这一章的内容是模型评价与选择断断续续看了两周时间

这一章的内容是模型评估与选择，断断续续看了两周时间，感觉比看模型还费劲。其实这一章的大部分内容我是熟悉的，包括各种模型选择的准则，交叉验证以及bootstrap，这些在实际建模的时候也经常用到，但是关于其原理确实不是很清晰。这一章给出了详尽，但是又不那么理论的阐述。经典确实是经典。闲话不多说了，开始读书笔记。对于同一个问题，比如分类问题或者预测问题，往往会有一系列的模型都可以做。那么这些模型表现的如何，如何从这些模型中选择一个合适的，最好的模型，就成为了一个问题。而这个问题在实际中是非常重要的。我们都知道，模型是建立在训练样本上的，而预测是需要在一个独立的新的样本上进行的。在训练样本上所建立的模型，其在一个新的独立的样本上的表现如何进行评估，是一个非常重要的问题。这一章首先介绍了偏差（bias），方差（variance）以及模型复杂度（model complexity）。我们有一个target variable Y，以及输入向量X，以及通过训练样本得到的对于响应的估计（也就是我们的

模型）fˆ(X)。此外，我们还应该有一个损失函数L(Y,fˆ(X))。损失函数可以有多种选择，比如平方损失，绝对值损失，这两个主要是针对定量的响应的，对于定性的响应，也有0-1损失，对数似然之类的。一般而言，损失函数中比较常用的就是这些。有了模型以及损失函数之后，首先定义test error（原谅我在这里中英混杂，因为我发现用这种方法可以更好地区分几个不同的概念）。test error是损失函数在一个新的，

独立的检验样本上的期望。Err=E[L(Y,fˆ(X))]。这个期望的计算需要涉及到新的检测样本的联合分布。以上是test error的概念。于此对应的是training error的定义，training error是指在训练样本上的损失的平均值。errˉ=1N∑Ni=1L(y i,fˆ(x i))

上面的图综合的阐述了模型复杂度，偏差，方差之间的关系。从图中，我们可以看出，training error显然不是test error的一个好的估计。显然，training error都低估了test error。这个原因很容易解释，training error

所用的数据依然是建立模型用的数据，当然误差要小。另外，从这张图可以看出，随着模型复杂度的增加，training error是再不断减小的，而且如果模型足够复杂，是不会有training error的。这种现象，往往被称为过拟合。也就是说，拟合的太过头了。这也不是一个好现象。我们想要评估一个模型的好坏，想要知道的，肯定是test error。通常而言，我们对于解决某个问题，会有一族模型，这族模型有一个tuning parameter

α。我们记这族模型为fˆα(x)。通常这个tuning parameter是用以辨识模型复杂程度的。这一章的主要

任务是估计test error曲线。而通常的模型选择和评估大致分为两个步骤，先通过training error来选择模型，然后再通过test error评估模型。对于test error的估计，通常有两种策略。一种是解析的做法，比如AIC，BIC之类的。另外一种则是用交叉验证（cross-validation）或者bootstrap来估计。这两类方法也是本书这一章的主要的内容构成。在介绍这些方法之前，有必要先看一看bias-variance分解。

Err(x0)=σ2e+Bias2(f(x0))+Variance

通常而言，模型越复杂，bias越低，而方差variance则越高。关于这一部分，在之前的一篇笔记中已经通过一个图提到了，这里也不再详述。通常，training error都是小于test error的。Err在某种意义上是extra-sample error。若我们定义in-sample error，则training error对于test error的乐观估计则更好理解。

in-sample error的定义是Err in=1N∑L(Y newi,fˆ(x i))。则这个估计的乐观的部分如下定义

op=Err in−E y(errˉ)

而通过推到，我们可以得到（这个推到书上也没有，应该是某一系列论文中的成果，我们这里不具体推，只要知道这个结果就行）

Err in=E y(errˉ)+2N∑cov(y i,yˆi)

这个结果揭示了一个很重要的事儿，就是乐观估计的程度与估计值和真实值之间的相关性是密切相关的。写到这我也有点糊涂了，按理说，我们需要的是test error的估计，而现在，我们只需要来估计in-sample error 了。作者在这里说了一句话，

“In-sample error is not usually of direct interest since future values of the features are not likely to coincide with their training set value.But for comparison between models,in-sample error is convenient and often leads to effective model selection”

。那么我们就按照作者的经验，来开始对in-sample error进行估计吧。对于in-sample error的估计，有两

个不同的角度可以进行，一种是估计op，然后加到errˉ上即可。这也就是AIC，BIC的思路。另外一种就是利用重抽样，比如cross-validation或者bootstrap的策略，来估计in-sample error。下面的部分，就分别比较详细的介绍一下这些方法。C p统计量：

Errˆin=errˉ+opˆ

是通用的一个式子，不同的准则有对这个式子不同的估计，我们先来看最常用的C p准则。

C p=errˉ+2dNσ2e

这个公式适用于加法模型，而且如果估计值是线性的情况下。AIC准则：

AIC=−2Loglik+2dN.当损失函数对数似然损失函数的时候，这个准则比C p准则更加广义。其所依赖的理论是一个大样本性质，当N趋于无穷大的时候，

−2E[logPrθˆ(Y)]∼−2N E[loglik]+2dN

其中loglik=∑logPrθˆ(y i)

用AIC准则进行模型选择的时候，是选择AIC越小愈好。这一部分书中有一个简单的例子，但是很能说明问题，不在此多说了。BIC准则：

BIC=−2loglik+(logN)d

BIC准则的得来的motivate是非常不同的，选择BIC最小的模型，事实上是在选择后验概率最大的模型。BIC准则的得来，是通过bayes理论推导得到的。这里在书中也有具体的公式推导。MDL：minimum description length。这个部分，我几乎没怎么看明白，其核心是编码理论。以上是一些模型选择的准则。模型选择的准则都涉及到了模型有效参数的个数，因此，这一章也对这个问题做了一些讲解。包括7.6the effective number of parameters以及7.9的Vapnik-Chernovenkis dimension，都是主要讲了模型复杂度的度量。这两部分的内容我看的并不是很清晰，也没什么感觉。希望再读此书能有所收获。这次阅读，这部分我都略过了。以上的一些准则，都是对op的一个比较解析的估计。下面介绍两种通过重抽样的策略，来估计in-sample error的方法。cross-validation：

CV=1N sum Ni=1L(y i,fˆ−k(i)(x i))

交叉验证，就是把训练样本大致平均地分成K分，然后每次剔除一部分，用另外的部分进行模型构建，然后用剔除的那一部分来估计误差，这样做K次，然后平均K次的误差。通常而言，都是用5-cross validation 或者10-cross validation。当然还有每次剔除一个值，leave-one-out。如何选择K是一个问题，当K=N的时候，CV是预测误差的渐进无偏估计。但是方差可能会很大。当K比较小的时候，方差会比较小，但是偏差比较大，也是一个问题。作者说

"over-all five or ten fold cross-validation are recommended as a good compromise"

。拿来用用，比一比即可。bootstrap方法：这一部分我不想多说，在豆瓣里我有分享过关于bootstrap的