三角函数与解三角形试题及答案

三角函数与解三角形试题

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.

2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3的单调增区间为________．

3．已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A (非坐标原点O )，直线l 上有一点 P (cos 130°，sin 50°)，且∠APO ＝30°，则α等于________．

4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是________．

5．已知函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π

3个单位长度后，所得的图象与

原图象重合，则ω的最小值为________.

6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．

7．将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原 的2倍，再向右平移π6个单位长

度，得到函数y ＝g (x )的图象．则y ＝g (x )图象一条对称轴是________．

图5－7

8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛

⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图5－7所示，则函数f (x )的

解析式为________.

9．若函数y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0＜θ＜π2，则函数y 的最小值为________．

10．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6，0，则f (x )

在区间[0，π]上的单调递增区间为________．

11．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2，则cos α的值为________．

12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3

2B ＋π4＝－22，且a ＋c ＝2，

则△ABC 周长的取值范围是________.

13．已知△ABC 中，sin A ＋2sin B cos C ＝0，则tan A 的最大值是________．

14．函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1的最小正周期为π，当x ∈[m ，n ]时，f (x )至少有12个零点，则n －m 的最小值为________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)如图5－8，在△ABC 中 ，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3， DC ＝2.

图5－8

(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)若∠ABC ＝π

4，求△ADC 的面积．

16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B .

(1)求角C ；

(2)若sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．

17．(本小题满分14分)如图5－9，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α

和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是310

10，点B的纵坐标是

25

5.

图5－9

(1)求cos(α－β)的值；

(2)求α＋β的值.

18．(本小题满分16分) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －1

2.

(1)求函数f (x )的对称中心 ；

(2)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间．

19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π3＋32

.

(1)求函数f (x )的单调递减区间；

(2) 求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤

0，π2上的最大值及最小值．

20．(本小题满分16分)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 向量m ＝(a －b ，sin A ＋sin C )与向量n ＝(a －c ，sin(A ＋C ))共线．

(1)求角C 的值；

(2)若AC →·CB →＝－27，求|AB →|的最小值．

三角函数与解三角形试题及答案

(限时：120分钟)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π4＝________.

7 ∵tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－4

3－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

－43＝7.

2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －π3的单调增区间为________．

⎝ ⎛

⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [由k π－π2＜x －π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6＜x ＜k π＋5π6，k ∈Z ，

即函数的单调递增区间为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z.]

3．已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A (非坐标原点O )，直线l 上有一点P (cos 130°，sin 50°)，且∠APO ＝30°，则α等于________．

100°或160° [因为P (cos 130°，sin 50°)＝P (cos 130°，sin 130°)，所以∠POx ＝130°，因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.]

4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3π2，tan(α－π)＝－34

，则sin α＋cos α的值是________．

－15 [tan(α－π)＝tan α＝－34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3π2，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以sin α＋cos α＝－15

.]

5．已知函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π

3个单位长度后，所得的图象与

原图象重合，则ω的最小值为________.

6 [将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx －ωπ3，又因为

所得的图象与原图象重合，所以ωπ

3

＝2k π，即ω＝6k (k ∈Z) ，因为ω＞0，所以ω的最小值为6.]