高中数学100个热点问题(三)：排列组合中地常见模型

第80炼 排列组合的常见模型
一、基础知识：
（一）处理排列组合问题的常用思路：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？
解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，
只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种
2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。

例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。

从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种
解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简
单。

3310785N C C =-=（种）
3、先取再排（先分组再排列）：排列数m
n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。

但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。

例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。

解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。

所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型
1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法
解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有4
4A 种位置，第二步考
虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序
注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边
（2）要从题目中判断是否需要各自排序
例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法
解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有2
5
C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。

所以242542480N C A A =⋅⋅=种 3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列。

例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列。

3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种。

以上三种情况可作为结论记住
例如：安排6个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？
解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有2
6C 种选法，然后剩下4个班主任均不
监考自己班，则为4个元素的错位排列，共9种。

所以安排总数为269135N C =⋅= 4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）
例如：已知,,,,,A B C D E F 6个人排队，其中,,A B C 相对位置不变，则不同的排法有多少种
解：考虑先将,,A B C 排好，则D 有4个空可以选择，D 进入队伍后，E 有5个空可以选择，以此类推，F 有6种选择，所以方法的总数为456120N =⨯⨯=种
5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中
6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种。

解决此类问题常用的方法是“挡板法”
，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里
所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子。

例如：将6个相同的小球放入到4个不同的盒子里，那么6个小球5个空档，选择3个位置放“挡板”，共有3520C =种可能
7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。

例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？
解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论
（1）使用4种颜色，则每个区域涂一种颜色即可：414N A =
（2）使用3种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首
先要选择不相邻的区域：用列举法可得：{},I IV 不相邻
所以涂色方案有：324N A =
（3）使用2种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止
总计434448S A A =+=种
二、典型例题：
例1：某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少
思路：本题解决的方案可以是：先挑选出一对夫妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。

第一步：先挑出一对夫妻：1
6C
第二步：在剩下的10个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法：2105C - 所以选择的方法总数为()
126105240N C C =-=（种）
答案：240种
例2：某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）
A. 474种
B. 77种
C. 462种
D. 79种
思路：本题如果用直接法考虑，则在安排的过程中还要考虑两节连堂，并且会受到第5,6节课连堂的影响，分类讨论的情形较多，不易求解。

如果使用间接法则更为容易。

首先在无任何特殊要求下，安排的总数为39A 。

不符合要求的情况为上午连上3节：3
4A 和下午连上三
节：33A ，所以不同排法的总数为：333943474A A A --=（种） 答案：A
例3：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
思路：首先考虑从3位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻，则可插空，让男生搭架子，因为男生甲不站两端，所以在插空的过程中需有人站在甲的边上，再从剩下的两个空中选一个空插入即可。

第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生：2
3C
第二步：两位男生搭出三个空，其中甲的边上要进入女生，另外两个空中要选一个空进女生，所以共有12C 种选法。

第三步：排列男生甲，乙的位置：22A ，排列相邻女生和单个女生的位置：22A ，排列相邻女生相互的位置：22A
所以共有212223222248N C C A A A =⋅⋅⋅⋅=种 答案：B
例4：某班班会准备从甲，乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲，乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ）
A. 360
B. 520
C. 600
D. 720
思路：因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲乙”同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论：若甲乙同时被选中，则只需再从剩下5
人中选取2人即可：25C ，在安排顺序时，甲乙不相邻则“插空”，所以安排的方式有：2232A A ⋅，
从而第一种情况的总数为：2221532120N C A A =⋅⋅=（种），若甲乙只有一人选中，则首先先
从甲乙中选一人，有12C ，再从剩下5人中选取三人，有3
5C ，安排顺序时则无要求，所以第
二种情况的总数为：1342254480N C C A =⋅⋅=（种），从而总计600种
答案：C
例5：从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“qu ”相连且顺序不变）的不同排列共有________种
思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素，因为“qu ”必须取出，所以另外3个元素需从剩下的6个元素中取出，即3
6C 种，然后在排列时，因为要求“qu ”相连，所以采用“捆绑法”，将qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列：44A ，因为“qu ”
顺序不变，所以不需要再对qu 进行排列。

综上，共有：3464480C A ⋅=种 答案：480
例6：设有编号1,2,3,4,5的五个茶杯和编号为1,2,3,4,5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ）
A. 30种
B. 31种
C. 32种
D. 36种
思路：本题可按照相同编号的个数进行分类讨论，有两个相同时，要先从5个里选出哪两个
相同，有25C 种选法，则剩下三个为错位排列，有2种情况，所以2152N C =⋅，有三个相同
时，同理，剩下两个错位排列只有一种情况（交换位置），所以3251N C =⋅，有四个相同时
则最后一个也只能相同，所以31N =，从而235521131S C C =⋅+⋅+=（种）
答案：B
例7：某人上10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步；最多能跨3级台阶，称为三阶步，若他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则此人所有可能的不同过程的种数为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
答案：A
思路：首先要确定在这6步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为,,x y z N *
∈，则有62310x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得：4320,2,4210x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩
，因为相邻两步不同阶，所以符合
要求的只有321x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，下面开始安排顺序，可以让一阶步搭架子，则二阶步与三阶步必须插
入一阶步里面的两个空中，所以共有2种插法，二阶步与三阶步的前后安排共有3种（三二二，三二三，二三三），所以过程总数为236N =⨯=
答案：A
例8：某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有_______种
思路：在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。

英语导游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可。

第一种情况：没有会双语的人加入英语导游队伍，则英语导游选择数为3
3C ，日语导游从剩下6个人中选
择，有36C 中，从而33036N C C =⋅，第二种情况：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从而可得()
1231435
N C C C =⋅，依次类推，第三种情况。

两个会双语的加入英语导游队伍，则()2132434N C C C =⋅⋅，第四种情况，英语导游均为会双语的。

则33343N C C =⋅，综上所述，不同的选择方法总数为()()3312321333
3643543443216S C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅⋅+⋅=(种) 答案：216种
例9：如图，用四种不同颜色给图中,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A. 288种
B. 264种
C. 240种
D. 168种 思路：如果用四种颜色涂六个点，则需要有两对不相邻的点涂相同的
颜色。

所以考虑列举出不相邻的两对点。

列举的情况如下：{}{},,A C B D ，{}{},,A C B E ，{}{},,A C D F ，{}{},,A F B D ，
{}{},,A F B E ，{}{},,A F C E ，{}{},,B D C E ，{}{},,B E D F ，
{}{},,C E D F 共九组，所以涂色方法共有449216A ⨯=
如果用三种颜色涂六个点，则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色，列举情况如下： {}{}{},,,A C B E D F ，{}{}{},,,A F C E B D 共两组，所以涂色方法共有34248A ⨯=
综上所述，总计264种
答案：B
例10：有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）
A. 1344种
B. 1248种
C. 1056种
D. 960种 思路：中间行数字和为5只有两种情况，即1,4和2,3，但这两组不能同时占据两行，若按题意思考，以1,4占中间行为例，则在安排时既要考虑另一组2,3是否同时被选中，还要考虑同时被选中时不能呆在同一行，情况比较复杂。

所以考虑间接法，先求出中间和为5的所有情况，再减去两行和为5的情形
解：先考虑中间和为5的所有情况：
第一步：先将中间行放入1,4或2,3：1
2C
第二步：中间行数字的左右顺序：22A
第三步：从剩下6个数字中选择4个，填入到剩余的四个位置并排序：46A
所以中间和为5的情况总数为1242241440S C A A =⋅⋅= 在考虑两行和为5的情况：
第一步：1,4，2,3两组中哪组占用中间行：1
2C
第二步：另一组可选择的行数：12C
第三步：1,4，2,3在本行中的左右顺序：2222A A
第四步：从剩下4个数中选取2个填入所剩位置并排序：24A
所以两行和为5的情况：1122222224192N C C A A A =⋅⋅⋅⋅= 从而仅有中间行为5的情况为1248S N -=（种）
答案：B。