近世代数知识点教学文稿

近世代数知识点

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第一章基本概念

1.1集合

●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.

1.2映射

●证明映射：

●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！

1.3卡氏积与代数运算

●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般

A*B不等于B*A.

●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类

★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a;

2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R;

3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.

Remark：对称+传递≠自反

★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系

★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群

2.1 半群

1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）

Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元

i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都

不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.

3.逆元

i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群

i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个

子半群

ii.T是S的子半群a,b T,有ab T

2.2 群

1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元

Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.

ii. 加群=代数运算为加法+交换群

iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩

阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合

SL(n,p).

2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元

=代数运算+结合律+单位元+逆元

=代数运算+结合律+?a,b G,ax=b,ya=b有解

3. 群的性质

i. 群满足左右消去律

ii.设G是群，则?a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解

iii.e是G单位元? e2=e

iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群

4. 群的阶

群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。

Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群

ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群

2.3元素的阶