微分方程的算子算法

j
f j ( x )的 特 解 。
定理3
y 1 ( x ) iy 2 ( x ) 是 P ( D ) y f 1 ( x ) if 2 ( x )的 特 解 的 充 分 必 要
* *
条 件 是 ： y j ( x ) 是 P ( D ) y f j ( x )的 特 解 , j 1, 2 .
例1 求 (D D ) y x 1的 特 解 。 1 1 1 2 2 y* （ x 1） = [ ( x 1) ] 2 D D 1 D D
2 2
解

1 D 1 D 1 3
[ (1 D D ) ( x
2 2
2
1) ]
(x
3
2 x 3)
2
x
x
n
n x
e
x
(2) (3 )
(4)
D s in x s in ( x D
n
n 2 n
), ),
D
2m
s in x ( 1)
m
s in x
m
cos x cos( x

D
2m
c o s x ( 1)
cos x
D x
n
2 n ( 1) L ( n 1) x
y 定理1 方程（1）的通解为：
y(x) y * (x)
，其中y ( x )
是（2）的通解，y * ( x )是（1）的特解。 定理2
设 y j ( x ) 是 P ( D ) y f j ( x )的 特 解 , j 1, 2 , L , m , 则
*
m m
y *(x)

j
y j * ( x )是 P ( D ) y
(3 )
P ( D ) P1 ( D ) P 2 ( D ), 则 P ( D ) f ( x ) P1 ( D )[ P 2 ( D ) f ( x )] P 2 ( D )[ P1 ( D ) f ( x )]
n n k
(4)
(5 )
(
k 0
p n k D )[ u ( x ) v ( x )]
*
4
常系数线性微分方程的算子解法 3．类比对象的确定 特殊情况
y f ( x ), 其 通 解 y

f ( x )dx C , y*
1 P (D )

f ( x )d x
类似于原函数的概念，定义算子：
1 P (D ) 若 函 数 F ( x ) 使 得 P ( D ) F ( x ) f ( x )， 则
y* (D
1
2
2 D 5)
e
(1 2 i ) x
x
17
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题
e
(1 2 i ) x 2
1 (D 1 2i) 2( D 1 2i) 5
x
e
(1 2 i ) x
(
x 8
2
i
x 16 x 16
) x 8
f ( x ) 表 示 这 样 函 数 ： 用 P ( D ) 作 用 它 的 结 果 是 f ( x )， 即 1 P (D )
n
f (x) F (x)
1 D
f (x)

f ( x )d x ,
1 D
f (x)
L
1

f ( x )( d x )
f ( x )类 比
n
将 D 与 P ( D )类 比 ， 将
按 D 升 幂 排 列 后 去 除 1 在 第 k 1步 所 得 的 商 。
13
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题 类型1 解法
(a ) 当 P ( 0 ) 0时 , y * 1 P (D ) f k ( x ) Q k ( D ) f k ( x ),
r
f ( x) fk ( x)
( i ) x
x
s in x
考 虑 方 程 P (D ) y e
2
f k ( x )特 解 的 实 、 虚 部
例 3 求 (D 解
2 D 5 ) y x e s in 2 x 的 特 解 。
x 2
考 虑 (D
2 D 5) y e
(1 2 i ) x
x的 特 解
k

k 0
p n k [ C k ( D u ( x ))( D
m m m 0
k m
v ( x ))]
P ( D x ) f ( a x b ) [ P ( a D u ) f ( u )]u ax b
8
常系数线性微分方程的算子解法
7．n阶导数的求导公式
(1) D e
1
类比法 常系数线性微分方程的算子解法
常系数线性微分方程的算子解法
1．n阶常系数线性微分方程
非齐次方程
d
n n
y
n
dx
p1 p1 d dx
d
n 1
y
dx d
n 1
L pn y f ( x ) L pn y 0 d
2 2
(1)
齐次方程
微分算子
d
y
n
n 1
3x
15
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题 类型2 解法
f (x) e
x
fk ( x)
y*
2
1 P (D )
[e
x
f k ( x )] e
x
x
1 P ( D )
fk ( x)
例 2 求 (D
2 D 1) y x e 的 特 解 。
解
y* (D
2 2
P ( D )[ e
x
v ( x )] e
x
P ( D )v ( x )
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D ) 的基本性质及运算法则
(1) 1 P (D) ( f 1 ( x ) f 2 ( x )) 1 P (D ) f1 ( x ) 1 P (D ) f2( x)

f ( x )d x与
P (D )
5
常系数线性微分方程的算子解法 4．思维方法 导数 的性 质及 求导 法则
P (D)
求 导 公 式 运 算 公 式
原函 数的 性质 及积 分法
1 P (D )
积 分 公 式 运 算 公 式
计 算 原 函 数
计 算 特 解
6
的性 质及 运算 法则
的性 质及 运算 法则
(b )
当 P ( 0 ) 0时 , y* 1 P (D )
设 P ( D ) D P ( D ), 其 中 P ( 0 ) 0 , 则 1 D
r
fk ( x)
[
1 P (D)
f k ( x )]
1 D
r
[ Q k ( D ) f k ( x )]
14
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题
x
P (D )
的运算公式

e
x
P ( )
( P ( ) 0 )
(2)
1 P (D )
2
s in x
s in x P ( )
2
( P ( ) 0)
2
(3 )
1 P (D )
2
cos x
cos x P ( )
2
( P ( ) 0)
2
12
常系数线性微分方程的算子解法
常系数线性微分方程的算子解法
5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式
(1) D [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) ] D
n n
f1 ( x ) D
n
f2( x)
(2)
D
n
f (x) D
nk
[D
k
f ( x )]
n
(3)
D [ u ( x )v ( x )]
(2)
P ( D ) P1 ( D ) P 2 ( D ), 则 1 P (D ) f (x) 1 [ 1 f ( x )] 1 [ 1 f ( x )]
P1 ( D ) P 2 ( D )
P 2 ( D ) P1 ( D )
11
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子
(1) 1 P (D ) e
y
dx
dx
2
n 1
(2)
n 1
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,D

,L , D
n 1
n
DD

d
n n
dx
n
dx
L p n 1 D p n
P (D ) D
p1 D
方程的算子表示
P (D) y f (x) P (D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法 2．解的结构 线性算子
P ( D ) ( y 1 y 2 ) P ( D ) y 1 P ( D ) y 2
( 1)
n 1
(5 )
D
n
ln (1 x )
( n 1) !
n
(1 x )
9
常系数线性微分方程的算子解法
8．算子 P ( D ) 的运算公式
(1) (2) (3 ) (4) P ( D )e
2
x
e
x
P ( )
2
P ( D ) s in x s in x P ( ) P ( D ) cos x cos xP ( )
1
10．算子
(4) 1 P (D ) [e
x
P (D )
的运算公式
x
v ( x )] e
1 P ( D )
k
v(x)
(5)
设 f k ( x ) b 0 b1 x L b k x , P ( 0 ) p n 0 , 则 1 P (D ) f k ( x ) Q k ( D ) f k ( x ), 其 中 Q k ( D )是 P ( D )
x 16 s in 2 x )
18
2
e [(
x
x 8
2
s in 2 x
x
cos 2 x ) i(
cos 2 x
x 16
s in 2 x ) ]
y1 * e (
x 8
2
cos 2 x
2
（ xe ） 2 D 1) 1 x e
x
1
x
e
x 2
1 D
2
( D 1） （ D 1） 1 2
x e
x
x
3
3!
16
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题 类型3 解法
f ( x ) f k ( x )e
x
co s x或 f ( x ) f k ( x )e
n

m 0
Cn [D
n
m
m
u ( x )][ D
nm
v ( x )]
u ax b
(4)
D x f (ax b )
n

a [ D u f ( u )] u a x b
7
n
常系数线性微分方程的算子解法
6．算子 P ( D ) 的基本性质及运算法则
(1) (2) P ( D ) ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ) P ( D ) f 1 ( x ) P ( D ) f 2 ( x ) [ P1 ( D ) p 2 ( D )] f ( x ) P1 ( D ) f ( x ) p 2 ( D ) f ( x )