微分方程的算子算法
微分方程的算子算法【精选】
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x
cos x P(2 )
(P(2 )
0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
微分算子法例题
微分算子法例题
微分算子法是微积分中的一种常用方法，用于求解微分方程和函数的导数。
以下是一个微分算子法的例题：
例题：使用微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0。
解答：
首先，我们定义微分算子 D 为导数运算，即 D(y) = y'，D^2(y) = y''。
将微分方程 y'' - y = 0 重写为 D^2(y) - y = 0。
现在我们假设 y 的形式为 y = e^(rx)，其中 r 是待定系数。
对 y 进行两次导数得到：
D^2(y) = D^2(e^(rx)) = r^2e^(rx)。
将 D^2(y) 和 y 代入初始微分方程，得到：
r^2e^(rx) - e^(rx) = 0。
将 e^(rx) 提取出来，得到：
e^(rx) * (r^2 - 1) = 0。
根据零乘法则，得到两个解：
e^(rx) = 0 或者 r^2 - 1 = 0。
可以发现，e^(rx) = 0 没有实数解，所以我们只关注第二个解：
r^2 - 1 = 0。
解这个二次方程，得到两个解：
r = 1 或者 r = -1。
根据假设的 y 的形式，我们可以得到两个特解：
y1 = e^x，y2 = e^(-x)。
由于微分方程是线性的，所以通解可以通过特解的线性组合得到：
y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，
其中 C1 和 C2 是任意常数。
这就是微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0 的过程和结果。
微分算子法求二阶常系数微分方程的特解ppt
y
e3x
D
32
x1
6 D
3
9
y
e3x
x1 D2
1 x2 x y e3x 2
D
y
e3x
1 6
x3
1 2
x2
例题6 求微分方程 y 4y xcos x的一个特解.
解：D2 4
y
x cos
x
y
xcos x D2 4
y
Re
xeix
D2
4
y
Re
eix
2i去换D分母为0 y ex x sin 2x 2D
y
e
x
x
1 2
1 2
cos
2
x
y 1 xex cos 2x 4
y 1 xex cos 2x 4
例题5 求微分方程 y 6y 9y x 1 e3x 的一个特解.
解：D2 6D 9
y
x
1 e3x
y
x 1 e3x
2x
1 x 11 28
例题3 求微分方程 y 4y sin2x 的一个特解.
解：D2 4
y
sin 2 x
y
sin 2 x D2 4
i2i去换D
y
sin 2 x D2 4
分母为0
y x sin2x 2D
y x 1 sin2x 2D
sin2x积分 y
x
1 2
1 2
cos
4
ex sin
F D
x
位移定理
ex
sin x
FD
D 去换 D
5
ex pn x F D
位移定理
ex
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法
微分算子法，也称为Heaviside除法，是一种用微分算子来实
现多项式除法的方法。
它基于这样的观察：两个多项式相除的结果可以表示为一个常数乘以指数函数的线性组合。
具体步骤如下：
1. 将被除式和除式表示为微分算子的形式。
例如，对于被除式p(x)和除式q(x)，将它们表示为P(D)和Q(D)，其中D是微分
算子。
2. 将除式Q(D)的次数提取出来。
将Q(D)表示为Q(D) = D^m + a_(m-1)D^(m-1) + ... + a_1D + a_0，并求出m的值。
3. 计算常数乘以指数函数的线性组合。
根据多项式除法的原理，p(x)/q(x)可以表示为：
p(x)/q(x) = C_0 + C_1e^x + C_2e^(2x) + ... + C_me^(mx)
其中，C_0, C_1, ..., C_m是待求的常数。
4. 求解线性组合中的常数。
将p(x)/q(x)代入原方程，并依次对
x求导m次，得到一系列的待定方程。
利用这些方程，可以求解出C_0, C_1, ..., C_m的值。
5. 得到多项式除法的结果。
将求解出的C_0, C_1, ..., C_m带入线性组合中，即可得到p(x)/q(x)的表达式。
需要注意的是，微分算子法多项式除法适用于特定情况，即解决形如常系数线性常微分方程的问题。
在应用这种方法时，要保证被除式和除式都具有相同的形式，即都可以表示为微分算子的形式。
张宇讲的微分算子法
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+， 则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
微分方程的算子算法
微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。
下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。
1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。
通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。
2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。
主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。
有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。
3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。
通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。
4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。
通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。
求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。
算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。
但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。
总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。
通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。
算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。
五阶线性微分方程的算子解法
ｒ ｄ ｃ ｅ ｒ ｅ ｉ ｏ ｔｉ ｅ ｙｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｔ ａ ｅ ｄ ｆ ｒｎ ｉｌｅ ｕ ｔ ｎ ｓ ｒ ｎ ｌｔ ｄ ｉｔ ｌ ｅ ｅ ｕ ｅ ｄ ｇ ｅ ｓ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｔ ｏ ｈ ｔ ｈ ｉ ｅ ｅ ｔ ｑ ａｉ ｓｉ ｔａ ｓａｅ ｎ ｏａｇ — ｈ ｔ ａ ｏ
可 降 阶 的 充要 条 件 ， 给 出 了求 解对 应 方 程 通 解 的 方法 ． 并 关键 词 ： 系数 ； 变 线性 微 分 方 程 ； 子 解 法 ； 征 方 程 算 特
中 图分 类 号 ： １５ １ ０ ７ ． 文献标识码： Ａ 文 章编 号 ：６２— ９６ ２ １ ）６— ７０— ３ １７ ０ ４ （００ ０ ０ １ ０
Ｙ＝ （ ） ） ， ） （ ，（ ≠０
则
， ＝。 ＋ Ｚ ， Ｙ
法 的研究还 没有结果 ． 本文研 究了五阶 变 系数 线性 微 分方 程 的算子解法 及其在方 程求解 中 的应 用 ， 得 到 了五阶线 性微分方 程可降 阶 的充要 条件 ， 到 了 得
它在 不 同条 件下 的降 阶方程 ， 并给 出了求解对 应方
Ｖ１６ 。 ｏ２ ． ． Ｎ６
Ｄ ｃ２ １ ｅ．０ ０
五 阶线性 微分 方程 的算 子解 法
孙 法 国 ， 丽 娜 任
（ 安 工程大 学 理 学 院 ， 安 ７ ０４ ） 西 西 １０ ８
摘
要 ： 过 算 子 代 换 引入 了特 征 方 程 的概 念 ， 微 分 方 程 化 为代 数 方 程 ， 到 了五 阶 线 性 微 分 方 程 通 将 得
第２卷 第６ ６ 期
２１ ０ ０年 １ ２月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨａ ｂｎ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｆＣｏ ｏ ｒ ａ ｒ ｉ ｉｅ ｓ ｙｏ ｍｍ ｅ ｃ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓＥｄｔ ｎ） ｏ ｔ ｒ ｅ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ ｉ ｏ Ｓ ｉ
微分方程算子法
微分方程算子法微分方程算子法是微分方程求解的一种重要方法。
它通过引入算子的概念，将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。
微分方程是描述自然界中各种变化规律的重要数学工具。
它包含了未知函数及其导数之间的关系，一般形式为：F(x, y, y', y'', ...) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y'、y''等表示y的一阶、二阶导数等。
求解微分方程的目标就是找到满足这个方程的未知函数y。
常见的微分方程求解方法有分离变量法、变量替换法、常系数线性微分方程求解法等。
而微分方程算子法是其中的一种，它主要用于求解线性微分方程。
所谓线性微分方程，是指未知函数及其导数之间的关系式为线性关系。
对于形如：L(y) = f(x)的线性微分方程，其中L是一个微分方程算子，f(x)是已知函数。
我们的目标是求解出未知函数y。
微分方程算子法的基本思想是引入一个算子D，使得D(y) = y'。
这样，原微分方程L(y) = f(x)就可以转化为：L(D)(y) = f(x)其中L(D)是一个算子，它作用在y上得到一个新的函数。
通过将微分方程转化为代数方程，我们就可以利用代数方法求解。
具体来说，我们可以将微分方程L(D)(y) = f(x)展开为：a0*y + a1*D(y) + a2*D^2(y) + ... + an*D^n(y) = f(x)其中a0、a1、...、an是常数，D^k表示算子D作用k次。
然后，我们可以将未知函数y表示为算子D的多项式形式：y = c0 + c1*D(y) + c2*D^2(y) + ... + cn*D^n(y)将这个表达式代入原微分方程，我们可以得到关于c0、c1、...、cn的代数方程组。
通过求解这个方程组，我们就可以得到未知函数y的表达式。
微分方程算子法的优势在于，它将微分方程转化为代数方程，避免了直接求解导数的麻烦。
此外，它还可以简化一些复杂的非线性微分方程的求解过程。
robert算子原理
robert算子原理
Robert算子原理是现代数学中的一种重要定理，它是通过对微分方程的求解过程进行分析，得到的一种有力工具。
它的基本思想是将微分方程中的算子分解为两个可交换的算子，从而简化方程的求解过程。
具体来说，Robert算子原理的基本形式为：对于一个微分方程L(u)=f，其中L是一个线性算子，我们可以将它写成L=D1D2-D3D4的形式，其中D1、D2、D3、D4都是线性算子。
然后，我们可以通过对该方程进行逆算子变换，得到一个新的方程L'=D2D1-D4D3，它与原方程是等价的。
而且，L'的求解比L更加方便，因为它只需要对D2D1和D4D3进行分别求解，然后再通过简单的代数运算即可得到原方程的解。
Robert算子原理的应用非常广泛，尤其是在量子力学和统计物理等领域中。
它的主要优点是可以将微分方程的求解转化为代数运算，因此可以大大简化计算过程，提高求解的效率。
同时，它也为人们研究微分方程的特殊性质提供了一个有力的工具。
- 1 -。
谈谈微分算子
谈谈算子SCIbird适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：()(1)()f x f x f x Δ=+−，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=−，即E I Δ=−容易发现()()mE f x f x m =+，所以00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k −−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎜⎟⎝⎠∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==−Δ，()n n I I E ==−Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x −Δ=以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+−=然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。
以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。
实际上还可以进一步挖掘联系。
算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。
深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。
这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。
考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子d D dx =， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D= 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。
微分方程算子法总结
1 1 1 f ( x) = f ( x) f ( x) = F(D) F2 (D) • F1 ( D) F1 (D) • F2 ( D)
(6)性质六:
1 1 1 f1 ( x) + f 2 ( x) ( f1 ( x) + f 2 ( x)) = F(D) F(D) F(D)
三、例题练习 例 1.
n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3
记 F(D)=D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an 规定特解：y 3、
*
= F(D)
1
f ( x)
1 的性质 F(D)
(1)性质一：
kx 1 F(D)
e = F(k) ekx
1
1
(F(k) 不等于 0）
取实部为特解 四）
1
1
y*= 4 (xcosx+x2sinx)
1
(性质二、三、
6
2
x d2y +4y = dx 2
e
则(D +4)y=e
(4)
x
,特解 y*=
1 D2
x x x 1 e = e = e (性质一) 5 1 +4 +4
2
4
1
例 2、 y +y=2cos(3x） ，则(D +1)y= 2cos(3x） 特解 y
*
=
1 D 4 +1
2cos(3x）= 2 cos(3x）=
e
-y=sinx
ix 1 3 D -1
,则(D -1)y=sinx ,特解 y*=
微分方程算子法总结
求导 n 次；
1 2 1 1 1 表示积分，如 x= x , x 表示 2 Dn D D
对 x 积分 n 次，不要常数。 2、计算 将 n 阶微分方程改写成下式： D y+a1D y+a2D y+a3D y+ ... +an-1Dy+any=f(x) 即 （D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an）y=f(x)
2 2
e2x D1
2
x
2
=
1 4 2x x 12
e
（性质二）
x
-3 ddxy +3 dy dx
*
y=e ,则(D3-3D2+3D-1)y=e
x x
xHale Waihona Puke 特解 y= 3 3 e =e （D -1 ） （D +1-1 ）
x
1
1
•
1
=e D 3
d3y 例 5、 3 dx
1 •
1=
3
1 3 x x (性质二） 6
（性质二、四）
1
-x
2
=e
-x
(x
-2)
d2y 2 例 10、 2 +y=xcosx ，则(D +1)y=xcosx ， dx
特解 y
1 D 2 +1
*
=
1 D 2 +1
ix
xcosx ，考察
1
1 D 2 +1
xe
ix
xe
= (D - i)(D+ i) xeix=eix (D+ i - i)(D+ i + i) x
微分方程算子法总结
微分方程算子法总结微分方程算子法是微分方程的一种解法方法，通过将微分方程中的微分算子用代数符号表示，转化为代数方程的形式来求解微分方程。
这种方法在微分方程的解法中起到了重要的作用。
下面是对微分方程算子法的总结，包括定义、基本原理、解题步骤和应用等方面的内容。
一、定义二、基本原理三、解题步骤1.将微分方程中的微分算子用代数符号表示，一般用p(D)来表示D^k 的形式，其中D表示微分算子，k为一个正整数。
2.对代数符号p(D)进行运算，根据微分算子的运算性质进行替换、展开、相乘等运算。
3.将运算后得到的代数方程转化为普通的代数方程，消去代数符号后求解。
4.最后，根据求得的代数方程解，通过对代数解进行逆运算，将代数解转化为函数解，即为微分方程的解。
四、应用1.线性常微分方程的解法，如齐次线性常微分方程、非齐次线性常微分方程等。
2.偏微分方程的解法，如一维波动方程、一维热传导方程等。
通过微分方程算子法，可以将偏微分方程转化为常微分方程的形式进行求解。
3.变系数微分方程的解法，如变系数线性常微分方程等。
通过微分方程算子法，可以将变系数微分方程转化为常系数微分方程的形式进行求解。
4.高阶微分方程的解法，如二阶、三阶及更高阶微分方程等。
通过微分方程算子法，可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式进行求解。
五、优缺点1.能够将微分方程转化为代数方程进行求解，简化了计算过程。
2.适用范围广泛，能够解决多种类型的微分方程问题。
3.理论基础扎实，运算性质清晰，易于理解和应用。
1.对于非线性微分方程或特殊形式的微分方程，微分方程算子法可能不太适用。
2.运算过程中需要进行大量的代数计算，可能存在繁琐的计算步骤。
3.求解过程中可能会出现复杂的代数式，需要一定的代数知识和计算技巧。
六、总结微分方程算子法是一种重要的微分方程解法方法，通过将微分方程转化为代数方程，简化了微分方程的求解过程。
它在数学和工程领域具有广泛的应用和重要的意义。
常系数非齐次线性微分方程的算子解法
常系数非齐次线性微分方程的算子解法摘要：本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法，结果说明当非齐次项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时，用这种方法可以直接求出一个特解，运算简单。
关键词：线性微分方程；算子方法；特解1.引言微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用,例如单摆运动、传染病的预防等方面都要用到常微分方程.教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次线性微分方程,然而用上述的两种方法需经大量的运算,甚至涉及到求解线性方程组.基于上述的情况,本文讨论求解线性微分方程的算子解法2.基本概念对于常系数非齐次线性微分方程)(111t f x a a n dt x d dt x d n n nn =+++-- (1)其中i a ),,3,2,1(n i =均为常数. 令dtd D =表示对x 求微商的运算,称它为微分算子;kk dt d k D =表示对x 求k 次微商的运算.于是方程(1)化为()()t f x a D a D a D a D n n n n n =++++---12211(2)记()()n n n n n a D a D a D a D D P +++++=---12211 ,称为算子多项式.所以(2)的一个解可简单的表示为()()t f D P x 1=,称()D P 1为逆算子. 特别地()()dt t f t f D ⎰=1,()()()kkk dt t f t f D⎰⎰=1.3. 算子多项式 3.1性质设()D P 是上述定义的算子多项式,()()t f t f 21,都是可导函数,则有如下的结论:1)()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t f D P D P t f D P D P t f D P D P 12212111111 2)()()()[]()()()()t f D P t f D P t f t f D P 2121111+=+ 以上两式的证明均可以由简单的积分来完成,从略. 3.2 运算公式设()D P 是上述定义的算子多项式,()t v 是可导函数,λ,a 都是常数,则有如下的结论:1)()()t t e P e D P λλλ=2)()()22cos cos a atP at D P -= 3)()()22sin sin a atP at D P -=4)()()()()t v e D P t v e D P t t λλλ+= 证明1)()()()()t t n n n t n n t e P e a a e a D a e D P λλλλλλλ=++=+++=-- 1111n D 2) 因为at i at e iat sin cos +=,at i at e iat sin cos -=-，所以()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-2cos 22iat iat e e D P at D P ()()iat iat e D P e D P -+=222121 ()()()()iat iat e ia P e ia P --+=222121()()221a P e e iat iat -+=-()2cos a atP -= 3) 由2)式证明可类似推之.4) 根据莱布尼茨公式,有()()t v D e D C t v e D k m t k mk km tm -=⋅=∑λλ0()t v D C e m k k m k k m t⎪⎭⎫⎝⎛=∑=-0λλ()()t v D e mt λλ+=3.3 逆算子运算公式设()D P 是上述定义的算子多项式,()t v 是可导函数,λ,a 都是常数,则有如下的结论: 1)()()tt e P e D P λλλ11=()()0≠λP(3) 2)()()at a P at D P cos 1cos 122-= ()()02≠-a P (4) 3)()()at aP at D P sin 1sin 122-= ()()02≠-a P (5) 4)()()()()t v D P e t v e D P t t λλλ+=11 (6)5)设()()00,10≠=+++=n k k k a P t b t b b t f ,则()()()()t f D Q t f D P k k k =1(7) 其中()kk k D c D c D c c D Q ++++= 2210是将()D P 按D 的升幂排列后去除1在第1+k 步得到的结果.ⅰ)当()0P =λ时,()()λλλ1111P D e e D P s t t =（s 为重数） (8) ⅱ)当()02=-a P 时,不妨设()()()2222D Q a D D P s+=,而()02≠-a Q .则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=!2Re 1cos 122s ia t e a Q at D P s s iat (9)()=at DP sin 12()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-!2Im 12s ia t e a Q s s iat (10)ⅲ)当()00P =时,()k k k t b t b b t f +++= 10,此时()()s D D Q D P =而()00≠Q 则()()()()t f D Q D t f D P k s k 111= (11) 证明 以上1)、2)、3)式的推导可参见文献[1].4)()()()()()()t v D P D P e t v D P e D P t t λλλλλ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+11=()t v e t λ5)用1除以()D P 得到的商是k 次多项式()D Q k 时,余式中的各项最起码是1+k 次的,即1=()()()D R D Q D P k +其中()n k n k k k D c D c D R ++++++= 11,上式两边同时作用()t f k 得 ()()()()()()t f D R D Q D P t f k k k += ()()()()()D f D R t f D Q D P k k k += ()()()t f D Q D P k k = 由于上式中的()D R 至少是1+k 次的,故()()0=t f D R k . ⅰ)不妨设()()()D P D D P s1⋅-=λ,而()01≠λP.由(6)可得 ()()111⋅+=λλλD P e e D P t t ()1111⋅+⋅=λλD P D e s t()λλ111P D e st⋅= ⅱ)由于()()()2222D Q a D D P s+=,所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=at D Q a D at D P scos 11cos 12222 ()()at a D a Q scos 11222+-=而()()()1112222⋅++=+siatiat saia D e e aD=()ss iatai D e 211 =()!21s t ai e ssiat故有()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=!2Re 1cos 122s ia t e a Q at D P s s iat 同理有()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=!2Im 1sin 122s ia t e a Q at D P s s iat ⅲ)显然成立.5. 小结由以上的题例可以明显的看出,若()t f 是指数、三角、幂函数及其混合函数时,不管采用常数变易法还是待定系数法,都需先求出方程的特征根.若用常数变易法还会涉及到求解方程组;若用待定系数法,当阶数比较高时计算比较复杂,而用算子解法却比较方便快捷.参考文献[1]周义仓.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2010:188-203[2]王怀柔,伍卓群.常微分方程讲义[M].北京:人民教育出版社,1979:122-133[3]李绍刚,徐安庆.二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法[J].桂林电子科技大学学报,2008,(4)330-332[4]王高雄,周之铭等.常微分方程[M].北京:人民教育出版社,2006:120-155[5]杨盛祥,李梅.常系数线性微分方程的算子解法[J].成都电子机械高等专科学校学报,2009,(4)33-36。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法原 迦摘 要 微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法, 基于算子多项式的理论, 针对二阶常系数线性微分方程, 论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式, 实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。
关键词 线性微分方程 常系数 微分算子 特解常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+，则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
三阶变系数线性微分方程的算子解法
第２ ６卷
一
（ ＝ ： （） 一 一 ，（） （ ＋ ， ｃ一 一 ， ） ｃ一 ｒ ． ） ａ ｄ ） ） （ 五 ： 一 ， －
ｃ 一 戈 ＝ｃ一 ｃ ２ ） ． 一 一ｃ一 一 ＋ ｔ （） ： （） （）一 （ 一 （） ． ３ ） Ｉ ） ａ ３ ｃ４ （ （ 卜
是 可积 的 ，则 ｎ阶变 系数 线性 微分算 子
Ｄ ＋ 一（ Ｄ 一＋ 一（ Ｄ 一 ＋ ＋ｒ（ Ｄ＋ａ（ Ｉ ） “。 ２ ） “ … 上 ） ｌ （ ） ） （） ２
可 分解 出一 阶微 分算 子 的因式 Ｄ—ｆ（ ，这 时微分 算 子 （） Ｊ ） ２ 可表 示 为 ：
（（ ＝ （ （ ＋ｄ（ （ ＋ （ ＋／ Ｉ． （ ） （ ｌ Ｌ ） ）ｚ ０ ） ｌ ） ） ） Ｊ ） （ （ ｄ ） ＋ ）
再把 式 （４ 代 人 式 （ １可 得 到 以下 的微 分算 子分解 式 ： １） １）
Ｄ ＋ｎ （ Ｄ ＋ｎ（ ） ’ ２ ） ２ Ｉ ｏ＋ｒ（ ） Ｄ＋ｂ ｌ ｘ ｚ ：『 ｌ 】 （ ） Ｄ＋ｄ（ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ ） Ｄ＋ｄ（ Ｉ ２ ） （６ １）
数 线性 方程 的一 种 简便 实用 的方 法． 由于在 理论 研究 和 实 际应 用 中 出现有 大量 的 三阶 以
上 的高 阶变 系数 线性 微 分方 程 ，因此 ，近 年来人 们注 重 对高 阶 变 系数 线性 方程 求解 方法 的研究 ，并 已取 得 了一 些成 果 “ ． 本 文 应用 文 献 ［ — ］ ３ ４ 的有 关 结果 研 究 了三 阶变 系数 线 性微 分方 程 的算 子解 法 ，得 到了这 类方 程 的求 解方 法 和可 积类 型．
定 理 ｌ 如果 函数 ａ（） 。 ， （） 足下 列的条 件 ： ２ ， （ 满 ）
微分算子法的条件
微分算子法的条件
微分算子法是一种常用的微分方程求解方法，其适用于具有形式一阶线性常系数微分方程，即具有以下形式的微分方程：
$y'(x) + p(x)y(x) = q(x)$
微分算子法的条件如下：
1. 方程是一阶线性常系数微分方程；
2. 系数函数$p(x)$和$q(x)$在给定的区间上是连续的。
此外，对于初值问题，还需要给定初始条件$y(x_0) = y_0$。
这个初始条件是求解微分方程的一部分，因此也需要满足微分方程的条件。
对于微分算子法，进一步的条件如下：
3. 系数函数$p(x)$和$q(x)$在给定的区间上是有界的。
这是为
了保证微分方程的解在该区间上存在。
4. 初始条件$(x_0, y_0)$是给定区间的内部点。
这是为了确保
微分方程的解在初始条件给定的点附近是唯一的。
需要注意的是，这些条件是基于微分算子法的基本理论，适用于一阶线性常系数微分方程的求解。
对于其他类型的微分方程，可能需要使用不同的方法或条件。
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
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10．算子
(4) 1 P (D ) [e
x
P (D )
的运算公式
x
v ( x )] e
1 P ( D )
k
v(x)
(5)
设 f k ( x ) b 0 b1 x L b k x , P ( 0 ) p n 0 , 则 1 P (D ) f k ( x ) Q k ( D ) f k ( x ), 其 中 Q k ( D )是 P ( D )
常系数线性微分方程的算子解法
5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式
(1) D [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) ] D
n n
f1 ( x ) D
n
f2( x)
(2)
D
n
f (x) D
nk
[D
k
f ( x )]
n
(3)
D [ u ( x )v ( x )]
(2)
P ( D ) P1 ( D ) P 2 ( D ), 则 1 P (D ) f (x) 1 [ 1 f ( x )] 1 [ 1 f ( x )]
P1 ( D ) P 2 ( D )
P 2 ( D ) P1 ( D )
11
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子
(1) 1 P (D ) e
x 16 s in 2 x )
18
2
e [(
x
x 8
2
s in 2 x
x
cos 2 x ) i(
cos 2 x
x 16
s in 2 x ) ]
y1 * e (
x 8
2
cos 2 x
例1 求 (D D ) y x 1的 特 解 。 1 1 1 2 2 y* （ x 1） = [ ( x 1) ] 2 D D 1 D D
2 2
解
1 D 1 D 1 3
[ (1 D D ) ( x
2 2
2
1) ]
(x
3
2 x 3)
2
x
x
y
dx
dx
2
n 1
(2)
n 1
D
,D
,L , D
n 1
n
DD
d
n n
dx
n
dx
L p n 1 D p n
P (D ) D
p1 D
方程的算子表示
P (D) y f (x) P (D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法 2．解的结构 线性算子
P ( D ) ( y 1 y 2 ) P ( D ) y 1 P ( D ) y 2
*
4
常系数线性微分方程的算子解法 3．类比对象的确定 特殊情况
y f ( x ), 其 通 解 y
f ( x )dx C , y* Nhomakorabea1 P (D )
f ( x )d x
类似于原函数的概念，定义算子：
1 P (D ) 若 函 数 F ( x ) 使 得 P ( D ) F ( x ) f ( x )， 则
n
n x
e
x
(2) (3 )
(4)
D s in x s in ( x D
n
n 2 n
), ),
D
2m
s in x ( 1)
m
s in x
m
cos x cos( x
D
2m
c o s x ( 1)
cos x
D x
n
2 n ( 1) L ( n 1) x
f ( x ) 表 示 这 样 函 数 ： 用 P ( D ) 作 用 它 的 结 果 是 f ( x )， 即 1 P (D )
n
f (x) F (x)
1 D
f (x)
f ( x )d x ,
1 D
f (x)
L
1
f ( x )( d x )
f ( x )类 比
n
将 D 与 P ( D )类 比 ， 将
2 2
P ( D )[ e
x
v ( x )] e
x
P ( D )v ( x )
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D ) 的基本性质及运算法则
(1) 1 P (D) ( f 1 ( x ) f 2 ( x )) 1 P (D ) f1 ( x ) 1 P (D ) f2( x)
x
P (D )
的运算公式
e
x
P ( )
( P ( ) 0 )
(2)
1 P (D )
2
s in x
s in x P ( )
2
( P ( ) 0)
2
(3 )
1 P (D )
2
cos x
cos x P ( )
2
( P ( ) 0)
2
12
常系数线性微分方程的算子解法
3x
15
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题 类型2 解法
f (x) e
x
fk ( x)
y*
2
1 P (D )
[e
x
f k ( x )] e
x
x
1 P ( D )
fk ( x)
例 2 求 (D
2 D 1) y x e 的 特 解 。
解
y* (D
1
类比法 常系数线性微分方程的算子解法
常系数线性微分方程的算子解法
1．n阶常系数线性微分方程
非齐次方程
d
n n
y
n
dx
p1 p1 d dx
d
n 1
y
dx d
n 1
L pn y f ( x ) L pn y 0 d
2 2
(1)
齐次方程
微分算子
d
y
n
n 1
(b )
当 P ( 0 ) 0时 , y* 1 P (D )
设 P ( D ) D P ( D ), 其 中 P ( 0 ) 0 , 则 1 D
r
fk ( x)
[
1 P (D)
f k ( x )]
1 D
r
[ Q k ( D ) f k ( x )]
14
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题
y 定理1 方程（1）的通解为：
y(x) y * (x)
，其中y ( x )
是（2）的通解，y * ( x )是（1）的特解。 定理2
设 y j ( x ) 是 P ( D ) y f j ( x )的 特 解 , j 1, 2 , L , m , 则
*
m m
y *(x)
j
y j * ( x )是 P ( D ) y
k
k 0
p n k [ C k ( D u ( x ))( D
m m m 0
k m
v ( x ))]
P ( D x ) f ( a x b ) [ P ( a D u ) f ( u )]u ax b
8
常系数线性微分方程的算子解法
7．n阶导数的求导公式
(1) D e
f ( x )d x与
P (D )
5
常系数线性微分方程的算子解法 4．思维方法 导数 的性 质及 求导 法则
P (D)
求 导 公 式 运 算 公 式
原函 数的 性质 及积 分法
1 P (D )
积 分 公 式 运 算 公 式
计 算 原 函 数
计 算 特 解
6
的性 质及 运算 法则
的性 质及 运算 法则
j
f j ( x )的 特 解 。
定理3
y 1 ( x ) iy 2 ( x ) 是 P ( D ) y f 1 ( x ) if 2 ( x )的 特 解 的 充 分 必 要
* *
条 件 是 ： y j ( x ) 是 P ( D ) y f j ( x )的 特 解 , j 1, 2 .
y* (D
1
2
2 D 5)
e
(1 2 i ) x
x
17
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题
e
(1 2 i ) x 2
1 (D 1 2i) 2( D 1 2i) 5
x
e
(1 2 i ) x
(
x 8
2
i
x 16 x 16
) x 8
n
m 0
Cn [D
n
m
m
u ( x )][ D
nm
v ( x )]
u ax b
(4)
D x f (ax b )
n
a [ D u f ( u )] u a x b
7
n
常系数线性微分方程的算子解法
6．算子 P ( D ) 的基本性质及运算法则
(1) (2) P ( D ) ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ) P ( D ) f 1 ( x ) P ( D ) f 2 ( x ) [ P1 ( D ) p 2 ( D )] f ( x ) P1 ( D ) f ( x ) p 2 ( D ) f ( x )