19
显然0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性无关 且任意n次多项式Pn ( x)可由0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性表示
Pn ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
如果Pn ( x)为某个函数 f ( x)的插值函数 则称0 ( x),1 ( x),,n ( x)为插值基函数
f1
x2
f2
xn
fn
求简单函数P(x)，使得 计算f(x)可通过计算P(x)来近似代替。如下图所示。 y
f(x) P(x) f0 x0 f1 x1 f2 x2
P( xi ) fi
i 0,1, , n
(*)
fi
xi
fi+1
xi+1
fn-1 xn-1
fn
xn
x
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这就是插值问题, (*)式为插值条件,
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1 x0
2 n x0 x0 2 1 n 1
xi x j 1 x1 x x ( x j xi ) 0 V i 0 j i 1
n 1
n
1 xn
2 n xn xn
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由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解 定理1. 若插值节点 xi x j (i j ),
12
根据线性空间的理论,
所有次数不超过 n的多项式构成的线性空 间是 n 1 维的
这个n 1维线性空间的基也由n 1个多项式组成
并且形式不是唯一的
而任意一个n次多项式可由基线性表示
且在不同的基下有不同的形式
设0 ( x),1( x), ,n ( x)为上述n 1维线性空间的一个基