抛物线的概念与性质

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号

年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3

课 题

抛物线概念与性质

教学目标

1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程；

2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；应用抛物线定义解决一些与焦点 弦长有关的问题。

教学内容

一、知识梳理

1、抛物线的定义

定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （定点F 不在定直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 思考：如果定点F 在定直线l 上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线的标准方程和性质

标准方程

图形

顶点 对称轴

焦点 准线

px y 22=

(0,0)

x 轴

(

2

p

,0) 2

p x -

= px y 22-=

(0,0)

x 轴

(-

2

p

,0) 2

p x =

py x 22=

(0,0)

y 轴

(0,

2p

) 2

p y -= py x 22-=

(0,0)

y 轴

(0,-

2

p ) 2

p y =

我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。

3、直线与抛物线

它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。具体来说：

1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；

2、只有一个公共点，对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行；

3、有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。

常见的问题有：

（1）直线与圆锥曲线位置关系的研究。

包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。 （2）直线与圆锥曲线相交成弦的问题。

包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。 弦长的求法：由2(,)0

0(0)0

F x y ax bx c a Ax By C =⎧⇒++=≠⎨

++=⎩，

弦长2

2

12()(1)d x x k =-+21()||

k k l a ∆

=+⋅

为直线斜率. 注意：消去x 可得关于y 的二元方程有21222

11()(1)1||

d y y k k a ∆

=-+

=+⋅(k 为直线l 斜率). 求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实

根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。

4、抛物线的特殊性质

（1）过抛物线px y 22

=（0>p ）的焦点F 的直线l 交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，设m FA =，

n FB =，O 为原点，则有：

（1）4221p x x =；（2）2

21p y y -=；（3）4-=OB OA k k ；（4）p

n m 211=+。 （2）直线l 交抛物线px y 22

=（0>p ）于),(11y x A 、),(22y x B 两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线l 经过定点（2p ，0），2

214p y y -=，反之亦然（证明略）。

二、例题解析

1、抛物线2

2x y -=的准线为___81=

y ____ ,焦点坐标为______)8

1,0(- 2、已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p _______2

3、点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是 ___________x y 162

=

4、抛物线px y 22

=（0>p ）与椭圆192

2=+m

y x 有一个共同的焦点，则P 的取值范围是______)18,0( 5、抛物线x y 162

-=上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 到焦点的距离为__________13

6、一个正三角形的顶点都在抛物线2

4y x =上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ A ）

（A ）483 （B ）243

（C ）

163

9

（D ）463 7、若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2

=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA|+|MF|取最小值的M 的坐标为_____(2,2)_

8、若抛物线x k y )1(2

-=与双曲线012

2

=+-y x 没有公共点，则实数k 的取值范围为______)3,1()1.1( - 9、求顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程。 解:直线L 与X 轴交点(4,0),与Y 轴交点(0,-3)所以抛物线方程为y x x y 12162

2

-==或

焦点弦有关的问题

1、已知),(00y x P 是抛物线px y 22

=上的点，F 是该抛物线的焦点，求证：2

||0p x PF +

=. [说明]利用抛物线的定义，将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，||PF 称为抛物线的焦半径. 证明：过点),(00y x P 作准线2:p x l -

=的垂线，垂足为Q ，则),2

(0y p

Q -.根据抛物线的定义，2

)2(||||00p

x p x PQ PF +=--==.

2、在抛物线y 2=8x 上一点到x 轴的距离为4，则该点到焦点F 的距离为 6

3、在抛物线y 2=8x 上与焦点F 的距离等于6的点的坐标为 . ()

24,4±

4、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ A ）