数值分析 第2章 插值法
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
数值分析_第二章_插值法
１ x０
x２ ０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
xn－ １ ０
…… ………
V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ） ＝
１
xn－ ２
x２ n－ ２
…
xn－ １ n－ ２
１
xn－ １
x２ n－ １
…
xn－ １ n－ １
∏ ＝
（ xi － xj ） ．
０ ≤ j ＜ i ≤ n－ １
故 知 V n （ x） ＝ V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ）（ x － x０ ）（ x － x１ ） … （ x －
＝ R截 ＋ R舍
＝
f″２（！ξ）（ x －
xi ）（ x －
xi＋ １ ） ＋
×
（－
０
．６９３１４７）
＋
（０ ．５４ （０ ．６
－ －
０ ０
．４）（０ ．４）（０
．５４ － ０ ．５） ．６ － ０ ．５）
× （ － ０ ．５１０８２６） ≈ － ０ ．６１５３２０ ．
４畅 解
由题设知 ０° ≤
x≤
９０° ，h ＝
xi＋ １
－
xi
＝
（
１ ６０
）°
．记
xi
处的准确值为 f i ，带有误差的值为 f i ，则
７ ，
x
∈
［１ ，２］ ，
－
１９ ２
x３
＋ ６７ x２
－
２９３ ２
x
＋
１０５ ，
x
∈
（２ ，３］ ．
四 、习题
１畅 根据范德蒙行列式的定义 ，令
V n （ x） ＝ V n （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ，x）
数值方法第二章 插值法2
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
现设 x x j 由 Rn ( x j ) f ( x j ) Pn ( x j ) 0
故知 Rn (x) 可表示为
(j=0,1,…，n)，
Rn ( x) k ( x)n1 ( x) k ( x)( x x0 )( x xn )
关键是求 k ( x) ?
(2.2.10)
grange插值多项式
现在考虑一般的插值问题：
满足插值条件 Ln ( xk )
y
பைடு நூலகம்
k
(k 0,1,2,,n) (2.2.1)
的次数不超过n的多项式显然为 : Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
这是因为 (1) Ln ( xk ) lk ( xk ) yk yk (k 0,1,2,,n) (2)次数不超过n
3
1 f ( ) ( x) 2
3
1 2 R1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 8 3 1 2 R1 (115) (115 100)(115 121 ) 8 3 1 (115 100)(115 121 max 2 ) 100 ,121 8
其中，Ak为待定系数，由条件 lk ( xk ) 1 可得
1 Ak ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
Ch2插值法
Ch2. 插值法§1. 插值问题引例 矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。
第一个问题可归结为“已知函数在n x x x ,,,10⋅⋅⋅处的值，求函数在区间[]n x x ,0内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。
但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。
解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度。
定义 设)(x f y =在[]b a ,中1+n 个点n x x x <⋅⋅⋅<<10处的值)(i i x f y =为已知，现根据上述数据构造一个简单函数)(x p ，使i i y x p =)(，这种问题称为插值问题。
i x x p x f ),(),(,i i y x p =)(分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。
若)(x p 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。
定理1 在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。
证 令n n x a x a a x p +⋅⋅⋅++=10)(，则根据插值条件i i y x p =)(有下列等式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=n n n n n n nn nn yx a x a a x p y x a x a a x p y x a x a a x p 10111101000100)()()( （关于i a 的1+n 阶线性方程组）， 其系数行列式是范德蒙（V andermonde ）行列式()011111100≠-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏≥>≥j i n j innnnn x xx x x x x x D 。
数值分析第2章插值法
0.32 0.34
0.34 0.32
0.330365.
截 断 误 差 为 ：R1x
f
1
2！
2
x
M2 2
x
x0 x
x1 ， 其 中 ：
M2
max
x0 x x1
f x，f x sin x，f x
sin x，M2
sin x1
0.3335
R1 0.3367
sin0.3367
L1 0.3367
x a, b,插 值余 项Rn x
f x Ln x
f n1 n 1!
n1
x
,
其
中
a,
b,
与x有 关,n1x
n
x
k0
xk
.
n
性质： lk x 1. k0
5
例1、证明： ( xi x)2 li ( x) 0, 其中li ( x)是关于点x0 , x1 ,, x5的插值 i0
基 函 数.
2.2 拉格朗日插值
2.2.1、线性插值与抛物插值
1、 线 性 插 值 ：
设 yk f xk ， yk1 f xk1 ， xk xk1 求 一 次 多 项 式 L1 x， 满 足 ：L1 xk yk，L1 xk1 yk1
L1 x
yk
yk1 xk1
yk xk
x xk
求n次 插 值 多 项 式Ln x, 满 足 ：Ln xi yi i 0，1，2，，n
Ln
x
n
lk
x
yk
k0
lk
xj
1，k j
kj 0，k j
j 0，1，2，，n
lk x
x
数值分析 插值法
第二章插值法2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f（x）的图形。
（1）多项式插值①先建立一个多项式插值的M-file；输入如下的命令（如牛顿插值公式）：function [C,D]=newpoly(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n)D(:,1)=Y'for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)))m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.2:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.2:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f（x）图形：③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.1:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.1:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f（x）图形：（2）三次样条插值①先建立一个多项式插值的M-file；输入如下的命令:function S=csfit(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));C=H(2:N);U=6*diff(D);B(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1));B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N));for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);endM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1));S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6;S(k+1,4)=Y(k+1);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.2:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：②当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.1:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：第三章函数逼近与快速傅里叶变换2.试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
数值分析 第2章 插值法
115 (115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144)
(115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 10.7228 (144 100)(144 121)
几何意义：y=p1(x)表示通过三点（x0,y0), (x1,y1) , (x2,y2)的抛物线，因此，二次插值 又称抛物插值。
p2(x)的解？
先解决一个特殊的二次插值问题
特殊的二次插值问题
求作二次式l0(x),使满足条件 l0(x0)=1 ， l0(x1)= l0(x2)=0
由l0(x1)= l0(x2)=0 可知：x1,x2是l0(x)的两个零点，因而有：
4x x
带入x0=100, 得
f
(x 0)
10,f
(x 0 )
1 ,f
20
(x 0 )
1 4000
p1(x ) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 5 0.05x
p2(x )
p1(x )
f
(x 0 ) (x
2!
x 0)2
计算 115的近似值 （精确值10.723805…）
2!
x0)
10.75 0.028125 10.721875
练习：求作f(x)=sin x在节点x0=0的5次泰勒多项式，并估计插 值误差。
解：f (x ) cos x ,f (x ) sin x ,f (3)(x ) cos x , f (4)(x ) sin x ,f (5)(x ) cos x
数值分析中的(插值法)
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
数值分析 插值法
第二章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()f x 的一些样点，选定一个便于计算的函数()x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知区间[,]a b 上的实值函数f 在1n +个相异点[,]i x a b ∈处的函数值(),0,1,,i if f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈使得()(),0,1,,i i i x f x f i n ϕ=== (2-1)这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；0,,n x x 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1n +个相异点01,,,n x x x 上的值(),0,1,,i i f f x i n ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得(),0,1,,n i i L x f n n == (2-2)定理1 存在惟一的多项式n nL P ∈满足插值条件(2-2)。
数值分析--第2章 插值法
数值分析--第2章插值法第2章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。
数值分析第二章 插值法
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
推论
§1 Lagrange Polynomial
插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b f ( n) ( x)在[a, b]上连续 f ( n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x) = f ( x) - L ( x) n n
li ( xi ) = 1
Ci =
1 j i ( xi - x j )
与 节点 有关，而与 f 无关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lagrange Polynomial
(x - xj ) li ( x ) = ( xi - x j ) ji
n j =0
Ln ( x ) = l i ( x ) yi
i =0
n
§1 Lagrange Polynomial
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
课堂作业
1. 当x = 1,-1,2时, f ( x) = 0,-3,4, 求f ( x)的二次插值多项式 2.
已知由数据 (0,0), (0.5, y), (1,3)和(2,2)构造出的 3 三次插值多项式 P ( x ) 的 x 的系数是 6,试确定数据 y 3
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 拉格朗日多项式
例1
/* Lagrange Polynomial */
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
数值分析 第 版 插值法
其中K(x)是待定函数。
对于任意固定的x[a,b], xxk ,构造自变量t 的辅助
函数
( t ) f ( t ) L n ( t ) K ( x ) n 1 ( t )
19
( t ) f ( t ) L n ( t ) K ( x ) n 1 ( t )
由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及 R n ( x ) f ( x ) L n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
称为f (x)在x0 , x1 , …, xn点的 n 阶差商。 差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下
26
xk 函数值
x0 f (x0)
x1 f (x1)
x2 f (x2)
x3 ...
f (x3) ...
一阶差商
表5-1
二阶差商
f [ x0 , x1] f [ x1 , x2] f [ x2 , x3]
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式
是范德蒙行列式，即：
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi )
ji
1 xn xn2 xnn
4
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi )
ji 1 xn xn2 xnn
由于插值节点 xi 互不相同, 所有因子 xj-xi 0, 所以上 述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组 (2-3) 的 解存在唯一. 即满足条件式 (2-1)的次数不超过n的多项 式(2-2) 存在且唯一。证毕。
定理1 设f (x)在区间[a ,b]上存在n+1 阶导数,
中科院数值分析-肖良CH2
第二章
插值法
14/93
L2(x) = yk−1lk−1(x) + yk lk (x) + yk+1lk+1(x) lk−1(x), lk (x), lk+1(x) 的求法 lk−1(x) 有两个根 xk , xk+1， lk−1(x) = A(x − xk )(x − xk+1)，A 待定。
. . .
1 (xi −x0 )···(xi −xi−1 )(xi −xi+1 )···(xi −xn ) (x−x )···(x−x −1 )(x−xi+1 )···(x−xn ) = (xi−x00)···(xi−xii− 1 )(xi −xi+1 )···(xi −xn )
y
−y
k + x x−x −x yk +1
由两点式，L1(x) 是两个线性函数
x−xk+1 xk −xk+1 , lk +1 (x)
=
x−xk xk+1 −xk
的线性组合，系数是 yk 和 yk+1。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第二章
插值法
5/93
n a + a x + · · · + a x 0 1 0 n 0 = y0 a + a x + · · · + a xn = y 0 1 1 n 1 1 ··· a + a x + · · · + a xn = y
数值分析第2章插值法
数值分析第2章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，用于在给定一组有限数据点的情况下，通过构造合适的数学模型来估计这些数据点之间的未知数值。
插值法的应用广泛，包括图像处理、计算机辅助设计、数值计算等领域。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值以及样条插值等。
这些方法都是基于多项式的插值形式，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，并据此对未知点进行估计。
拉格朗日插值是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值构造了一个n次多项式Ln(x)，满足：Ln(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x)其中，L0(x),L1(x),...,Ln(x)是拉格朗日基函数，定义为：Lk(x) = ∏(i≠k)(x - xi)/(xk - xi) (k = 0, 1, ..., n)拉格朗日插值方法的优点是简单易用，但随着数据点数量的增加，拉格朗日多项式的计算复杂度也会大大增加。
牛顿插值是另一种基于多项式的插值方法，它使用差商的概念来构造插值多项式。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值构造了一个n次多项式Nn(x)，满足：Nn(x) = y0 + c0(x - x0) + c1(x - x0)(x - x1) + ... + cn(x -x0)(x - x1)...(x - xn-1)其中，c0 = Δy0/(x0 - x1)，ci = Δyi/(xi - xi+1) (i = 0, 1, ..., n-1)，Δyi = yi+1 - yi。
牛顿插值方法相比于拉格朗日插值方法，在计算多项式时具有更高的效率，尤其是在需要更新数据点时。
此外，牛顿插值方法还可以通过迭代的方式得到更高次数的插值多项式。
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/* Chapter 2 Interpolation */
2.1 引言 2.2 Lagrange插值 2.3 差商与 Newton插值 2.4 带导数条件的Hermite插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值
2014-1-21 第2章 插值法 1
2.1 引言
2.1.1 插值法的提出 历史背景 插值法是数值分析中的一个古老的分支。 等距节点内插法—隋朝数学家刘焯(公元544-610年) 首先提出的 不等距节点内插法—唐朝数学家张遂(公元683-727年) 首先提出的 插值法在数值积分、数值微分、微分方程数值解、曲 线曲面拟合、函数值近似计算中有着广泛的应用。
第2章 插值法
15
Ln ( x ) yk l k ( x )
k 0
n
（2.9）
其中
1, k j; lk ( x j ) ( j , k 0,1, , n) 0, k j .
lk ( x )
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
( i 0,1,, n).
14
x0 4, x1 9 ，用线性插值求 7 的近似值. 例1 已知 y x ，
解： y0 2, y1 3 基函数分别为
x9 1 l0 ( x ) ( x 9) 49 5 l1 ( x ) x4 1 ( x 4) 94 5
但遗憾的是方程组(1.4)是病态方程组,阶数n越高，病态 越严重。为此我们从另一途径寻求获得P(x) 的方法---Lagrange插值和Newton插值。（这两种方法称为基函数法）
2014-1-21 第2章 插值法 7
Interpolation polynomial
2014-1-21 第2章 插值法 8
y0 a0 a1 x0 a 2 x0
2
y1 a0 a1 x1 a 2 x1
2 2
方程组求解麻烦
y2 a0 a1 x 2 a 2 x 2
思路：对于线性插值的两种形式解进行适当的分析, 从 中寻求规律得到拉格朗日插值(公式)和牛顿插值(公式). 点斜式
y1 y 0 (x ) (x ) P1 ( x ) y0 ( x x0 ) y0 f 1 f 0 ( x x 0 ) x1 x 0 x1 x 0
点x0 , x1 , … , xn 称为插值节点，区间[a,b]称为插值区 间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 几何意义： P(x) f(x)
x0
2014-1-21
x1
x2
x
x3
x4
4
第2章 插值法
插值函数的类型
代数插值：多项式插值
常用
P ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 , an 0,
li(x) 每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn n 与 节点 有关，而与 f 无关 li ( x) Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) Ci ( x x j ) j i Lagrange 0 j 1 li ( xi ) 1 Ci Polynomial j i ( xi xj )
i , j o i j
(x
n 1
i
x j ) 0.
因此线性方程组（1.4）的解 a0 , a1 ,, an 存在且唯一. 结论 定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节 点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的，那么存在唯一的次 数≤n的多项式P (x)满足 P(x) P (xk)= yk, k=0,1,…,n。
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1 ( x ) a0 a1 x 使得
P1 ( x 0 ) y0 , P1 ( x1 ) y1
点斜式
P1 ( x ) ) f ( x0) f ( x x0 ) y0 ( x x0 ) x1 x 0 x1 x 0
(x xj ) li ( x ) ( xi x j ) ji
n j 0
Ln ( x ) l i ( x ) yi
i 0
n
展开 l ( x ) ( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) i
2014-1-21 第2章 插值法
l1(x)＝ 1(x －x0)(x －x2),
1 0 ＝ (x0－x1)(x0－x2) 1 1 ＝ (x1－x0)(x1－x2)
1 2 ＝ (x2－x0)(x2－x1)
l2(x)＝ 2(x －x0)(x －x1), (x -x1)(x -x2)
(x -x0)(x -x1) (x -x0)(x -x2) L2(x)= y0 + y1 + y2 (x0-x1)(x0-x2) (x2-x0)(x2-x1) (x1-x0)(x1-x2) 此即二次拉格朗日插值公式, 其中, l0(x), l1(x), l2(x)是满足 (2.1)的特殊(基本)二次插值多项式;称为二次插值基函数. L2(xj) l i ( xj) y i =yj
n a0 a1 x0 a n x0 y0 , n a0 a1 x1 a n x1 y1 , a a x a x n y , 1 n n n n 0
（1.4）
系数矩阵为
1 1 A 1
2014-1-21
L1(xj) l i ( xj) y i =yj
i 0
1
2014-1-21
第2章 插值法
11
启发: 二次插值是否能由一些二次插值基函数来线性组合？ 二次Lagrange插值多项式为 L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x) 其中，l0(x), l1(x), l2(x)都是二次多项式，且应满足
2.2 拉格朗日多项式
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) a0 a1 x an x 使得
Pn ( x i ) y i ,
i 0 , ... , n
条件：无重合节点，即 i j 2.1.1 线性插值与抛物插值
xi x j
线性插值 n = 1 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
x0 x1 xn
n x0 n x1 , n xn
1 A x0
n x0
1 x1 x1n
1
xn （1.5） n xn
6
第2章 插值法
称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由 xi ( i 0,1,, n) 互异，故
det A
P ( x ) ，使
2014-1-21
P ( x i ) yi
(i 0,1,, n),
第2章 插值法
（1.3）
5
问题： P(x)是否存在？若存在，是否唯一？如何求？
P ( x ) a0 a1 x an x n
由插值条件得关于系数 a0 , a1 ,, an的n 1 元线性方程组
（2.1）
满足(2.1) 的 l i(x) 是否存在?若存在，具有什么形式呢?
l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 其中0 是待定系数。 先考虑 l0(x)。
2014-1-21 第2章 插值法 12
由 l0( x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则 l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 同理
以近似计算函数值为例说明插值法的应用。
2014-1-21 第2章 插值法 2
函数的插值法的提出背景 实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：
（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计 算时，计算量会很大； （2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而 我们需要的函数值不在该表格中。 对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表 达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。
两点式
P1 ( x ) =
x x1 y + x 0 x1 0
x x0 y x1 x 0 1
我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式.
2014-1-21 第2章 插值法 10
基函数法 首先, 线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次 式的一种线性组合. 基函数的线性组合 1 x x0 x x1 满足 li(xj)=ij L ( x ) P ( x ) = y0 + y1 l i ( x ) y i 对称式 1 1
x0 x1 x1 x0
i 0
l0(x) l1(x) l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1, 其中， l0(x)和l1(x)满足：
（ 显然有l0(x)+ l1(x)≡1. 实质上 l（ 0 x）和 l 1 x）即是满足函数表
x
y
x0
x1
x
y
x0
x1
1
0
0
1
的一次插值多项式 ,称l0(x)和l1(x)为以x0,x1为节点的基本插 值多项式，也称为线性插值的插值基函数 。
Ln ( x j ) yk l k ( x j ) y j ( j 0,1, , n).
k 0 n
满足条件 记 易求得
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ),