(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题

代数式的化简求值问题

初中数学中，全面实现了用字母代数。这实现了学生对数认识的又一次飞跃。这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 例题精讲

【试题来源】

【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，

求()[]

m m m m +---45222的值. 【答案】-4

【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零

因为()

()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4

将m=4代人，()[]

44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m 利用“整体思想”求代数式的值

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

【答案】-20

2008

200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 【解析】分析： 因为8635=-++cx bx ax

当x=-2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，

所以146822235-=--=++c b a

当x=2时，635-++cx bx ax =206)14(62223

5-=--=-++c b a

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.

【答案】4

【解析】分析：观察两个代数式的系数

由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x

整体代人，42932=-+x x

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.

【答案】2008

【解析】分析：解法一（整体代人）：由012=-+a a 得023=-+a a a

所以：

解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

由012=-+a a ，得a a -=12，所以：

3222222222007

22007

(1)22007

22007

2007

12007

2008a a a a a a a a a a a a a ++=++=-++=-++=++=+=

解法三（降次、消元）：12=+a a （消元、减项）

2008

2007

12007

2007

)(2007

2007

222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待

遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

【答案】B 公司，因为B 公司的年收入永远比A 公司多50元

【解析】分析：此题为代数式在实际问题中的应用。

分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元）

第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050

第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250

第n 年：A 公司 10000+200(n-1）；

B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]

=10050+200(n-1)

由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=， 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。

【答案】0

【解析】解：因为abc<0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数，或三个都是负数

又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。

不妨设a<0，b>0，c>0

则ab<0，ac<0，bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。

同理，当b<0，c<0时，x=0。 另：观察代数式bc

bc ac ac ab ab c c b b a a +++++，交换a 、b 、c 的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a 、b 、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，平面内有公共端点的六条

射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，

从射线OA 开始按逆时针方向依次在

射线上写出数字1，2，3，4，5，6，

7，…．

（1）“17”在射线 ____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n 为正整数，则射线OA 上数

字的排列规律可以用含n 的代数式表示

为__________________________．

【答案】（1）OE ；OD （2）6n-5

【解析】此题为规律探索问题。

分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，…

观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，

归纳得到，这列数可以表示为6n-5

因为17=3×6-1，所以17在射线OE 上。

因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD 上