初中数学 中考数学压轴题(含答案)
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1.在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ,与y 轴交于点C ,顶点D 的坐标为(1,4)-.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图1,若点P 在抛物线上且满足,求点P 的坐标; (3)如图2,M 是直线BC 上一个动点,过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ,Q 是直线AC 上一个动点,当为等腰直角三角形时,直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2.在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点,与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式;(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,当ACP △面积最大时,求出点P 的坐标;(3)点M 为抛物线上一动点,在x 轴上是否存在点Q ,使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.3.在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于点A 和线段BC ,给出如下定义:若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′(B ′,C ′分别是B ,C 的对应点),则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”.(1)如图,点A ,B 1,C 1,B 2,C 2,B 3,C 3的横、纵坐标都是整数.在线段B 1C 1,B 2C 2,B 3C 3中,⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ;(2)△ABC 是边长为1的等边三角形,点A (0,t ),其中t ≠0.若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”,求t 的值;(3)在△ABC 中,AB =1,AC =2.若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”,直接写出OA 的最小值和最大值,以及相应的BC 长.4.综合与探究如图,在平面直角坐标系中,点()0,10A ,点B 是x 轴的正半轴上的一个动点,连接AB ,取AB 的中点M ,将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°,得到线段BC .过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D .设点B 坐标是(),0t(1)当6t =时,点M 的坐标是 ;(2)用含t 的代数式表示点C 的坐标;(3)是否存在点B ,使四边形AOBD 为矩形?若存在,请求出点B 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)在点B 的运动过程中,平面内是否存在一点N ,使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N 的纵坐标(不必要写横坐标);若不存在,请说明理由.5.如图(1),在菱形ABCD 中,∠ABC =60°,点E 在边CD 上(不与点C ,D 重合),连结AE ,交BD 于点F .(1)如图(2),若点M 在BC 边上,且DE =CM ,连结AM ,EM .求证:三角形AEM 为等边三角形;(2)设DF x BF=,求tan ∠AFB 的值(用x 的代数式表示); (3)如图(3),若点G 在线段BF 上,且FG =2BG ,连结AG 、CG ,DF x BF =,四边形AGCE 的面积为S 1,ABG 的面积为S 2,求12S S 的最大值.6.如图,在平面直角坐标系中,ABC 的边AB 在x 轴上,且OB OA >,以AB 为直径的圆过点C .若点C 的坐标为()0,4,10AB =,(1)求抛物线的解析式;(2)点P 为该函数在第一象限内的图象上一点(不与BC 重合),过点P 作PQ BC ⊥,垂足为点Q ,连接PC .若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似,求点P 的坐标;(3)若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ,过点E 任作一直线l '分别交射线CA ,CB (点C 除外)于点M ,N .则11CM CN+的是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.7.如图1,⊙I 与直线a 相离,过圆心I 作直线a 的垂线,垂足为H ,且交⊙I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间).我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”,点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”.(1)如图2,在平面直角坐标系xOy 中,点E 的坐标为(0,3).半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D .①过点E 画垂直于y 轴的直线m ,则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____(填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”),⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____;②若直线n 的函数表达式为33y x =-+.求⊙O 关于直线n 的“特征数”;(2)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过点M (1,2),点F 是坐标平面内一点,以F 5为半径作⊙F .若⊙F 与直线l 相离,点N (1-,0)是⊙F 关于直线l 的“近点”.且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6,求直线l 的函数表达式.8.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,其中A(3,0),B(-1,0),与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A、C,连接CD.(1)分别求抛物线和直线AC的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点P,使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1,且点A1恰好落在该抛物线上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.9.已知:如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+b(b>0)交x轴于点A,交y轴于点C,以OA,OC为边作矩形ABCO,矩形ABCO的面积是36.(1)求直线AC的解析式.(2)点P为线段AB上一点,点Q为第一象限内一点,连接PO,PQ,∠OPQ=90°,且OP=PQ,设AP的长为t,点Q的横坐标为d,求d与t的函数关系式.(不要求写出自变量t的取值范围)(3)在(2)的条件下,过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E,作∠POC的平分线OF 交PE于点F,交PQ于点K,若KQ=2EF,求点Q的坐标.10.如图,平面直角坐标系中,点O为原点,抛物线交x轴于()2,05,0B两点,交y轴于点C.A-、()(1)求抛物线解析式;(2)点P在第一象限内的抛物线上,过点P作x轴的垂线,垂足为点H,连AP交y轴于点E,设P点横坐标为t,线段EC长为d,求d与t的函数解析式;(3)在(2)条件下,点M在CE上,点Q在第三象限内抛物线上,连接PC、PQ、PM,PQ与y轴交于W,若,,,求点Q的坐标.11.已知:如图1,点A(a,b),AB x⊥轴于点B2++-+=.a b a b24(8)0(1)试判断△AOB的形状,并说明理由;(2)如图2,若点C为线段AB的中点,连OC并作OD OC⊥,且OD OC=,连AD交x轴于点E,试求点E的坐标;(3)如图3,若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点,以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N,连MN,在点M运动过程中,试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化?若不变,求这个不变的值;若发生变化,试求它变化的范围.12.直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上,已知∠BAC=30°,直角边AC与⊙O 相交于点D,且点D是劣弧AB的中点.(1)如图1,判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)如图2,点P是斜边AB上的一个动点(与A、B不重合),DP的延长线交⊙O于点Q,连接QA、QB.①AD=6,PD=4,则AB= ;PQ= ;②当点P在斜边AB上运动时,求证:QA+QB=3QD.13.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,直径DF交BC于点G.(1)如图1,求证:∠BAD-∠BCF=90°;(2)如图2,连接AC,当∠BAC=∠CFD+∠ACD时,求证:CA=CB;(3)如图3,在(2)的条件下,AC交DF于点H,∠BAC=∠DGB,45CGBG,AC=9,求△CDH的面积.14.同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形,它们之间有很多相似,在正边形ABCD中,E是对角线AC上一点(不与点A、C重合),以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD,GE交CD于点M,连接CG.(1)如图1,当12AE AC<时,过点E作EF BE⊥交CD于点F,连接GF并延长交AC于点H.求证:EB EF=;(2)在ABC中,AB AC=,90BAC∠=︒.过点A作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接BD,CD直线BD交直线AP于点E.如图2,①依题意补全图形;②请用等式表示线段EB,ED,BC之间的数量关系,并予以证明.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点,作PD⊥x轴于点D,交AC于点E,过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G,设点P的横坐标为m.①求PE2的最大值;②连接DF、DG,若∠FDG=45°,求m的值.16.【问题提出】如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.【问题解决】解决此问题可以用如下方法:延长AD 到点E ,使DE =AD ,再连结BE (或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ),把AB 、AC ,2AD 集中在△ABE 中,利用三角形三边的关系即可判断.由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②,如图,在△ABC 中,D 为边BC 的中点、已知AB =10,AC =6,AD =4,求BC 的长.【拓展】如图③,在△ABC 中,∠A =90°,点D 是边BC 的中点,点E 在边AB 上,过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ,连结EF .已知BE =5,CF =6,则EF 的长为__________.17.已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B (1,0)两点,与y 轴交于点()03C -,.(1)求二次函数的表达式及A 点坐标;(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点,若点D 的横坐标为m ,ACD △的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标;(3)M 是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N .使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形?若有,请写出点N 的坐标(不写求解过程).18.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ,点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点.(1)当a =0时,求顶点P 坐标;(2)若a >0,且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点,请你写出一个符合条件的一次函数关系式(只需写一个,不必写出过程);(3)作直线OC :12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C .连结OB ,当抛物线与△OBC 的边有两个交点时,求a 的取值范围.19.已知O 为ABC ∆的外接圆,AC BC =,点D 是劣弧AB 上一点(不与点A ,B 重合),连接DA ,DB ,DC .(1)如图1,若AB 是直径,将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆.若4CD =,求四边形ADBC 的面积;(2)如图2,若AB AC =,半径为2,设线段DC 的长为x .四边形ADBC 的面积为S . ①求S 与x 的函数关系式;②若点M ,N 分别在线段CA ,CB 上运动(不含端点),经过探究发现,点D 运动到每一个确定的位置.DMN ∆的周长有最小值t ,随着点D 的运动,t 的值会发生变化.求所有t 值中的最大值,并求此时四边形ADBC 的面积S .20.如图,在ABCD 中,90ABD ∠=︒,5cm AD =,8cm BD =.点P 从点A 出发,沿折线AB BC -向终点C 运动,点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s .在点P 的运动过程中,过点P 作AB 所在直线的垂线,交边AD 或边CD 于点Q ,以PQ 为一边作矩形PQMN ,且2QM PQ =,MN 与BD 在PQ 的同侧.设点P 的运动时间为t (秒),矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S .(1)求边AB 的长.(2)当04t <<时,PQ = ,当48t <<时,PQ = .(用含t 的代数式表示)(3)当点M 落在BD 上时,求t 的值.(4)当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时,求S 与t 的函数关系式.【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1.(1)223y x x =--;(2),; (3),;,;,;,; ,;,. 【解析】【分析】(1)根据顶点的坐标,设抛物线的解析式为y =a (x ﹣1)2﹣4,将点A (﹣1,0)代入,求出a 即可得出答案;(2)利用待定系数法求出直线BD 解析式为y =2x ﹣6,过点C 作CP 1∥BD ,交抛物线于点P 1,再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y =2x ﹣3,联立方程组即可求出P 1(4,5),过点B 作y 轴平行线,过点C 作x 轴平行线交于点G ,证明△OCE ≌△GCF(ASA),运用待定系数法求出直线CF解析式为y=12x﹣3,即可求出P2(52,﹣74);(3)利用待定系数法求出直线AC解析式为y=﹣3x﹣3,直线BC解析式为y=x﹣3,再分以下三种情况:①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时,②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时,③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时,分别画出图形结合图形进行计算即可.(1)解:∵顶点D的坐标为(1,﹣4),∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2﹣4,将点A(﹣1,0)代入,得0=a(﹣1﹣1)2﹣4,解得:a=1,∴y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)解:∵抛物线对称轴为直线x=1,A(﹣1,0),∴B(3,0),设直线BD解析式为y=kx+e,∵B(3,0),D(1,﹣4),∴,解得:,∴直线BD解析式为y=2x﹣6,过点C作CP1∥BD,交抛物线于点P1,设直线CP1的解析式为y=2x+d,将C(0,﹣3)代入,得﹣3=2×0+d,解得:d=﹣3,∴直线CP1的解析式为y=2x﹣3,结合抛物线y=x2﹣2x﹣3,可得x2﹣2x﹣3=2x﹣3,解得:x1=0(舍),x2=4,故P1(4,5),过点B作y轴平行线,过点C作x轴平行线交于点G,∵OB=OC,∠BOC=∠OBG=∠OCG=90°,∴四边形OBGC是正方形,设CP1与x轴交于点E,则2x﹣3=0,解得:x=32,∴E(32,0),在x轴下方作∠BCF=∠BCE交BG于点F,∵四边形OBGC是正方形,∴OC=CG=BG=3,∠COE=∠G=90°,∠OCB=∠GCB=45°,∴∠OCB﹣∠BCE=∠GCB﹣∠BCF,即∠OCE=∠GCF,∴△OCE≌△GCF(ASA),∴FG=OE=32,∴BF=BG﹣FG=3﹣32=32,∴F(3,﹣32),设直线CF解析式为y=k1x+e1,∵C(0,﹣3),F(3,﹣32),∴,解得:,∴直线CF解析式为y=12x﹣3,结合抛物线y=x2﹣2x﹣3,可得x2﹣2x﹣3=12x﹣3,解得:x1=0(舍),x2=52,∴P2(52,﹣74),综上所述,符合条件的P点坐标为:(4,5)或(52,﹣74);(3)解:(3)设直线AC解析式为y=m1x+n1,直线BC解析式为y=m2x+n2,∵A(﹣1,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴直线AC解析式为y=﹣3x﹣3,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴直线BC解析式为y=x﹣3,设M(t,t﹣3),则N(t,t2﹣2t﹣3),∴MN=|t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)|=|t2﹣3t|,①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时,此时∠NMQ=90°,MN=MQ,如图2,∵MQ∥x轴,∴Q(﹣13t,t﹣3),∴|t2﹣3t|=|t﹣(﹣13t)|,∴t2﹣3t=±43t,解得:t=0(舍)或t=53或t=133,∴,;,;②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时,此时∠MNQ=90°,MN=NQ,如图3,∵NQ∥x轴,∴Q(,t2﹣2t﹣3),∴NQ=|t﹣|=13|t2+t|,∴|t2﹣3t|=13|t2+t|,解得:t=0(舍)或t=5或t=2,∴M3(5,2),Q3(﹣5,12);M4(2,﹣1),Q4(0,﹣3);③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时,此时∠MQN=90°,MQ=NQ,如图4,过点Q作QH⊥MN于H,则MH=HN,∴H(t,),∴Q(,),∴QH=|t﹣|=16|t2+5t|,∵MQ=NQ,∴MN=2QH,∴|t2﹣3t|=2×16|t2+5t|,解得:t=7或1,∴M5(7,4),Q5(﹣7,18);M6(1,﹣2),Q6(0,﹣3);综上所述,点M及其对应点Q的坐标为:,;,;M3(5,2),Q3(﹣5,12);M4(2,﹣1),Q4(0,﹣3);M5(7,4),Q5(﹣7,18);M6(1,﹣2),Q6(0,﹣3).【点睛】本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式,求一次函数与二次函数图象交点坐标,全等三角形判定和性质,正方形判定和性质,等腰直角三角形性质等,本题属于中考压轴题,综合性强,难度较大,熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识,运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键.2.(1)224233y x x =--+;(2)35(,)22P -(3)存在,12(1,0),(5,0)Q Q --,34(27,0),(27,0)Q Q .【解析】【分析】(1)根据待定系数法求抛物线解析式;(2)设224(,)33P t t --根据(1)的结论求得C 的坐标,进而求得AC 的解析式,过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ,进而求得PD 的长,根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式,进而根据二次函数的性质求得取得最大值时,t 的值,进而求得P 点的坐标;(3)分情况讨论,①//CM AQ ,②//AC MQ ,根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标.【详解】(1)二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点,则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ (2)抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ,令0x =,则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+,由(3,0)A -,(0,2)C ,则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+, 如图,过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ,设224(,)33P t t --,则2(,2)3D t t +, 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时,APC S 取得最大值,此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - (3)存在,理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图,当//CM AQ 时,Q 点在x 轴上,//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称,(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时,如图,设M 的纵坐标为n ,四边形ACQM 是平行四边形,点A ,Q 在x 轴上,则,AQ MC 的交点也在x 轴上, 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -,2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3,纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3,纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述,存在点Q ,使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形,Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --,34(27,0),(27,0)Q Q .【点睛】本题考查了二次函数综合,待定系数法,二次函数最值,二次函数的图象与性质,平行四边形的性质,综合运用以上知识是解题的关键.3.(1)B 2C 2;(233-3)OA 最小值为1,相应的3BC =OA 最大值为2,相应的6BC =【解析】【分析】(1)结合题意,根据旋转和圆的性质分析,即可得到答案;(2)根据题意,分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况;根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质,得32AD OD ==,从而完成求解; (3)结合题意,得当AC '为⊙O 的直径时,OA 取最小值;当A 、B '、O 三点共线时,OA 取最大值;根据勾股定理、等腰三角形的性质计算,即可得到答案.【详解】(1)线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C '',均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”;线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C '',如下图:∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”;线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C '',均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”;故答案为:B 2C 2;(2)∵△ABC 是边长为1的等边三角形,点A (0,t ),⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况:当B C ''在x 轴上方时,B C ''与y 轴相交于点D ,见下图:∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形,即△AB C ''是边长为1的等边三角形, ∴AC D OC D ''∠=∠,AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =;当B C ''在x 轴上方时,B C ''与y 轴相交于点D ,见下图:同理,3AO AD OD =+=∴()0,3A -;∴t 3=-;∴3t =或3-;(3)当AC '为⊙O 的直径时,OA 取最小值,如下图:∴OA 最小值为1,90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=;当A 、B '、O 三点共线时,OA 取最大值,2OA AC '== ,如下图:作AE OC '⊥交OC '于点E ,作C F AO '⊥交AO 于点F ,如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1,相应的3BC =;OA 最大值为2,相应的62BC =. 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识;解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质,从而完成求解.4.(1)(3,5)M ,(2)1(5,)2C t t +;(3)(20,0)B ;(4)154或10. 【解析】 【分析】(1)利用中点坐标公式计算即可.(2)如图1中,作ME OB ⊥于E ,CF x ⊥轴于F .证明()MEB BFC AAS ∆≅∆,利用全等三角形的性质即可解决问题.(3)如图2中,存在.由题意当CF OA =时,可证四边形AOBD 是矩形,构建方程即可解决问题.(4)分三种情形:①如图3中,当AD BD =时,以AB 为对角线可得菱形ADBN ,此时点N 在y 轴上.②如图4中,当AD AB =时,以BD 为对角线可得菱形ABND .此时点N 的纵坐标为6.③因为BD AB ≠,所以不存在以AD 为对角线的菱形. 【详解】解:(1)如图1中,(0,10)A ,(6,0)B ,AM BM =, (3,5)M ∴,(2)如图1中,作ME OB ⊥于E ,CF x ⊥轴于F .//ME OA ,AM BM =, 12OE EB t ∴==,152ME OA ==,90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒,90MBE CBF ∴∠+∠=︒,90MBE BME ∠+∠=︒, BME CBF ∴∠=∠,()MEB BFC AAS ∴∆≅∆,5BF ME ∴==,12CF BE t ==,5OF OB BF t ∴=+=+, 1(5,)2C t t ∴+.(3)存在.如图2中,作ME OB ⊥于E ,CF x ⊥轴于F .理由:由题意当=10CF OA =时,//OA CF , ∴四边形AOFC 是平行四边形,90AOF ∠=︒,∴四边形AOFC 是矩形,90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒,∴四边形AOBD 是矩形,又∵由(2)得12CF BE t ==, 即:1102t =,解得:20t =.(20,0)B ∴.(4)①如图3中,当AD BD =时,以AB 为对角线可得菱形ADBN ,此时点N 在y 轴上.AD BD =, BAD ABD ∴∠=∠,OAB ABD ∴∠=∠,OAB BAD ∴∠=∠. tan tan OAB BAD ∴∠=∠, ∴12OB BC OA BA ==,即1102t =,5t ∴=,5OB ∴=,设AN NB m ==,在Rt OBN △中,则有2225(10)m m =+-, 解得254m =, 25151044ON OA AN ∴=-=-=, ∴点N 的纵坐标为154. ②如图4中,当AD AB =时,以BD 为对角线可得菱形ABND .此时点N 的纵坐标为10.③BD AB ≠,∴不存在以AD 为对角线的菱形. 综上所述,满足条件的点N 的纵坐标为154或10. 【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的判定和性质,菱形的判定和性质,翻折变换,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.5.(1)证明见解析;(23333xx;(3)194【解析】 【分析】(1)如图,连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形,可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案;(2)如图,记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形,60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案;(3)如图,设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得:2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明:(1)如图,连接,AC 菱形ABCD 中,∠ABC =60°,,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形,,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形(2)如图,记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形,60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx(3)如图,设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形,,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG =2BG , 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得:2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x, 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值, 当31232x时,最大值为:1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,列二次函数关系式,二次函数的性质,锐角三角函数的应用,灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6.(1)213442y xx =-++;(2)点P 的坐标为:(6,41,2);(3)11NC MC +=【解析】 【分析】(1)根据题意,先证明AOC ∆∽COB ∆,得到AO OCCO OB=,求出点A 、B 的坐标,然后利用待定系数法,即可求出抛物线解析式;(2)根据题意,可分为两种情况:AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆,结合解一元二次方程,相似三角形的判定和性质,分别求出点P 的坐标,即可得到答案;(3)过点E 作EI ⊥AC 于I ,EJ ⊥CN 于J ,然后由角平分线的性质定理,得到EI =EJ ,再证明△MEI ∽△MNC ,△NEJ ∽△NMC ,得到111NC MC EI+=,然后求出EI 一个定值,即可进行判断. 【详解】解:(1)∵以AB 为直径的圆过点C , ∴∠ACB =90°, ∵点C 的坐标为()0,4, ∴CO ⊥AB ,∴∠AOC =∠COB =90°,∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°, ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆,∴AO OCCO OB=, ∵4CO =,10AO BO AB +==, ∴10AO OB =-, ∴1044OB OB-=, 解得:2OB =或8OB =, 经检验,满足题意, ∵OB OA >, ∴8OB =,∴点A 为(2-,0),点B 为(8,0).设抛物线的解析式为2y ax bx c =++,把点A 、B 、C 三点的坐标代入,有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩,解得:14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,∴抛物线的解析式为213442y x x =-++;(2)根据题意,如图:当AOC ∆∽PQC ∆时, ∴ACO PCQ ∠=∠, ∵90ACO OCB ∠+∠=︒, ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒, ∴PC ⊥OC , ∴点P 的纵坐标为4,当4y =时,有2134442x x -++=,解得:16x =或20x =(舍去); ∴点P 的坐标为(6,4);当AOC ∆∽CQP ∆时,则此时BC 垂直平分OP ,作PG ⊥y 轴,垂足为G ,如上图, ∴90CQP AOC ∠=∠=︒,∴AC ∥OP , ∴∠ACO =∠POG , ∵90PGO AOC ∠=∠=︒, ∴AOC ∆∽PGO ∆, ∴AO OCPG GO=, 设点P 为(x ,213442x x -++), ∴PG x =,213442GO x x =-++,∴22413442x x x =-++, 解得:171x =±-, ∵点P 在第一象限, ∴171x =-,∴2134217242x x -++=-,∴点P 的坐标为(171-,2172-);综合上述,点P 的坐标为:(6,4)或(171-,2172-); (3)过点E 作EI ⊥AC 于I ,EJ ⊥CN 于J ,如图:∵CE 是∠ACB 的角平分线, ∴EI =EJ ,∵EI ∥CN ,EJ ∥CM ,∴△MEI ∽△MNC ,△NEJ ∽△NMC , ∴EI ME NC MN =,EJ NE MC MN =, ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=, ∴1EI EI NC MC +=, ∴111NC MC EI+=, ∵△ACO ∽△AEI ,∴12AI AO EI CO ==,∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+,12=,解得:EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值. 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用,求二次函数的解析式,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,角平分线的性质定理等知识,解题的关键是熟练掌握题意,正确的作出辅助线,运用数形结合的思想进行解题.7.(1)①B ;D ;4;②1;(2)1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】(1)①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可;②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ,交O 于点Q ,P .先分别求得点E 、F 的坐标,进而可求得EF 的长,再利用等积法求得OH 的长,进而即可解决问题;(2)如图,先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案. 【详解】解:(1)①由题意,点B 是O 关于直线m 的“近点”, 点D 是O 关于直线m 的“远点”, ∵点E 的坐标为(0,3).⊙O 的半径为1, ∴OE =3,OB =OD =1,∴BE =OE -OB =2,DB =OB +OD =2,O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=, 故答案为:B ;D ;4;②如图,过点O 作OH ⊥直线n 于点H ,交O 于点Q ,P ,设直线33y x =-+交x 轴于点F ,交y 轴于点E , 令y =0,则x =3;令x =0,则y =3, ∴(3F ,0),(0,3)E ,3OE ∴=,3OF =,22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=,∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△, ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅, 解得:32OH =, 12QH OH OQ ∴=-=, 又∵2PQ OQ OP =+=,O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=;(2)如图,设直线l 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,过点F 作FH ⊥直线l ,垂足为点H ,交⊙F 于N ,G ,∵⊙F 5,∴FN =FG 5,∴GN =FN +FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6, ∴GN·NH =6,NH =6, 解得:NH设直线l 的解析式是y kx b =+, ∵直线l 经过点M (1,2),∴将(1,2)代入y kx b =+,得:2k b +=, 2b k ∴=-,(2)y kx k ∴=+-,∴当0x =时,2y k =-,∴点B 坐标为(0,2-k ),|2|OB k ∴=-,当0y =时,(2)0kx k +-=, 解得:2k x k-=, ∴点A 坐标为(2k k-,0), 2||k OA k -∴=,22|(1)||1|k k AN k k--=--=+,AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠,90AOB AHN ∠=∠=︒, AOB AHN ∴△∽△,∴NH ANOB AB=,∴|2|522|1|||k k k k k-=--+, 整理,得:22520k k ++=,解得:12k =-或2k =-,∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+.【点睛】本题属于圆综合题,考查了一次函数的性质,相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用,远点,近点,特征数等新定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.8.(1)y =-x 2+2x +3,y =-x +3;(2)存在,(-1,0)或(4,-5);(3)存在,(1,2)或(1,-3) 【解析】 【分析】(1)将点A ,B 坐标代入抛物线解析式中,求出b ,c 得出抛物线的解析式,进而求出点C 的坐标,再将点A ,C 坐标代入直线AC 的解析式中,即可得出结论;(2)利用抛物线的对称性得出BD AD =,进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等,即可得出结论;(3)分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方,构造全等三角形即可得出结论. 【详解】(1)把(30)A ,、(10)B -,代入2y x bx c =-++, 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为(0,3),又(30)A ,,代入1y kx b =+, 得1k =-,13b =, ∴直线AC 的解析式为3y x =-+, (2)如图,连接BC ,∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点, ∴AD BD =, ∴2ABCACDSS=,∵2ACP ACD S S =△△,∴ACP ABC S S =△△,此时,点P 与点B 重合, 即:(10)P -,, 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ,则直线BP 的解析式为1y x =--①, ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②,联立①②解得,10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩,∴P (4,﹣5),∴即点P 的坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5); (3)由(1)可知,抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ,如下图所示:22222BM AM ==+,4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形,符合题意,M 点即为所求Q 点的一种情况,当Q 点在x 轴下方时,设Q 为(1,)m ,0m <, 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点,则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==,1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --,∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上, 代入,解得m=-3或2m = (舍去) ∴Q (1,-3)综上,Q 点坐标为(1,2)或(1,-3), 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及解析式的求解,与三角形面积有关的问题,全等三角形的判定与性质,解题的关键是利用数形结合的思想,设点坐标并结合几何图形的性质列式求解.9.(1)直线AC 的解析式为y =﹣x +6;(2)d =4-t ;(3)Q (212,1). 【解析】 【分析】(1)先由解析式求出得A 、C 点的坐标,得OA =OC ,得四边形ABCO 为正方形,再根据正方形的面积求得边长,便可得b 的值;(2)过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ,证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ (AAS ),得到AP =GQ ,进而求得结论便可;(3)过点P 作PH ⊥OF 于点H ,延长PH 交EQ 的延长线于点R ,EQ 的延长线与x 轴交于点N ,过Q 作QM ⊥x 轴于点M .证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ (CCS ),得PK =QR ,∠R=∠OKP,再证明∠R=∠FPR,得EP=ER,再证FE=NR,设FE=NR=k,NQ=m,在Rt△PQE中,由勾股定理列出方程,得到k与m的关系,解Rt△PQE得tan∠PEQ,进而把这个函数值运用到△OAP中,求得t的值,再运用(2)中结论得Q的纵坐标d的值,再运用到△QNM中求得NM,NQ的值,进而求得ON,便可得Q的横坐标的值.【详解】解:(1)∵直线y=﹣x+b(b>0)交x轴于点A,交y轴于点C,A b C b,∴(,0),(0,)∴OA=OC=b,∴矩形ABCO为正方形,∵矩形ABCO的面积是36.∴b=6,即直线AC的解析式为y=﹣x+6;(2)如图,过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G,∵∠OPQ=90°,∴∠APO+∠GPQ=90°,∵∠APO+∠AOP=90°,∴∠AOP=∠GPQ,∵在矩形ABCO,∠OAP=90°,QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°,∵PQ=OP,∴Rt△AOP≌Rt△GPQ(AAS),∴AP=GQ,∵AP=t,∴GQ=t,∴d=4-t;(2)过点P作PH⊥OF于点H,延长PH交EQ的延长线于点R,EQ的延长线与y轴交于点N,过Q作QM⊥y轴于点M.则AP=t,QM=d,且d=6-t.∵OF 平分∠POC , ∴∠POF =∠COF =∠PFO , ∴PF =PO ,∵PH ⊥OF ,∠OPQ =90°, ∴∠OPH =∠FPH ,∠KPH =∠POH , 在△OPK 和△PQR 中, 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩====, ∴△OPK ≌△PQR (ASA ), ∴PK =QR ,∠R =∠OKP ,∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°, ∴∠OKP =∠OPH , ∴∠R =∠OPH , ∵PO =PF ,PH ⊥OF , ∴∠OPH =∠FPH , ∴∠R =∠FPR , ∴EP =ER ,∵PE ∥ON ,OP ∥EN , ∴四边形OPEN 是平行四边形, ∴EN =PO =PF , ∴PE -PF =ER -EN , ∴FE =NR ,设FE =NR =k ,则KQ =2FE =2k , 又设NQ =m ,∴PK=QR=m+k,∴PQ=m+3k,∴PO=EN=PF=m+3k,∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k,PE=PF+FE=4k+m,在Rt△PQE中,∵PE2=PQ2+QE2,∴(4k+m)2=(3k+m)2+(3k)2,∴k1=0(舍去),k2=m,∴PQ=4m,QE=3m,∴tan∠PEN=43 PQQE=,∵OP∥EN,∴∠OPA=∠PEN,∴tan∠APO=43,∵AO=6,∴AP=4.5,∴t=4.5,∴QM=d=6-t=1.5,∵PE∥OC,∴∠QNM=∠PEN,∴tan∠QNM=tan∠PEN=43,∴NM=9 tan8QMQNM=∠,∴m=NQ158 =,∴PE=ON=4k+m=5m=758,∴OM=ON+NM=212,∴Q(212,1).【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题,主要考查了一次函数的图象与性质,全等三角形的性质与判定,正方形的性质,旋转的性质,解直角三角形的应用,等腰三角形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,是一道综合性极强的题目,解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法.构造全等三角形是解题的关键,也是问题的突破口.10.(1);(2);(3)【解析】 【分析】(1)由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案;(2)先画好图形,证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案;(3)如图,过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则,再解方程可得 4,t = 再求解的解析式,再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解:(1) 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点,所以可得抛物线为:(2)如图,过P 作于,H 连AP 交OC 于则,x 则令0,(3)如图,过P作轴于,K过M作于,N 由(2)得:,,轴,则轴,,即结合(1)可得:四边形为矩形,。
福州中考数学压轴题2023
福州中考数学压轴题2023一、小明在福州某商场购物,他乘坐自动扶梯从一楼到二楼,若自动扶梯匀速上行,小明相对自动扶梯静止站立,则小明相对地面的运动状态是:A. 静止B. 匀速直线运动C. 加速直线运动D. 减速直线运动(答案)B(解析)自动扶梯匀速上行,小明相对自动扶梯静止站立,则小明与自动扶梯的运动状态相同,也是匀速直线运动,相对地面是运动的。
二、福州某中学计划为学生购买A、B两种类型的文具套装,A类型套装每套价格比B类型套装高20元,若购买A类型套装3套和B类型套装4套,总花费不超过400元,则B类型套装的单价最高可能为:A. 60元B. 70元C. 80元D. 90元(答案)C(解析)设B类型套装单价为x元,则A类型套装单价为x+20元。
根据题意,3(x+20)+4x≤400,解得x≤80,所以B类型套装的单价最高可能为80元。
三、在福州某公园的湖面上,有一艘小船静止在水面,船上有一个人从船头走到船尾,若不计水的阻力,则在这个过程中,小船相对湖面的运动情况是:A. 一直向前运动B. 一直向后运动C. 先向前运动后向后运动D. 不运动(答案)D(解析)人和船组成的系统动量守恒,初始动量为零,人从船头走到船尾,人的动量向后,由动量守恒定律可知,船的动量向前,且大小相等,方向相反,因此船会向前移动,但由于不计水的阻力,人和船组成的系统合外力为零,因此系统质心位置不变,即船相对湖面不运动。
四、福州某小区计划修建一个长方形的花坛,花坛的长是宽的2倍,若花坛的面积不超过100平方米,则花坛的宽最大可能为:A. 5米B. 10米C. 15米D. 20米(答案)B(解析)设花坛的宽为x米,则长为2x米,由题意得2x²≤100,解得x≤√50,即x最大为10√2/2=5√2≈7.07米,取整数部分,最大可能为10米。
五、在福州某中学的体育课上,同学们进行立定跳远测试,小明跳了2.5米,比小华多跳了0.5米,若设小华跳远的距离为x米,则下列方程正确的是:A. 2.5 = x + 0.5B. 2.5 = x - 0.5C. 2.5 = 0.5 - xD. 2.5 = x(答案)A(解析)根据题意,小明跳远的距离是小华跳远的距离加0.5米,即2.5=x+0.5。
中考数学压轴题十大题型(含详细答案)
一、中考数学压轴题1.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ,交x 轴的正半轴于点B ,过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ,∠AFO=45°. (1)求∠FAB 的度数;(2)点 P 是线段OB 上一点,过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ,连接 BQ ,取 BQ 的中点C ,连接AP 、AC 、CP ,过点C 作 CR ⊥AP 于点R ,设 BQ 的长为d ,CR 的长为h ,求d 与 h 的函数关系式(不要求写出自变量h 的取值范围);(3)在(2)的条件下,过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ,CE 交 AB 于点D ,连接 AE ,∠AEC=2∠DAP ,EP=2,作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ,求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标.2.已知:如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,()2,0C .直线26y x =+与x 轴交于点A ,交y 轴于点B .过C 点作直线AB 的垂线,垂足为E ,交y 轴于点D . (1)求直线CD 的解析式;(2)点G 为y 轴负半轴上一点,连接EG ,过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H .设点G 的坐标为()0,t ,线段AH 的长为d .求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)(3)过点C 作x 轴的垂线,过点G 作y 轴的垂线,两线交于点M ,过点H 作HN GM ⊥于点N ,交直线CD 于点K ,连接MK ,若MK 平分NMB ∠,求t 的值.3.如图1,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点E 是BD 上方抛物线上的一点,连接AE 交DB 于点F ,若AF=2EF ,求出点E 的坐标.(3)如图3,点M 的坐标为(32,0),点P 是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP ,将MP 沿MD 折叠,若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上,请求出点P 的横坐标.4.如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AB=CD=AD=5,cos 45B =,点O 是边BC 上的动点,以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ,联结AM ,作∠CMN=∠BAM ,射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N .(1)当点E 为边AB 的中点时,求DF 的长;(2)分别联结AN 、MD ,当AN//MD 时,求MN 的长;(3)将O 绕着点M 旋转180°得到'O ,如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切,求O 的半径长.5.如图,在平面直角坐标系中,直线6y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点C 在x 轴正半轴上,2ABC ACB ∠=∠.(1)求直线BC 的解析式;(2)点D 是射线BC 上一点,连接AD ,设点D 的横坐标为t ,ACD ∆的面积为S ()0S ≠,求S 与t 的函数解析式,并直接写出自变量t 的取值范围;(3)在(2)的条件下,AD 与y 轴交于点E ,连接CE ,过点B 作AD 的垂线,垂足为点H ,直线BH 交x 轴于点F ,交线段CE 于点M ,直线DM 交x 轴于点N ,当:7:12NF FC =时,求直线DM 的解析式.6.在梯形ABCD 中,//AD BC ,90B ∠=︒,45C ∠=︒,8AB =,14BC =,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,//EF AD ,点P 与AD 在直线EF 的两侧,90EPF ∠=︒,PE PF =,射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ,设AE x =,MN y =.(1)求边AD 的长;(2)如图,当点P 在梯形ABCD 内部时,求关于x 的函数解析式,并写出定义域; (3)如果MN 的长为2,求梯形AEFD 的面积.7.如图,已知正方形ABCD 中,4,BC AC BD =、相交于点O ,过点A 作射线AM AC ⊥,点E 是射线AM 上一动点,连接OE 交AB 于点F ,以OE 为一边,作正方形OEGH ,且点A 在正方形OEGH 的内部,连接DH .(1)求证:EDO EAO ∆≅∆;(2)设BF x =,正方形OEGH 的边长为y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(3)连接AG ,当AEG ∆是等腰三角形时,求BF 的长.8.问题提出(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.问题探究(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.问题解决(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.9.如图,在ABC ∆中,14AB =,45B ∠=︒,4tan 3A =,点D 为AB 中点.动点P 从点D 出发,沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动,点P 关于点D 对称点为点Q ,以PQ 为边向上作正方形PQMN .设点P 的运动时间为t 秒.(1)当t =_______秒时,点N 落在AC 边上.(2)设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ,当点N 在ABC ∆内部时,求S 关于t 的函数关系式.(3)当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时,直接写出t 的值.10.对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ,,如果满足x y a += (x ≥0,a 为常数),那么我们称这样的点叫做“特征点”.(1)当2≤a ≤3时,①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中,满足此条件的特征点为__________________;②⊙W 的圆心为(,0)W m ,半径为1,如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点,请画出示意图,并直接写出m 的取值范围;(2)已知函数()10Z x x x=+>,请利用特征点求出该函数的最小值.11.如图,在平面直角坐标系中,点(1,2)A ,(5,0)B ,抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ,连结AO ,AB .(1)求点C 的坐标;(2)求直线AB 的表达式; (3)设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ,BA 延长线于点D ,E .①若2AE AO =,求抛物线表达式;②若CDB △与BOA △相似,则a 的值为 .(直接写出答案)12.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C . (1)过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ,若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,且在对称轴的右侧,过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ,作//PN x 轴交对称轴于点N ,以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ,当矩形PQMN 的周长最大时,在y 轴上有一动点K ,x 轴上有一动点T ,一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ,再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动,求动点G 运动时间的最小值:(2)如图2, 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置, 点A C 、的对应点分别为A C ''、,且点C '恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC '.点E 是y 轴上的一个动点,连接AE C E '、, 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆'', 是否存在点E , 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.13.(1)如图1,A 是⊙O 上一动点,P 是⊙O 外一点,在图中作出PA 最小时的点A . (2)如图2,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6,Q 是⊙C 上一动点,在线段AB 上确定点P 的位置,使PQ 的长最小,并求出其最小值. (3)如图3,矩形ABCD 中,AB =6,BC =9,以D 为圆心,3为半径作⊙D ,E 为⊙D 上一动点,连接AE ,以AE 为直角边作Rt △AEF ,∠EAF =90°,tan ∠AEF =13,试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由.14.(问题探究)课堂上老师提出了这样的问题:“如图①,在ABC 中,108BAC ∠=︒,点D 是BC 边上的一点,7224BAD BD CD AD ∠=︒==,,,求AC 的长”.某同学做了如下的思考:如图②,过点C 作CE AB ∥,交AD 的延长线于点E ,进而求解,请回答下列问题:(1)ACE ∠=___________度;(2)求AC 的长.(拓展应用)如图③,在四边形ABCD 中,12075BAD ADC ∠=︒∠=︒,,对角线AC BD 、相交于点E ,且AC AB ⊥,22EB ED AE ==,,则BC 的长为_____________.15. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =﹣x+4与x 轴交于点A ,过点A 的抛物线y =ax 2+bx 与直线y =﹣x+4交于另一点B ,且点B 的横坐标为1.(1)该抛物线的解析式为;(2)如图1,Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点(不与B 、A 重合),过Q 作QP ⊥x 轴,交x 轴于P ,连接AQ ,M 为AQ 中点,连接PM ,过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ,若点P 的横坐标为t ,点N 的横坐标为n ,求n 与t 的函数关系式;在此条件下,如图2,连接QN 并延长,交y 轴于E ,连接AE ,求t 为何值时,MN ∥AE .(3)如图3,将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ,点T 为线段OA 上的一动点(不与O 、A 重合),以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ,以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ,连接DF .在点T 运动的过程中,四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值?请求出该值.16.如图,抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B (A 在B 的左侧),交y 轴于点C ,且OB OC =,()2,0A -.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 为第四象限抛物线上一点,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ,设P 点横坐标为t ,线段PD 的长度为d ,求d 与t 的函数关系式.(不要求写出t 的取值范围) (3)在(2)的条件下,F 为BP 延长线上一点,且45PFC ∠=︒,连接OF 、CP 、PB ,FOB ∆的面积为3600169,求PBC ∆的面积.17.如图①,△ABC是等腰直角三角形,在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE,AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线,连接CM、BN,CM与AB交于点P.(1)求证:CM=BN;(2)如图②,点F为角平分线AN上一点,且∠CPF=30°,求证:△APF∽△AMC;(3)在(2)的条件下,求PFBN的值.18.如图,在⊙O中,直径AB=10,tanA=3.(1)求弦AC的长;(2)D是AB延长线上一点,且AB=kBD,连接CD,若CD与⊙O相切,求k的值;(3)若动点P以3cm/s的速度从A点出发,沿AB方向运动,同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t (0<t<103),连结PQ.当t为何值时,△BPQ为Rt△?19.如图,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,连接AE,过点D作DF AE⊥于点F,过点C作CN DF⊥于点N,延长CN交AD于点M.(1)求证:AM MD=(2)连接CF,并延长CF交AB于G①若2AB=,求CF的长度;②探究当ABAD为何值时,点G恰好为AB的中点.20.在一次数学课上,李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题(2)如图 1,如果 AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180° B.270° C.360° D.540°(1)请写出这道题的正确选项;(2)在同学们都正确解答这道题后,李老师对这道题进行了改编:如图2,AB∥EF,请直接写出∠BAD,∠ADE,∠DEF之间的数量关系.(3)善于思考的龙洋同学想:将图1平移至与图2重合(如图3所示),当AD,ED分别平分∠BAC,∠CEF时,∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.(4)彭敏同学又提出来了,如果像图4这样,AB∥EF,当∠ACD=90°时,∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.21.如图1,以AB为直径作⊙O,点C是直径AB上方半圆上的一点,连结AC,BC,过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E.(1)如图1,连结AD,求证:∠ADC=∠DEC.(2)若⊙O的半径为5,求CA•CE的最大值.(3)如图2,连结AE,设tan∠ABC=x,tan∠AEC=y,①求y关于x的函数解析式;②若CBBE=45,求y的值.22.发现来源于探究.小亮进行数学探究活动,作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG(a>b),开始时,点E在AB上,如图1.将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转.(1)如图2,小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转,连接BE 、DG ,当点G 恰好落在线段BE 上时,小亮发现DG ⊥BE ,请你帮他说明理由.当a=3,b=2时,请你帮他求此时DG 的长.(2)如图3,小亮旋转正方形AEFG ,点E 在DA 的延长线上,连接BF 、DF .当FG 平分∠BFD 时,请你帮他求a :b 及∠FBG 的度数.(3)如图4,BE 的延长线与直线DG 相交于点P ,a=2b .当正方形AEFG 绕点A 从图1开始,逆时针方向旋转一周时,请你帮小亮求点P 运动的路线长(用含b 的代数式表示).23.问题探究(1)如图1.在ABC 中,8BC =,D 为BC 上一点,6AD =.则ABC 面积的最大值是_______.(2)如图2,在ABC 中,60BAC ∠=︒,AG 为BC 边上的高,O 为ABC 的外接圆,若3AG =,试判断BC 是否存在最小值?若存在,请求出最小值:若不存在,请说明理由.问题解决:如图3,王老先生有一块矩形地ABCD ,6212AB =,626BC =+,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ,且满足点E 在CD 上,AD DE =,点F 在BC 上,且6CF =,点M 在AE 上,点N 在AB 上,90MFN ∠=︒,这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.24.问题一:如图①,已知AC =160km ,甲,乙两人分别从相距30km 的A ,B 两地同时出发到C 地.若甲的速度为80km /h ,乙的速度为60km /h ,设乙行驶时间为x (h ),两车之间距离为y (km ).(1)当甲追上乙时,x = .(2)请用x 的代数式表示y .问题二:如图②,若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分,线段AB 正好对应钟表上的弧AB (1小时的间隔),易知∠AOB =30°.(3)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ,时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °;(4)若从2:00起计时,求几分钟后分针与时针第一次重合?25.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、(点A 在点C 的左侧),与y 轴正半轴交于点B ,24OC OB ==.(1)如图1,求a m 、的值;(2)如图2,抛物线的顶点坐标是M ,点D 是第一象限抛物线上的一点,连接AD 交抛物线的对称轴于点N ,设点D 的横坐标是t ,线段MN 的长为d ,求d 与t 的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,当154d =时,过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ,点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点,连接PE 交x 轴于点F ,直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ,连接CG ,过点E 作EH CG 交DG 于点H ,若3CFG EGH S S =△△,求点P 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、中考数学压轴题1.F解析:(1)∠FAB=90°;(2)22d h =;(3)直线PS 与直线AF 的交点K(-2,6).【解析】【分析】(1)通过直线AB 的解析式可求出点A 、B 的坐标,可知AOB 是等腰直角三角形,再结合已知条件即可确定90FAB ∠=︒;(2)根据已知条件证明CP=AC=QC=BC 从而得出△ACP 是等腰直角三角形,在Rt △CRP 中,利用sin ∠CPR 22CR CP ==,推出2CP CR =,继而得出22BQ CR =,得出答案; (3)过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ,延长 CH 到点 G ,使 HG=CH ,连接AG ,证明△AHC ≌△CEP ,设AH CE n ==,得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4,再通过角的等量代换,得出∠EAG=∠G ,从而有EG=EA=n+4,在Rt △AHE 中,通过勾股定理AE²=HE²+AH²可求出n 的值为6,从而得出直线AF 的解析式y = x + 8 ,再求出直线PS 的解析式为 y=-x+4,求交点即可.【详解】解:(1)如下图,y = -x + m ,当x=0时,y=m∴A (0,m ),OA=m当y=0时,0=-x+m ,x=m ,∴B (m ,0),OB=m∴OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∵∠AFO=45°,∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°∴∠FAB=90°(2)如下图 ,∵CP 、AC 分别是 Rt △QPB 和 Rt △QAB 的斜边上的中线∴CP= 12QB ,12AC QB =, ∴CP=AC=QC=BC∴∠CAB=∠CBA设∠CAB=∠CBA=α,∴∠CBP=45°+α∴∠CPB=∠CBP=45°+α∴∠PCB=180°-(∠CPB+∠CBP )=90°-2α∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-(90°-2α)=90°∵AC=CP∴△ACP 是等腰直角三角形∴∠CPA=∠CAP=45°∵CR ⊥AP ,∴∠CRP=90°,在Rt △CRP 中sin ∠CPR 22CR CP == ∴2CP CR =∵12CP BQ =, ∴22BQ CR =即22d h =(3)过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ,延长 CH 到点 G ,使 HG=CH ,连接AG ∴∠AHC=∠CEP=90°∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE ,∵AC=CP∴△AHC ≌△CEP∴CH=PE=2,AH=CE ,∴GH=CH=2,AH CE n ==∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β,则∠AEG=2β∴α+β=45°∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β∵AH 垂直平分 GC∴AG=AC∴∠GAH=∠CAH=β∴∠G=90°-β 在△EAG 中∠EAG=180°-∠G-∠AEG=180°-(90°-β)-2β =90°-β∴∠EAG=∠G∴EG=EA=n+4在 Rt △AHE 中,AE²=HE²+AH²222(4)(2)n n n +=++126,2n n ==-(舍)∴AH=OE=6,EP=EB=2∴OB=OE+BE=8∴m=8,∴A (0,8)∴OA=OF=8 , ∴F (-8,0)∴直线 AF 的解析式为 y = x + 8∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS∴SD=CD=4,∠CDA=∠SDA=45°∴∠CDS=90°,∴SD ∥x 轴过点 S 分别作 SM ⊥x 轴于点 M ,SN ⊥y 轴于点 N∴四边形 OMSN 、SMED 都是矩形∴OM=SN=OE-ME=2,ON=SM=DE=BE=2∴S(2,2)∵OP=OE-EP=6-2=4,∴P(4,0)设直线 PS 的解析式为 y=ax+b∴4022a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得:14a b =-⎧⎨=⎩∴直线 PS 的解析式为 y=-x+4设直线PS 与直线AF 的交点K(x ,y)∴48y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得26x y =-⎧⎨=⎩∴直线PS 与直线AF 的交点K(-2,6).【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形,将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题,是考查学生综合素质和能力的热点题型,它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想.本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等.2.C解析:(1)112y x =-+;(2)1d t =-+;(3)6215t -= 【解析】【分析】(1)根据互相垂直两直线斜率积为-1,设出直线CE 的解析式,再将点C 坐标代入即可求解;(2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ,ENH ≌EMG ,得到AN =DM ,HN =GM ,进而得到AH DG =,再根据CE 解析式求出D 点坐标,即可找出d 与t 之间的函数关系式;(3)过点B 作BT CM ⊥于点T ,在直线BT 上截取TL NK =,证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形,得MN MT =,再进一步证明ENH ≌EMG ,利用全等三角形的性质通过角度计算,得出△BML 为等腰三角形且BM BL =,再用含有t 的代数式表示BM ,最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式,求出t 的值.【详解】解:(1)∵CE ⊥AB ,∴设直线CE 的解析式为:12y x c =-+, 把点C (2,0)代入上述解析式,得1c =,∴直线CD 的解析式为:112y x =-+; (2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,令26 112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得22xy=-⎧⎨=⎩,∴()2,2E-,易证EDM≌EAN,ENH≌EMG,∴AN=DM ,HN=GM,∴AH DG=,由直线CE的解析式112y x=-+,可求点D(0,1)∴DG=1—t,∴1d t=-+;(3)过点B作BT CM⊥于点T,在直线BT上截取TL NK=,易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形,由(2)问可知1tAH GD==-,则6tHC=-∴6tBG MT==-,∴MN MT=,∵90KNM LTM∠=∠=︒,∴ENH≌EMG,∴LNKM∠=∠,设KMNα∠=,则KMB KMNα∠=∠=,∴90NKM α∠=︒-,∴90NKM L α∠=∠=︒-,∵//BL MN ,∴2MBL BMN α∠=∠=,∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-,∴BM BL =, ∵1tan 2KCH ∠=, ∴11322KH CH t ==-, ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=, ∴352BL BT TL t BM =+=-=, 在Rt BMG △中, 222BM BG GM =+,解得t =(不合题意舍去)或t =故,65t -=. 【点睛】本题一次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,一次函数的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理等,利用已知条件求相等交,相等线段是解决本题的关键.3.E解析:(1)2y x 2x 3=-++;(2)E (2,3)或(1,4);(3)P 点横坐标为118【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+,由抛物线过点B,(3,0),即可求出a 的值,即可求得解析式; (2)过点E 、F 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点M 、N ,设点E 的坐标为()2,23x xx -++,求出A 、D 点的坐标,得到OM=x ,则AM=x+1,由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==,从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+,由23FN EM =,列出关于x 的方程求解即可;(3)先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3,过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ,过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ,交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ,得到FG=FH ,PT=45GH.设点P (m ,-m²+2m+3),则T (m ,-2m+3),则PT=m²-4m ,GH=1-m , 可得m²-4m=45(1-m ),解方程即可. 【详解】(1)∵抛物线的顶点为C (1,4),∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+,∵抛物线过点B,(3,0),∴20(31)4a =-+,解得a=-1,∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+,即2y x 2x 3=-++;(2)如图,过点E 、F 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点M 、N ,设点E 的坐标为()2,23x x x -++,∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++,当y=0时,2023x x =-++,解得x=-1或x=3,∴A (-1.0),∴点D (0,3),∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+,点F 在直线BD 上,则OM=x ,AM=x+1,∴22(1)33x AN AM +==, ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-, ∴21210(,)3333x x F --+,∴2210332233FN EM x x x +--++==, 解得x=1或x=2, ∴点E 的坐标为(2,3)或(1,4);(3)设直线DM 的解析式为y=kx+b ,过点D (0,3),M (32,0), 可得,3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得k=-2,b=3,∴直线DM 的解析式为y=-2x+3,∴32OM =,3OD =, ∴tan ∠DMO=2, 如图,过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ,过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ,交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ,∴∠TFG=∠TPF ,∴TG=2GF ,GF=2PG ,∴PT=25GF , ∵PF=QF ,∴△FGP ≌△FHQ ,∴FG=FH ,∴PT=45GH. 设点P (m ,-m²+2m+3),则T (m ,-2m+3),∴PT=m²-4m ,GH=1-m ,∴m²-4m=45(1-m ), 解得:1112018m -=,或2112018m +=(不合题意,舍去), ∴点P 的横坐标为11201-. 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,学会用数形结合的思想解决问题,有一定难度.4.D解析:(1)DF 的长为158;(2)MN 的长为5;(3)O 的半径长为258. 【解析】【分析】(1)作EH BM ⊥于H ,根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形,从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径,再根据平行四边形的性质求FD 即可; (2)先证AMB CNM ∠=∠,再证MAD CNM ∠=∠,从而证明AFM NFD ∆~∆,得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=,再通过平行证明AFN DFM ∆~∆,从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=,通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =, 从而得出答案.(3)通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒,再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案. 【详解】(1)如图,作EH BM ⊥于H :∵E 为AB 中点,45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ,在Rt OEH ∆中:()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得:2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= (2)如图:连接MD AN ,∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5;(3)作如图:∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ,圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得:254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目,难度较大,掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键.5.A解析:(1)6y x =-+;(2)636S t =-,()6t >;(3)5599y x =+ 【解析】【分析】(1)求出点A 、B 的坐标,从而得出△ABO 是等腰直角三角形,再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形,从而可求得点C 的坐标,将点B 、C 代入可求得解析式;(2)存在2种情况,一种是点D 在线段BC 上,另一种是点D 在线段BC 的延长线上,分别利用三角形的面积公式可求得;(3)如下图,先证ACR CAD ∆≅∆,从而推导出//RD AC ,进而得到CF RG =,同理还可得NF DG =,RD CN =,然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标,代入即可求得.【详解】解:(1)直线6y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,(6,0)A ∴-,(0,6)B .6OA OB ∴==.45BAO ∴∠=︒,180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒,2ABC ACB ∠=∠,45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==,()6,0C ∴.设直线BC 的解析式为y kx b =+,将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+.(2)点D 是射线BC 上一点,点D 的横坐标为t ,(,6)D t t ∴-+,6(6)12AC =--=.如下图,过点D 作DK AC ⊥于点K ,当点D 在线段BC 上时,6DK t =-+,16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<; 如下图,当点D 在线段BC 的延长线上时,6DK t =-,636S t ∴=-()6t >.(3)如图,延长CE 交AB 于点R ,连接DR 交BF 于点G ,交y 轴于点P .45BAO BCO ∠=∠=︒,BA BC ∴=.AO CO =,BO AC ⊥EA EC ∴=,EAC ECA ∴∠=∠.ACR CAD ∴∆≅∆.BAD BCR ∴∠=∠.AR CD ∴=.BR BD ∴=.//RD AC ∴.BH AD ⊥,HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠.MB MC ∴=,∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=.CM MR ∴=.//RD AC ,::1:1CF RG CM RM ∴==.CF RG ∴=.同理NF DG =.RD CN =.∵:7:12NF FC =.:7:12DG RG ∴=.RP PD BP ==,5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=,3019OF ∴=,6OC =,8419CF ∴=. 7RD GN ∴==.1ON ∴=,72PD =.52OP OB BP ∴=-=. (1,0)N ∴-,75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线 DN 的解析式为y ax c =+,将N 、D 两点代入,07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5959 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM的解析式为5599y x=+.【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合,需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识,解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标.6.D解析:(1)6;(2)y=-3x+10(1≤x<103);(2)1769或32【解析】【分析】(1)如下图,利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度,从而得出HB的长,进而得出AD的长;(2)如下图,利用等腰直角三角形的性质,可得PQ、PR的长,然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系,最后根据图形特点得出取值范围;(3)存在2种情况,一种是点P在梯形内,一种是在梯形外,分别根y的值求出x的值,然后根据梯形面积求解即可.【详解】(1)如下图,过点D作BC的垂线,交BC于点H∵∠C=45°,DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形,∠B=90°∴四边形ABHD是矩形,∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC-HC=6∴AD=6(2)如下图,过点P作EF的垂线,交EF于点Q,反向延长交BC于点R,DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理,PR=12y ∵AB=8,∴EB=8-x∵EB=QR∴8-x=()11622x y ++ 化简得:y=-3x+10 ∵y >0,∴x <103 当点N 与点B 重合时,x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=-3x+10+614x +=,解得x=1∴1≤x <103(3)情况一:点P 在梯形ABCD 内,即(2)中的图形 ∵MN=2,即y=2,代入(2)中的关系式可得:x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二:点P 在梯形ABCD 外,图形如下:与(2)相同,可得y=3x -10则当y=2时,x=4,即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质,难点在于第(2)问中确定x 的取值范围,需要一定的空间想象能力. 7.A解析:(1)详见解析;(2)2448x x y -+=(04x <<);(3)当AEG ∆是等腰三角形时,2BF =或43【解析】【分析】 (1)根据正方形的性质得到∠AOD=90°,AO=OD ,∠EOH=90°,OE=OH ,由全等三角形的性质即可得到结论;(2)如图1,过O 作ON ⊥AB 于N ,根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====, 根据勾股定理得到()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+线段成比例定理即可得到结论;(3)①当AE=EG 时,△AEG 是等腰三角形,②当AE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图2,过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图3,过G 作GQ ⊥AE 于Q ,根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论.【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形,,OA OD AC BD ∴=⊥,90AOD ∴∠=︒,∵四边形OEGH 是正方形,,90OE OH EOH ∴=∠=︒,AOD EOH ∴∠=∠,AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠,即HOD EOA ∠=∠,HDO EAO ∴∆≅∆.(2)如图1,过O 作ON⊥AB 于N ,则122AN BN ON AB ====, ∵BF=x,∴AF=4-x ,∴FN=2-x , ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+∴248EF y x x =-+ ∵AM⊥AC,∴AE∥OB,∴BF OF AF EF=, ∴2248448x x x x y x x -+=---+, ∴)24804x x y x x-+≤=<; (3)①当AE=EG 时,△AEG 是等腰三角形,则AE=OE ,∵∠EAO=90°,∴这种情况不存在;②当AE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图2,过A 作AP⊥EG 于P ,则AP∥OE,∴∠PAE=∠AEO,∴△APE∽△EAO,∴PE AE OA OE=,∵AE=AG,∴2421482x xxPE y-+==,()22248xAE yx-=-=,∴()22222224448448xx xxx xx---+=+,解得:x=2,②当GE=AG时,△AEG是等腰三角形,如图3,过G作GQ⊥AE于Q,∴∠GQE=∠EAO=90°,∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°,∴∠EGQ=∠AEO,∵GE=OE,∴△EGQ≌△OEA(AAS),∴22EQ AO==∴224242()xAE E Q-===∴43x =, ∴BF=2或43. 【点睛】本题考查了四边形的综合题,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.8.B解析:(1)12;(2)3)【解析】【分析】(1)如图1中,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,通过构造直角三角形,求出BD 利用三角形面积公式求解即可.(2)如图示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,确定点P 的位置,利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.(3)解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、,通过轴对称性质的转化,最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】(1)如解图1所示,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,135BAC ∠=,180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=,BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,BAD ∴为等腰直角三角形,且90BDA ∠=,BD AD ∴=,在BAD 中,,90BD AD BDA =∠=,222BD AD AB ∴+=,即222BD AB =,4AB =222232BD AB ∴===,解得:4BD =,6AC =,11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=.(2)如解图2所示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M , D 关于AB 的对称点Q ,CQ 交AB 于点P ,PD PQ ∴=,PC PD PC PQ CQ ∴+=+=,点P 为AB 上的动点,PC PD CQ ∴+≥,∴当点P 处于解图2中的位置,PC PD +取最小值,且最小值为CQ 的长度, 点C 为半圆AB 的中点,90COB ∴∠=,90BOD COD COB ∠+∠=∠=,11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=, 10AB =,1110522OD AB ∴==⨯=, 在Rt ODH △中,由作图知,90OHD ∠=,且30HOD BOD ∠=∠=, 155,222DH OD QH DH ∴==∴==, 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭, 由作图知,四边形OMQH 为矩形,553,2OM QH MQ OH ∴==== 515522CM OM OC ∴=+=+=, 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,PC PD ∴+的最小值为53.(3)如解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、, 点P 关于OA 的对称点S ,点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,PE SE ∴=,FP FN =,SOA POA ∠=∠,,NOB POB OS OP ON ∠=∠==,.PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=,SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠,E 为OA 上的点,F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥,∴当点E F 、处于解图3的位置时,PE EF FP ++的长度取最小值,最小值为SN 的长度,45POA POB AOB ∠+∠=∠=,45SOA NOB ∴∠+∠=,454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=.扇形AOB 的半径为20,20OS ON OP ∴===,在Rt SON 中,90SON ∠=,20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容,理解题意,作出辅助线是做题的关键.9.A解析:(1)145;(2)2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩;(3)t的值为477或727.【解析】【分析】(1)如下图,根据4tan3A=,可得出PN与AP的关系,从而求出t的值;(2)如下图,存在2种情况,一种是点M在△ABC内,另一种是点M在△ABC外部,分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解;(3)如下图,存在2种情况,一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分,另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分.【详解】(1)如图1,点N在AC上图1由题意可知:PD=DQ=t ,AP=7-t∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =,即2473t t =- 解得:t=145 (2)①如图2,图2四边形PQMN 是正方形,90BQM ∴∠=︒,45B ∠=︒,BQ MQ ∴=,即72t t -=解得73t =, 故当0t <≤73时,22(2)4S t t ==; ②如图3, 图390BQF ∠=︒,45B ∠=︒,7BQ FQ t ∴==-,45BFQ MFE ∠=∠=︒,则37MF MQ QF t =-=-,90M ∠=︒,37ME MF t ∴==-, 则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭; 综上,2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩. (3)如下图,过点C 作AB 的垂线,交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ,则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14,解得:x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一:PM 所在的直线平分△ABC 的面积,如下图,PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形,∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB-PA=14-(7-t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二:如下图,QN所在线段平分△ABC的面积,QF交AC于点F,过点F作AB的垂线,交AB于点H图6同理,28AFQS=∵四边形PQMN是正方形,∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y,则AH=3y,HQ=FH=4y,∴AQ=7y∴174282AFQS y y==,解得:2∵AQ=AB-QB=14-(7-t)=7+t∴2解得:27∴综上得:t的值为477或727.【点睛】本题考查动点问题,解题关键是根据动点的变化情况,适当划分为几种不同的形式分别分析求解.10.A。
24湖南中考数学压轴题
24湖南中考数学压轴题以下是根据2024年湖南中考数学可能考察的知识点和难度水平,原创设计的8道压轴选择题。
每道题都包含了题目描述、选项、答案以及解析。
一、在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,6),若点C在直线AB上,且AC的长度是AB长度的三分之一,则点C的坐标可能为:A. (2,3)B. (3,4)C. (2,5)D. (3,5)(答案)B解析:首先计算AB的长度,使用距离公式得到AB=√[(4-1)²+(6-2)²]=5。
然后,根据题意,AC=AB/3=5/3。
设点C的坐标为(x,y),由于C在AB上,可以根据A、B的坐标求出直线AB 的方程,再联立AC的长度公式,解出x和y的值。
经过计算,可以得到点C的坐标为(2,3)或(3,4),但考虑到C可能在A和B之间,也可能在B的延长线上,结合题意和选项,只有(3,4)满足条件。
二、若关于x的一元二次方程x²+2(m-1)x+m²-1=0有两个相等的实数根,则m的值为:A. 0B. 1C. 2D. -1(答案)B解析:一元二次方程有两个相等的实数根,即判别式Δ=0。
将方程的系数代入判别式,得到[2(m-1)]²-4(m²-1)=0,化简后得到m=1。
三、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在边AD上,且AE=2,点F在边BC上,连接EF,将△AEF沿EF翻折,使得点A落在点G处,连接GF,若GF⊥BC,则GF的长度为:A. 4B. 5C. 6D. 8(答案)C解析:由于GF⊥BC,且ABCD是矩形,所以GF∥AB。
设GF与EF交于点H,由于△AEF翻折得到△GEF,所以AE=GE=2,且∠AEF=∠GEF。
又因为AD∥BC,所以∠AEF=∠EFC。
由此可以得到∠GEF=∠EFC,所以GF=GE=2。
再根据相似三角形的性质,可以得到GF/AB=FC/ED,设FC=x,则ED=8-x,代入得到GF/6=x/(8-x),解得x=4,所以GF=2+4=6。
2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案
韦达定理1.基础公式:(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式:(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围;(2)设方程两个实数根分别为x 1,x 2,且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4,求k 的值.【答案】解:(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0,解得k >-112且k ≠0;(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ,x 1∙x 2=-3k,∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4,∴-1k 2-3k=4,整理得4k 2+3k -1=0,解得k 1=14,k 2=-1,∵k >-112且k ≠0,∴k =14.2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x21+x22=8-3x1x2,求m的值.【答案】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根.∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0,解得:m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1,x2,∴x1+x2=2m-2,x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2,即5m2-8m-4=0,解得:m1=-25,m2=2(舍去),∴实数m的值为-25.3已知a,b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根.(1)若a-1b-1=39,求m的值;(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7,若a,b恰好是ΔAOB另外两边的边长,求这个三角形的周长.【答案】解:(1)∵a,b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根,∴a+b=2m+1,ab=m2+5,∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39,解得m=-5或m=7,当m=-5时,原方程无解,故舍去,∴m=7.(2)①当7为底边时,此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根,∴Δ=4m+12-4m2+5=0,解得m=2,∴方程变为x2-6x+9=0,解得a=b=3,∵3+3<7,∴不能构成三角形.②当7为腰时,设a=7,代入方程得:49-14m+1+m2+5=0,解得:m=10或4,当m=10时,方程变为x2-22x+105=0,解得x=7或15,∴b=15,∵7+7<15,∴不能组成三角形;当m=4时,方程变为x2-10x+21=0,解得x=3或7,∴b=3,∴此时三角形的周长为7+7+3=17.综上所述,三角形的周长为17.4阅读材料:如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1∙x2=ca.借助该材料完成下列各题:(1)若x1,x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根,则x1+x2=,x1∙x2=.(2)若x1,x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根,x21+x22=,1x1+1x2=.(3)若x1,x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根,且x21+x22=13,求m的值.【答案】解:(1)∵x1,x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根,∴x1+x2=--41=4,x1∙x2=51=5.(2)∵x1,x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根,∴x1+x2=-6,x1∙x2=-3,∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42,1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2.(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根,∴Δ=m-32-4m+8≥0,即m≥5+43,或m≤5-43,∵x1,x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根,∴x1+x2=m-3,x1∙x2=m+8,∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13,即m-32-2m+8=13,解得,m=-2或m=10.即m的值是-2或10.5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4,则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”.(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c=;(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”,求代数式2mnm2+n2的值;(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”,且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根,求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根.【答案】解:(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a,2a,由根与系数的关系,得a+2a=3,a×2a=c,解得a=1,则2a=2.∴c=2.(2)由方程x-2mx-n=0m≠0,解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”,∴n m =1或nm=4,当nm=1时,2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1;当nm=4时,2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5,变形,得ax2+bx+c-5=0,由根与系数的关系,得k+1+3-k=-ba,即-ba=4.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”,∴x1+x2=4,假设x1=2x2,则3x2=4,解得x2=43,则x1=83,故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1,x2满足x1 +x2 =2x1x2-3,求实数k的值.【答案】解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0,∴k<512.(2)∵k<512,∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0,∴x1<0,x2<0,∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3,得-2k+3=2k2+2-3,即k2+k-2=0,∴k1=-2,k2=1.又∵k<5 12,∴k=-2.7已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22,且m为整数,求m的值.【答案】解:(1)根据题意得:Δ=-22-4×2×m+1≥0解得:m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得:x1+x2=1,x1∙x2=m+12,∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1,x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根,并且x1≠x2,(1)求实数k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.(3)若x1-x2=6,求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解:(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k.∵方程有两个不相等的实数根,∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k为正整数,∴0<k<52,即k=1或2,根据配方法可得:x+12=4-2k+1=5-2k,解得x=-1±5-2k;∵方程的根为整数,∴5-2k为完全平方数,当k=1时,5-2k=3,舍去;当k=2时,5-2k=1;∴k=2.(3)已知x1,x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根,则x1+x2=-2,x1∙x2=2k-4,则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6,解得k=-2,即x1x2=2×-2-4=-8,所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0.(1)若方程有实数根,求k的取值范围;(2)若x1,x2是原方程的根,是否存在实数k,使2x1-x2x1-2x2=-32成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)∵方程有实数根,∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0,∴k≤0,∵方程是一元二次方程,∴4k≠0,即k≠0,∴k的取值范围为k<0;(2)不存在,理由如下:∵x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0,且4k≠0,解得k<0.∵x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,∴x1+x2=1,x1x2=k+14k,∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k,若-k-94k=-32成立,则k=9 5,∵k<0,则k=95不成立,∴不存在这样k的值.10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0.(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根;(2)设x 1,x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值;②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2,那么S 的值能为2吗?若能,求出此时k 的值;若不能,请说明理由.【答案】(1)证明:当k =1时,原方程可化为2x +2=0,解得:x =-1,此时该方程有实数根;当k ≠1时,方程是一元二次方程,∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.综上所述,无论k 为何值,方程总有实数根.(2)解:①由根与系数关系可知,x 1+x 2=-2k k -1,x 1x 2=2k -1;②若S =2,则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2,即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2,将x 1+x 2,x 1x 2代入整理得:k 2-3k +2=0,解得:k =1(舍)或k =2,∴S 的值能为2,此时k =2.韦达定理1.基础公式:(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式:(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围;(2)设方程两个实数根分别为x 1,x 2,且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4,求k 的值.2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x21+x22=8-3x1x2,求m的值.3已知a,b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根.(1)若a-1=39,求m的值;b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7,若a,b恰好是ΔAOB另外两边的边长,求这个三角形的周长.4阅读材料:如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1∙x2=ca.借助该材料完成下列各题:(1)若x1,x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根,则x1+x2=,x1∙x2=.(2)若x1,x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根,x21+x22=,1x1+1x2=.(3)若x1,x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根,且x21+x22=13,求m的值.5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4,则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”.(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c=;(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”,求代数式2mnm2+n2的值;(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”,且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根,求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1,x2满足x1 +x2 =2x1x2-3,求实数k 的值.7已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22,且m为整数,求m的值.48已知x1,x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根,并且x1≠x2,(1)求实数k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.(3)若x1-x2=6,求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0.(1)若方程有实数根,求k的取值范围;(2)若x1,x2是原方程的根,是否存在实数k,使2x1-x2x1-2x2=-32成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0.(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根;(2)设x1,x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值;②若S=x2x1+x1x2+x1+x2,那么S的值能为2吗?若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.6。
中考数学综合压轴题100题(含答案)
中考数学综合压轴题100题(含答案)一、中考压轴题1.如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.(1)试问△OBC与△ABD全等吗?并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由;(3)如图2,以OC为直径作圆,与直线DE分别交于点F、G,设AC=m,AF=n,用含n的代数式表示m.【分析】(1)由等边三角形的性质知,OBA=∠CBD=60°,易得∠OBC=∠ABD,又有OB=AB,BC=BD故有△OBC≌△ABD;(2)由1知,△OBC≌△ABD⇒∠BAD=∠BOC=60°,可得∠OAE=60°,在Rt△EOA 中,有EO=OA•tan60°=,即可求得点E的坐标;(3)由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=,由切割线定理知,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,由勾股定理知,AE==2,故建立方程:()2=(2﹣)(2+n),就可求得m与n关系.【解答】解:(1)两个三角形全等.∵△AOB、△CBD都是等边三角形,∴OBA=∠CBD=60°,∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,即∠OBC=∠ABD;∵OB=AB,BC=BD,△OBC≌△ABD;(2)点E位置不变.∵△OBC≌△ABD,∴∠BAD=∠BOC=60°,∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°;在Rt△EOA中,EO=OA•tan60°=,或∠AEO=30°,得AE=2,∴OE=∴点E的坐标为(0,);(3)∵AC=m,AF=n,由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=;又∵OC是直径,∴OE是圆的切线,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,AE==2,()2=(2﹣)(2+n)即2n2+n﹣2m﹣mn=0解得m=.【点评】命题立意:考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识,并且将这些知识与坐标系联系在一起,考查综合分析、解决问题的能力.2.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.3.如图,一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,P为AB的中点,PC⊥x轴于点C,延长PC交反比例函数y=(x<0)的图象于点Q,且tan∠AOQ=.(1)求k的值;(2)连接OP、AQ,求证:四边形APOQ是菱形.【分析】(1)由一次函数解析式确定A点坐标,进而确定C,Q的坐标,将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值.(2)由(1)可分别确定QC=CP,AC=OC,且QP垂直平分AO,故可证明四边形APOQ是菱形.【解答】(1)解:∵y=﹣x﹣2令y=0,得x=﹣4,即A(﹣4,0)由P为AB的中点,PC⊥x轴可知C点坐标为(﹣2,0)又∵tan∠AOQ=可知QC=1∴Q点坐标为(﹣2,1)将Q点坐标代入反比例函数得:1=,∴可得k=﹣2;(2)证明:由(1)可知QC=PC=1,AC=CO=2,且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,又结合了几何图形进行考查,属于综合性比较强的题目,有一定难度.4.如图,反比例函数的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A,求这个一次函数的解析式.【分析】(1)由△AOB的面积为2,根据反比例函数的比例系数k的几何意义,可知k的值,得出反比例函数的解析式,然后把x=4代入,即可求出b的值;(2)把点A的坐标代入y=ax﹣3,即可求出这个一次函数的解析式.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b),∴OB×AB=2,×4×b=2,∴AB=b=1,∴A(4,1),∴k=xy=4,∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1.(2)∵A(4,1)在一次函数y=ax﹣3的图象上,∴1=4a﹣3,∴a=1.∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3.【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.5.如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此时,M是线段PQ的中点.如图,在直角坐标系中,△ABO的顶点A,B,O的坐标分别为(1,0),(0,1),(0,0).点列P1,P2,P3,…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称:点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与点P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A,B,O,A,B,O,…,且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),试求出点P2,P7,P100的坐标.【分析】通过作图可知6个点一个循环,那么P7的坐标和P1的坐标相同,P100的坐标与P4的坐标一样,通过图中的点可很快求出.【解答】解:P2的坐标是(1,﹣1),P7的坐标是(1,1),P100的坐标是(1,﹣3).理由:作P1关于A点的对称点,即可得到P2(1,﹣1),分析题意,知6个点一个循环,故P7的坐标与P1的坐标一样,P100的坐标与P4的坐标一样,所以P7的坐标等同于P1的坐标为(1,1),P100的坐标等同于P4的坐标为(1,﹣3).【点评】解决本题的关键是读懂题意,画出图形,仔细观察,分析,得到相应的规律.6.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.7.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.8.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.9.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.10.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.11.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∴∠DBA=∠A=60°∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.12.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.13.(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=﹣p,x1•x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(﹣1,﹣1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.【分析】(1)先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可;(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可知d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2,再由(1)中x1+x2=﹣p,x1•x2=q即可得出结论.【解答】证明:(1)∵a=1,b=p,c=q∴△=p2﹣4q∴x=即x1=,x2=∴x1+x2=+=﹣p,x1•x2=•=q;(2)把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得1﹣p+q=﹣1,所以,q=p﹣2,设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)∵d=|x1﹣x2|,∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4当p=2时,d2的最小值是4.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系,熟知x1,x2是方程x2+px+q =0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q是解答此题的关键.14.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.15.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明理由.(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.16.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.17.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.18.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.19.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.20.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.21.如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,(1)求的长;(2)若,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由.【分析】(1)连接OE、OF,利用相切证明四边形AFOE是正方形,再根据弧长公式求弧长;(2)先求出直线M1N1与圆相切时d的值,结合1≤d≤4,划分d的范围,分类讨论.【解答】解:(1)连接OE、OF,∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,∴∠A=90°,∠OEA=∠OF A=90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF=90°,OE=AE=∴的长==π.(2)如图,将直线MN沿射线DA方向平移,当其与⊙O相切时,记为M1N1,切点为R,交AD于M1,交BC于N1,连接OM1、OR,∵M1N1∥MN∴∠DM1N1=∠DMN=60°∴∠EM1N1=120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O=∠EM1N1=60°在Rt△EM1O中,EM1===1∴DM1=AD﹣AE﹣EM1=+5﹣﹣1=4.过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2,∴当d=2时,直线MN与⊙O相切,当1≤d<2时,直线MN与⊙O相离,当直线MN平移到过圆心O时,记为M2N2,点D到M2N2的距离d=DK+OR=2+=3>4,∴当2<d≤4时,MN直线与⊙O相交.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定.22.如图,AD是⊙O的直径.(1)如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是22.5°,∠B2的度数是67.5°;(2)如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;(3)如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,B n∁n把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案).【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数,根据圆周角等于所对弧的度数的一半,就可以求出圆周角的度数.【解答】解:(1)垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则是圆的,因而度数是45°,因而∠B1的度数是22.5°,同理的度数是135度,因而,∠B2的度数是67.5°;(2)∵圆周被6等分∴===360°÷6=60°∵直径AD⊥B1C1∴==30°,∴∠B1==15°∠B2==×(30°+60°)=45°∠B3==×(30°+60°+60°)=75°;(3)B n∁n把圆周2n等分,则弧BnD的度数是:,则∠B n AD=,在直角△AB n D中,.【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题,依据是圆周角等于所对弧的度数的一半.23.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,然后由题意得,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1,再利用小明的解法求解即可;(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得,即,然后利用比例的性质,即可求得答案.。
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一、解答题1.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B =90°,AB =4,BC =8,CD =2m (m >2),P 为CD 中点,以P 为圆心,CP 为半径作半圆P ,交线段AC 于点E ,交线段AD 于点F .(1)当E 为CA 中点时,①求证:E 是弧CF 的中点.②求此时m 的值.(2)连结PF ,若PF 平行△ABC 的某一边时求出满足条件的m 值.(3)连结PE ,将PE 绕着点E 顺时针旋转90°得到EP ',连结AP ',当AP '⊥AC 时,求此时CE 的长.2.如图1,在菱形ABCD 中,∠D =120°,AB =8,点M 从A 开始,以每秒1个单位的速度向点B 运动;点N 从C 出发,沿C →D →A 方向,以每秒2个单位的速度向点A 运动,若M 、N 同时出发,其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒,过点N 作NQ ⊥DC ,交AC 于点Q .(1)当t =2时,求线段NQ 的长;(2)设△AMQ 的面积为S ,直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围;(3)在点M 、N 运动过程中,是否存在t 值,使得△AMQ 为等腰三角形?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x bx c =-++,与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B .且点()0,5A ,()5,0B ,点P 为抛物线上的一动点.(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,过点A 作AC 平行于x 轴,交抛物线于点C ,若点P 在AC 的上方,作PD 平行于y 轴交AB 于点D ,连接PA ,PC ,当245AOE APCD S S ∆=四边形时,求点P 坐标; (3)设抛物线的对称轴与AB 交于点M ,点Q 在直线AB 上,当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时,请直接写出点Q 的坐标.4.如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,OA =1,OB =OC =3.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点D 为第一象限抛物线上一动点,连接DC ,DB ,BC ,设点D 的横坐标为m ,△BCD 的面积为S ,求S 的最大值;(3)如图2,点P (0,n )是线段OC 上一点(不与点O 、C 重合),连接PB ,将线段PB 以点P 为中心,旋转90°得到线段PQ ,是否存在n 的值,使点Q 落在抛物线上?若存在,请求出满足条件的n 的值,若不存在,请说明理由.5.如图,抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点.(1)在第二象限内的抛物线上确定一点P ,使四边形PBOC 的面积最大.求出点P 的坐标.(2)点M 为抛物线上一动点,x 轴上是否存在一点Q ,使点B 、C 、M 、Q 的顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.6.已知抛物线经过()30A -,,()1,0B ,52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点,其对称轴交x 轴于点H ,一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点C ,与抛物线交于另一点D (点D 在点C 的左边),与抛物线的对称轴交于点E . (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点F ,使得点A 、B 、E 、F 构成的四边形是平行四边形,如果存在,求出点F 的坐标,若不存在请说明理由(3)设∠CEH=α,∠EAH =β,当αβ>时,直接写出k 的取值范围7.如图1,直线l 1:y =kx 与直线l 2:y =﹣12x +b 相交于点A (4,3),直线l 2:y =﹣12x +b 与x 轴交于点B ,点E 为线段AB 上一动点,过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ,连接BF .(1)求k、b的值;(2)如图2,若点F坐标为(8,6),∠OFE的角平分线交x轴于点M.①求线段OM的长;②点N在直线l1的上方,当△OFN和△OFM全等时,直接写出点N的坐标.8.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,3).(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式;(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方,连接PA、PD,求当△PAD面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值;(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.9.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙是△ABC的外接圆,连接BO并延长交边AC于点D.(1)如图1,求证:∠BAC=2∠ABD;(2)如图2,过点B作BH⊥AC于点H,延长BH交⊙O于点G,连接OC,CG,OC交BG于点F,求证:BF=2HG;(3)如图3,在(2)的条件下,若AD=2,CD=3,求线段BF的长.10.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A(﹣20,0),与y轴相交于点B(0,﹣15).(1)求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式;(2)如图2,点C是第三象限内抛物线上的一个动点,连接AC、BC,直线OC与直线AB 相交于点D,当△ABC的面积最大时,求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标;(3)在(2)的条件下,点E为线段OD上的一个动点,点E从点O开始沿OD以每秒10个单位长度的速度向点D运动(运动到点D时停止),以OE为边,在OD的左侧做正方形OEFG,设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S,运动时间为t秒.当t>3时,请直接写出S与t之间的函数关系式为(不必写出t的取值范围).11.在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)和点B(c,d).给出如下定义:以AB为边,作等边三角形ABC,按照逆时针方向排列A,B,C三个顶点,则称等边三角形ABC为点A,B的逆序等边三角形.例如,当1,0,3,0a b c d=-===时,点A,B的逆序等边三角形ABC如图①所示.(1)已知点A(-1,0),B(3,0),则点C的坐标为___;请在图①中画出点C,B的逆序等边三角形CBD,点D的坐标为___.(2)图②中,点B(3,0),点A在以点M(-2,0)为圆心1为半径的圆上,求点A,B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围.(3)图③中,点A在以点M(-2,0)为圆心1为半径的圆上,点B在以N(3,0)为圆心2为半径的圆上,且点B的纵坐标0d>,点A,B的逆序等边三角形ABC如图③所示.若点C 恰好落在直线y x t=+上,直接写出t的取值范围.12.已知:如图1,一次函数y=mx+5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=-23x的图像交于点C,点C的横坐标为-3.(1)求点B的坐标;(2)若点Q为直线OC上一点,且S△QAC=2S△AOC,求点Q的坐标;(3)如图2,点D为线段OA上一点,∠ACD=∠AOC.点P为x轴负半轴上一点,且点P到直线CD和直线CO的距离相等.①在图2中,只利用圆规.....作图找到点P的位置; (保留作图痕迹,不得在图2中作无关元素.)②求点P的坐标.13.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于线段AB,给出如下定义:若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′,则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,直线l称为“反射轴”.(1)如图,线段CD,EF,GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有;(2)已知A点坐标为(0,2),B点坐标为(1,1),①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,求反射轴l与y轴的交点M的坐标.②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S,其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM136≤,求S.(3)已知点M,N是在以原点为圆心,半径为2的圆上的两个动点,且满足MN=1,若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,当M点在圆上运动一周时,求反射轴l未经过的区域的面积.(4)已知点M,N是在以(2,013MN2=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,当M点在圆上运动一周时,请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围.14.△ABC为等边三角形,AB=4,AD⊥BC于点D,点E为AD的中点.(1)如图1,将AE绕点A顺时针旋转60°至AF,连接EF交AB于点G,求证:G为EF中点.(2)如图2,在(1)的条件下,将△AEF绕点A顺时针旋转,旋转角为α,连接BE,H为BE的中点,连接DH,GH.当30°<α<120°时,猜想∠DHG的大小是否为定值,并证明你的结论.(3)在△AEF绕点A顺时针旋转过程中,H为BE的中点,连接CH,问线段CH何时取得最大值,请说明理由,并直接写出此时△ADH的面积.15.在ABC中,AB AC=,D是边AC上一点,F是边AB上一点,连接BD、CF交于点E,连接AE,且.(1)如图1,若90BAC∠=︒,,,求点B到AE的距离;(2)如图2,若E为BD中点,连接FD,FD平分,G为CF上一点,且,求证:;(3)如图3,若,12BC=,将ABD△沿着AB翻折得,点H为的中点,连接HA、HC,当周长最小时,请直接写出的值.16.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,D为抛物线顶点.(1)连接AD,交y轴于点E,P是抛物线上的一个动点.①如图一,点P是第一象限的抛物线上的一点,连接PD交x轴于F,连接,若,求点P的坐标.②如图二,点P在第四象限的抛物线上,连接AP、BE交于点G,若,则w有最大值还是最小值?w的最值是多少?(2)如图三,点P是第四象限抛物线上的一点,过A、B、P三点作圆N,过点P作PM x⊥轴,垂足为I,交圆N于点M,点P在运动过程中,线段是否变化?若有变化,求出MI的取值范围;若不变,求出其定值.(3)点Q是抛物线对称轴上一动点,连接OQ、AQ,设AOQ外接圆圆心为H,当的值最大时,请直接写出点H的坐标.17.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC,点A在y轴上,点C在x轴上,其中B(﹣2,3),已知抛物线y=﹣34x2+bx+c经过点A和点B.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,点D (﹣2,﹣1)在直线BC 上,点E 为y 轴右侧抛物线上一点,连接BE 、AE ,DE ,若S △BDE =4S △ABE ,求E 点坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,P 为射线DB 上一点,作PQ ⊥直线DE 于点Q ,连接AP ,AQ ,PQ ,若△APQ 为直角三角形,请直接写出P 点坐标.18.如图1,点A ,点B 的坐标分别(a ,0),(0,b ),且b =+4,将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BC .(1)直接写出a = ,b = ,点C 的坐标为 ;(2)如图2,作CD ⊥x 轴于点D ,点M 是BD 的中点,点N 在△OBD 内部,ON ⊥DN ,求2+ON =DN .(3)如图3,点P 是第二象限内的一个动点,若∠OPB =90°,求线段CP 的最大值.19.如图1,已知抛物线)(3343y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,(1)写出A 、B 、C 三点的坐标.(2)若点P 为OBC 内一点,求OP BP CP ++的最小值.(3)如图2,点Q 为对称轴左侧抛物线上一动点,点()4,0D ,直线DQ 分别与y 轴、直线AC 交于E 、F 两点,当CEF △为等腰三角形时,请直接写出CE 的长.20.已知等边△ABC ,M 在边BC 上,MN ⊥AC 于N ,交AB 于点P .(1)求证:BP =BM ;(2)若MC =2BM ,求证:MP =MN .(3)若E ,F 分别在AB 、AC 上,且△MEF 为等边三角形,当MEF ABC S S ∆∆的值最小时,BM BC= .【参考答案】**科目模拟测试 一、解答题 1.(1)①见解析;②5m =;(2)m 的值为25或6;(3)25CE =【解析】【分析】(1)①连接DE ,证明ADC ∆是等腰三角形,根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠,证得EC EF =,从而可得结论;②根据勾股定理得到AC 45=,由E 为AC 中点得EC 25=,再证明DEC CBA ,由相似三角形的性质列出比例式,求出m 的值即可;(2)分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可; (3)设CE =x ,作PG ⊥AC ,则2x GE =,45AE x =- 证明PGE EAP '≅得AP GE '=,再证明AP EBAC ',列比例式求出x 的值即可.【详解】解:(1)如图,连接DE∵CD 是圆P 的直径,∴∠DEC =90°,即DE ⊥AC∵E 为CA 中点∴AE =CE∴AD =CD∴ADE CDE ∠=∠∴EC EF =∴E 是CF 的中点;②在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =4,BC =8,∴22224845AC AB BC +=+∵E 是AC 的中点∴11452522EC AC ==⨯= ∵AB //CD ,90B ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒∴90DCB∠=︒,即90DCE BCA∠+∠=︒∵90CDE DCE∠+∠=︒∴CDE BCA∠=∠又90B DEC∠=∠=︒∴DEC CBA∆∆∽∴CE DCAB AC=,即252=445m解得,5m=;(2)分两种情况:①当PF//AC时,如图,则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD=,即245PF mm=∴25=PF∴25m=②当PF//BC时,如图,过点A作AH⊥DC,垂足为H,则四边形AHCB是矩形,∴AH//BC,HC=AB=4,AH=BC=8∴PF//AH∵90DCB∠=︒∴90FPD∠=︒∴45PDF PFD∠=∠=︒∴45HAD HDA∠=∠=︒∴DH=AH,即248m-=解得,6m=综上,m的值为256;(3)过点P 作PG AC ⊥于点G ,如图,∵PE =PC ∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠ ∵90PEP '∠=︒∴90P EA PEG '∠+∠=︒又90PEG GPE ∠+∠=︒∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒,PE P E '=∴P AE EPG '∆≅∆∴AP GE '=设CE x =,则45,2x AE x GE AP '=== ∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒∴GPC BCA ∠=∠∴EPG BCP ∠=∠∴P EA BCA '∠=∠又90P AE B '∠=∠=︒∴AP E BAC '∆∆ ∴AP AB AE BC '=42825x = ∴5x =25CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,圆的基本概念,相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键.2.(143;(2)S =()()22330434348t t t ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩<;(3)存在,当t =247s 或(32-163)s或163s时,△AMQ为等腰三角形.【解析】【分析】(1)首先求得CN的长,在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长;(2)当0≤t≤4时,N在CD上,首先求得CQ,则AQ长即可求得,再根据△CAB=30°,AM=t,据此即可求得△AMQ的长;当4<t≤8时,利用相似求得AQ的长,进而求得△AMQ的面积,得到函数解析式;(3)分三种情形讨论求解即可.【详解】解:(1)当t=2时,CN=2×2=4,∵在△ACD中,AD=DC,∴∠DCA=1801202︒-︒=30°,在直角△CNQ中,NQ=CN•tan30°=4×33=433;(2)由题意得,AM=t,当0≤t≤4时,CN=2t,∵∠D=120°,AB=CD=8,∴∠DCA=30°,连接BD,与AC相交于点定O,过点Q作QG⊥AB于点G,∴OC=CD•cos30︒3AC3∴在Rt△CNQ中,NQ23t,CQ43t,∴AQ=AC-CQ343,QG=12AQ,∴S=12AM• QG =233t+,当4<t≤8时,延长QN,交AB于G,交CD延长线于H,如图:ND =2t -8,∠HDN =60°,∴HD =12ND =t -4, ∴CH =t -4+8=t +4,∴CQ =23cos303CH =︒(t +4), ∴AQ =AC -CQ =83-233(t +4),QG =12AQ , S =12•AM • QG 234363t t =-+. 综上,S =()()223230433434863t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩<; (3)①当0<t ≤4时,只有MA =MQ 符合条件,过点M 作ME ⊥AC 于点E ,则AE =EQ =AM •cos30︒=32t , ∴AQ =3t ,由(2)知AQ 343, 3433, 解得t =247; ②当4<t ≤8时,由(2)知AQ 323t +4),AQ =AM 时,)4t +=t ,解得tAQ =MQ 时,AM ,t )4t ⎤+⎥⎦, 解得t =163.综上所述,当t =247s 或(s 或163s 时,△AMQ 为等腰三角形. 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数,正确进行分请情况进行讨论是关键.3.(1)245y x x =-++;(2)1(2,9)P ,2(3,8)P ;(3)1(9,4)Q -,2(0,5)Q ,3(1,6)Q -,4(5,10)Q -【解析】【分析】(1)直接将(0,5)A ,(5,0)B 代入2y x bx c =-++,求解即可;(2)先求出AB 的解析式,设点P 的横坐标为t ,则()2,45P t t t -++,(,5)D t t -+,用t 表示出PD ,最后利用245AOE APCD S S ∆=四边形求出结果; (3)分三种情况讨论解答:①当EM 为平行四边形的对角线时;②当EP 为对角线时;③当EQ 为对角线时.【详解】(1)将点(0,5)A ,(5,0)B 分别代入2y x bx c =-++得25505b c c -++=⎧⎨=⎩, 45b c =⎧∴⎨=⎩, ∴二次函数的解析式为245y x x =-++;(2)//AC x 轴,点()0,5A ,∴当5y =时,2455x x -++=,10x ∴=,24x =,()4,5C ∴,4AC ∴=,设直线AB 的解析式为y mx n =+,将(0,5)A ,(5,0)B 分别代入得505n m n =⎧⎨=+⎩, 解得:1m =-,5n =∴直线AB 的解析式为5y x =-+;设点P 的横坐标为t ,则()2,45P t t t -++,(,5)D t t -+()2245(5)5PD t t t t t ∴=-++--+=-+,4AC =,()22114521022APCD S AC PD t t t t ∴=⨯=⨯⨯-+=-+四边形 函数245y x x =-++,当0y =时,有2450x x -++=,11x ∴=-,25x =,(1,0)E ∴-,1OE ∴=,又5OA =,11515222AOE S OE OA ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=, 245AOE APCD S S ∆=四边形, 22452101252t t ∴-+=⨯=, 解得:12t =,23t =,∴点1(2,9)P ,2(3,8)P ;(3)∵2(2)9y x =--+,∴当x =2时,y =-2+5=3,∴M (2,3),设P (m ,2(2)9m --+,(,5)Q n n -+,而E (-1,0),①当EM 为平行四边形的对角线时,(平行四边形的对角线互相平分)得:21222(2)950322m n m n +-+⎧=⎪⎪⎨--+-++⎪=⎪⎩, 解得121261,52m m n n ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (舍), ∴点Q 的坐标为(-5,10);②当EP 为对角线时,212220(2)93522m m m n -++⎧=⎪⎪⎨--+-+⎪=⎪⎩,解得121223,10m m n n ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩, ∴点Q 的坐标为(-1,6)或(0,5);③当EQ 为对角线时,21222053(2)922n m n m -++⎧=⎪⎪⎨-+--+⎪=⎪⎩, 解得121261,92m m n n ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩(舍), 点Q 的坐标为(9,-4),综上所得:1(9,4)Q -,2(0,5)Q ,3(1,6)Q -,4(5,10)Q -.【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式,平行四边形的性质和判定,解本题的关键是分类思想的运用.4.(1)2y x 2x 3=-++;(2)278;(3)存在,n =1或n 3+33- 【解析】【分析】(1)通过待定系数法求解函数解析式即可;(2)作DF ⊥x 轴于点F ,交BC 于点E ,根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式,根据二次函数的性质求解即可;(3)过点P 作PB 的垂线,交抛物线于点1Q 和2Q ,作1Q M y ⊥轴于点M ,2Q N y ⊥轴于点N ,利用全等三角形的性质求解即可.【详解】解:(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意,得A (-1,0),B (3,0),C (0,3)∴(1)(3)y a x x =+-把C (0,3)代入得,1a =-∴2y x 2x 3=-++(2)作DF ⊥x 轴于点F ,交BC 于点E设直线BC 关系式为y =kx +b ,代入(3,0),(0,3)得k =-1,b =3,∴y =-x +3∵点D 的横坐标为m ,则DF =223m m -++,EF =-m +3∴DE =23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+ ∵302-<,∴S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线,交抛物线于点1Q 和2Q ,作1Q M y ⊥轴于点M ,2Q N y ⊥轴于点N∴1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒∵1190Q PM PQ M ∠+∠=︒,190Q PM BPO ∠+∠=︒,∴1PQ M BPO ∠=∠又∵1BP PQ =,∴1Q PM PBO △≌△∴1MQ OP n ==,3MP OB ==,∴1()3Q n n +,代入抛物线,得2323n n n +=-++解得11n =,20n =(舍去)同理,2PN Q PBO ≌,∴2Q (-n ,n -3)代入抛物线,得2323n n n =-+-- 解得13+33n -=2333n --=舍去) 综上,存在n 的值,n =1或n 3+33-【点睛】 此题考查了二次函数与几何的综合应用,涉及了待定系数法求解析式,二次函数的性质,全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质.5.(1)315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)Q 1(-5,0),Q 2(-1,0),Q 3 ()720,,Q 4)720,. 【解析】【分析】(1)分别求出点B 、C 的坐标,连接PB ,PC ,PO ,设点P 坐标为()2,23m m m --+,四边形PBOC 的面积为S ,根据=BOP COP S S S +△△得到S 关于m 的二次函数解析式,根据二次函数的性质即可求解;(2)分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论,分别求出点M 的坐标,根据平行四边形的性质即可求出点Q 的坐标. 【详解】解:(1)把0x =代入223y x x =--+得y =3, ∴点C 坐标为(0,3);把y =0代入223y x x =--+得2x 2x 30--+=, 解得123,1x x =-=, ∵点B 在x 轴负半轴上, ∴点B 坐标为(-3,0); 如图1,连接PB ,PC ,PO ,∵点P 在第二象限抛物线223y x x =--+上,∴设点P 坐标为()2,23m m m --+(-3<m <0),设四边形PBOC 的面积为S , ∴=BOP COP S S S +△△2211232m m OB O m C =--++ ()()2332223m m m +=+--- 2399222m m =--+, ∵302-<,∴当322b m a =-=-时,S 有最大值, 此时,215234m m --+=, ∴当点P 坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时,四边形PBOC 的面积最大;(2)存在,如图2,分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论. ①当点M 在x 轴上方时,点M 与点C 纵坐标相等,∴2233x x --+=, 解得122,0x x =-=, ∴CM 1=2,∵四边形BQCM 1是平行四边形, ∴CM =BQ =2,∴满足条件的点Q 有两个,分别是Q 1(-5,0),Q 2(-1,0); ②当点M 在x 轴下方时,点M 与点C 纵坐标互为相反数, ∴2233x x --+=-, 解得1271,71x x =--=-,∴点M 2坐标为()713---,,点M 3坐标为()713--,,由平行四边形的性质得点B 向右平移3个单位,向上平移3个单位得到点C ,∴点M 2向右平移3个单位,向上平移3个单位得到点Q 3,点M 3向右平移3个单位,向上平移3个单位得到点Q 4,∴Q 3的坐标为()720-+,,Q 4的坐标为()720+,;综上所述,满足条件的点Q 的坐标有四个,分别是Q 1(-5,0),Q 2(-1,0),Q 3()720-+,,Q 4()720+,.【点睛】本题为二次函数综合题,难度较大,解决第(1)步,关键是理解函数图象上点的坐标特点,将四边形分割为两个三角形,分别表示出三角形面积,得到函数解析式,并利用二次函数性质求解;解决第(2)步关键是理解平行四边形的性质,利用分类讨论思想求解,注意要充分考虑各种情况,不要漏解.6.(1)y =12x 2+x −32;(2)(3,6)或(-5,6)或(−1,-2);(3)−12<k <56且k≠0或56<k<43【解析】【分析】(1)把A(−3,0),B(1,0),52,2C⎛⎫⎪⎝⎭代入y=ax2+bx+c,解方程组即可;(2)把C点坐标代入直线CD,得2k+b=52,分两种情况:①若AB为平行四边形的边时,②若AB为平行四边形的对角线时,得关于k、b的方程组,解方程组即可求解;(3)分两种情况:①当E点在x轴上方时,②E点在x轴下方时,根据当α=β时,列方程,可求出k的值,进而求出k的取值范围.【详解】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,∵抛物线经过A(−3,0),B(1,0),C(2,52)三点,∴9305 422a b ca b ca b c⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩,∴12132abc⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩===,∴抛物线的解析式为y=12x2+x−32;(2)如图1所示,将C点坐标代入直线CD,得2k+b=52,当x=−1时,y=−k+b,即E(−1,−k+b).①若AB为平行四边形的边时,则F(-1+4,−k+b)或F(-1-4,−k+b),即:F(3,−k +b )或F (-5,−k +b ), 把F (3,−k +b )代入y =12x 2+x −32,得−k +b =6, 把F (-5,−k +b ),代入y =12x 2+x −32,得−k +b =6, 又∵2k +b =52, ∴k =76-,b =296∴F (3,6)或(-5,6);②若AB 为平行四边形的对角线时,则F 和E 关于x 轴对称, ∴F (−1,k -b ), ∴k -b =-2, 又∵2k +b =52, ∴k =16,b =136,∴F (−1,-2),综上所述:F 的坐标为(3,6)或(-5,6)或(−1,-2); (3)如图2所示,①当E 点在x 轴上方时,如图2所示,当α=β时,∵∠EHA =90°, ∴∠AEC =90°, ∴∠AEH =∠EGH , ∵∠AHF =∠FHG =90°, ∴AHF FHG ∽, ∴AE AHEG EH=, ∵A (−3,0),E (−1,−k +b ),G (bk-,0),∴()()2222221k bk bbk bk+-+=-+⎛⎫-++-+⎪⎝⎭,∴k2−bk−2=0,联立方程220522k bkk b⎧--=⎪⎨+=⎪⎩,解得k=−12(k=43舍去),随着E点向下移动,∠CEH的度数越来越大,∠EAH的度数越来越小,当E点和H点重合时(如图3所示),α和β均等于0,此时联立方程522k bk b⎧+⎪⎨⎪-+⎩==,解得5656kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此当−12<k<56且k≠0时,α>β;②E点在x轴下方时,如图4所示,当α=β时,∵∠EHA=90°,∴∠AEC=90°,根据①可得此时k=43(k=−12舍去),随着E点向下移动,∠CEH的度数越来越小,∠EAH的度数越来越大,因此当56<k <43时,α>β.综上所述可得,当α>β时,k 取值范围为−12<k <56且k ≠0或56<k <43.【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用,掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键.7.(1)34k =,5b =;(2)①OM =5;②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中,求解即可;(2)①设直线AB 与y 轴交与点C ,与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ,得到AD =ED ,利用中点坐标公式求得点D 坐标,用待定系数法求得直线FD 的函数表达式,令0y =,即可求得点M 的坐标,从而求得OM ;②点N 在直线l 1的上方,当△OFN 和△OFM 全等时,满足题意的点N 有两个,分别画出相关的图形,分类讨论求解即可. 【详解】解:(1)∵直线l 1:y kx =和直线l 2:12y x b =-+相交于点A∴将(4,3)A 代入y kx =中,得:43k = 解得:34k =∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中,得:1432b -⨯+=解得:5b =∴3,54k b == (2)① 设直线AB 与y 轴交与点C ,与FM 交于点D ,如下图:∵34k =,5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =,直线l 2的函数表达式为152y x =-+∵(4,3)A ∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ,与FM 交于点D 则()0,5C ∴5OC = ∴5OA OC == ∴∠OCA =∠OAC ∵//FE y 轴 ∴∠OCA =∠FEA 又∵∠OAC =∠FAE ∴∠FAE =∠FEA ∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线 ∴∠AFM =∠EFM 又∵FD =FD ∴△AFD ≌△EFD ∴AD =ED ∴点D 为AE 的中点 ∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同 将8x =代入152y x =-+中,得1y =∴()8,1E ∵(4,3)A ,()8,1E ∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中,得:8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得:210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =- 令0y =,得2100x -= 解得:5x = ∴()5,0M ∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时,有两种情况,情况一,如下图所示:∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ,FN =OM ,ON =FM ∴//FN OM ∵OM =5 ∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y == ∴()3,6N情况二,当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时,如下图所示:∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5,∠NOF =∠MOF ∵OP =OP ∴△NOP ≌△MOP ∴PN =PM ∵()8,6F∴10OF 又∵1122OMFF SOM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯∴MN =2PM =6,OP 4 ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯==∴75N x ==∴724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述,满足题意点有两个,分别是:()3,6N 或724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式,三角形全等的性质和证明,两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点,牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键.8.(1)y 14=-x 2+x +3;y 12=x +1;(2)△PAD 的面积的最大值为274,P (1,154);(3)点Q 的坐标为(0,133)或(0,﹣9) 【解析】 【分析】(1)由A (﹣2,0)、B (6,0)设抛物线的解析式为y =a (x +2)(x ﹣6),把D (4,3)的代入解析式解方程即可,再利用待定系数法求解一次函数的解析式; (2)如图1中,过点P 作PT y ∥轴交AD 于点T .设P (m ,14- m 2+m +3),则T(m,12m+1),再利用面积列函数关系式,再利用二次函数的性质求解最值即可;(3)如图2中,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,则T(﹣5,6),设DT交y轴于点Q,则∠ADQ=45°,再求解直线DT的解析式为y13=-x133+,作点T关于AD的对称点T′(1,﹣6),求解直线DT′的解析式为y=3x﹣9,设DQ′交y轴于点Q′,则∠ADQ′=45°,从而可得答案.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣6),∵D(4,3)在抛物线上,∴3=a(4+2)×(4﹣6),解得a14 =-,∴抛物线的解析式为y14=-(x+2)(x﹣6)14=-x2+x+3,∵直线l经过A(﹣2,0)、D(4,3),设直线l的解析式为y=kx+m(k≠0),则2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩,解得,121km⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线l的解析式为y12=x+1;(2)如图1中,过点P作PT y∥轴交AD于点T.设P(m,14-m2+m+3),则T(m,12m+1).∵S△PAD12=•(xD﹣xA)•PT=3PT,∴PT的值最大值时,△PAD的面积最大,∵PT14=-m2+m+312-m﹣114=-m212+m+214=-(m﹣1)294+,∵14-<0,抛物线开口向下,∴m=1时,PT的值最大,最大值为94,此时△PAD的面积的最大值为274,P(1,154).(3)如图2中,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,过D作DM x⊥轴于,M过T作TN x轴于,N90,,TNA AMD TAD AD AT90,TAN ATN TAN DAM,ATN DAM,ATN DAM≌6,3,235,TN AM AN DM ON∴T(﹣5,6),设DT交y轴于点Q,则∠ADQ=45°,∵D(4,3),∴直线DT的解析式为y13=-x133+,∴Q(0,133),作点T关于AD的对称点T',同理可得T'(1,﹣6),则直线DT′的解析式为y=3x﹣9,设DQ′交y轴于点Q′,则∠ADQ′=45°,∴Q′(0,﹣9),综上所述,满足条件的点Q的坐标为(0,133)或(0,﹣9).【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,待定系数法,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题,学会构造特殊三角形解决问题,属于中考压轴题.二次函数综合题中面积问题的解题通法:(1)直角坐标系中图形面积的求法,以“S三角形=12×水平底×铅直高”为基础求解.(2)图形面积的数量关系:①找出所求图形的顶点,其中动点的坐标根据函数关系式用含未知数的代数式表示出来;②结合图形作辅助线,并将关键线段的长度用含未知数的代数式表示出来;③利用面积公式用含未知数的代数式表示出图形的面积;④列方程求解.(3)图形面积的最值,解题思路跟(1)中的前三步相同,然后利用函数的增减性求解.9.(1)证明见解析;(2)证明见解析,(3)15714BF=.【解析】【分析】(1)连接OA并延长AO交BC于E,证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论,(2)利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角,得出MCG△和△FCG是等腰三角形,得出BM=MC=FG=CG,MH=HG,进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG,得出结论;(3)过O点作OP⊥AC,由垂径定理得出12PD=,再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==,由勾股定理进而可求BH,再利用相似三角形对应边成比例求出HG,即可得BF长.【详解】解:(1)连接OA并延长AO交BC于E,∵AB=AC,∴AB AC=,∵AE过圆心O,∴AE BC⊥,BE EC=,∴∠BAC=2∠BAE,∵OA=OB,∴∠ABD=∠BAE,∴∠BAC=2∠ABD;(2)如解图(2),连接OA并延长AO交BC于E,AE交BF于M,连接MC,设2BACα∠=,则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE =EC ,AE ⊥BC ,∴BM =MC ,∴∠MBC =∠MCB ,∵BG ⊥AC ,AE ⊥BC ,∴∠EAC +∠ACE =90°,∠HBC +∠ACE =90°,∴EAC HBC MCB α∠=∠=∠=,∴2CMG MBC MCB α∠=∠+∠=,∵BC BC =,∴2G BAC α∠=∠=,∴∠G =∠CMG ,∴CG =CM =BM ,∵AC ⊥BG ,∴MH =HG ,∵OA =OC ,∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-,∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠,即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-,∴FCG CFG ∠=∠,∴FG =CG ,∴BM =MC =FG =CG ,又∵MH =HG ,∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ,∴BF =2HG .(3)过O 点作OP ⊥AC ,如解图(3)∵AO 是∠BAC 的角平分线,∴点O 到AB 、AC 的距离相等, ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==, ∵AD =2,CD =3,∴AB =AC =5, ∴5=2BO OD ,即:2=7OD BD , ∵OP ⊥AC ,∴52AP PC ==,12PD =, ∵BH AC ⊥, ∴OP //BH ,∴27DP OP OD DH BH BD ===, ∴7724DH DP ==, ∴154AH AD DH =+=,5-4HC DC DH ==,∵在Rt ABH中,BH == ∵BAH G ∠=∠,AHB GHC ∠=∠, ∴AHB GHC △△,∴AH BH HG CH = 即:AH HC BHHG =, 51544=⨯, ∴HG =, 由(2)得BF =2HG ,∴BF = 【点睛】 本题是圆的综合题,主要考查了圆周角定理,涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点,解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系,从而利用相似或勾股定理解题.10.(1)291515404y x x =+-,y =﹣34x ﹣15;(2)面积最大值225,C (﹣10,﹣30);(3)S =﹣2553t +160t ﹣240. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法将点A (﹣20,0),B (0,﹣15)代入抛物线y =ax 2+154x +c 即可求出抛物线的函数表达式;设AB 的函数表达式是y =kx +b ,然后利用待定系数法将点A (﹣20,0),B (0,﹣15)代入y =kx +b 即可求出直线AB 的函数表达式;(2)作CE ⊥OA 于E ,交AB 于F ,设C (a ,940a 2+154a ﹣15),F (a ,﹣34a ﹣15),根据题意表示出CF 的长度,进而表示出ABC S ∆,然后利用二次函数的性质求解即可;(3)作AN ⊥OD 于N ,AD 与FG 交于点I ,首先根据题意求出OC 的解析式,然后联立33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩求出点D 的坐标,然后求出AD OD =,利用等腰三角形三线合一性质求出ON 的长度,进而利用勾股定理求出AN 的长度,表示出S △AON ,然后证明出△GFI ∽△OGH ∽△ANO ,利用相似三角形的性质表示出S △IJF =803(t ﹣3)2,S △GOH =253t ,最后利用面积之间的关系即可求出S 与t 之间的函数关系式.【详解】解:(1)由题意得,将点A (﹣20,0),B (0,﹣15)代入抛物线y =ax 2+154x +c 得, 21515(20)(20)04c a c =-⎧⎪⎨-+⨯-+=⎪⎩, ∴15940c a =-⎧⎪⎨=⎪⎩, ∴291515404y x x =+-, 设AB 的函数表达式是y =kx +b ,将点A (﹣20,0),B (0,﹣15)代入y =kx +b 得,∴15200b k b =-⎧⎨-+=⎩, ∴1534b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩, ∴y =﹣34x ﹣15; (2)如图1,作CE ⊥OA 于E ,交AB 于F ,设C (a ,940a 2+154a ﹣15),F (a ,﹣34a ﹣15), ∴FC =(﹣315)4a -﹣(2940a +154a ﹣15)=﹣2940a ﹣92a , ∴ABC S ∆=12CF •AO =12(﹣2940a ﹣92a )×20=﹣94(a +10)2+225, ∴当a =﹣10时,ABC S ∆=225, 当a =﹣10时,y =29(10)40⨯-+()15104⨯-﹣15=﹣30, ∴C (﹣10,﹣30);(3)如图2,作AN ⊥OD 于N ,∵C (﹣10,﹣30),∴OC 的解析式是:y =3x ,由33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩得, 412x y =-⎧⎨=-⎩, ∴D (﹣4,﹣12),∵A (﹣20,0),OD 22412+10∴AD ()2220412-++=20,∴AD OD=,又∵AN⊥OD,∴ON=12OD=AN=S△AON=1160 22AN ON=⨯=,∵OE,OD=,∴DE=,∴JE=3(),∴FJ=EF﹣JEt﹣3(t)=(t﹣3),∵OG AN FJ∥∥,∴GOH OAN DAN AJF∠=∠=∠=∠,又∵90G ANO F∠=∠=∠=︒,∴△GFI∽△OGH∽△ANO,∴IJFAONSS∆∆=(FJAN)2=2,GOHAONSS∆∆=(OGAN)2)2,∴S△IJF=803(t﹣3)2,S△GOH=253t,∴S=S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH=10t2﹣53t2﹣803(t﹣3)2=﹣2553t+160t﹣240,故答案是:S=﹣2553t+160t﹣240.【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式,二次函数与一次函数综合问题,相似三角形的性质和判定,二次函数中最大面积问题等知识,解题的关键是正确分析题目中的条件,设出点的坐标,根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积.11.(1)(1,,图见解析(2)1322Cx-≤≤1122t<≤【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质,勾股定理求解即可;(2)根据题意以MB为边作等边三角形MM B',以M'为圆心1为半径作M',根据线段中点坐标公式求解即可;(3)在(2)的基础上,先求得最小值,再确定2个圆心,第1个是A 点运动点C 对应的圆心P ',第2个是点B 的运动时点C 轨迹的对应的圆心P ,进而根据线段和最大,当,,P P Q '共线时候,t 最大,根据(2)的方法求解即可.(1)过点C 作CE x ⊥轴于点E ,作出点C ,B 的逆序等边三角形CBD ,如图1,()()1,03,0A B -,,ABC 是等边三角形()1131222AE BE AB ∴===--=,33CE AE ==()1,0E ∴,(1,3C ,ABC BCD 是等边三角形∴60DCB ABC ∠=∠=︒,AB AC BC CD BD ====,CD AB CD AB ∴=∥(5,23D ∴ 故答案为:(1,23,(5,23(2)如图2,以MB 为边作等边三角形MM B ',以M '为圆心1为半径作M ', 点B (3,0),点A 在以点M (-2,0)为圆心1为半径的圆上, ∴点A ,B 的逆序等边三角形ABC 的顶点C 在M '23122M x '-+∴== M '的半径为1∴111122C x -≤≤+ 即1322C x -≤≤(3)如图3,设N 与x 轴交于点G ,以GM 为边向上作等边三角形MGH ,以点H 为圆心1为半径,作H ,设直线y x =为1l ,y x t =+为2l ,过点H 作1HJ l ⊥,交x 轴于点J ,交1l 于点S ,交2l 于点L ,过点H ,作HI x ⊥轴于点I ,设2l 与x 轴的交点为T ,则OT t =根据题意,当C 点在第二象限时,能找到t 的最小值,根据定义可知,B 点与G 点重合时,A 点在M 上运动,则C 点在H 上运动,当2l 与H 相切时,t 最小, ()2,0M -,()3,0N ,M 的半径为1,N 的半径为2, 2,321OM OG ∴==-=3MG ∴=33HI ∴=1322MI MG == 1,02I ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 1332H ⎛∴- ⎝⎭1l 与x 轴的夹角为45°,1HJ l ⊥,HI x ⊥轴, HIJ ∴是等腰直角三角形 HI IJ ∴=HJ ∴===12OI =12OJ ∴1,02J ⎫∴⎪⎪⎝⎭1LJ HJ HL ∴=-=12l l ∥ LTJ ∴是等腰直角三角形1TJ ∴===⎝3122OJ =1122TO TJ JO ⎫=-==⎪⎪⎝⎭即t 12, B 的纵坐标0d >,则12t > 如图4,作,M N 的逆序等边三角形MNP ',以P '为圆心,1为半径作P ',则1PP AM '==,连接,AM PP ',ANP MNP '是等边三角形,,,60AN NP MN NP ANP MNP ''∴==∠=∠=︒PNP ANM '∴∠=∠PP N AMN '≌∴当,,P P Q '共线时候,t 最大以P 为圆心,2为半径作半圆P ,当直线y x t =+与半圆P 相切时,设切点为Q ,当C 点与Q 点重合时,即可取得t 的最大值,最大值即为T O '的长,()()2,0,3,0M N - ∴1532P ⎛' ⎝⎭过点P '作P P x '''⊥轴于点P '',如图,。
2024届中考数学压轴题冲刺满分(含答案)
压轴题【题型精讲】题型一:动态几何1(2021·江苏苏州·一模)如图,△ABC 内接于⊙O ,BC =12,∠A =60°,点D 为弧BC 上一动点,BE ⊥直线OD 于点E .当点D 从点B 沿弧BC 运动到点C 时,点E 经过的路径长为()A.833π B.83π C.433π D.43π2(2021·山东威海·中考真题)如图,在菱形ABCD 中,AB =2cm ,∠D =60°,点P ,Q 同时从点A 出发,点P 以1cm/s 的速度沿A -C -D 的方向运动,点Q 以2cm/s 的速度沿A -B -C -D 的方向运动,当其中一点到达D 点时,两点停止运动.设运动时间为x (s ),△APQ 的面积为y (cm 2),则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是()A. B.C. D.3(2021·山东济南·三模)如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,BC =10cm ,点P ,点Q 同时从点B 出发,点P 以2cm/s 的速度沿B →A →C 运动,终点为C ,点Q 出发t 秒时,△BPQ 的面积为ycm 2,已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 和MN 均为抛物线的一部分),给出以下结论:①AC =6cm ;②曲线MN 的解析式为y=-45t2+285t(4≤t≤7);③线段PQ的长度的最大值为6510cm;④若△PQC与△ABC相似,则t=407秒,其中正确的说法是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③题型二:新定义问题4(2023·重庆·中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中,对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号,添加绝对值符号后仍只有减法运算,然后进行去绝对值运算,称此为“绝对操作”.例如:x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n,x-y-z-m-n=x-y-z-m+n,⋯.下列说法:①存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等;②不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.35(2021·广西贺州·中考真题)如M=1,2,x,我们叫集合M,其中1,2,x叫做集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在),互异性(如x≠1,x≠2),无序性(即改变元素的顺序,集合不变).若集合N=x,1,2,我们说M=N.已知集合A=1,0,a,集合B=1a,a ,ba,若A=B,则b-a的值是()A.-1B.0C.1D.26(2021·湖北荆州·中考真题)定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q,有m,p※q,n=mn+pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,如:2,3※4,5=2×5+3×4=22.若关于x的方程x2+1,x※5-2k,k=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k<54且k≠0 B.k≤54C.k≤54且k≠0 D.k≥54题型三:猜想和证明7(2023·四川巴中·中考真题)综合与实践.(1)提出问题.如图1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,且AB=AC,AD=AE,连接BD,连接CE交BD的延长线于点O.①∠BOC的度数是.②BD:CE=.(2)类比探究.如图2,在△ABC和△DEC中,∠BAC=∠EDC=90°,且AB=AC,DE=DC,连接AD、BE并延长交于点O.①∠AOB的度数是.②AD:BE=.(3)问题解决.如图3,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在线段AD上(不与A重合),以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF,将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,M为EF的中点,N 为BE的中点.①试说明△MND为等腰三角形.②求∠MND的度数.8(2020·河南驻马店·模拟预测)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是直线AB上的一动点(不与点A,B重合),连接CD,在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE,点H是BD的中点,连接EH.【问题发现】(1)如图(1),当点D是AB的中点时,线段EH与AD的数量关系是,位置关系是.【猜想证明】(2)如图(2),当点D在边AB上且不是AB的中点时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图(2)中的情况给出证明;若不成立,请说明理由.【拓展应用】(3)若AC=BC=22,其他条件不变,连接AE,BE.当△BCE是等边三角形时,直接写出△ADE的面积.题型四:阅读理解9(2023·江西新余·一模)定义:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c a≠0与y轴的交点坐标为0,c,那么我们把经过点0,c且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线.【特例感知】(1)抛物线y=x2+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为.【深入探究】(2)经过点A-2,0和B x,0(x>-2)的抛物线y=-14x2+12mx+n与y轴交于点C,它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D,请用含m的代数式表示点D的坐标.【拓展运用】(3)在(2)的条件下,设抛物线y =-14x 2+12mx +n 的顶点为P ,直线EF 垂直平分OC ,垂足为E ,交该抛物线的对称轴于点F .①当∠CDF =45°时,求点P 的坐标.②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称,是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值?若存在,直接写出m 的值;若不存在,请说明理由.10(2023·山东青岛·二模)如图1,AD 是△ABC 的高,点E ,F 分别在边AB 和AC 上,且EF ∥BC .由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论:AG AD=EFBC .(1)如图2,在△ABC 中,BC =6,BC 边上的高为8,在△ABC 内放一个正方形MNGH ,使其一边GH 在BC 上,点M ,N 分别在AB ,AC 上,则正方形MNGH 的边长=;(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上,布置一个腰长为100cm ,底边长为120cm 的等腰三角形展台.现需将展台用平行于底边的隔板,每间隔10cm 分隔出一层,再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子,要求每个格子内放置一瓶葡萄酒,平面设计图如图3所示,将底边BC 的长度看作是第0层隔板的长度;①在分隔的过程中发现,当隔板厚度忽略不计时,每层平行于底边的隔板长度(单位:cm )随着层数(单位:层)的变化而变化.请完成下表:层数/层0123⋯隔板长度/cm120__________________⋯②在①的条件下,请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒?题型五:开放探究11(2022·安徽滁州·二模)【证明体验】(1)如图1,AD 为△ABC 的角平分线,∠ADC =60°,点E 在线段AB 上,AE =AC ,求证:DE 平分∠ADB ;【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下,F 为AB 上一点,连接FC 交AD 于点G .若FB =FC ,求证:DE 2=BD ⋅DG ;【拓展延伸】(3)如图3,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠BAD ,∠BCA =2∠DCA ,点E 在AC 上,∠EDC =∠ABC ,若BC =5,CD =25,AD =2AE ,求AC 的长.12(2022·浙江杭州·二模)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-4,0),(0,8),动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标;(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形;(3)在线段PE上取点F,使PF=3,过点F作MN⊥PE,截取FM=3,FN=1,且点M,N分别在第一、四象限,在运动过程中,当点M,N中,有一点落在四边形ADEC的边上时,直接写出所有满足条件的t的值.题型六:综合应用13(2024·河北邢台·三模)如图1至图3,▱ABCD中,AB=20,BC=15,点P在折线BA-AD上,连接PC,将▱ABCD沿PC向右上方折叠,折叠后得到△PCE或四边形PCEF.探究如图1,若∠A=90°,点P在BA上①当射线PE经过点D时,求证:△PDA≌△DCE;②当点E,A的距离最小时,求BP的长.尝试如图2,若∠A=90°,点P在AD上,当点F在CD的延长线上时,求tan∠PCE的值.延伸如图3,若∠A<90°,tan A=43,EF恰好经过点D时,直接写出AP的长.14(2024·福建宁德·二模)蹦床是一项运动员利用蹦床的反弹在空中表现杂技技巧的竞技运动,有“空中芭蕾”之美称.甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过程中同时起跳,甲运动员着落蹦床后便停止运动,乙运动员着落蹦床后继续做放松运动,每次蹦床运动间隔停留时间忽略不计.图1是甲、乙两位运动员的运动高度S(m )与运动时间t (s )的二次函数图象,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为52,0 ,点D 的坐标为(1,5),且所有二次函数图象开口大小相同.(1)求甲运动员在这次训练中运动的最大高度;(2)图2是教练员观测到乙运动员在这次训练中,每次运动的最高点都在同一视线DE 上,教练员的视线与水平线的夹角为α.①若甲、乙运动员在2.4s 时运动高度相同,求直线DE 的表达式;②当α≤33.5°时,求乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围.sin33.5°≈1120,cos33.5°≈2125,tan33.5°≈2315(2024·山东淄博·二模)如图1,抛物线y =ax 2+bx +3a ≠0 与x 轴交于点A -1,0 ,B 3,0 与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .(1)求该抛物线及直线BC的函数表达式;(2)如图2,在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B,C重合),过点P作PD∥AC,交BC于点D,过点P作PE∥y轴,交BC于点E.在点P运动的过程中,请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标;(3)如图3,若点P是该抛物线上一动点,问在点P运动的过程中,坐标平面内是否存在点Q使以B,C,P,Q 为顶点BC为对角线的四边形是矩形,若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.16(2024·江苏淮安·模拟预测)如图1,二次函数y=-14x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,3),点P是第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,PD交直线BC于点E,设点P的横坐标为m.(1)求该二次函数的表达式;(2)如图2,过点P作PF⊥BC,垂足为F,当m为何值时,PF最大?最大值是多少?(3)如图3,连接CP,当四边形OCPD是矩形时,在抛物线的对称轴上存在点Q,使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上,请直接写出满足条件的点Q的坐标.【专题精练】一、单选题1(2023·四川宜宾·三模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,点D、E分别是AB、AC的中点.将△ADE绕点A顺时针旋转60°,射线BD与射线CE交于点P,在这个旋转过程中有下列结论:①△AEC≌△ADB;②CP存在最大值为3+33;③BP存在最小值为33-3;④点P运动的路径长为22π.其中,正确的是()A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④2(2023·湖北十堰·三模)若一个点的纵坐标是横坐标的2倍,则称这个点为二倍点,若在二次函数y=x2 +2mx-m(m为常数)的图象上存在两个二倍点M x1,y1,N x2,y2,且x1<1<x2,则m的取值范围是()A.m<2B.m<1C.m<0D.m>03(2023·黑龙江大庆·一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A,点B是⊙O上一动点,点C为弦AB的中点,直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,则点C到直线DE的最小距离为()A.1B.35C.45D.344(2022·浙江宁波·二模)如图,正六边形ABCDEF中,点P是边AF上的点,记图中各三角形的面积依次为S1,S2,S3,S4,S5,则下列判断正确的是()A.S1+S2=2S3B.S1+S4=S3C.S2+S4=2S3D.S1+S5=S35(2022·山东东营·中考真题)如图,已知菱形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,点M,N分别是边BC、CD上的动点,∠BAC=∠MAN=60°,连接MN、OM.以下四个结论正确的是()①△AMN是等边三角形;②MN的最小值是3;③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD;④当OM⊥BC时,OA2=DN⋅AB.A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④6(2022·辽宁抚顺·模拟预测)如图,点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上,且AB=2CE=3AF,过F作FG⊥BE于P交BC于G,连接DP交BC于H,连BF、EF.下列结论:①△PBF为等腰直角三角形;②H为BC的中点;③∠DEF=2∠PFE;④SΔPHGSΔPDE=23.其中正确的结论()A.只有①②③B.只有①②④C.只有③④D.①②③④7(2020·浙江金华·一模)如图,在等边三角形ABC中,点P,Q分别是AC,BC边上的动点(都不与线段端点重合),且AP=CQ,AQ、BP相交于点O.下列四个结论:①若PC=2AP,则BO=6OP;②若BC=8,BP=7,则PC=5;③AP2=OP⋅AQ;④若AB=3,则OC的最小值为3,其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③8(21-22九年级上·广东深圳·期中)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,BE=1,∠DAM =45°,点F在射线AM上,且AF=2,过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论:①CG=3434;②△AEG的周长为8;③△EGF的面积为1710.其中正确的是()A.①②③B.①③C.①②D.②③9(2021·广东深圳·二模)如图,在矩形ABCD中,BC=2AB,E为BC中点,连接AE交BD于点F,连CF,下列结论:①AE⊥BD;②S矩形ABCD=10S△CEF;③DC2=2DO⋅DF;④FCAE=63正确的有( )个.A.1B.2C.3D.410(2020·安徽滁州·模拟预测)在△EFG中,∠G=90°,EG=FG=22,正方形ABCD的边长为1,AD 与EF在一条直线上,点A与点E重合.现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动,正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是()A. B.C. D.二、填空题11(2024·陕西西安·二模)如图,菱形ABCD中,AB=8,∠B=60°,E为AB的中点,F为BC上一点,连接EF,作∠GEF=60°且△GEF面积为33,则DG的最小值为.12(2023·陕西咸阳·一模)如图,矩形ABCO的顶点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(-8,6),⊙M是△AOC的内切圆,点N,点P分别是⊙M,x轴上的动点,则PB+PN的最小值是.13(2023·天津河西·一模)如图,正方形ABCD的边长为4,E是边CD上一点,DE=3CE,连接BE,与AC 相交于点M ,过点M 作MN ⊥BE ,交AD 于点N ,连接BN ,则点E 到BN 的距离为.14(2021·浙江湖州·二模)对某一个函数给出如下定义:若存在实数m >0,对于任意的函数值y ,都满足-m ≤y ≤m ,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的m 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.将函数y =-x 2+1-2≤x ≤t ,t ≥0 的图象向上平移t 个单位,得到的函数的边界值n 满足是94≤n ≤52时,则t 的取值范围是.15(2023·湖北武汉·模拟预测)如图,△ABC 是边长为3的等边三角形,延长AC 至点P ,使得CP =1.点E 在线段AB 上,且AE <12AB ,连接PE ,以PE 为边向右作等边△PEF ,过点E 作EM ∥AP 交FA 的延长线于点M ,点N 是MF 的中点,则四边形AEPN 的面积为.16(2023·浙江宁波·二模)如图,y =-2x +b 与y =k 1x (k 1>0,x >0)交于A 、B 两点,过B 作y 轴的垂线,垂足为C ,交y =k 2x (k 2>0,x >0)于点D ,点D 关于直线AB 的对称点E 恰好落在x 轴上,且AE ⊥x 轴,连接BE ,则k 1k 2=;若△ABE 的面积为15,则k 1的值为.三、解答题17(2024·陕西西安·模拟预测)如图,已知抛物线W 1:y =ax 2+bx -2与x 轴交于A ,D 两点,AD =5,点A 在直线l :y =12x +12上.(1)求抛物线W 1的解析式;(2)将抛物线W 1沿x 轴翻折后得到抛物线W 2,W 2与直线l 交于A ,B 两点,点P 是抛物线W 2上A ,B 之间的一个动点(不与点A 、B 重合),PM ⊥AB 于M ,PN ∥y 轴交AB 于N ,求MN 的最大值.18(2024·福建龙岩·模拟预测)在锐角∠MON 内部取一点A ,过点A 分别作AB ⊥OM 于点B ,作AC ⊥ON 于点C ,以AB 为直径作⊙P ,CA 的延长线与⊙P 交于点D .(1)求证:∠MON +∠ABD =90°;(2)若OB =BD ,点D 在OP 的延长线上,求证:ON 是⊙P 的切线;(3)当tan ∠MON =1时,连接OA ,若CP ⊥OA 于点F ,求PFCF的值.19(2024·广东佛山·模拟预测)四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形,点E 是AD上的一动点,连接AE ,BE ,DE ,其中BE 交AD 于点F .(1)如1图,当AB =ED 时,①求证:△AEB ≌△EAD ;②若∠EAD =30°,连接BO ,EO .求证:四边形ABOE 是菱形.(2)如2图,若BC =2AB =2,EFFB=k ,请用含k 的式子表示EA ⋅ED 的值.20(2024·黑龙江哈尔滨·一模)如图,抛物线y =-12x 2+bx 交x 轴正半轴于点A ,过顶点C 作CD ⊥x 轴于点D ,OA =CD .(1)求抛物线的解析式;(2)若-2≤x ≤6时,则函数y 的取值范围是;(3)点P 为CD 右侧第一象限抛物线上一点,过点P 作PH ⊥x 轴于点H ,点Q 为y 轴正半轴上一点,连接AQ 、HQ ,tan ∠OHQ =23,PQ 延长线交x 轴于点B ,点N 在y 轴负半轴上,连接BN 、AN ,若∠BQA =135°,∠ANB =45°求直线AN 的解析式.21(2024·吉林长春·一模)如图,在菱形ABCD 中,BC =10,tan B =43.点E 为线段BA 延长线上一点,且BE =15,动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿BE 向终点E 匀速运动.连结PC 、PD ,将△PCD 绕点P 按逆时针方向旋转90°得到△PC D ,设点P 运动的时间是t 秒(t >0).(1)菱形ABCD 的面积是;(2)用含t 的代数式表示线段PA PA >0 的长;(3)当C 、A 、C 三点共线时,求t 的值;(4)当△EC D 是直角三角形时,直接写出t 的值.22(2024·吉林长春·一模)如图,在正方形ABCD 中,动点P 从点A 出发,沿A -B -C 运动到点C 停止.过点C 作DP 的垂线,垂足为点G ,延长CG 到点E ,使EG =CG ,连结DE ,AE ,直线EA 与DP 交于点F .设∠ADP 为α,且0°<α<90°.(1)当α=10°时,∠ADE=°,∠DAE=°;(2)当点P在AB上时,①求sin F的值;②当△DEF为轴对称图形时,求α的大小;(3)若正方形ABCD的面积为4,直接写出△DAF面积的最大值.23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)综合实践菱形ABCD中,点E在对角线BD上,点M在直线AB上,将线段ME绕点M顺时针旋转得到线段MF,旋转角∠EMF=∠BAD,连接BF.【问题发现】(1)如图1,当点M与点A重合时,线段BE、BF、BD之间的数量关系为.【类比探究】(2)如图2,当点M在AB边上时,∠EMF=60°时,求证:BM+BF=BE;【拓展延伸】(3)如图3,点M在BA延长线上,H为AD中点,当MH⊥BM,AM=74,BD=20时,设BE=x,BF=y,求y与x之间的数量关系.24(2023·吉林白城·模拟预测)下面是小明同学的作业及自主探究笔记,请认真阅读并补充完整.【作业】如图①,已知正方形ABCD中,E,F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.求证:EF=AE+ CF.证明:如图,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM,则DE=DM,∠A=∠DCM,∠ADE=∠MDC.∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠ADC=∠DCB=90°,∴∠EDM=∠EDC+∠MDC=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°.∵∠EDF=45°,∴∠MDF=∠EDF=45°.又∵∠A=∠DCM=∠DCB=90°,∴点B,F,C,M在一条直线上.∵DF=DF,∴△EDF≌,∴EF=MF=CM+CF=+CF.【探究】(1)在图①中,若正方形ABCD的边长为3,AE=1,其他条件不变,求EF的长.压轴题【题型精讲】题型一:动态几何1(2021·江苏苏州·一模)如图,△ABC内接于⊙O,BC=12,∠A=60°,点D为弧BC上一动点,BE⊥直线OD于点E.当点D从点B沿弧BC运动到点C时,点E经过的路径长为()A.833π B.83π C.433π D.43π【答案】A【分析】连接OB,设OB的中点为M,连接ME.作OH⊥BC于H.首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动,求出点D与C重合时∠EMB的度数,利用弧长公式计算即可.【详解】解:如图,连接OB,设OB的中点为M,连接ME.作OH⊥BC于H.∵OD⊥BE,∴∠OEB=90°,∴点E在以OB为直径的圆上运动,当点D与C重合时,∵∠BOC=2∠A=120°,∴∠BOE=60°,∴∠EMB=2∠BOE=120°,∵BC=12,OH⊥BC,∴BH=CH=6,∠BOH=∠COH=60°,∴OB=BHsin60°=43,∴点E的运动轨迹的长=240∙π×23180=833π,故选:A.【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,正确寻找轨迹,属于中考常考题型.2(2021·山东威海·中考真题)如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠D=60°,点P,Q同时从点A出发,点P以1cm/s的速度沿A-C-D的方向运动,点Q以2cm/s的速度沿A-B-C-D的方向运动,当其中一点到达D点时,两点停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°,再分0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三种情况画出图形,求出函数解析式,根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,∴△ABC,ACD都是等边三角形,∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°.如图1,当0≤x≤1时,AQ=2x,AP=x,作PE⊥AB于E,∴PE=AP∙sin∠PAE=32x,∴y=12×2x∙32x=32x2,故D选项不正确;如图2,当1<x≤2时,CP=2-x,CQ=4-2x,BQ=2x-2,作PF⊥BC与F,作QH⊥AB于H,∴PF=CP·sin∠PCF=322-x,QH=BQ∙sin∠B=322x-2=3x-1,∴y=34×22-12×2×3x-1-12×4-2x∙322-x=-32x2+3x,故B选项不正确;当2<x≤3时,CP=x-2,CQ=2x-4,∴PQ=x-2,作AG ⊥CD 于G ,∴AG =AC ∙sin ∠ACD =32×2=3,∴y =12×x -2 ∙3=32x -3,故C 不正确.故选:A【点睛】本题考查了菱形性质,等边三角形性质,二次函数、一次函数图象与性质,利用三角函数解三角形等知识,根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键.3(2021·山东济南·三模)如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,BC =10cm ,点P ,点Q 同时从点B 出发,点P 以2cm/s 的速度沿B →A →C 运动,终点为C ,点Q 出发t 秒时,△BPQ 的面积为ycm 2,已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 和MN 均为抛物线的一部分),给出以下结论:①AC =6cm ;②曲线MN 的解析式为y =-45t 2+285t (4≤t ≤7);③线段PQ 的长度的最大值为6510cm ;④若△PQC 与△ABC 相似,则t =407秒,其中正确的说法是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③【答案】A【分析】①根据图2可知:P 走完AB 用了4秒,得AB =2×4=8cm ,利用勾股定理得AC 的长;②当P 在AC 上时,4≤t ≤7,利用同角的三角函数表示高PD 的长,利用三角形面积公式可得y 与t 的关系式;③当P 与A 重合时,PQ 最大,如图4,此时t =4,求出PQ 的长;④当P 在AC 上时,ΔPQC 与ΔABC ,列比例式可得t 的值.【详解】解:①由图2可知:t =4时,y =485,∴AB =2×4=8cm ,∵∠A =90°,BC =10cm ,∴AC =6cm ,故①正确;②当P 在AC 上时,如图3,过P 作PD ⊥BC 于D ,此时:6+82=7,∴4≤t ≤7,由题意得:AB +AP =2t ,BQ =t ,∴PC =14-2t ,sin ∠C =PD PC =ABBC,∴PD =4(14-2t )5,∴y =S ΔBPQ =12BQ ∙PD =12t ∙4(14-2t )5=-45t 2+285t ,故②正确;③当P 与A 重合时,PQ 最大,如图4,此时t =4,∴BQ =4,过Q 作GH ⊥AB 于H ,sin ∠B =QH BQ =ACBC,∴QH 4=610,∴QH =125,同理:BH =165,∴AH =8-165=245,∴PQ =AH 2+QH 2=245 2+125 2=1255;∴线段PQ 的长度的最大值为1255,故③不正确;④若ΔPQC 与ΔABC 相似,点P 只有在线段AC 上,分两种情况:PC =14-2t ,QC =10-t ,i )当ΔCPQ ∽ΔCBA ,如图5,则PCCB =CQ AC,∴14-2t 10=10-t6,解得t =-8不合题意.ii )当ΔPQC ∽ΔABC 时,如图6,∴PCAC=QC BC ,t =407;∴若ΔPQC 与ΔABC 相似,则t =407秒,故④正确;其中正确的有:①②④,故选:A .【点睛】本题是动点问题的图象问题,此类问题比较复杂,考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角函数,解题的关键是学会读懂函数图象信息,并构建直角三角形,利用三角形相似或三角函数列方程解决问题.题型二:新定义问题4(2023·重庆·中考真题)在多项式x -y -z -m -n (其中x >y >z >m >n )中,对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号,添加绝对值符号后仍只有减法运算,然后进行去绝对值运算,称此为“绝对操作”.例如:x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ,x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ,⋯.下列说法:①存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等;②不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果.其中正确的个数是()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【分析】根据给定的定义,举出符合条件的说法①和②.说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况,并将结果进行比较排除相等的结果,汇总得出答案.【详解】解:x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ,故说法①正确.若使其运算结果与原多项式之和为0,必须出现-x ,显然无论怎么添加绝对值,都无法使x 的符号为负,故说法②正确.当添加一个绝对值时,共有4种情况,分别是x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ;x -y -z -m -n =x -y +z -m -n ;x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ;x -y -z -m -n =x -y -z -m +n .当添加两个绝对值时,共有3种情况,分别是x -y -z -m -n =x -y -z +m -n ;x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ;x -y -z -m -n =x -y +z -m +n .共有7种情况;有两对运算结果相同,故共有5种不同运算结果,故说法③不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查新定义题型,根据多给的定义,举出符合条件的代数式进行情况讨论;需要注意去绝对值时的符号,和所有结果可能的比较.主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用.5(2021·广西贺州·中考真题)如M =1,2,x ,我们叫集合M ,其中1,2,x 叫做集合M 的元素.集合中的元素具有确定性(如x 必然存在),互异性(如x ≠1,x ≠2),无序性(即改变元素的顺序,集合不变).若集合N=x ,1,2 ,我们说M =N .已知集合A =1,0,a ,集合B =1a ,a ,b a ,若A =B ,则b -a 的值是()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性,对于集合B 的元素通过分析,与A 的元素对应分类讨论即可.【详解】解:∵集合B 的元素1a ,ba,a ,可得,∴a ≠0,∴1a ≠0,ba =0,∴b =0,当1a =1时,a =1,A =1,0,1 ,B =1,1,0 ,不满足互异性,情况不存在,当1a =a 时,a =±1,a =1(舍),a =-1时,A =1,0,-1 ,B =-1,1,0 ,满足题意,此时,b -a =1.故选:C【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。
中考数学压轴题100题及答案
中考数学压轴题100题精选【001】如图,已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0)经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC . (1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.【C=90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB-BC-CP 于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)(3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成 为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由; (4)当DE 经过点C 时,请直接写出t 的值.【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)、D (8,8).抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式;A P 图16(2)动点P 从点A 出发.沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发,沿线段CD 向终点D 运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,①过点E 作EF ⊥AD 于点F ,交抛物线于点G .当t 为何值时,线段EG 最长? ②连接EQ .在点P 、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
中考数学压轴题20题(含答案_)
中考数学压轴题复习20题1.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线y =-41 m x2+45mx +m2-3m +2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上.(1)求点B 的坐标;(2)点P 在线段OA 上,从O 点出发向A 点运动,过P 点作x 轴的垂线,与直线OB 交于点E ,延长PE 到点D ,使得ED =PE ,以PD 为斜边,在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时,C 点、D 点也随之运动).①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求OP 的长;②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动,P 点也同时停止运动).过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F ,延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点、N 点也随之运动).若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值.2.在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA =3,OB =4,D 为边OB 的中点.(Ⅰ)若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标;(Ⅱ)若E 、F 为边OA 上的两个动点,且EF =2,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标.3.在平面直角坐标系中,已知抛物线y =-x2+bx +c 与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为E .(Ⅰ)若b =2,c =3,求此时抛物线顶点E 的坐标;(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE=S △ABC,求此时直线BC的解析式;(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE=2S △AOC,且顶点E 恰好落在直线y =-4x +3上,求此时抛物线的解析式.4.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ,与边AC 相交于点E ,连结DE 并延长,与线段BC 的延长线交于点P . (1)当∠B =30°时,连结AP ,若△AEP 与△BDP 相似,求CE 的长; (2)若CE =2,BD =BC ,求∠BPD 的正切值;(3)若tan ∠BPD =31,设CE =x ,△ABC 的周长为y ,求y 关于x 的函数关系式.5.已知:如图①,在平面直角坐标系xO y 中,边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限,顶点A 在x 轴的正半轴上.另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限,OC =AC ,∠C =120°.现有两动点P ,Q 分别从A ,O 两点同时出发,点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动,点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止. (1)求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系,并写出自变量t 的取值范围; (2)在等边△OAB 的边上(点A 除外)存在点D ,使得△OCD 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D 的坐标;(3)如图②,现有∠MCN =60°,其两边分别与OB ,AB 交于点M ,N ,连接MN .将∠MCN 绕着C 点旋转(0°<旋转角<60°),使得M ,N 始终在边OB 和边AB 上.试判断在这一过程中,△BMN 的周长是否发生变化?若没变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.6.已知抛物线y =ax2+bx +c (a >0)的图象经过点B (12,0)和C (0,-6),对称轴为x =2. (1)求该抛物线的解析式:(2)点D 在线段AB 上且AD =AC ,若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度;若不存在,请说明理由;AE C B P D 图2(备用) B PE C D A 图3(备用) A B C P E D 图1图②图①(3)在(2)的结论下,直线x =1上是否存在点M ,使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,抛物线y =ax2+bx +1与x 轴交于两点A (-1,0),B (1,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ,求四边形ACBD 的面积;(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,已知抛物线y =21x2+bx +c 与y 轴相交于C ,与x 轴相交于A 、B ,点A 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,连结DC ,当△DCE 的面积最大时,求点D 的坐标;(3)在直线BC 上是否存在一点P ,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,若不存在,说明理由.9.如图,已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,相似比为k (k >1),且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c (a >b >c ),△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1. (1)若c =a 1,求证:a =kc ;(2)若c =a 1,试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1,使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数,并加以说明;(3)若b =a 1,c =b 1,是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1,使得k =2?请说明理由.10.如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,AC =BC ,∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ,与BC 交于点E ,延长BD ,与AC 的延长线交于点F ,连结CD ,G 是CD 的中点,连结OG . (1)判断OG 与CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE =BF ; (3)若OG ·DE =3(2-2),求⊙O 的面积.11.已知:抛物线y =ax2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =-1,与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中A (-3,0)、C (0,-2). (1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得△PBC 的周长最小.请求出点P 的坐标.(3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ,连接PD 、PE .设CD 的长为m ,△PDE 的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.12.(本小题满分12分)如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧上一点,过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点. (1)求证:PM =PN ; (2)若BD =4,P A =23AO ,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长. B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1b 1c 1 A C B F D EO G13.如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ,其顶点为A (0,1)、B (-33,1)、C (-33,0)、O (0,0).将此矩形沿着过E (-3,1)、F (-334,0)的直线EF 向右下方翻折,B 、C 的对应点分别为B ′、C ′.(1)求折痕所在直线EF 的解析式;(2)一抛物线经过B 、E 、B ′三点,求此二次函数解析式;(3)能否在直线EF 上求一点P ,使得△PBC 周长最小?如能,求出点P 的坐标;若不能,说明理由.14.已知:甲、乙两车分别从相距300(km )的M 、N回,图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y (km )与行驶时间x (h )之间的函数图象. (1)试求线段AB所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了29h ,求乙车的速度; (3)在(2)的条件下,求它们在行驶的过程中相遇的时间.y h图1y h图215.如图1,在△ABC 中,AB =BC ,且BC ≠AC ,在△ABC 上画一条直线,若这条直线..既平分△ABC 的面积,又平分△ABC 的周长,我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”. (1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”;(2)在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由; (3)如图2,若AB =BC =5cm ,AC =6cm ,请你找出△ABC 的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法.16.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3cm ,BC =4cm ,点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动,点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动,设P 、Q 同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t (s ). (1)若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时,求t 的值;②在①的条件下,试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系,并说明理由.(2)若点P 以1cm/s 的速度运动,在整个运动过程中,以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切?若能,请求出运动时间t ;若不能,请说明理由.17.青海玉树发生7.1级强震后,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作风。
初三中考数学压轴题精选100题(含答案)
初三中考数学压轴题精选100题(含答案)一、中考压轴题1.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.2.我们学习了利用函数图象求方程的近似解,例如:把方程2x﹣1=3﹣x的解看成函数y =2x﹣1的图象与函数y=3﹣x的图象交点的横坐标.如图,已画出反比例函数y=在第一象限内的图象,请你按照上述方法,利用此图象求方程x2﹣x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象;求出的解精确到0.1)【分析】根据题意可知,方程x2﹣x﹣1=0的解可看做是函数y=和y=x﹣1的交点坐标,所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1=0的正数解约为1.1.【解答】解:∵x≠0,∴将x2﹣x﹣1=0两边同时除以x,得x﹣1﹣=0,即=x﹣1,把x2﹣x﹣1=0的正根视为由函数y=与函数y=x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标.如图:∴正数解约为1.1.【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系.一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解.3.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.4.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.5.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.6.如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC并延长PC交y轴于点D(0,3).(1)求证:△POD≌△ABO;(2)若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式.【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△P AB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO;(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式.【解答】(1)证明:连接PB,∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°,∵P A=PB,∴△P AB是等边三角形,∴AB=P A,∠BAO=60°,∴AB=OP,∠BAO=∠OPD,在△POD和△ABO中,∴△POD≌△ABO(ASA);(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB,∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°,∴OP=OD•tan30°=3×=,∴点P的坐标为:(﹣,0)∴,解得:,∴直线l的解析式为:y=x+3.【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式.此题综合性较强,难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.7.如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.(1)试问△OBC与△ABD全等吗?并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由;(3)如图2,以OC为直径作圆,与直线DE分别交于点F、G,设AC=m,AF=n,用含n的代数式表示m.【分析】(1)由等边三角形的性质知,OBA=∠CBD=60°,易得∠OBC=∠ABD,又有OB=AB,BC=BD故有△OBC≌△ABD;(2)由1知,△OBC≌△ABD⇒∠BAD=∠BOC=60°,可得∠OAE=60°,在Rt△EOA 中,有EO=OA•tan60°=,即可求得点E的坐标;(3)由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=,由切割线定理知,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,由勾股定理知,AE==2,故建立方程:()2=(2﹣)(2+n),就可求得m与n关系.【解答】解:(1)两个三角形全等.∵△AOB、△CBD都是等边三角形,∴OBA=∠CBD=60°,∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,即∠OBC=∠ABD;∵OB=AB,BC=BD,△OBC≌△ABD;(2)点E位置不变.∵△OBC≌△ABD,∴∠BAD=∠BOC=60°,∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°;在Rt△EOA中,EO=OA•tan60°=,或∠AEO=30°,得AE=2,∴OE=∴点E的坐标为(0,);(3)∵AC=m,AF=n,由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=;又∵OC是直径,∴OE是圆的切线,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,AE==2,()2=(2﹣)(2+n)即2n2+n﹣2m﹣mn=0解得m=.【点评】命题立意:考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识,并且将这些知识与坐标系联系在一起,考查综合分析、解决问题的能力.8.我国年人均用纸量约为28公斤,每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸;用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树.(1)若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐?(2)我市从2000年初开始实施天然林保护工程,大力倡导废纸回收再生,如今成效显著,森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩.假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变,请你按全市总人口约为1000万计算:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几?(精确到1%)【分析】(1)因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸,用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树,所以有40000×10÷1000×18÷80,计算出即可求出答案;(2)森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩,可先求出森林面积年均增长率,进而求出2005到2006年新增加的森林面积,而因回收废纸所能保护的最大森林面积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50,然后进行简单的计算即可求出答案.【解答】解:(1)4×104×10÷1000×18÷80=90(亩).答:若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使90亩森林免遭砍伐.(2)设我市森林面积年平均增长率为x,依题意列方程得50(1+x)2=60.5,解得x1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去),1000×104×28×20%÷1000×18÷50=20160,20160÷(605000×10%)≈33%.答:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%.【点评】本题以保护环境为主题,考查了增长率问题,阅读理解题意,并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力;解答时需仔细分析题意,利用方程即可解决问题.9.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.10.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.11.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A 类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.【分析】(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式;(2)①当2≤x<8时及当x≥8时,分别求出w关于x的表达式.注意w=销售总收入﹣经营总成本=w A+w B﹣3×20;②若该公司获得了30万元毛利润,将30万元代入①中求得的表达式,求出A类杨梅的数(3)本问是方案设计问题,总投入为132万元,这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本.共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当2≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式,并分别求出其最大值.【解答】解:(1)①当2≤x<8时,如图,设直线AB解析式为:y=kx+b,将A(2,12)、B(8,6)代入得:,解得,∴y=﹣x+14;②当x≥8时,y=6.所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=;(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48.∴w关于x的函数关系式为:w=.②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元,此时m=,m﹣x=;②当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=48∴当x>8时,有最大毛利润48万元.综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论.12.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.13.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.14.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.15.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.16.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.17.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.18.如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,(1)求的长;(2)若,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由.【分析】(1)连接OE、OF,利用相切证明四边形AFOE是正方形,再根据弧长公式求弧长;(2)先求出直线M1N1与圆相切时d的值,结合1≤d≤4,划分d的范围,分类讨论.【解答】解:(1)连接OE、OF,∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,∴∠A=90°,∠OEA=∠OF A=90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF=90°,OE=AE=∴的长==π.(2)如图,将直线MN沿射线DA方向平移,当其与⊙O相切时,记为M1N1,切点为R,交AD于M1,交BC于N1,连接OM1、OR,∵M1N1∥MN∴∠DM1N1=∠DMN=60°∴∠EM1N1=120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O=∠EM1N1=60°在Rt△EM1O中,EM1===1∴DM1=AD﹣AE﹣EM1=+5﹣﹣1=4.过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2,∴当d=2时,直线MN与⊙O相切,当1≤d<2时,直线MN与⊙O相离,当直线MN平移到过圆心O时,记为M2N2,点D到M2N2的距离d=DK+OR=2+=3>4,∴当2<d≤4时,MN直线与⊙O相交.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定.19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)过点O作OD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO,利用“SAS”证明△APE和△OAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,从而得证;(3)设C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt △BDO中,利用勾股定理列式求解即可.【解答】(1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,又∵∠CBO=∠ABP,∴∠BOC=∠APB,∵∠BOC=∠AOP,∴∠AOP=∠APB,∴AP=AO;(2)证明:如图,过点O作OD⊥AB于D,∵∠CBO=∠ABP,∴CO=DO,∵AE=OC,∴AE=OD,∵∠AOD+∠OAD=90°,∠P AE+∠OAD=90°,∴∠AOD=∠P AE,在△AOD和△P AE中,,∴△AOD≌△P AE(SAS),∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO;(3)解:设AE=OC=3k,∵AE=AC,∴AC=8k,∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,∴OA=OE+AE=5k.由(1)可知,AP=AO=5k.如图,过点O作OD⊥AB于点D,∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k.在Rt△AOD中,AD===4k.∴BD=AB﹣AD=10﹣4k.∵OD∥AP,∴,即解得k=1,∵AB=10,PE=AD,∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k=6,OD=3在Rt△BDO中,由勾股定理得:BO===3.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键.20.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.。
中考数学压轴题100题精选[含答案解析]
中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图,已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0)经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC .(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.【002】如图16,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB-BC-CP 于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0).(1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)(3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成 为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由;(4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值.【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
中考数学压轴题100题含答案解析
中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图,已知抛物线y a(x 3 3( a z 0)经过点A2 °),抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上,连结BC •(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P从点0出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若0C °B,动点P和动点Q分别从点0和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t (s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在Rt A ABC中,/ C=90 , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是:(2) 在点P从C向A运动的过程中,求△ APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;(4) 当DE经过点C时,请直接写出t的值.【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C ( 8, 0)、D ( 8,8) •抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒•过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△ CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
24届中考数学压轴题
24届中考数学压轴题一、在直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),若将点A向左平移5个单位,再向下平移3个单位,得到点B,则点B的坐标是:A. (-2,7)B. (-2,1)C. (8,-2)D. (-2,-2)(答案)B(解析)点A(3,4)向左平移5个单位,横坐标变为3-5=-2;再向下平移3个单位,纵坐标变为4-3=1,所以点B的坐标为(-2,1)。
二、已知一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则这个等腰三角形的周长是:A. 13B. 17C. 13或17D. 无法确定(答案)B(解析)等腰三角形的两腰相等,若3为腰,则两腰之和为6,小于第三边7,不能构成三角形。
所以7为腰,两腰之和为14,加上底边3,周长为17。
三、小明计划用一笔钱买书,如果每本书的价格是20元,他可以买30本,如果书降价到15元一本,他最多可以买:A. 30本B. 35本C. 40本D. 45本(答案)C(解析)小明原计划买书的总价为20×30=600元。
书降价后,他可以用600元买600÷15=40本书。
四、一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm,若将其表面涂上红色,然后切成1cm³的小正方体,则至少有一面被涂红的小正方体的个数是:A. 24B. 52C. 54D. 56(答案)D(解析)长方体体积为3×4×5=60cm³,切成1cm³小正方体后,共有60个小正方体。
其中,未被涂色的小正方体位于长方体内部,尺寸为1×2×3=6cm³,即6个。
所以至少有一面被涂红的小正方体有60-6=54个,但考虑到长方体八个顶角的小正方体有三面被涂红,被重复计算了两次,所以实际至少有一面被涂红的小正方体有54+8-6=56个。
五、已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y=3;当x=-3时,y=-2。
则k和b的值分别是:A. k=1, b=1B. k=1, b=-1C. k=-1, b=5D. k=2, b=-1(答案)A(解析)将x=2,y=3代入y=kx+b得2k+b=3;将x=-3,y=-2代入得-3k+b=-2。
中考数学压轴题100题精选及答案(全)
(1)求点 的坐标(用 表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点,连结 并延长交 于点 ,连结 并延长交 于点 ,试证明: 为定值.
【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1) 求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ,与反比例函数 的图象相交于点 .过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 ;过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 与 交于点 ,连接 .
(1)求证:梯形 是等腰梯形;
(2)动点 、 分别在线段 和 上运动,且 保持不变.设 求 与 的函数关系式;
(3)在(2)中:①当动点 、 运动到何处时,以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;②当 取最小值时,判断 的形状,并说明理由.
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【007】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1.在△ABC中,AB = BC,∠ABC=90°.(1)如图1,已知DE⊥BC,垂足为D,若∠DBE=60°,AC=22,BD=3,求线段AE的长;(2)如图2,若点D在△ABC内部,点F是CD的中点,且∠BAD=∠CBF,求证:∠DBF=45°;(3)如图3,点A与点'A关于直线BC对称,点D是△'A AC内部一动点,∠ADC=90°.若AC=4,则线段'A D的长是否有最小值,如果有,请直接写出这个最小值;如果没有,请说明理由.2.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙是△ABC的外接圆,连接BO并延长交边AC于点D.(1)如图1,求证:∠BAC=2∠ABD;(2)如图2,过点B作BH⊥AC于点H,延长BH交⊙O于点G,连接OC,CG,OC交BG于点F,求证:BF=2HG;(3)如图3,在(2)的条件下,若AD=2,CD=3,求线段BF的长.3.在等腰Rt ABC中,AB AC∠=︒.=,90BAC(1)如图1,D,E是等腰Rt ABC斜边BC上两动点,且45DAE∠=︒,在等腰Rt ABC 外侧作CAF BAE≅△△,连接DF.问:①DCF∠=__________度.②AED与AFD是否全等?请说明理由;③当3BE=,7CE=时,求DE的长;(2)如图2,点D是等腰Rt ABC斜边BC所在射线CB上的一动点,连接AD,以点A为直角顶点作等腰Rt ADE△(点E在点D的顺时针方向上),当4BD=,12BC=时,直接可出DE的长.4.直线y=﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A,点B.点P为线段AB上一动点(与点A,B不重合).过点P作PM⊥OA于点M,以OB,OM为邻边作矩形BOMN.点Q在直线BN上,且PQ⊥OP.(1)如图1,①判断△APM的形状,并说明理由;②求证:△PNQ≌△OMP;③若∠PQN=22.5°,直接写出点P的坐标.(2)作射线OQ交直线AB于点K,∠OPQ的角平分线交边OB于点G.若BGOG=35,①当∠PKQ为钝角时,直接写出线段PK的长;②当∠PKQ为锐角时,直接写出BK2+AP2的值.5.在矩形ABCD中,3OA=,6AB=.分别以OA,OC边所在的直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.(1)如图1,将OAC 沿对角线AC 翻折,交AB 于点P ,求点P 的坐标; (2)如图2,已知H 是AB 上一点,且32HBC S =△,OG CH ⊥于点P ,求四边形OAHP 的面积;(3)如图3,点()0,5D ,点E 是OB 上一点,且2OE BE =,M 是直线DE 上的一个动点,在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ,使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,AB 是ABC 的外接圆O 的直径,点D 在半圆上,DC 与AB 交于点E ,过点C 作CF ⊥DC 交DB 的延长线于点F ,交圆O 于点G .(1)求证:ABC ∽DCF ;(2)当∠1=∠2,DF =105,AE :EC =1:2时,求圆O 的半径.(3)在(2)的条件下,连接DG 交BC 于点M ,则OMB DGF S S =:△△ (直接写出答案).7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A (4,0)、B (0,4)、C .其对称轴l 交x 轴于点D ,交直线AB 于点F ,交抛物线于点E .(1)求抛物线的解析式;(2)点P为直线l上的动点,求△PBC周长的最小值;(3)点N为直线AB上的一点(点N不与点F重合),在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于两点与y轴交于点C,点M是抛物线的顶点,抛物线的对称轴l与BC交于点D,与x轴交于点E.(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标(2)如果,求抛物线的表达式;(3)在(2)的条件下,已知点F是该抛物线对称轴上一点,且在线段BC的下方,,求点F的坐标9.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=10,CD=45,动点P从点A沿着A-B-C 运动,同时点Q从点D沿着D-A运动,它们同时到达终点,设点P运动的路程为x,AQ的长度为y,且2163y x=-+.(1)求AD,BC的长和四边形ABCD的面积.(2)连接PQ,设△APQ的面积为S,在P,Q的运动过程中,S是否存在最大值,若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由.(3)当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时,求所有满足要求的x的值.10.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC,点A在y轴上,点C在x轴上,其中B(﹣2,3),已知抛物线y=﹣34x2+bx+c经过点A和点B.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,点D(﹣2,﹣1)在直线BC上,点E为y轴右侧抛物线上一点,连接BE、AE,DE,若S△BDE=4S△ABE,求E点坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,P为射线DB上一点,作PQ⊥直线DE于点Q,连接AP,AQ,PQ,若△APQ为直角三角形,请直接写出P点坐标.11.在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,连接BD.点P从点E出发沿射线ED运动,过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q.(1)当点P在线段ED上时(如图1),求证:BE=PD 3;(2)若BC=6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(3)在②的条件下,当点P运动到线段ED的中点时,连接QC,过点P作PF⊥QC,垂足为F,PF交对角线BD于点G(如图2),求线段PF的长.12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C (0,﹣3),顶点D 坐标为(1,﹣4).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线在第四象限的图象上有一点M ,求四边形ABMC 面积的最大值及此时点M 的坐标;(3)如图2,直线CD 交x 轴于点E ,若点P 是线段EC 上的一个动点,是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC ∆相似.若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图,已知抛物线23y ax bx =++经过点1,0A 和点()3,0B ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式;(2)若P 是直线BC 下方的抛物线上一个动点,(不点B ,C 重合),过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D , ①求线段PD 长度的最大值.②若PBD △为直角三角形,求出P 点坐标(3)点E 为y 轴上一动点,连接AE ,BE ,形成AEB ∠,当AEB ∠的度数最大时,求点E 的坐标.14.已知等边△ABC 边长为6,D 为边AB 上一点,E 为直线AC 上一点,连接DE ,将DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF .(1)如图1,若∠AED =90°,过点F 作FG ⊥AC 于点G ,求AFFG的值; (2)若AD =x ,AF 的最小值为y , ①若x =4,求y 的值; ②直接写出y 与x 的关系式.15.如图①,Rt ABC 和Rt BDE 重叠放置在一起,∠ABC =∠DBE =90°,且AB =2BC ,BD =2BE .(1)观察猜想:图①中线段AD 与CE 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把BDE 绕点B 顺时针旋转到图②的位置,连接AD ,CE ,判断线段AD 与CE 的数量关系和位置关系如何,并说明理由;(3)拓展延伸:若BC 5BE =1,当旋转角α=∠ACB 时,请直接写出线段AD 的长度. 16.如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点( 点A 在点B 的左侧),点B 坐标()3,0,抛物线与y 轴交于点()0,3C -,点D 为抛物线顶点,对称轴1x =与x 轴交于点E ,连接BC 、EC .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是BC 下方异于点D 的抛物线上一动点,若PBCEBCS S=,求此时点P 的坐标;(3)点Q 是抛物线上一动点,点M 是平面上一点,若以点B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为矩形,直接写出满足条件的点Q 的横坐标.17.如图(1),ABC 中,90ABC ∠=︒,AB BC =,点D 是AC 的中点,点E 在CD 上(点E 不与点D 和点C 重合),AG BE ⊥于点G ,交BD 于点F ,连接DG .(1)求证:ADF BDE △≌△;(2)设GF a =,GE b =,GD c =,证明:2a b c +=;(3)如图(2),延长AG 交BC 于点M ,若点M 是BC 中点,点N 是AB 的中点,请证明点N 、F 、C 三点共线.18.已知,如图1,Rt△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,D 为△ABC 外一点,且∠ADC =90°,E 为BC 中点,AF ∥BC ,连接EF 交AD 于点G ,且EF ⊥ED 交AC 于点H ,AF =1.(1)若13AHCH,求EF的长;(2)在(1)的条件下,求CD的值;(3)如图2,连接BD,BG,若BD=AC,求证:BG⊥AD.19.如图1,抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于A、B两点,且B(3,0),与y轴交于点C,一次函数y=kx+b的图象l与抛物线在第一象限交于点P.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)若∠PCB=∠ACO,求P点的坐标;(3)如图2,若b=1,直线l与抛物线的另一个交点为D,过点D作DE∥y轴交直线PC于E,请说明点E一定在某条确定的直线上运动,求出这条直线的解析式.20.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;(3)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,求出其值;若不存在,请说明理由.【参考答案】**科目模拟测试一、解答题 1.(1)27 (2)见解析 (3)252- 【解析】 【分析】(1)如图1中,过点E 作EQ AB ⊥,交AB 延长线于点Q ,则四边形BQED 是矩形,解直角三角形求出AQ ,QE 即可解决问题.(2)如图2中,在BF 上取一点M ,使得BM AD =,并且延长MF 至点H ,使MF FH =,连接CM ,DH .利用全等三角形的性质证明H FMC DBH ∠=∠=∠,再证明290DBH ∠=︒即可解决问题.(3)如图3中,取AC 的中点F ,连接A F ',DF ,过点F 作FT AB ⊥于T .解直角三角形求出DF ,FA ',判断出当A ',D ,F 共线时,DA '的值最小于是得到结论. (1)解:如图1中,过点E 作EQ AB ⊥,交AB 延长线于点Q ,则四边形BQED 是矩形,3BD QE ∴==在Rt BQE ∆中,30QBE ∠=︒,223BE BD ∴==,33BQ QE ==,在Rt ABC ∆中,22AB BC ===,5AQ ∴=,在中,;(2)如图2中,在BF 上取一点M ,使得BM AD =,并且延长MF 至点H ,使MF FH =,连接CM ,DH .在和中,,,,,是CD 的中点,,在和中,,,,, ,H FMC DBH ∠=∠=∠,又是的外角,,,,;(3)如图3中,取AC 的中点F ,连接A F ',DF ,过点F 作FT AB ⊥于T .,90ABC∠=︒,4AC=,,,,FT AB⊥,,,,,,,AF CF=,,,,∴当A',D,F共线时,DA'的值最小,此时,故线段的长最小值是52.【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形或全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.2.(1)证明见解析;(2)证明见解析,(3)157 BF=【解析】【分析】(1)连接OA并延长AO交BC于E,证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论,(2)利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角,得出MCG△和△FCG是等腰三角形,得出BM=MC=FG=CG,MH=HG,进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG,得出结论;(3)过O点作OP⊥AC,由垂径定理得出12 PD=,再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==,由勾股定理进而可求BH,再利用相似三角形对应边成比例求出HG,即可得BF长.【详解】解:(1)连接OA并延长AO交BC于E,∵AB=AC,∴AB AC=,∵AE过圆心O,∴AE BC⊥,BE EC=,∴∠BAC=2∠BAE,∵OA=OB,∴∠ABD=∠BAE,∴∠BAC=2∠ABD;(2)如解图(2),连接OA并延长AO交BC于E,AE交BF于M,连接MC,设2BACα∠=,则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE=EC,AE⊥BC,∴BM=MC,∴∠MBC=∠MCB,∵BG⊥AC,AE⊥BC,∴∠EAC+∠ACE=90°,∠HBC+∠ACE=90°,∴EAC HBC MCBα∠=∠=∠=,∴2CMG MBC MCBα∠=∠+∠=,∵BC BC=,∴2G BAC α∠=∠=,∴∠G =∠CMG ,∴CG =CM =BM ,∵AC ⊥BG ,∴MH =HG ,∵OA =OC ,∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-,∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠,即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-,∴FCG CFG ∠=∠,∴FG =CG ,∴BM =MC =FG =CG ,又∵MH =HG ,∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ,∴BF =2HG .(3)过O 点作OP ⊥AC ,如解图(3)∵AO 是∠BAC 的角平分线,∴点O 到AB 、AC 的距离相等, ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==, ∵AD =2,CD =3,∴AB =AC =5, ∴5=2BO OD ,即:2=7OD BD , ∵OP ⊥AC ,∴52AP PC ==,12PD =, ∵BH AC ⊥, ∴OP //BH ,∴27DP OP OD DH BH BD ===, ∴7724DH DP ==,∴154AH AD DH =+=,5-4HC DC DH ==,∵在Rt ABH 中,BH == ∵BAH G ∠=∠,AHB GHC ∠=∠,∴AHB GHC △△, ∴AH BH HG CH = 即:AH HC BH HG =,51544=⨯,∴HG =, 由(2)得BF =2HG ,∴BF = 【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆周角定理,涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点,解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系,从而利用相似或勾股定理解题.3.(1)①90︒;②全等,证明见解析;③29=7DE ;(2)DE 的值为 【解析】【分析】(1)①先由等腰直角三角形的性质得∠B =∠ACB =45°,再由全等三角形的性质得∠ACF =∠B =45°,即可得出答案; ②先证出∠DAE =∠DAF ,再由DA =DA ,AE =AF ,即可得出结论; ③设DE =x ,则CD =7-x .在Rt △DCF 中,由勾股定理得DF 2=CD 2+CF 2,则x 2=(7-x )2+32,解方程即可;(2)分两种情形:①当点D 在线段BC 上时,连接BE ,由△EAD ≌△ADC ,推出∠ABE =∠C =45°,BE =CD =8,推出∠EBD =90°,由勾股定理即可得出答案; ②当点D 在CB 的延长线上时,同法可得DE 的长.【详解】解:(1)①∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠B =∠ACB =45°,∵△CAF ≌△BAE ,∴∠ACF =∠B =45°,∴∠DCF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°,故答案为:90;②△AED ≌△AFD ,理由如下:∵△CAF≌△BAE,∴AF=AE,∠CAF=∠BAE,∵∠BAC=90°,∴∠CAE+∠BAE=∠CAE+∠CAF=∠BAC=90°,∵∠DAE=45°,∴∠DAF=90°-45°=45°,∴∠DAE=∠DAF,又∵DA=DA,AE=AF,∴△AED≌△AFD(SAS);③∵△CAF≌△BAE,∴CF=BE=3,设DE=x,则CD=7-x,由①得:∠DCF=90°,由②得:△AED≌△AFD,∴DE=DF=x,在Rt△DCF中,由勾股定理得:DF2=CD2+CF2,即x2=(7-x)2+32,∴297x,∴29=7 DE;(2)①当点D在线段BC上时,连接BE,如图2所示:∵△ADE是等腰直角三角形,∠EAD=90°,∴AE=AD,∠BAC=∠EAD,∴∠EAB=∠DAC,∵AE=AD,AB=AC,∴△EAB≌△DAC(SAS),∴∠ABE=∠C=45°,BE=CD=BC-BD=12-4=8,∴∠EBD=90°,∴22228445DE BE BD+=+②当点D在CB的延长线上时,连接BE,如图3所示:同①得:△EAB≌△DAC(SAS),∠EBD=90°,∴BE=CD=BC+BD=12+4=16,∴2222164417DE BE BD=++=综上所述,DE的值为45417【点睛】本题是三角形综合题目,考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.4.(1)①等腰直角三角形,理由见解析,②证明见解析,③(63232)-,,(2)52,②225 2【解析】【分析】(1)①求出直线y=﹣x+6与x轴、y轴交点坐标,得出∠BAO=45°即可证明;②由①得出BN=PN=OM,再根据PQ⊥OP得出∠PQB=∠OPM,即可证明△PNQ≌△OMP;③∠PQN=22.5°,可得BQ=PB,设点P坐标为(a,-a+6),列出关于a的方程求解即可;(2)①证△OPG∽△OBP,求出OP长,得出P点坐标,再证△OPB∽△KPO,求出PK 的长即可;②类似①得出P点坐标,求出PK的长即可.【详解】解:(1)①△APM是等腰直角三角形,理由如下:y=﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A,点B.当x=0时,y=6,当y=0时,x=6,则点A(6,0)点B(0,6);∴OA =OB ,∴∠BAO =45°,∵PM ⊥OA ,∴∠BAO =∠MPA =45°,∴PM =PA ,∴△APM 是等腰直角三角形;②由①同理可得BN =PN ,∵BN =OM ,∴PN =OM ,∵PQ ⊥OP ,∴∠QPN +∠OPM =90°,∵∠POM +∠OPM =90°,∴∠POM =∠QPN ,∵∠PMO =∠PNQ =90°,∴△PNQ ≌△OMP ;③设点P 坐标为(a ,-a +6),∵∠PQN =22.5°,∠PBN =45°,∴∠PQN =∠BPQ =22.5°,∴BQ =PB ,∵△PNQ ≌△OMP ;∴QN =PM=-a +6,6a a +=-+,解得,6a =-则点P 坐标为(6-;(2)∵BG OG =35,OB =6, ∴94BG =,154OG =, ①∵∠OPQ 的角平分线交边OB 于点G ,∴∠OPG =∠OBA =45°,∵∠PGO =45°+∠BPG ,∠BPO =45°+∠BPG ,∴∠PGO =∠BPO ,∴△OPG ∽△OBP ,∴OP OG OB OP =,即1546OP OP=,解得OP = 设点P 坐标为(a ,-a +6),222(6)a a +-+=,解得,132a =,292a =; 当∠PKQ 为钝角时,92a =,P 坐标为93()22,, 则32AP =,92BP =, ∵∠POK =∠OBA =45°,∠BPO =∠BPO ,∴△OPB ∽△KPO , ∴OP PB KP OP =,即3109222310KP =,解得52KP =;②当∠PKQ 为锐角时,32a =,P 坐标为39()22,, 则92AP =32BP = 由①得,310OP =OP PB KP OP =即3103222310KP ,152KP = 1523262BK == BK 2+AP 2=22922252+=2()).【点睛】本题考查了一次函数与图形,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解题关键是熟练运用相关定理进行推理证明.5.(1)153,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)11110;(3)存在,(125,5N -,()24,8N ,355,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(1)根据翻折的性质得出△BCP ≌△O 'AP ,再利用勾股定理得出结论;(2)先求出直线CH 和OG 的解析式,联立解得H 的坐标,再根据OCP OAHP OAHC S S S =-四边形梯形得出结果;(3)分三种情况讨论:①当OD =DM =MN =NO =5时,②当OD =DN =MN =MO =5时,③当OM =MD =DN =NO =5时.【详解】(1)∵四边形OABC 是矩形,∴OA =BC =3,OC =AB =6,由翻折得3OA OA ,∠O '=∠AOC =90°,在△BCP 与△O 'AP 中,∠B =90°,∠BPC =∠O 'PA ,BC =O 'A =2,∴△BCP ≌△O 'AP ,∴BP =O 'P ,设BP =O 'P =x ,则AP =AB -BP =6-x ,在Rt △AP O '中,222O P O A AP ''+=,则2223(6)x x +=-,解得94x =, ∴AP =6-x =6-94=154,则15(3,)4P ; (2)1133222HBCSBC BH BH BH =⋅=⨯⨯=,则3322BH =, ∴BH =1,AH =AB -BH =6-1=5, ∴H (3,5), ∵(0,6),(3,5)C H ,∴设直线CH 为:y mx n =+,过点(0,6),(3,5)C H ,∴6053n m n =+⎧⎨=+⎩,解得:136m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线CH 为:163y x =-+,∵OG ⊥CH ,且13CH K =-,∴3OG K =,∴直线OG 为:3y x =,联立3163y xy x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得95x =, 当95x =时,275y = ,∴927(,)55H ,∵33()22OAHC S AH OC OA =+⋅÷=梯形,OCPOAHP OAHC S S S =-四边形梯形,∴33271112510OAHP S =-=四边形;(3)设DM 与AB 交于F ,与x 轴交于H , ∵OD ∥AB ,∴△ODE ∽△BFE , ∴OE ODBE BF =, ∴2=ODBF, ∵D (0,5), ∴OD =5, ∴BF=522OD =, ∴AF =AB -BF =6-52=72, ∴F (3,72); 设直线DF :y kx b =+,过点D (0,5),F (3,72), ∴50732b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得512b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴直线DF :152y x =-+,当OD =DM =MN =NO =5时,如图,作MP ⊥y 轴交于点P ,则MP ∥x 轴, ∴△MPD ∽△FOD , ∴MP PD MDOF OD FD==, 直线DF :152y x =-+,当y =0时,x =10,∴H (10,0),则DH =10,FD =222251055OD DF +=+=,则10555MP PD ==, ∴MP =25,PD =5, ∴(25,55)M -+,∴25N M x x ==-,555N M y y MN =-=+-=5, ∴(25,5)N -;②当OD =DN =MN =MO =5时,如图,延长MN 交x 轴于点P ,则MP ⊥x 轴, ∵M 在152y x =-+上,∴设M (a ,15)2a -+,在Rt △DPM 中,222OP PM OM +=,∴2221(5)52a a +-+=,解得124,0a a ==(舍去),∴M (4,3),∴MP =3+MN =3+5=8, ∴N (4,8);③当OM =MD =DN =NO =5时,如图,连接NM ,交OD 于点P ,则MN 垂直平分OD , ∴52M N y y OP ===,则15522M x -+=, ∴5M x =, ∴5N M x x -=,∴5(5,)2N -;综上所述:N 点的坐标为(25,5)-,(4,8),5(5,)2-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质及一次函数的性质,解题的关键是灵活运用这些性质.6.(1)证明见解析;(2)254;(3)544【解析】【分析】(1)证明90ACB DCF,结合,A CDF从而可得答案;(2)连接OD,先证明△AEC∽△DCF,可得DC=10,DE=CE=5,AE=52,设⊙O的半径为r,则OE=52r,OD=r,根据勾股定理列方程可解答;(3)如图,连接BG,根据圆周角定理可得DG是⊙O的直径,根据勾股定理计算CG的长,得FG的长,知FG=DG,根据等腰三角形三线合一的性质得BD=BF,证明△OBM∽△GCM,得OD:OM:MG=11:5:6,根据同高三角形面积的关系可得结论.【详解】(1)证明:∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径,,CF DC∴90,ACB DCF,A CDF∴ABC∽DCF;(2)解:如图,连接OD,∵12,∠=∠∴AD AC=,∴AB⊥CD,∴∠AEC=90°,∵DC⊥CF,∴∠DCF=90°,∴∠AEC=∠DCF,∵∠A=∠ADB,∴△AEC∽△DCF,∴AE CE DC CF,∵AE:EC=1:2,∴DC:CF=1:2,∵DF=52222105,DC DC∴DC=10,(负根舍去)20,CF∵OA⊥CD,∴DE=CE=5,AE=52,设⊙O的半径为r,则OE=52r,OD=r,在Rt△ODE中,由勾股定理得:OD2=DE2+OE2,∴222552r r,解得:254r=,答:圆O的半径为254;(3)解:如图,连接BG,∵∠DCG=90°,∴DG是⊙O的直径,∴∠DBG=90°,由(2)知:CD=10,DG=252,由勾股定理得:222225151022 CG DG CD,∴FG=CF﹣CG=15252022DG,∵90,DCG∴90,DBG∠=︒ BG⊥DF,∴BD=BF,∴S△DBG=S△BGF,∵S △DGF=12FG•CD=12512510222,∴S△DGB=1254,∵∠DEB=∠DCG=90°,∴OB CG∥,∴△OBM ∽△GCM , ∴25541562OM OB MG CG, ∴OD :OM :MG =11:5:6, ∴S △OMB =512562522488, ∴S △OMB :S △DGF =62588:1255244. 故答案为:544. 【点睛】本题考查垂径定理,圆周角定理,相似三角形的性质和判定,三角形面积,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形和等腰三角形解决问题,属于中考常考题型.7.(1)234y x x =-++ (2)(3)存在,(52,)或(,-)或(,-)【解析】 【分析】(1)把点A (4,0)、B (0,4)代入抛物线y =-x 2+bx +c 中,求得b 和c 即可; (2)作点B 关于直线l 的对称轴B ′,连接B ′C 交l 于一点P ,点P 即为使△PBC 周长最小的点,由对称可知,PB ′=PB ,即△PBC 周长的最小值为:BC +CB ′;(3)设M (m ,-m 2+3m +4),①当EF 为边时,则EF ∥MN ,则N (m ,-m +4),所以NM =EF =,即|-m 2+3m +4-(-m +4)|=,求出m 的值,代入即可;②当EF 为对角线时,EF 的中点为(32,),由中点坐标公式可求得点N 的坐标,再由点N 是直线AB上一点,可知-3+m +4=m 2-3m +,解得m 的值即可.(1)解:把点A (4,0)、B (0,4)代入抛物线y =-x 2+bx +c 中, 得,,解得,∴抛物线的解析式为:y =-x 2+3x +4; (2)解:由抛物线解析式可知,对称轴直线l :x =32,∵点A(4,0),∴点C(-1,0),如图,作点B关于直线l的对称轴B′,连接B′C交l于一点P,点P即为使△PBC周长最小的点,此时B′(3,4),设直线B′C的解析式为y=kx+b1,∴,解得:,∴直线B′C的解析式为:y=x+1,把x=32代入得:y=32+1=52,∴P(32,52),∵B(0,4),C(-1,0),B′(3,4),∴BC=,CB′=2∴△PBC周长的最小值为:;(3)解:存在,以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为(52,)或(,-)或(,-).理由如下:由抛物线解析式可知,E(32,),∵A(4,0)、B(0,4),∴直线AB的解析式为:y=-x+4,∴F(32,52).∴EF=.设M(m,-m2+3m+4),①当EF为边时,则EF∥MN,∴N(m,-m+4),∴NM=EF=,即|-m2+3m+4-(-m+4)|=,解得m=32(舍)或52或或,∴M(52,)或(,-)或(,-).②当EF为对角线时,EF的中点为(32,),∴点N的坐标为(3-m,m2-3m+),∴-3+m+4=m2-3m+,解得m=32(舍),m=52,∴M(52,).综上,满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为(52,)或(,-)或(,-).【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式,平行四边形存在性问题,解题过程中注意需要分类讨论.8.(1)对称轴是,B(4,0)(2)y=(3)F(32,-5)【解析】【分析】(1)根据二次函数抛物线的性质,可求出对称轴,即可得B点的坐标;(2)二次函数的y轴平行于对称轴,根据平行线分线段成比例用含a的代数式表示DE的长,MD=158,可表示M的纵坐标,然后把M的横坐标代入y=ax2−3ax−4a,可得到关于a的方程,求出a的值,即可得答案;(3)先证△AOC∽△COB,得∠BCO=∠CAO,再求出∠CAO=∠CFB,得△AGC∽△FGB,根据相似三角形对于高的比等于相似比,可得答案.(1)解:∵二次函数y=ax2−3ax−4a,∴对称轴是 ,∵A (−1,0), ∵1+1.5=2.5, ∴1.5+2.5=4, ∴B (4,0); (2)∵二次函数y =ax 2−3ax −4a ,C 在y 轴上,∴C 的横坐标是0,纵坐标是−4a , ∵y 轴平行于对称轴, ∴ , ∴, ∵ , ∵MD =158, ∵M 的纵坐标是+158∵M 的横坐标是对称轴x , ∴ ,∴+158=,解这个方程组得:12a =- ,∴y =ax 2−3ax −4a =12- x 2-3×(12-)x -4×(12-)=;(3)假设F 点在如图所示的位置上,连接AC 、CF 、BF ,CF 与AB 相交于点G ,由(2)可知:AO=1,CO=2,BO=4,∴,∴,∵∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB,∴∠BCO=∠CAO,∵∠CFB=∠BCO,∴∠CAO=∠CFB,∵∠AGC=∠FGB,∴△AGC∽△FGB,∴,设EF=x,∵BF2=BE2+EF2=,AC2=22+12=5,CO2=22=4,∴=,解这个方程组得:x1=5,x2=-5,∵点F在线段BC的下方,∴x1=5(舍去),∴F(32,-5).【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行线分线段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定与性质,做题的关键是相似三角形的判定与性质的灵活运用.9.(1)120;(2)存在,最大值为1123;(3)24043x=或487x=或12x=【解析】【分析】(1)当x=0时,当y=0时,分别求解得出对应线段的长度,过点B作BM⊥AD,过点D 作DN⊥BC,求出高,即可求解;(2)分情况讨论(点P在线段AB上、当P在BC上时),得出△APQ的面积的函数表达式,根据函数性质求解即可;(3)分三种情况讨论,利用三角形相似的性质求解即可.【详解】解(1):由题意:∵P,Q两点同时到达终点,所以,当x=0时,y=16,即AD=16;当y=0时,x=24,所以BC=14过点B作BM⊥AD,过点D作DN⊥BC,如下图:又∵AD∥BC,可知四边形BMDN为矩形设AM=m,∴MD=16-m,即BN=16-m,∴CN=m-2,根据BM=DN,可得:102-m2=2(45)-(m-2)2,解得m=6.即BM=8,4CN=∴四边形ABCD的面积为:(16+14)×8÷2=120(2)当点P在线段AB上时,010x<≤,作PE AD⊥,如下图,则//PE BM,∴APE ABM△∽△∴AP PE AEAB BM AM==,即45PE x=,35AE x=21124432(16)2235155 APQS AQ PE x x x x=⨯=-+⨯=-+△对称轴为12x=,0a<又∵010x<≤∴10x=时,APQS最大,为1123当P在BC上时,1024x≤≤,186423APQS AQ BM x=⨯=-+△k<,APQS随x的增大而减小,综上所述,APQS的最大值为1123(3)当PQ AB⊥时,如下图:∴APQ AMB△∽△∴AP AQAM AB=,即2163610xx-+=,解得487x=当PQ BC⊥时,可得BP MQ=,即2101663x x-=-+-解得12x=当PQ CD⊥时,如下图:∵//AD BC,∴C QDH∠=∠又∵90H CND PEQ∠=∠=∠=︒,PQE DQH∠=∠∴PEQ DHQ CND△∽△∽△∴PE CN EQ DN=由(1)(2)得45PE x=,35AE x=,4CN=,8DN=∴231635 EQ x x =-+-∴4452381635xx x=-+-,解得24043x=综上所得24043x=或487x=或12x=【点睛】本题考查了一次函数图象和性质,二次函数最值问题,三角形面积,勾股定理,相似三角形的判定和性质等,是一道关于四边形的综合题,解题关键是熟练掌握并运用二次函数性质、相似三角形的判定和性质等相关知识,并应用数形结合思想、方程思想和分类讨论思想解决问题.10.(1)(2)E(23,53)(3)(﹣2,1)或(﹣2,3)或(﹣2,9)【解析】【分析】(1)由矩形的性质及已知,易得点A的坐标,把A、B两点的坐标代入解析式中可得关于b、c的方程组,解方程组即可;(2)设E(m,﹣34m2﹣32m+3),由题意易得BD、AB的长,则可把△BDE、△ABE的面积表示出来,由S△BDE=4S△ABE得关于m的方程,解方程即可;(3)用待定系数法可求得直线DE的解析式;分三种情况:当P、B重合时,易得△APQ 是等腰直角三角形,从而问题解决;当点P在线段DB的延长线,且AP⊥AQ时,过点Q 作QM⊥AB交BA的延长线于点M,易证△PAB∽△AQM,设P(﹣2,t),由相似三角形的性质可得关于t的方程,解方程即可求得t;当PQ⊥AQ时,易得AP∥DE,则可求得直线AP的解析式,易得点P的坐标.(1)∵B(﹣2,3),矩形OABC,∴A(0,3),∵抛物线y=﹣34x2+bx+c经过点A和点B,∴,∴,∴y=﹣34x2﹣32x+3;(2)∵D(﹣2,﹣1),∴BD=4,设E(m,﹣34m2﹣32m+3),∴S△BDE=12×4×(m+2)=2(m+2),∵AB=2,∴,∵S△BDE=4S△ABE,∴2(m+2)=4(),解得m=﹣2或m=23,∵E点在y轴由侧,∴m=23,∴E;(3)∵E,D(﹣2,﹣1),设直线DE的解析式为y=kx+b,∴,∴,∴y=x+1,∴直线与y轴的交点为(0,1),如图1,当P点与B点重合,Q点为(0,1),此时△APQ为等腰直角三角形,∴P(﹣2,3);如图2,过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M,∵∠PAQ=90°,∠PBA=90°,∠QME=90°,∴∠PAB=∠AQM,∴△PAB∽△AQM,∴=,设P(﹣2,t),∵直线DE的解析式为y=x+1,PQ⊥DE,∴∠PDQ=45°,∴Q(,),∴PB=t﹣3,AB=2,AM=,QM=﹣3=,∴,∴t =9, ∴P (﹣2,9);如图3,当PQ ⊥AP 时,∵∠PAQ +∠AQP =90°,∠AQP +∠AQE =90°,∴∠APQ =∠AQE ,∴AP //DE ,∴直线AP 的解析式为y =x +3,∴P (﹣2,1);综上所述:P 点的坐标为(﹣2,1)或(﹣2,3)或(﹣2,9).【点睛】本题是二次函数的综合,考查了待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,解一元二次方程,三角形面积等知识,涉及分类讨论思想、方程思想.11.(1)见解析;(2)23y x =-;(3421【解析】【分析】(1)过点E 作EM ⊥QP 垂足为M ;在Rt △EQP 中,易得∠EBD =∠EDB =30°;进而可得PE 3,且BE =DE .故可证得BE =PD 3. (2)点P 从点E 出发沿射线ED 运动,所以分当点P 在线段ED 上时与当点P 在线段ED 的延长线上时两种情况讨论,根据所作的辅助线,可得y 与x 的关系;(3)连接PC 交BD 于点N ,可得∠QPC =90°,进而可得△PNG ∽△QPC ,可得PG PNQC PQ,解可得PG的长,再证明△PNG∽△PFC,利用相似三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明:∵∠A=90°,∠ABE=30°,∴∠AEB=60°.∵EB=ED,∴∠EBD=∠EDB=30°.∵PQ∥BD,∴∠EQP=∠EBD.∠EPQ=∠EDB.∴∠EPQ=∠EQP=30°,∴EQ=EP.过点E作EM⊥QP垂足为M.则PQ=2PM.∵∠EPM=30°,∴PM=3PE,PE=3PQ.∵BE=DE=PD+PE,∴BE=PD+3PQ.(2)解:由题意知AE=12BE,∴DE=BE=2AE.∵AD=BC=6,∴2AE=DE=BE=4.当点P在线段ED上时(如图1),过点Q作QH⊥AD于点H,则QH=12PQ=12x.由(1)得PD=BE 3,即PD3.∴y=12PD•QH=−32+x.当点P在线段ED的延长线上时(如图2),过点Q作QH′⊥DA交DA延长线于点H′,∴QH′=12x.过点E作EM′⊥PQ于点M′,同理可得EP=EQ=3PQ,∴BE=3PQ-PD,∴PD=3x-4,∴y=12PD•QH′=3x2−x.(3)解:连接PC交BD于点N(如图3).∵点P是线段ED中点,∴EP=PD=2,PQ3∵DC=AB=AE•tan3∴PC22PD DC+.∴cos∠DPC=12 PDPC=.∴∠DPC=60°.∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°.∵PQ∥BD,∴∠PND=∠QPC=90°.∴PN=12PD=1.QC22PQ PC+7.∵∠PGN=90°-∠FPC,∠PCF=90°-∠FPC,∴∠PGN=∠PCF.∵∠PNG=∠QPC=90°,∴△PNG ∽△QPC , ∴PG PN QC PQ=, ∴PG∵∠PNG =∠PFC =90°,∠NPG =∠FPC ,∴△PNG ∽△PFC , ∴PF PC PN PG =,即1PF =, ∴PF【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,解直角三角形,注意某个图形无法解答时,常常放到其他图形中,利用图形间的角、边关系求解.12.(1)抛物线表达式为:2(1)4y x =--;(2)点M 坐标3(2,15)4时,四边形ABMC 面积的最大值758; (3)当点P 坐标为(1,2)--或3(4-,9)4-时,点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC ∆相似【解析】【分析】(1)利用二次函数的顶点式求解;(2)将四边形ABMC 进行分割,分成ABC ∆,∆CMN ,BMN ∆的和,ABC ∆的面积是定值,求出直线BC 的表达式,当点M 在移动时,表示出线段MN 的长度,从而计算出∆CMN ,BMN ∆面积和的最大值,进而求解;(3)利用三角形相似的判定条件,两边对应成比例且夹角相等进行求解,通过求直线CD 的表达式,得到E 点的坐标,从而求出OEC OBC ∠=∠,分情况讨论两边成比例的情况,进而求出点EP 的长度,再借助解直角三角形进行求解.(1)解:设抛物线的表达式为2(1)4y a x =--,∴将点(0,3)C -代入得:43a -=-,解得1a =,∴抛物线表达式为:()214y x =--;(2)解:连接BC ,作MN y ∥轴交BC 于点N ,作BE MN ⊥,CF MN ⊥,如图所示:由(1)知,抛物线表达式为22(1)423y x x x =--=--, 令0y =,可解得11x =-,23x =, ∴点A 坐标(1,0)-,点B 坐标(3,0),设直线BC 的表达式为y kx b =+,将点B (3,0),(0,3)C -代入得:303k b b +=⎧⎨=-⎩, ∴直线BC 表达式为3y x =-, 设M 点2(,23)m m m --,则点(,3)N m m -,222393(23)3()24N M MN y y m m m m m m =-=----=-+=--+, ΔΔABC BCM ABMC S S S ∴=+四边形ΔΔΔABC CMN BMN S S S =++111222AB OC MN CF MN BE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1143()22MN CF BE =⨯⨯+⨯⨯+ 1632MN =+⨯⨯ 23375()228m =--+, 当32m =时,即点M 坐标3(2,15)4时,四边形ABMC 面积的最大值758; (3) 解:如图所示,作PQ 垂直x 轴,设直线:CD y px q =+,将点C ,D 分别代入得,4{3p q q +=-=-,解得1{3p q =-=-, ∴直线:3CD y x =--,当0y =时,解得3x =-,∴点E 坐标为(3,0)-,3OE OC OB ===,45OEC OBC ∴∠=∠=︒,在Rt OBC ∆中,223332BC +=①当ΔΔBAC EPO ∽时,AB EP BC EO=332EP =,解得22EP = 在Rt ΔEPQ 中,45OEC ∠=︒,sin 45PQ EP∴︒=,解得2PQ =, 2EQ PQ ∴==,此时点P 坐标(1,2)--; ②当ΔΔBAC EOP ∽时,BA EO BC EP =332EP =,解得92EP = 在Rt ΔEPQ 中,45OEC ∠=︒,sin 45PQ EP ∴︒=,解得94PQ =, 94EQ PQ ∴==,此时点P 坐标3(4-,9)4-; 综上所述,当点P 坐标为()1,2--或39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭时,点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC ∆相似.【点睛】本题是二次函数的综合应用题,主要考查了待定系数法求函数解析式,直角坐标系内多边形面积的求法,三角形相似的判定.第2问的解题关键是能够将四边形面积进行分割计算,并且能够表示出线段MN 的长度,从而建立函数关系进行求解,第3问的解题关键是利用三角形相似求出线段EP 的长度,再借助解直角三角形进行求解.13.(1)y =x 2-4x +3(2)①94;②(1,0);(3)0(或0(, 【解析】【分析】(1)用待定系数法求解析式即可;(2)①根据抛物线解析式设出P 点坐标,用待定系数法求出直线BC 的解析式,确定D 点的坐标,根据二次函数的性质得出PD 的最大值即可;②分情况讨论求出P 点的坐标即可;(3)作△ABE 的外接圆,根据圆心在抛物线的对称轴上,且当半径最小时∠AEB 有最大值,即外接圆与y 轴相切时,求出此时的E 点坐标即可.(1)解:(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A (1,0)和点B (3,0), ∴30,9330a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为:y =x 2-4x +3;(2)①设P (m ,m 2-4m +3),由抛物线解析式知,C (0,3),设直线BC 的解析式为y =sx +t , 将点B 、C 坐标代入得30,3s t t +=⎧⎨=⎩解得13s t =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y =-x +3,∴D (m ,-m +3),∴PD =(-m +3)-(m 2-4m +3)=-m 2+3m =239(),24m =-+ ∴当32m =时,PD 有最大值为9;4(3) ②若△PBD 为直角三角形,则存在以下两种情况:(Ⅰ)如下图,当P 点与A 点重合时△PBD 为直角三角形,即P(1,0),(Ⅱ)如下图,当∠DBP=90°时,∵OB=OC=3,∴∠DBO=45°,∴此时△BPD为等腰直角三角形,由(Ⅰ)知PD=-m2+3m,且BD=BP,∴-m2+3m=2(3-m),且|-m2-4m+3|=-m+3此时无解,∴P点坐标为(1,0);(3)如下图,作△ABE的外接圆M,则圆心M在AB的垂直平分线上,即抛物线的对称轴上,AB长度不变,要使∠AEB最大则当⊙M半径最小时,即⊙M与y轴相切时,设E(0,e),则M(2,e),且AM=EM=2,||e ∴∴E 点的坐标为0(或0(, 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识,熟练掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键.14.(2)①2;②(()11062y x x =< 【解析】【分析】(1)设AD =2a ,解直角三角形ADE ,表示AE 和DE ,可得四边形DEGF 是正方形,解直角三角形AGF ,表示出AF ,即可得出结果;(2)①作DG ⊥AB ,截取DG =AD ,作直线GF 交AC 于M ,交直线AB 于H ,可以证明ADE GDF ≌,从而得出60DGF A ∠=∠=︒,得出点F 的运动轨迹,然后解直角三角形DGH ,再解直角三角形AHM ,即可得出结果;②由①得,点F 的运动轨迹,然后解直角三角形DGH ,再解直角三角形AHM ,进而得出y 与x 的函数关系式.(1)设AD =2a , ABC 是等边三角形,60CAB ∴∠=︒,90AED ∠=︒,sin 2sin 60DE AD ABC a ∴=⋅∠=⨯︒=,12AE AD a ==, FG AC ⊥,90FGE ∴∠=︒,90DEG EDF ∠=∠=︒,∴四边形DEGF 是矩形,DE DF =,∴矩形DEFG 是正方形,∴GE FG DE ===,AG AE EG a ∴=+=,在Rt△AFG 中,由勾股定理得,AF=。
中考数学压轴题含答案
中考数学压轴题含答案一、选择题1、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.菱形B.平行四边形C.矩形(答案:C)2、如果一个三角形的三条边的平方相等,那么这个三角形一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形(答案:A)3、下列说法正确的是()A.所有的质数都是奇数B.所有的偶数都是合数C.一个数的因数一定比它的倍数小D.自然数一定是正数(答案:A)二、填空题1、若a-b=2,a+b=7,则a²-b²=(答案:14)2、我们学过的数有整数和分数,整数的运算律在分数运算中(答案:同样适用)。
3、一个长方形的周长是20cm,长和宽的比是3:2,则长方形的面积是(答案:60平方厘米)。
三、解答题1、一个圆柱体底面半径为r,高为h,它的体积是多少?(答案:πr²h)2、有一块三角形的土地,底边长为120米,高为90米,这块土地的面积是多少?(答案:5400平方米)3、对于一个给定的整数n,如果它是3的倍数,那么我们就称它为“三的倍数”,否则我们就称它为“非三的倍数”。
现在有一个整数n,它是“三的倍数”,我们可以得出哪些结论?(答案:n+1、n+2、n+3、...、2n都是“三的倍数”,因为它们都可以被3整除。
)中考数学压轴题100题及答案在中考数学考试中,压轴题往往是最具挑战性和最能检验考生数学能力的题目。
为了帮助同学们更好地理解和掌握中考数学的压轴题,本文将分享100道经典的中考数学压轴题及其答案。
一、选择题1、在一个等边三角形中,边长为6,下列哪个选项的面积最接近这个等边三角形的面积?A. 20B. 25C. 30D. 35答案:B解析:等边三角形的面积可以通过计算得出,边长为6的等边三角形的面积为:436293约为28.2,因此选项B最接近。
2、如果一个多边形的内角和是外角和的2倍,那么这个多边形的边数是多少?A. 4B. 6C. 8D. 10答案:C解析:根据多边形的内角和公式和外角和为360度,可列出方程求解。
2024上海中考数学压轴题
2024上海中考数学压轴题一、在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,3),将点A向右平移3个单位长度后得到点B,则点B的坐标是:A. (1,3)B. (-2,6)C. (-5,3)D. (-2,0)(答案)A解析:点A向右平移3个单位长度,横坐标加3,纵坐标不变,所以点B的坐标为(1,3)。
二、若关于x的一元二次方程x²+2(k-1)x+k²-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是:A. k<0B. k>0C. k<2D. k>2(答案)C解析:一元二次方程有两个不相等的实数根,则判别式Δ=b²-4ac>0。
代入a=1,b=2(k-1),c=k²-1,得4(k-1)²-4(k²-1)>0,化简得k<2。
三、在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是边AD上的一点,且AE=2,将矩形ABCD沿直线BE 折叠,点A落在点F处,则点F到边CD的距离是:A. 4B. 5C. 6D. 8(答案)A解析:根据勾股定理,BE=√(AB²+AE²)=√(6²+2²)=2√10。
由于点A沿BE折叠到点F,所以BF=AB=6,EF=AE=2。
过点F作FG⊥CD于点G,则FG=ED=BC-AE=8-2=6。
在直角三角形BFG 中,BG=√(BF²-FG²)=√(6²-6²)=0,所以点F到边CD的距离是FG-BG=6-0=4。
四、若关于x的分式方程(x-a)/(x+1)=1的解是非正数,则a的取值范围是:A. a≤-1B. a≤1且a≠-1C. a<1D. a≤-1或a=1(答案)B解析:解方程(x-a)/(x+1)=1,得x=a+1。
由于方程的解是非正数,所以a+1≤0,解得a≤-1。
又因为分母x+1≠0,所以x≠-1,即a+1≠-1,解得a≠-2。
中考数学压轴题100题精选及答案全3篇
中考数学压轴题100题精选及答案全第一篇:数与代数1.下列各组数中,哪一组数最大?A. \frac{1}{2} ,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}B. 0.99,0.999,0.9999,0.99999C. \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}D. 1,10^2,10^3,10^42. 一个整数,十位数与各位数的和为9,再去掉该整数中的各位数,十位数与剩下的数字的和为40,该整数为__________。
A. 45B. 54C. 63D. 723. 已知 a+b=2, ab=-1,求a^2+b^2的值。
A. 3B. 5C. 7D. 94. 解方程 2x-5=3x+1。
A. x=-3.5B. x=-2C. x=2D. x=3.55. 有两个数,各位数字相同,但顺序颠倒,若它们的和为110,这两个数分别是多少?A. 47,74B. 49,94C. 56,65D. 59,956. 若x-3y=-7,x+4y=1,则y的值为__________。
A. -2B. -1C. 0D. 17. 16÷(a-2)=4,则 a 的值为__________。
A. 6B. 8C. 10D. 128. 若a:b=5:3,b:c=7:4,则a∶b∶c=__________。
A. 35:21:12B. 25:15:12C. 25:21:16D. 35:15:169. 若a+3b=5,3a-5b=7,则 a 的值为__________。
A. -2B. -1C. 0D. 110. 已知x+y=3,xy=2,则y的值为__________。
A. 1B. 2C. 3D. 4第二篇:几何图形11. 已知正方形 ABCD 的边长为6,以 BC 为边,画一个正三角形 BCE,连接 AE,AD,请问△ADE 和正方形 ABCD 的面积之比是多少?A. \frac{2}{9}B. \frac{1}{2}C. \frac{4}{9}D.\frac{5}{6}12. 把一张纸平整地放在桌上,在纸的中央画一个圆形,请问可以用多少个直径为5 厘米的圆去覆盖这个圆形(圆覆盖圆)?A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC,E是BC中点,DE∥AC,AE=CD=2,求△ABC 的面积。
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初中数学中考数学压轴题(含答案)本文介绍了两道中考数学压轴题,分别涉及函数图象中点的存在性问题和抛物线的表达式求解问题。
第一道题目是关于相似三角形的问题。
根据题目所给的条件,可以列出方程求解出t的值。
同时,通过作垂线等方法,可以证明PQ的中点在△ABC的一条中位线上。
第二道题目是关于抛物线的问题。
通过作垂线,可以求出抛物线的表达式。
同时,通过求解∠AOM的大小和点C的坐标,可以得到△ABC与△AOM相似的结论。
需要注意的是,解题过程中需要注意细节,如符号的使用、计算过程的正确性等。
同时,也需要运用多种数学知识和技巧,如相似三角形的性质、直角三角形的性质、坐标系的运用等。
题目分析:这是一道几何题,需要用到抛物线的性质和几何相似的知识。
首先求出抛物线的方程,然后根据条件求出点的坐标,接着找到抛物线的对称轴,并求出使BH+EH最小的点H的坐标。
最后判断是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似。
解题思路:1)将点M(2,2)代入抛物线的方程,解出实数m的值。
2)根据m的值,求出点C和点E的坐标,计算△___的面积。
3)找到抛物线的对称轴,并求出使BH+EH最小的点H的坐标。
4)根据题目要求,判断是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似。
解题步骤:1)将点M(2,2)代入抛物线的方程,解出实数m的值。
已知抛物线的方程为y=-$\dfrac{1}{(x+2)(x-m)}$,将点M(2,2)代入方程,得到:2=-$\dfrac{1}{(2+2)(2-m)}$解得m=4.2)根据m的值,求出点C和点E的坐标,计算△___的面积。
将m=4代入抛物线的方程,得到y=-$\dfrac{1}{(x+2)(x-4)}$。
因为抛物线与x轴交于点B、C,所以当x=4时,y=0,即C(4,0)。
因为抛物线与y轴交于点E,所以当x=0时,y=-$\dfrac{1}{(0+2)(0-4)}$= $\dfrac{1}{4}$,即E(0,$\dfrac{1}{4}$)。
因为BC=6,OE=$\dfrac{1}{4}$,所以△___的面积为:S_{\triangle BCE}$= $\dfrac{1}{2}$ $\times$ BC$\times$ OE = $\dfrac{1}{2}$ $\times$ 6$\times$ $\dfrac{1}{4}$ = 1.5.3)找到抛物线的对称轴,并求出使BH+EH最小的点H 的坐标。
抛物线的对称轴为直线x=1,如图2所示:因为H在线段EC上,所以EH= $\dfrac{1}{4}$,需要求出BH的长度。
设点H的坐标为(1,k),则点B的坐标为(-2,k)。
因为B在抛物线上,所以k=-$\dfrac{1}{(2+2)(2-4)}$=$\dfrac{1}{4}$。
因为H在对称轴上,所以BH=HE=$\dfrac{1}{4}$,所以点H的坐标为(1,$\dfrac{1}{4}$)。
4)根据题目要求,判断是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似。
①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F 作FF′⊥x轴于F′。
因为BC=6,所以BF=2,因为BF=FC,所以FC=2.因为BF=2,所以点F的横坐标为m+2,纵坐标为-$\dfrac{1}{(m+2+2)(m+2-4)}$=$\dfrac{1}{(m+4)(m-2)}$。
因为点F在第四象限内,所以m+2>0,即m>-2.当m=0时,F(2,-$\dfrac{1}{8}$);当m=5时,F(7,-$\dfrac{1}{24}$)。
因为BC=6,BF=2,FC=2,所以△BCE与△BFC相似,所以当BC2=CE$\times$BF时,△BCE与△___相似。
当m=0时,BC2=22=4,CE$\times$BF=$\dfrac{1}{4}\times 2$=$\dfrac{1}{2}$,不相等。
当m=5时,BC2=62=36,CE$\times$BF=$\dfrac{1}{4}\times 2$=$\dfrac{1}{2}$,不相等。
所以不存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似。
答案:(1)m=4;(2)$S_{\triangle BCE}$=1.5;(3)点H的坐标为(1,$\dfrac{1}{4}$);(4)不存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似。
1)已知抛物线过(0,0)和(a,1),且对称轴为y轴,所以抛物线的解析式为y=ax^2,a≠0.将(0,0)代入得c=0,将(a,1)代入得a^2+a=b,代入y=ax^2中得y=ax^2+bx,再将(0,0)代入得b=0.所以抛物线的解析式为y=ax^2+bx,其中a=1/4,b=0,c=0.2)设点P的坐标为(x,x^2),则圆心P的坐标为(x,x^2+2)。
已知圆心P到点A(0,2)的距离为PA=√(x^2+(x^2-2)^2),又因为圆心P到x轴的距离为|x^2-2|,所以PA>|x^2-2|。
因为圆心P在抛物线上运动,所以P的纵坐标x^2+2也在变化,但是PA与|x^2-2|均为定值,所以圆心P到x轴的距离始终小于半径PA,即圆总与x轴相交。
3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN,且PH=2.设MN的两个交点分别为(x1,0)和(x2,0),则MN=x2-x1=4.因为△AMN是等腰三角形,所以AN=AM,即(x-x1)^2+x^2=(x-x2)^2+x^2.化简得x1+x2=2x,即MN=4=x2-x1=x-x1+x2-x=x-x+2x-2,解得x=3.所以圆心P的纵坐标为x^2+2=11.QN=3-3√3=3(1-√3)258②如图6,当QC=QD时,由cosC=1/2,可得CQ=5/2.CQ=5/22574725所以QN=CN-CQ=4-5/2=3/2.此时PM=QN=3/2.所以BP=BM+PM=3+3/2=9/2.(如图2所示)8836此时PM=3/2③不存在DP=DF的情况。
这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).改写:根据图5和图6可知,∠DFP≥∠DQP>∠DPQ,因此不存在DP=DF的情况。
例3 2012年扬州市中考第27题给定三个点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),且抛物线的对称轴为直线l。
问题包括:求抛物线的函数关系式,求点P在直线l上时使△PAC的周长最小的坐标,以及是否存在点M使△MAC为等腰三角形,若存在,写出所有符合条件的点M的坐标,若不存在,说明理由。
改写:已知三个点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),抛物线的对称轴为直线l。
要求解抛物线的函数关系式,找到直线l上使△PAC的周长最小的点P的坐标,以及探究是否存在点M,使△MAC为等腰三角形。
若存在,列出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,说明理由。
例1 2014年苏州市中考第29题已知二次函数y=a(x2-2mx-3m2)的图像与x轴分别交于A、B,与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD,过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分∠DAE。
要求用含m的式子表示a,证明a为定值,探究在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形。
若存在,找到一个满足要求的点G并用含m的代数式表示该点的横坐标;若不存在,说明理由。
改写:已知二次函数y=a(x2-2mx-3m2)的图像与x轴分别交于A、B,与y轴交于点C(0,-3)。
点D在二次函数的图像上,且CD//AB,AD联结。
过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,且AB平分∠DAE。
要求用含m的式子表示a,证明a为定值,探究在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形。
若存在,找到一个满足要求的点G并用含m的代数式表示该点的横坐标;若不存在,说明理由。
1)直线DB的解析式为y=-x+4.由点P的坐标为(m。
0),可得点M为M(m,-m-4),点Q为Q(m,m^2-m-4)。
因此,MQ=(-m+4)-(m^2-m-4)=-m^2+m+8.当MQ=DC=8时,四边形CQMD是平行四边形。
解方程-m^2+m+8=8,得m=4,或m=(舍去)。
2)由y=-x^2-x+3=-(x+4)(x-2),得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4,0)、B(2,0)。
对称轴是直线x=-1.当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等。
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D'。
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H。
由BD//AC,得∠DBG=∠CAO。
所以BD/CA=BG/OA=1/2.所以DG=BG=1,点D的坐标为(1,-1)。
因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG=1.而D'H=DH,所以D'G=3DG=3,所以D'的坐标为(1,3)。
3)由y=-x^2-x+3=-(x+4)(x-2),得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4,0)、B(2,0)。
以AB为直径的圆G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M 了。
联结GM,那么GM⊥l。
过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M。
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.在Rt△EMA中,AE=8,tan∠MEA=1/2,所以MA=6.因此,直线l的解析式为y=(1/2)x-2.1.点M1的坐标为(-4,6),过M1、E的直线l可以表示为y=-x+3或者y=x+3,具有对称性。
2.已知抛物线C:y=-x^2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(0,3),记顶点为M,对称轴与x轴的交点为N。
1) 代入点A和点B的坐标,解得b=-2,c=3,因此抛物线C的表达式为y=-x^2-2x+3.2) 将y=-x^2-2x+3转化为标准形式y=-(x+1)^2+4,因此顶点M的坐标为(-1,4)。
3) 在平移过程中,为使四边形MNN'M'的面积为16,需要满足MN=4且M'N'=4.根据图像可知,抛物线C需要向左或向右平移4个单位,或者向左或向右平移4个单位并向下平移8个单位。
3.已知抛物线y=-x^2+bx+c经过点A(0,1)和点B(4,3)。
1) 代入点A和点B的坐标,解得b=2,c=1,因此抛物线的表达式为y=-x^2+2x+1.2) tan∠ABO可以表示为斜率的差除以1加斜率的积,即(3-1)/(4-0) = 1/2,因此tan∠ABO的值为1/2.3) 过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M。