储油罐的变位识别与罐容表标定高教社杯全国大学生数学建模竞赛

储油罐的变位识别与罐容表标定高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮

件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的

问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他

公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正

文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反

竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2010 年 9 月

13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘 要

加油站都有地下储油罐，一般是通过查看罐容表得知储油罐的剩余油量。由于地基变形等原因，储油罐会发生变位，从而导致罐容表的改变。因此研究储油罐的变位识别与罐容表重新标定具有重要意义。

问题一，首先，把求平底椭圆柱储油罐的储油量的问题转化为求体积积分的问题，做三重积分时，利用了平行于椭圆柱母线的截面微元，并利用Maple 软件，求出储油量关于油位高度和倾斜角α的关系表达式；然后通过分析理论值和实验值的相对误差，利用0α=的实验数据对该表达式进行了误差系数补偿，得到了储油量与罐内油位高度及倾斜角的关系的(,)V h α数学模型，利用 4.1α=的实验数据对补偿后的模型进行了检验，平均相对误差由补偿前的5%变为不到2%；在分析变位后对罐容表的影响时取定不同油位高度,研究储油量关于倾斜角的变化关系，得到了当油位高度较高、较低及在一定中间范围时不同的变化规律。然后基于此模型得到了变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值（见14、15页）；

问题二，研究了主体为圆柱、两端为球冠的储油罐变位后的罐容问题。首先将该问题转化为球冠和圆柱所含油的体积积分问题。圆柱所含油的体积可利用问题一中的模型求解（其中油位高度要经过一定转化）；球冠部分利用三重积分直接运算很难计算；而后我们通过分析球冠采用了近似积分算法，得到了储油量关于显示油位高度、两个变为参数（横向偏转角及纵向倾斜角）的一般关系式；为求αβ、，基于此一般关系式(,,)V h αβ，建立了目标为理论出油量和实际出油量之差的平方和最小的优化模型，利用附表二中的出油量的前半部分

数据，并利用逐步减小区间的搜索算法，αβ、同时逐次以10.01、0.1、

为步长，用Matlab 进行了三次搜索，求得 2.13, 4.44αβ==；然后利用附表二中显示油高和显示储油量两组数据，与αβ、取为0时显示油高对应的理论出油量进行比较，得到的相对误差的数量级为510-(见24页图)；并利用附表二中出油量后半部分数据，与 2.13, 4.44αβ==时所得出的理论出油量进行比较，得到平均相对误差为0.57%，从而检验了模型的正确性与方法的可靠性。最后利用此模型得到了变位后油位高度间隔为10cm 的储容表标定值（见23页）。

关键词：储油罐 油位高度 储油量 纵向倾斜角 横向偏转角

一、问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二．基本假设

1、注油管、出油管及浮杆所占的体积忽略不计

2、问题一中所给的是油桶内径的尺寸（即忽略壁厚对结果的影响）

3、问题二中储油罐在没有变位时的罐容表准确无误

4、假设在所研究的时间段内纵向倾斜角度α和横向偏转角度β保持不变

三、符号说明

四、问题的分析

4.1概论

该题主要是解决解决储油罐的变位识别与罐容表标定两个问题，而核心问题是求储油量关于显示油位高度、储油罐两个方向的转角的关系表达式。求此表达式的思路是先求油所占的体积关于参量s(参量s为和油高相关的参量)及两角度的关系式，进而利用参量s和显示油高的关系式求得最终表达式；由于问题二中的圆筒具有旋转对称性（旋转时所要积分的体积形状不改变），故问题一和问题二中储油量关于和油高相关的参量s的表达式的求法(实际为三重积分)在本质上是一样的，而区别仅在于参量s和显示油高的的关系表达式。

4.2问题一

对于问题一，可通过三重积分和Maple软件先求解储油量关于参量s和倾斜角的一般表达式，然后找到参量s和显示油高h的关系，代入表达式可得到储油量关于显示油高和倾斜角的表达式；然后将理论值与实验值对比，参阅资料得出误差修正方法，利用倾角为0时的数据进行修正，并利用倾角为4.1的数据对修正后的表达式进行检验，得到了较理想的模型。然后基于此模型求出当倾斜角变化时对罐容表的影响，并得到4.1时的罐容表标定值。

4.3问题二

对于问题二，同问题一一样，也需找到储油量关于参量s和两方向倾角的一般表达式，由于积分过程很复杂，有必要对此积分进行近似求解，得到一般表达式后，再找到参量s和显示油高h的关系式，代入即可得到储油量关于参量s和两倾角αβ

、的一般关系。然后利用附表二中出油量和显示油高，基于一般关系式，确立优化目标为理论出油量和实验出油量的误差平方和最小，变量为两偏角的优化模型，利用逐步逼近的搜索算法，得到了两偏角的值。变位后的罐容表很自然的可利用一般表达式得到。最后利用附表二中的显示油高和显示油量（实际为无偏角时的油高关于油量的精确对应关系），对模型的准确性验证；利用实验出油量和理论出油量的对比，对模型的可靠性进行验证。

五、模型的建立与求解

5.1问题一---两端平头的椭圆柱体

5.1.1数据预处理

根据附件1，在无变位的情况下，我们根据进油过程和出油过程分别作出储油量V随h变化的图，