近世代数课程总结学习资料
近世代数基础Ⅱ学习报告
现代数学
现代数学的主要研究方向为结构数学,结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系,或几种事物间的相互组成联系。现代数学的基础是集合，在
集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。
本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋
予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。
一抽象代数
1.1 群
定义
群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。一
般说来，群G是指对于某种运算法则满足以下四个条件的集合：
(1)封闭性：若,a b G，则存在唯一确定的c G使得a b c；
(2)结合律成立：任意,,
a b c a b c；
a b c G，有()()
(3)单位元存在：存在e G对任意a G，满足a e e a a；
(4)逆元存在：对任意a G，存在唯一确定的b G使得a b b a e；
若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。
若群G中元素个数有限，则G为有限群；否则称为无限群。有限群的元素个
数称为有限群的阶。
子群
对于群G，若集合H G对于群G上定义的二元运算构成一个群，则称H是G的子群，记做H G。
小结
在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，
而不用去管某个元素的具体含义是什么。
1.2 环
当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓
的环。
定义
设R是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法，R是交换群
若(1) (,)
(2) (,)
R是半群
(3) 乘法对加法满足分配律
则称R为一个环。环也是一种群。
子环
环R的一个非空子集S，若对于R的两种运算构成一个环，则称S为R的子环。
整环
设R为含单位的环，且10。若R为没有零因子的交换环，则称R为整环。
1.3 域
域也是一种环，要求要满足交换律，除了有+的单位元还要有的单位元(二者不等)，除了+的单位元外其他元素都有的逆元。
1.4 群的应用
群是刻画事物对称性的有效工具，比如图形的对称、函数的对称等。
二微分几何
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面上一点的邻域的性质，即研究一般曲线或曲面在小范围上的性质。它主要包含曲线论和曲面论。曲线论主要就是Frenet公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基
本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离
推出第二基本形式，而曲率的推导顺序是：曲面上曲线的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分几何有两个十分重要的基础：坐标变换和求导的技巧。在学习微分几何之前需要熟练运用这两个部分。
标架
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 ●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A. 1.2映射 ●证明映射： ●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 ●满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 ●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般 A*B不等于B*A. ●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 2.1 半群 1.半群=代数运算+结合律，记作（S,） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都 不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定a0=e. 3.逆元
i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。 ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。 iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。 4.子半群 i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个 子半群 ii.T是S的子半群a,b T,有ab T 2.2 群 1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群. ii. 加群=代数运算为加法+交换群 iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩 阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合 SL(n,p). 2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元 =代数运算+结合律+单位元+逆元 =代数运算+结合律+?a,b G,ax=b,ya=b有解 3. 群的性质 i. 群满足左右消去律 ii.设G是群，则?a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解 iii.e是G单位元? e2=e iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群 4. 群的阶 群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。 Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群 ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群 2.3元素的阶
最新近世代数复习提纲
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以 n k d ，故n k d =。
注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -=L L 。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
近世代数知识点
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1 集合 A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A. 1.2 映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark ：映射满足结合律！ 1.3 卡氏积与代数运算 { (a,b ) la €A,b €B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4 等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：? a€A,a~a; 2 对称性：? a,b€R, a~b=>b ~a€R; 3 传递性：? a,b,c€R,a~b,b ~c =>a ~c€R. Remark :对称+传递工自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群 2.1 半群 1. 半群=代数运算 +结合律，记作（ S,°） Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii. 若半群中的元素可交换，即 a°b=b °a, 则称为交换半群。 2. 单位元 i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不 存在；若都存在，则左单位元 =右单位元 =单位元。 ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元 = 单位元。 iii. 在有单位元的半群中，规定 a0=e. 3. 逆元 i. 在有单位元 e 的半群中，存在 b, 使得 ab=ba=e, 则 a 为可逆元。 ii. 逆元具有唯一性，记作 a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。 iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。 4. 子半群 i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个 子半群
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识 初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ?”表示“x 不是集合A 的元”。 设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈?）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ?。若B A ?且A B ?，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。若B A ?，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ?。 不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如： $ {}c b a A ,,=； {})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。 本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ； 非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==* Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+ Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。 —
张禾瑞 近世代数基础(复习要点·定理)
定理 同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21 左右逆元的统一性 P33-34 左右逆元的唯一性 P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”） 群的两个定义的等价性 P33 群满足消去律（由逆元的存在性） P38 仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39 群的几个分类标准： 1、 有限 / 无限 ——元素个数 2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律 3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元 P35 n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义） a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ， 则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的 P37 群中幂形式的元的运算法则： 若规定：e a =0， n n a a )(1--= 则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)( （由结合律易得） 两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群 同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构 任何一个有限群 有一个置换群与之同构 任何一个无限循环群 与整数加群同构 任何一个有限循环群 与剩余类加群同构 子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68
子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数 群的阶： 群中元素的个数 对有限群G 而言： G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶 （即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群） 子群充要条件： H ab H b a ∈?∈?-1, P63 定理2 子群正规充要条件： N ana N n G a ∈?∈∈?-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）
近世代数
第一章：基本概念 重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。 第二章：群 重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。难点：置换群、变换群、陪集。 第三章：正规子群和群的同态与同构 重点：正规子群、商群、同态基本定理 难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。 第四章：环与域 重点：环、域、理想 难点：环的同态、同构，极大理想、商域。 第五章：唯一分解整环 重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。 难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。 近世代数练习题（A） 一、填空题（每题3分，共30分）：
1、设 是集合 到 的满射，则 . 2、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为. 3、写出三次对称群 的子群 的一切左陪集，，. 4、设 是一个 阶交换群， 是 的一个
（ ）阶元，则商群 的阶等于. 5、设 = 是循环群，则 与整数加群同构的充要条件是. 6、若环 的元素(对加法)有最大阶 , 则称 为环 的. 7、若环 满足左消去律，那么 必定(有或没有)左零因子. 8、若 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想，那么
是一个域当且仅当 是环 的. 9、若域 ，则称 是一个素域. 10、设 是域 的一个扩域, . 如果存在 上非零多项式 使 , 则称 为 上的一个. 二、选择题（每题4分，共20分）： 1、指出下列哪些运算是代数运算（）. A.在整数集 上，
B.在有理数集 上， C.在正实数集 上， D.在集合 上， 2、设 是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）. A. 的单位元的象是 的单位元 B. 的元素 的逆元的象是 的象的逆元 C. 的子群的象是 的子群 D.
最新近世代数复习提纲知识讲解
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以 n k d ，故n k d =。
注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -=L L 。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
近世代数的 知识点复习
近世代数知识点 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 常用的集合及记号有： 整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ； 非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{ }Λ,3,2,1=+Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。 一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用∞=A 表示A 是无限集，∞ 近世代数知识点 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A. 1.2映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 {（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B 不等于B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 2.1 半群 1.半群=代数运算+结合律，记作（S,） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都 不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定a0=e. 3.逆元 i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。近世代数知识点