五升六第一讲--分数巧算

今天我们要学习的是分数巧算，那么在学习分数巧算之前呢，要先回顾一下整数巧算，看看谁能全都记得。首先来看一下这个例子，15+37+85+63。如果咱们想要巧算，应该怎么计算比较方便呢？诶我们发现把15和85凑在一起可以得到100,37和63凑在一起也可以得到100，再来计算100+100就方便很多了，那这里运用了什么样的巧算方法呢？没错，就是应用交换律和结合律把能简算的数结合起来先计算。

接下来我们再看另一个例子，548-259+59，咱们首先观察这个算式，诶后面有一个259+59，如果想要巧算，是不是最好能把后面的259+59变成259-59，并且让他先算呢？谁愿意告诉老师呢？添括号，这样就可以计算了吗？要变号，为什么要变号？也就是说括号外面是减法，括号里面是变号的，如果说括号外面是加法，括号里面是不变号的。总结成五个字就是-----减变加不变。那我们再来看看这个题目，259-59=200，548-200=348。

我们想一下之前学过的混合运算中想让后面的部分先算，应该怎么做呢？添括号对吧？添括号是不是有一个原则，叫减变加不变，也就是说括号外面是减法，括号里面是变号的，如果说括号外面是加法，括号里面是不变号的。这样我们在259+59的外面添一个括号，由于括号前面是-号，根据咱们说的减变加不变原则，那么咱们括号里的+就要变号，于是括号里就变成了259-59，计算就方便很多了。

在这一定要注意，在添括号和去括号的时候要遵循减变加不变的原则。

那我们已经回顾了之前整数巧算的方法，接下来我们开始说分数的事情，在分数中，我们知道什么样的分数比较好算啊，比如说1/7+2/7=3/7，分母不变，分子相加就可以了，所以是不是同分母分数比较好算。但是给你一个2/49+3/52可能就挂了，太难算了。所以在分数运算中同分母分数要优先计算。我们看这道题，1/3和2/3是同分母分数，那我们用交换律把2/3和2/5交换位置，可以先算1/3+2/3=1，接下来就好算了，1再加上2/5等于1又2/5,。看一下步骤，很简洁对吧，那我们总结一下这道题，利用交换律把分母相同的两个分数放在一起先凑整，再计算异分母分数。会好算很多。2/5+1/3+2/3这道题跟刚才不是一样吗？那确实差不多，只不过分母相

同的两个分数是挨着的，所以我们要先计算同分母分数就使用结合律添个括号就可以了，不用交换位置，那这样1/3+2/3=1，那这样的话答案还是一又五分之二。再来看一下具体的步骤，总结一下这道题，就是利用结合律把能够凑整的两个同分母分数优先计算，在进行异分母分数的计算。那我们来看本节课的第一个重点，不管是交换律还是结合律，都是为了凑整，也就是把同分母分数优先计算。大家记住了吗？那我们来做一下练习题看看。

34+113+32+11

8仔细观察一下这道题，应该怎么计算呢？也是先计算同分母分数再计算异分母分数，34+32=2。113+11

8=1.1+2=3，好，看一下答案，做的对不对呢？53+21+52+21，这道题也比较简单，找位同学分享一下他的解题思路。好，同学们对于利用分数的交换律和结合律进行巧算掌握的都很好，那接下来我们来看另一种巧算方法。

看下面这个题目，4/3-7/5+2/5。首先观察算式，7/5和2/5是同分母分数，可以优先计算，那我们想要先计算后面这部分应该怎么做？添括号，你来说，我来写。诶为什么要在这变号？因为这里有一个减号。括号前面是减号，括号里面要变号。我们刚才说的这个原则叫什么呀——减变加不变。总结一下这道题，就是利用添括号把分母相同的两个分数放在一起凑整，先计算同分母分数，在这一定注意是否要变号。

那这里去括号的话和前面添括号的法则差不太多。仔细观察一下这个算式，十二分之五和十二分之七他俩是同分母分数，但是他俩被拆散了，就像夫妻俩被强盗拆散了，括号就是这个强盗。那你怎么才能让夫妻俩同聚呢，是不是要把这个强盗打死，也就是把括号拆了就可以了。那我们怎么来拆呢，谁来告诉我？我们刚才反复强调的原则是——减变加不变，括号前面是加，去括号不变号；括号前面是减呢，去括号就要变号。那所以就是5/12+7/12-2/5=1-2/5=3/5。总结一下就是利用去括号把分母相同的两个分数放在一起凑整，注意是否要变号。那我们来看本节课

的第二个重点，利用添去括号进行同分母分数凑整时，括号前面是减，括号里面就要变号，记住减变加不变。

那我们来做做练习题练练手。。首先观察，有同分母分数要优先计算，但是这里有减号，那我们还能简单使用加法交换律和结合律吗？不能？那该怎么做呢？哦那我们发现，改变运算顺序的时候，是带着数字前面的符号一起移动，这个原则叫什么呢？带符号搬家，也就是在不含小括号的同级运算中，要改变运算顺序就要带着数字前面的符号一块搬家，这就像王义章和孔德娟，换了位置不可能就变成孔义章和王德娟了吧？那我们回到题目，5/3+1/3=2，后面的不动，然后我们又要先计算下一组同分母分数，怎么办？你来。好最后等于1，看下一个题目。

练习四，。同分母分数被拆散了，所以我们要打死这个强盗，去掉括号，变成43+41—152+1513=1—152+1513，这个时候加括号后变成了1—（152—15

13）不够减，肯定不对，我听到有的同学说从左往右一次计算，但是老师有强迫症，非要先算同分母分数，谁可以帮我？对，用带符号搬家，变成1+1513—152=1+（1513—152）=115

11。那下面我们来看例题。 那接下里我们做一做例题，第一题，有同分母分数，要优先计算，所以这道题应该怎么做呢？回答的时候我们按照“使用了什么方法，先计算什么等于多少，在计算什么等于多少的”这样的格式。第二题和第一题思路相同，这个要怎么做呢？第三题两个减号，要怎么做呢？好，我们看一下第四题，有加有减，所以要怎么做呢？例二，也是找人回答。

练习题一，给大家30秒时间思考一下。（他们思考，我们把题目抄到黑板上），认为这道题是正确的请举手，认为这道题是错误的请举手，那我们一起来计算一下，得到结果24

3，是对的

呀，为什么认为错了，请你（认为错误的孩子）回答一下，那我们就知道在分数计算中，最后的结果一定要化成最简分数。第二题，肯定错的吧，我们刚学的分数的交换律和结合律对不对。好第三题，也给大家30秒的时间思考一下，觉得正确的请举手，认为不正确的请举手，好，那请各派一个代表来做一下这道题，我们一起来计算一下，唉，最后发现我们的结果和这个结果不一样，所以是错误的，我们来看看这两位同学的解题步骤，我们发现，这位同学（添去括号忘记使用减变加不变的原则。一步就计算了，所以出错，或者是先去中括号再去小括号出错，强调一下，由内向外去括号，遵循减变加不变原则，分步计算，不要怕麻烦）

这道题给大家一分钟的时间计算，找两位同学来黑板做。

（做完之后）我们一起来看一下，我们发现有+2/3-2/3，他们抵消了，有+3/4-3/4，他们也抵消了+4/5-4/5也抵消了，各项都可以抵消，那这个+9/10可不可以抵消呢？我们观察一下前面的部份可以知道，+2/3-2/3，+3/4-3/4，+4/5-4/5，前面有加，后面有减才可以抵消，而+9/10后面没有—9/10，所以没有被抵消，所以就是1—1/2+9/10=14/10=7/5。现在我们把笔记本拿出来记一下笔记，利用结合律交换律凑整是为了计算同分母分数，利用添去括号凑整，也是为了先计算同分母分数。

然后我们进入下一个知识点，分组凑整。什么是分组凑整呢，就是分成一组一组地来计算，比如呢要数全班有多少人，把全班分成三组，看看每组多少人，然后加起来计算，或者男生分一组，女生分一组，再加起来计算。而我们分数的分组呢，有两种主要的方法，第一种呢我们刚才已经学过了，就是把同分母分数分成一组优先计算，那第二种则是把带分数中的整数和分数分别分组来进行计算，这就是咱们的分组凑整。好那接下来我们先看一个练习题尝试一下。843-561+712

1，那我们发现如果两两通分来算很麻烦，全部化成假分数来算也很难受，那我们就可以利用分组的方法，把整数分一组，分数分一组，首先呢把每个带分数化成整数+分数的形式，把整数放在一组，分数放在一组，那注意这里有一个小问题，因为是把每个带分数化成整数和

分数，再把整数和分数分别分组，那在这我们要注意整数部分符号和分数部分的符号要于原来

带分数的符号一致。这样呢整数的分组就是8-5+7，分数呢就是43-61+12

1，这两组之间我们用加号连接，你把男生和女生分组计算，最后要总人数也得加起来吧，那最后算出来等于103

2。总结一下就是，将带分数拆为整数和分数，整数一组，分数一组，分别计算。好来看本节课的第三个重点，就是把带分数化成整数部分加分数部分，然后整数部分的符号和分数部分的符号与原来带分数符号一致，整数部分和分数部分再相加。

接下来我们做一做练习题。第一题找一个同学起来回答一下。这个题三个数是减法连接，应该怎么做？那整数部分和分数部分用什么来连接呢？接下来我们做一做例三例四和例五例6，每道题分别找人回答。

好下面大家要开动脑筋了，看看这几个题目，把他们的结果计算出来，并且找一找其中的规律。谁愿意告诉我们你找到了什么规律呢？那我们是不是发现了分子是1，分母是两个相邻自然数，他们的差，分子还是1，分母则是这两个自然数的乘积。那我们接下来我们看着题目，就可以运用刚才裂项的方法和规律，首先

2

11?的分子是1，分母1和2是两个相邻的自然数，我们就可以把它写成两个分数的差11-21，同样3

21?的分子是1，分母也是两个相邻的自然数，那我们也可以写成两个分数的差21-31，第三个也是同理。那么最后就等于1-41=43。那我们其实可以看出来分数裂项最厉害的地方就在于他可以把中间的数全部消掉，只留下一头一尾，这样计算是不是很爽很方便啊。

现在我们再把笔记本拿出来记一下笔记。带分数的加减法运算中，证书和分数可以分开来计算。分数裂项我们是逆用分子是1，分母是两个相邻自然数，他们的差，分子还是1，分母则是这两个自然数的乘积这个规律计算的。

（21+31+41+……+101）+（32+42+……+102）+（43+……+103）+……+（98+108）+109