2011.4几何图形中的黄金分割

几何图形中的黄金分割

叶军 南京师大附中江宁分校 211102

在教学比例线段与相似形这一内容时，黄金分割宛如一颗瑰丽的明珠，总不能视而不见。可因为种种原因，教材在内容的组织上不过是浮光掠影，点到即止。甚至删去了黄金分割点的作图，至多在阅读材料中一笔带过；至于介绍黄金分割的应用，多为美术作品里的黄金分割、人体和生物中的黄金分割等等，或许是为了增强对数学的“应用价值”的认识，这些介绍多为数学外部的例子，让学生知其然而不知其所以然。而有些简单而有趣的数学内部的例子则不多见，本文拟介绍一些几何图形中的黄金分割的例子，供读者参考。

1、正五角星中的黄金分割

连接正五边形的5条对角线得到一个正五角星。那么这些对角线的交点都是所在线段的黄金分割点。

以BE 为例，要证明M 是其黄金分割点，只要证明2ME BM BE =⋅即可。利用△BAM ∽△BEA 以及AB=AE=ME 即可获证。

这5条线段的黄金分割点也构成一个新的正五边形，这个过程可以无限进行下去。 对于顶角为36º的等腰三角形，类似可证：底角平分线把一腰黄金分割，所以这个三角形也被称作黄金三角形。这个三角形当然在正五角星中随处可见，按照如图的方式作出一段段相互衔接的120度圆弧，得到的连续曲线也近似于一条对数螺线，我们说近似，是因为它也不是真正的对数螺线，而仅仅是等腰三角形的顶点恰好在一条对数螺旋上而已。

B

正五边形与正五角星 黄金三角形 对数螺旋

2、三根木杆搭出黄金分割点

在水平地面上竖一根木杆AB .从AB 的中点D 伸出另一根相同长度的木杆CD ，再从CD 的中点F 伸出一根相同长度的木杆EF ，木杆的另一端点都在水平地面上。则点C 是线段AE 的黄金分割点

.

G

D

B

设AD =1,则CD =2，因此∠ADC =60º,

AC 从F 作AC 的垂线FG ,则CG =

12AC =设

CE=x,

则222

1

(()2

22

x++=，

解出

2

x=因此

AE=

2

,可以验证2

AC AE CE

=⋅,

因此点C是线段AE的黄金分割点。

3、用正三角形与正方形构造黄金分割点

作等边△ABC.以BC为边向外作正方形BCDE.再以C为圆心，CE为半径作圆弧与AB所在直线交于点F.则点B是线段AF的黄金分割点.

连接CF,并作CM

⊥AB于M,设AB=1,则CM

,设BF=x

,在△CFM中使用勾股定理得：222

1

(

)

2

x

++=，于是x=.表明点B是线段AF的黄金分割点.

4、半圆的内接正方形产生黄金分割点

在一个半圆中做一个正方形，使得正方形的一条边在半圆的直径上，另外两个顶点在圆周上，如图。则A是线段CD的黄金分割点。

设半圆的半径是AO=1，AB=2，因此CD

1,因此

1

2

AD

CD

==.

5、用(3,4,5)的直角三角形构造黄金分割点

作一个3:4:5 的直角△ABC.再作∠B的角平分线BD，与AC交于点D.以D为圆心，DA 为半径作圆，与射线BD分别交于E、F.则E是线段BF的黄金分割点.

设三边分别是3，4，

5，则AD=

3

2

,

2

BD=

,

1)

2

BF=,

1)

2

BE=,可以验证

2

EF BE BF

=⋅.因此E是线段BF的黄金分割点.

6、利用等边三角形的外接圆构造黄金分割点

作等边△ABC，D、E分别是AC、BC的中点.DE的延长线与整个三角形的外接圆交于点F.则E是线段DF的黄金分割点.

设AB=2,则DE=CE=BE=1,再设EF=x，延长FD交圆周于点G，则EG=1+x,根据相交弦定

理,EF GE CE BE

⋅=⋅

,即(1)1

x x+=，算出x=，因此E 是线段DF 的黄金分割点。

7、圆的内接正十边形边长与圆周长比等于黄金比

设圆的半径是R，其内接正十边形的边长是a

，则2sin18

a R

=︒，利用三角公式算得

sin18︒

=

1

4

，因此

1

2

a

R

=

.

8、三个相交等圆构造黄金分割点

作等边△ABC.以其边长为半径，分别以A、B、C 为圆心作三个等圆，⊙A、⊙B两圆交于点D，⊙A、⊙C两圆交于点 E.CD与⊙C 交于点F.以E为圆心，EF为半径作弧，

与AB 交于点G .则G 是AB 的黄金分割点.

设

AB =1，则CE=CF =1，且CE ⊥CF ,Rt

△CEF 中，EF 因此EG=EF

.过E 作AB 的垂线EH ，则EH =

22CD =,HA =1

22

CE

=.Rt △EGH 中，222EH HG EG +=,

因此2HG =,从而AG=HG-HA 表明G 是AB 的黄金分割点。 9.三个相切等圆中的黄金分割点

如图，三个等圆依次相切，它们又都与一个半圆的直径相切.且左、右两个等圆都与该半圆相内切，则等圆的直径与半圆的半径之比是黄金比，即：点B 是线段AC 的黄金分割点

.

图10

证明：设大圆半径是R ，小圆半径是r .注意到AC=AD=DE+AE

=DE +,因此

R=r +算出

212

r R =,因此点B 是线段AC 的黄金分割点. 10、用两组等圆构造黄金分割点

以 AB 为半径，分别以A 、B 为圆心作圆，两圆相交于C 、D 两点，同时这两个圆分别与直线 AB 交于E 、F 两点.分别以 A 、B 为圆心，AE 、BF 为半径作圆，两圆相交于点G .由对称性，C 、D 、G 三点显然共线.则D 是线段CG 的黄金分割点.