信号与系统微分算子方程

yx(t)满足的算子方程为
A( p) yx(t) ? 0
t?0
第二章 连续信号与系统的时域分析
简单系统的零输入响应
简单系统1
若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt
简单系统2 若 A(p)=(p-λ)2，则 yx(t)=(c0+c1t)eλt。
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 某系统输入输出微分算子方程为
yx (t) ? yx1 (t) ? yx2 (t) ? c10e? t ? (c20 ? c21t)e?2t
第二章 连续信号与系统的时域分析
yx (t) ? yx1 (t) ? yx2 (t) ? c10e? t ? (c20 ? c21t)e?2t
其一阶yx'和y(tx)二(?t)阶??c导10ee函??tt数?? 为c(221e??2tt
H ( p) ?
B( p) A( p)
?
bm pm ? bm?1 pm?1 ? bm? 2 pm? 2 ? L pn ? an?1 pn?1 ? an?2 pn? 2 ? L ?
? b1 p ? b0 a1 p ? a0
传输算子
第二章 连续信号与系统的时域分析
y(t) ? B( p) f (t) ? H ( p) f (t) A( p)
代数多项式那样进行展开和因式分解。
( p ? 2)( p ? 3) y(t) ? ( p2 ? 5 p ? 6) y(t) ( p2 ? 4) f (t) ? ( p ? 2)( p ? 2) f (t)
性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式， 则 A( p)B( p) f (t) ? B( p) A( p) f (t)
B(p)
第二章 连续信号与系统的时域分析
2 LTI系统的微分算子方程 对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数 n阶
微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)， 则可表示为
y(n) (t) ? an?1 y(n?1) (t) ? an? 2 y(n? 2) (t) ? L ? a1 y(1) (t) ? a0 y(t) ? bm f (m) (t) ? bm?1 f (m?1) (t) ? bm? 2 f (m?2) (t) ? L ? b1 f (1) (t ) ? b0 f (t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
系统的微分算子方程
1 微分算子和积分算子
p? d dt
? 1 ? t ( ) d ?
p
??
p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。
第二章 连续信号与系统的时域分析
例：
第二章 连续信号与系统的时域分析
微分算子的运算性质
性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像
右端加法器
y(t) ? ? 2x' (t) ? 4x(t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
电路系统算子方程的建立
表 2.2 电路元件的算子模型
在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的 电流或电压为系统响应。
第二章 连续信号与系统的时域分析
3：零输入响应
设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)， 且
写出系统的输入输出微分方程
y(t) ? B( p) f (t) ? H ( p) f (t) A( p)
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 2 ：已知系统框图，求系统的传输算子 。
－2
f (t)
x″(t) ＋
∫ x′(t)
x(t)
∫
＋
y(t)
4
－5
－3
解 设中间变量x(t)，左端加法器列方程
x( t) ? ? x'(t) ? 3x(t) ? f (t)
( p ? 1)( p ? 2)2 y(t) ? ( p ? 3) f (t)
已知系统的初始条件y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13, 求系统的零 输入响应yx(t)。
解 由题意知 A(p)=(p+1)(p+2)2 ( p ? 1) ? yx1(t) ? c10e? t ( p ? 2)2 ? yx2 (t) ? (c20 ? c21t)e? 2t
? ??
y(t )
?
? ? ?
m
bj
j? 0
p
j
? ? ?
f
(t )
第二章 连续信号与系统的时域分析
A( p) y(t) ? B( p) f (t)
微分算子方程
n
? A( p) ? ai pi i? 0
m
? B( p) ? bj p j j?0
y(t) ? B( p) f (t) ? H ( p) f (t) A( p)
用微分算子P表示可写成 ?? pn ? an?1 pn?1 ? an? 2 pn? 2 ? L ? a1 p ? a0 ?? y(t ) ? ??bm pm ? bm?1 pm?1 ? bm? 2 pm? 2 ? L ? b1 p ? b0 ?? f (t )
? ? 或缩写为
? ??
n i?0
ai
pi
通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)
第二wenku.baidu.com 连续信号与系统的时域分析
性质4 但是
设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式
D(p) ? A(p)
A(p) f (t)= f (t)
D(p)B(p)
B(p)
A(p) ?D(p)f (t) ? A(p) f (t)
B(p)D(p)
H ( p) ?
B( p) A( p)
?
bm pm ? bm?1 pm?1 ? ? ? b1 p ? b0 pn ? an?1 pn?1 ? ? ? a1p ? a0
系统的特征方程： A( p) ? 0
y(t)和f(t)满足的算子方程为
A( p) y(t) ? B( p) f (t)
系统的特征 多项式
第二章 连续信号与系统的时域分析
性质3
微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。
例如，方程 py(t) ? pf (t)
不能随意消去公因子 p而得到y(t)=f(t)的结果。 因为y(t)与f(t)之 间可以相差一个常数c。
y(t) ? f (t) ? c
也不能由方程 ( p ? a ) y(t) ? ( p ? a ) f (t)
传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或 系统对输入的传输作用，故称 H(p)为响应y(t) 对激励f(t) 的传输算子或系统的传输算子。
f (t)
H(p)
y(t)
用H(p)表示的系统输入输出模型
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 1：设某连续系统的传输算子为
H( p) ?
p?2 p3 ? 2 p2 ? 3p ? 4