微专题40 动量与能量的综合运用

微专题40 动量与能量的综合运用

【微专题训练】

【例题】(2018·河北省石家庄市高三考前冲刺)如图所示，在光滑水平面上有质量为m 的小物块a 以初速度v 0水平向右运动，在小物块a 左右两侧各放置完全相同的小物块b 、c ，小物块b 、c 上各固定一个轻弹簧，小物块b 、c 的质量均为km ，其中k ＝1、2、3…，弹簧始终处于弹性限度内．求：

(1)小物块a 第一次与小物块c 碰撞时，弹簧的最大弹性势能为多大？ (2)若小物块a 至少能与小物块c 碰撞2次，k 的最小值为多少？

解析 (1)小物块a 和c 相互作用，两者速度相等时弹簧的弹性势能最大，对于小物块a 和c 根据动量守恒定律有mv 0＝(m ＋km )v

根据能量转化和守恒定律有E pmax ＝12mv 20－12(m ＋km )v 2 联立解得E pmax ＝

k k ＋1·12mv 2

(2)设小物块a 第一次离开小物块c 时，小物块a 和c 的速度分别为v 1、v 2，对于小物块a 和c 根据动量守恒定律有mv 0＝mv 1＋kmv 2 根据机械能守恒定律有12mv 20＝12mv 21＋12kmv 2

2 联立解得，小物块a 的速度为v 1＝1－k k ＋1v

小物块c 的速度为v 2＝2

k ＋1v 0

小物块a 离开c 后与小物块b 作用，当小物块a 离开b 时，小物块a 和小物块b 的速度分别为v 1′、v 2′，对于小物块a 和b ，根据动量守恒定律有mv 1＝mv 1′＋kmv 2′ 根据机械能守恒定律有12mv 21＝12mv ′21＋12kmv ′22 联立解得v ′1＝⎝

⎛⎭⎪⎫1－k k ＋12v 0

若小物块a 和c 至少碰撞2次，则有v ′1＞v 2 由数学知识可得k 2－4k －1＞0 解得k ＞2＋ 5 而k ＝1、2、3…

故k min ＝5 答案 (1)k k ＋1·12mv 2

(2)5

【变式】(2018·山东省青岛市高三统一质检)如图所示为某自动控制系统的装置示意图，装置中间有一个以v 0＝3 m/s 的速度逆时针匀速转动的水平传送带，传送带左端点M 与光滑水平面相切，水平面左侧与一倾角α＝37°的光滑斜面平滑连接．靠近斜面底端的P 点处安装有自动控制系统，当小物块b 每次向右经过P 点时都会被系统瞬时锁定从而保持静止．传送带N 端与半径r ＝0.2 m 的光滑四分之一圆弧相切，小物块a 从圆弧最高点由静止下滑后滑过传送带，经过M 点后控制系统会使静止在P 点的小物块b 自动解锁，之后两物块发生第一次弹性碰撞．已 知两物块的质量m b ＝2m a ＝2 kg ，两物块均可视为质点，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25，MN 间的距离L ＝1.2 m ，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)物块a 运动到N 点时受到的支持力； (2)物块b 第一次沿斜面上滑的时间；

(3)两物块在第n 次碰撞后到第n ＋1次碰撞前，物块a 在传送带上运动产生的摩擦热． 解析 (1)对物块a 沿圆弧从最高点由静止下滑到N 点，运用动能定理可得：mgr ＝1

2mv 21－0，

解得v 1＝2gr ＝2 m/s 对物块a 运动到N 点时，受力分析由牛顿第二定律可得F N －m a g ＝m a v 21

r ，

解得F N ＝30 N.

(2)物块a 在传送带上运动的加速度a 1＝μm a g

m a

＝2.5 m/s 2

设物块a 加速到3 m/s 前进的距离为x ，则x ＝v 20－v 2

1

2a 1

＝1 m

故物块a 到达M 点的速度为v 2＝3 m/s

设两物块第一次碰撞后获得的速度为v a 1、v b 1，因碰撞是弹性碰撞，则 m 1v 2＝m a v a 1＋m b v b 1、12m a v 22＝12m a v 2a 1＋12m b v 2

b 1 解得：v a 1＝m a －m b m a ＋m b v 2＝－13v 2＝－1 m/s

v b 1＝2m a m a ＋m b

v 2＝2

3v 2＝2 m/s

对物块b 第一次沿斜面上滑，应用动量定理可得－(m b g sin α)·t b 1＝0－m b v b 1 解得：t b 1＝13

s

(3)小球a 第一次向右在传送带上通过的位移：x a 1＝v 2a 1

2a 1＝0.2 m

小球a 第一次向右在传送带上向右运动的时间：t a 1＝

v a 1

a 1

＝0.4 s>t b 1 因此小球a 从传送带上返回再次与静止的b 球发生碰撞．经过n 次碰撞后小球a 获得的速度： v an ＝(m a －m b m a ＋m b )n v 2＝－13

n －1m/s

小球a 与传送带间的相对位移：Δx ＝v 0t an ＋v an 2t an ＋v 0t an －v an 2t an ＝2v 0v an

a 1

故生成的热量Q ＝μm a g Δx ＝2m a v 0v an ＝2

3n －2 J

答案 (1)30 N (2)13 s (3)2

3n －2 J

【巩固习题】

1.【2017·广东省揭阳市高三上学期期末调研考试】如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径R =0.6m 。平台上静止着两个滑块A 、B ，m A =0.1kg ，m B =0.2kg ，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，静止在光滑的水平地面上。小车质量为M =0.3kg ，车面与平台的台面等高，小车的上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q 点，小车的上表面左端点P 与Q 点之间是粗糙的，滑块B 与PQ 之间表面的动摩擦因数为μ=0.2，Q 点右侧表面是光滑的。点燃炸药后，A 、B 分离瞬间A 滑块获得向左的速度6=A υm/s ，而滑块B 则冲向小车。两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，且g =10m/s 2。求： (1)滑块A 在半圆轨道最高点对轨道的压力；

(2)若L =0.8m ，滑块B 滑上小车后的运动过程中弹簧的最大弹性势能；

(3)要使滑块B 既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则小车上PQ 之间的距离L 应在什么范围内？