【名师一号】14-15高中数学(人教)选修4-1课件：3-3平面与圆锥面的截线

答 1.β＝α β<α 案 2.椭圆 抛物线 双曲线
思考探究1
圆锥面的轴与母线有何关系？
提示 圆锥面的轴和每一条母线的夹角都相等；轴上任一 点到每条母线的距离相等． 思考探究2 提示 定理2中的圆锥面怎么形成的？
π 一条直线l′绕着与它相交成定角θ 0&旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面，这条直线l′叫做圆 锥面的母线，另一条直线l叫做圆锥面的轴.
答案
2
双曲线
【例3】 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β，求证：β<α时，平面π 与圆锥面的交线是双曲线(如图所示)． 【分析】 利用Dandelin双球方法作答．
【证明】
如图所示，当β<α时，平面π与圆锥的两部分相
【解析】 SA＝10.
如图所示为截面的轴面，则AB＝8，SB＝6，
3 由勾股定理的逆定理可知∠SBA＝90° ，则cos∠ASB＝5. 设圆锥的母线和轴所成的角为α，截面和轴所成的角为β， 3 3 2 ∵cos2α＝5，即2cos α－1＝5， 2 5 ∴cosα＝ 5 .
∵α＋β＝90° ， ∴cosβ＝sinα＝
3．圆锥曲线的统一性 椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形 不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此，椭 圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点 到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e.当e<1 时，曲线为椭圆；当e＝1时，曲线为抛物线；当e>1时，曲线 为双曲线．定义上的统一，必然也蕴含着图形上的统一．
A．圆 B．椭圆
50° 解析 由定理2知，α＝ 2 ＝25° ，β＝30° . ∴β>α，故截线是椭圆．
答案 B
误区警示
不考虑定理2中角α的含义，误认为α＝50° >β＝
30° ，得出错误结果，双曲线．
【例2】 一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8， 长轴的两端点到顶点的距离分别为6和10，则椭圆的离心率为 ( ) 3 4 1 2 A.5 B.5 C.2 D. 2
名师点拨 1.椭圆的性质 如图记一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S，记圆S所在 的平面为π′.设π与π′的交线为m.平面π与Dandelin球的切点为 F1.则：
m为椭圆的准线；F1为焦点；椭圆的离心率e＝
cosβ cosα
(0<e<1)，即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦 与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比．
第三讲
圆锥曲线性质的探讨
三
平面与圆锥面的截线
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的 形状是椭圆、抛物线和双曲线． 2．理解定理2及其证明过程，了解这种证明问题的方法.
课前预习 1.等腰三角形底边上的高线与一条直线的关系 (1)如下图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝ π α，直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<2)， 则①当β>α时，l与 AB(或AB的延长线)、AC都相交； ②当________时，l与AB不相交； ③当________时，l与BA的延长线、AC都相交．
2．定理2 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为 α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平 面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则
(1)β>α，平面π与圆锥的交线为________； (2)β＝α，平面π与圆锥的交线为________； (3)β<α，平面π与圆锥的交线为________.
交．在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切 点分别是F1，F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1，S2. 在截口上任取一点P，连接PF1，PF2.过P和圆锥的顶点O 作母线，分别与两个球相切于Q1，Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝ PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
2．双曲线的性质
在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切 点分别为F1，F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1，S2.记圆 S1，S2所在的平面分别为π1，π2，记π1，π2与π的交线分别为 m1，m2.则： 双曲线的准线是m1，m2；焦点是F1，F2； cosβ 双曲线的离心率e＝ (e>1)． cosα
由于Q1Q2为两圆S1，S2所在平行平面之间的母线线段长， 因此Q1Q2为定值．所以，由双曲线的定义知，平面与圆锥的交 线是双曲线．
变式3 在【例3】中的情形下，说明当β＝α时，平面π与 圆锥面的截线是抛物线(如图所示)．
解 如图所示，设平面π与圆锥内切球相切于点F1，球与 圆锥的交线为S，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线m. 在平面π与圆锥的截线上任取一点P，连接PF1，过点P作 PA⊥m，交m于点A，过点P作π′的垂线，垂足为B.连接AB， 则AB⊥m，所以∠PAB是π与π′所成二面角的平面角，连接PO 与S相交于Q1，连接BQ1，则∠BPQ1＝α，∠APB＝β.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
【例1】
圆锥的顶角为60° ，截面与母线所成的角为60° ， ) C．双曲线 D．抛物线
则截面所得的截线是( A．圆
B．椭圆
【解析】 该圆锥的轴截面如图所示，由题意知，截面与 圆锥的轴垂直．故截线为圆．
【答案】 A
变式1 截线是(
圆锥的顶角为50° ，圆锥的截面与轴成30° 角，则 ) C．双曲线 D．抛物线
在Rt△APB中，PB＝PAcosβ，在Rt△BPQ1中，PB＝ PQ1 cosβ PQ1cosα，∴ PA ＝cosα.
2 5 2 1－ 5 ＝
5 . 5
5 5 cosβ 1 ∴椭圆的离心率e＝cosα＝ ＝2. 2 5 5
【答案】 C
变式2
已知圆锥母线与轴夹角为60° ，平面π与轴夹角为
45° ，则平面π与圆锥交线的离心率是________，该曲线的形状 是________．
cos45° 解析 e＝cos60° ＝ 2.∵e>1，∴曲线为双曲线．