电磁场与电磁波课件之镜像法

s
z
r q R r R′
ε ε
q 1 1 q′ z≥0 ϕ ( x, y, z) = ( − ) 4πε R R′ q 1 1 = − 2 2 { 2 2 } 2 1 2 1 2 2 4πε [ x + y + ( z − h) ] [ x + y + ( z + h) ]
导体表面上感应电荷
h h′
a
r
a
d′
设镜像电荷 q′ ，与球心距离为 d ′。 任一点电位函数为
r
a
d′
1 q q′ [ + ] ϕ= 2 2 2 2 4πε0 r + d − 2rd cos θ r + d ′ − 2rd ′ cos θ
导体球接地
1 q q′ [ + ]=0 4πε0 a 2 + d 2 − 2ad cos θ a 2 + d ′2 − 2ad ′ cos θ
一. 接地导体平面的镜像 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 上半场域边值问题
z
q
ε
∇ ϕ =0
2
(除q所在点外的区域 除 所在点外的区域 所在点外的区域) (导板及无穷远处 导板及无穷远处) 导板及无穷远处 (S为包围 的闭合面) 为包围q的闭合面 为包围 的闭合面
h
x
ϕ =0 r r ∫ D ⋅ dS = q
= qh[
例
真空中， 真空中，电量为 1 µ C 的点电荷位于点P ( 0 , 0 ,1)处， xOy 平面是一个
无限大的接地导体板。 的点的坐标； 无限大的接地导体板。⑴求 z轴上电位为 104V的点的坐标；⑵计算该点的 电场强度。 电场强度。 解: ⑴ 根据镜像法可知上半空间的电位
ϕ=
{ 2 − 2 } 2 2 1 2 2 1 2 2 4πε 0 [ x + y + ( z − h ) ] [ x + y + ( z + h ) ]
半无限大导体平面形成劈形边界。 半无限大导体平面形成劈形边界。但是仅当这种导体劈的夹角 劈形边界 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。 等于 π 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形 π 边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如， 几个镜像电荷 边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电 3 个镜像电荷。 劈需引入 5 个镜像电荷。
∂ϕ ρS = −ε0 ∂n
r =a
q(d 2 − a 2 ) =− 4πa(a 2 + d 2 − 2ad cos θ )3 / 2
导体球面上的总感应电荷为
q ( d 2 − a 2 ) 2π π a 2 sin θdθdϕ qin = ∫ ρS dS = − ∫0 ∫0 (a 2 + d 2 − 2ad cos θ )3/ 2 S 4πa a =− q d
r r r r ρ S = e n ⋅ D = e y ⋅ ( −e y ε 0 E ) qh = −ε 0 E p = − 2π (h 2 + x 2 ) 3 / 2
整个地面上感应电荷的总量
P
∫ρ
S
p
dS = ∫
∞
0
− qh ⋅ 2πxdx 2 2 3/ 2 2π (h + x )
1 ]∞ = − q 0 ( h 2 + x 2 )1 / 2
a2 d′ = d
即在这种情况下， 的电荷量。 即在这种情况下，镜像电荷的电荷量大于点电荷 q 的电荷量。 球壳外的电位 ϕ = 0，球壳内的电位函数为
(r<a)
ϕ=
1 a q [ ] + 4πε0 r 2 + d 2 − 2rd cosθ d r 2 + (a2 / d )2 − 2r(a2 / d ) cosθ
位于接地导体球内， 当点电荷 q 位于接地导体球内，与球心距离为 d （d < a ）。 镜像电荷应放置在球外， 的连线的延长线上。 镜像电荷应放置在球外，且在球心与点电荷 q 的连线的延长线上。 应放置在球外
a q′ = − q 设镜像电荷 q′ ，与球心距离为 d ′。可得 d 由于 d < a ，所以必有 q ′ > q 。
ρl′
r 30 × 10 −9 r = (e x 2 − e z 3) 2πε 0 × 13
r r− E− = eR
− 30 ×10−9 r ρl′ = (e x − 2πε0 R 2πε0 22 + 32 r 30 ×10−9 r = (−e x 2 − e z 3) 2πε0 ×13
2 22 + 32
当 z < 1 时， z 轴上的电场强度 代入， 将 z 1 = 1 . 67 m 代入，得
r r 10 −6 1 1 E ( 0, 0 , z ) = − e z [ ] + 2 2 4πε 0 ( z − 1) ( z + 1)
代入， 将 z 2 = 0 . 45 m 代入，得
r r r 10 −6 1 1 E ( 0, 0 , z 2 ) = − e z [ + ] = − e z 3.14 × 10 4 V / m 4πε 0 (0.45 − 1) 2 (0.45 + 1) 2
在地面引起的感应电荷分布情况。 例 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷 q 离地面高度为h 离地面高度为h
r r r E p = E+ + E−
q
方向指向地面
qh Ep = 2 cos θ = 2 4πε 0 r 2πε 0 (h 2 + x 2 ) 3 / 2
P
x
ρ S = −ε
∂ϕ ∂z
=−
z =0
qh 2π ( h 2 + x 2 + y 2 ) 3 / 2
电场线与等位面的分布电偶 极子的上半部分完全相同。 极子的上半部分完全相同。 由此可见， 由此可见，电场线处处垂直 于导体平面， 于导体平面，而零电位面与导体 表面吻合。 表面吻合。
电场线
z
⊕
等位线
q
1
1
10 − 6 1 1 由 ϕ ( 0 ,0 , z ) = [ − ] = 10 4 4πε 0 z − 1 z +1
可解得
z 1 = 1 . 67 m z 2 = 0 . 45 m
⑵ 当 z > 1 时， z 轴上的电场强度
r r 10 −6 1 1 E ( 0, 0 , z ) = e z [ − ] 2 2 4πε 0 ( z − 1) ( z + 1) r r 10 −6 1 1 r − E (0,0, z1 ) = e z [ ] = e z 1.88 × 10 4 V / m 4πε 0 (1.67 − 1) 2 (1.67 + 1) 2
二.
导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像 的接地导体球外， 设点电荷 q 位于一个半径为 a 的接地导体球外，与球心距离为 d 。 导体球面将产生感应电荷， 导体球面将产生感应电荷，导体球外 和感应电荷共同产生。 的电位应由点电荷 和感应电荷共同产生。 这类问题可用镜像法求解。 这类问题可用镜像法求解。 把导体球面移去，用一个镜像电荷 把导体球面移去，用一个镜像电荷 来等效球面上的感应电荷。 来等效球面上的感应电荷。 为了不改变球面上的电荷分布， 为了不改变球面上的电荷分布，镜 像电荷必须放置在导体球面内。 像电荷必须放置在导体球面内。 必须放置在导体球面内 由于对称性镜像电荷应位于球心与 由于对称性镜像电荷应位于球心与 镜像电荷 的连线上。 点电荷 q 的连线上。
电荷守恒： 位于无限大的导体平面附近时， 电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面 将产生异性的感应电荷，因此， 将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷 及导体表面上的感应电荷。 可见， 及导体表面上的感应电荷。 可见 ， 上述镜像法的实质是以一个异性的 镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。 镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。 代替导体表面上异性的感应电荷的作用 根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。 根据电荷守恒原理， 镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量 。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立， 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在 上半空间中，源及边界条件未变。 上半空间中，源及边界条件未变。
轴方向。 （z = 0 处）的上方 z = 3m 处，沿 y 轴方向。试求该导体板上的点P(2,5,0)处 的感应电荷密度。 的感应电荷密度。 去掉导体平板， z 解 : 去掉导体平板 ， 在 = −3m 处放 置线电荷密度为 l′ = −30 nC / m ρ 像线电荷替代其作用。 像线电荷替代其作用。 替代其作用 的镜
z
ρl
(0,0,3)
y
O z
x
r r r P点电场强度为 E p = E + + E − r r + ρl E+ = eR 2πε0 R +
ρl
r R+ r R−
(0,0,3)
y
P(2,5,0)
x
=
30×10−9 2πε0 22 + 32
r (ex
2 22 + 32
r − ez
3 22 + 32
)
O (0,0,−3)
条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变， 条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的 大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像 大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像 镜像位置 电荷，而这种方法称为镜像法。 电荷，而这种方法称为镜像法。 镜像法 局限性： 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确 定其镜像电荷。 定其镜像电荷。 关 确定镜像电荷的大小及其位置。 键：确定镜像电荷的大小及其位置。 原 则：①所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间; 所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间; 镜像电荷的个数、 ②镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界 面上的边界条件来确定。 面上的边界条件来确定。