数值计算第四章：积分的数值计算方法

经常遇到以下三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：

1
0
1 sin x x2 dx和 e dx 0 x
Newton-Leibnitz公式就无能为力了 (2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 并不复杂， f ( x) x 2 2 x 2 3 但积分后其表达式却很复杂, 积分后其原函数F(x)为： 但表达式太复杂，例如函数
1 2 3 9 2 2 F ( x) x 2 x 3 x 2 x 3 ln( 2 x x 2 2 x 2 3 ) 4 16 16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数
关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分 困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的 局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决
为 f(x) 在区间[a,b]上 f ( )
f 提供一种算法， ( )
的平均高度。那么只要对平均高度
相应地就获得一种数值求积方法
按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。 三个求积分公式 例如 f ( ) 分别取 f ( )
f( ab f (a) f (b) ) 和 f ( ) y 2 2

b
a
1 ab f ( x)dx (b a) f (a) 4 f ( ) f (b) 6 2
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
ab ) 2
的加权平均值
作为平均高度f()的近
似值而获得的一种数值积分方法。
（2）先用某个简单函数 ( x) 近似逼近f(x), 用 ( x)
代替原被积函数f(x)，即 a f ( x)dx a ( x)dx 以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 ( x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。 由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积 分,因此将 ( x) 选取为插值多项式, 这样f(x)的积分就 可以用其插值多项式的积分来近似代替
b
积分值 I f ( x)dx 在几何上可以解释为由 a x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯
形面积。如图4-1所示，而这个面积之所以难于计
算是因为它有一条曲边y=f(x)
y=f(x)
图4-1 数值积分的 几何意义
a
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
则分别得到中矩形公式和梯
形公式。 ① 梯形公式
y=f(x) y=f(x)

b
a
1 f ( x)dx (b a) f (a) f (b) 2
中矩形公式
a a
y y=f(x)
b bx
②

b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 2
a a
(a+b)/2
b x
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③ Simpson公式
k 0
n
(4.1)
其系数 Ak l k ( x)dx 时，则称求积公式为插值 a 求积公式。
设插值求积公式的余项为 R( f ) ,由插值余项定理得
Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,
这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函 数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想， 用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分
是本章讨论数值积分的主要内容。
4.1 4.1.1
数值积分概述 数值积分的基本思想
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取

b
a
f ( x)dx 的近似值，即

b
a
P( x)dx 作为

b
a
f ( x)dx
n

b
a
P( x)dx
b
f (x
b a k 0 n k 0
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得

b
a
f ( x)dx (b a) f ( )
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
f ( ) 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,
因而
的值也是未知的 ,称 f ( )
b b
4.1.2
插值求积公式
设已知f(x)在节点 xk (k 0,1,, n) 有函数值 f ( xk ) ,作n次拉格朗日插值多项式
P( x) f ( xk )l k ( x)
n k 0
式中
( x) l k ( x) ( x xk ) ( xk ) j 0 x k x j
n
k
)l k ( x)dx
k
f ( x k ) l k ( x)dx
k 0 a
f (x
)Ak
其中
Ak

b
a
l k ( x)dx
b
a
( x) dx ( x x k ) ( x k )
称为求积系数。给出如下定义。 定义4.1 求积公式

b
a
b
f ( x)dx Ak f ( xk )
第四章 数值积分
4.0 引言 我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原
函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上 求得定积分 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不 能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的 实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积 分方法。
Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函
数值f(a), f(b),
f(
1 ab ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2