第4讲-物理光学2013年3月7日
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① 问题的提出及意义
– 讨论光波的空间传播和衍射问题时，常需要给 出三维波在某一确定平面上的表达式 – 例如：三维简谐平面波在2D平面上的复指数波 函数和复振幅
E ( x, y, t ) E0 exp[2 j ( f x x f y y k t 0 )] E ( x, y ) E0 exp[2 j ( f x x f y y 0 )]
y
0
空间频率： f x
cos
fy
cos
cos
y
K
O
cos
x
Z
1.2 光波的波函数 ～球面波
球坐标中的波动微分方程
波动微分方程 解的形式
简谐球面波
波函数与复振幅
简谐球面波参量的特点
振幅、相位、传播数 时间参量、空间参量 简谐球面波在平面上的表达式 波函数的判断 柱面波
cos
x
Z
cos
; Ts ( y)
cos
; Ts ( z )
cos
沿坐标轴方向空间频率：
f s ( x) cos
; f s ( y)
cos
; f s ( z)
cos
波矢 k：
k
2
知识回顾
y
cos
K
掌握：三维简谐平面波 波函数及复振幅 分布
简谐球面波的振幅E0/r 与传播距离成反比。
沿k方向相位变化2?
(r,t)=kr kvt 0
球面波沿径向传播的位 相速度为v，用v的正负 号代表球面波的发散和 会聚特性 v>0，发散球面波v<0， 会聚球面波
E0为一常量，代表r=1
r相同的球面上，振幅 均匀相等
处的振幅，称为源强度
能量守恒
k：波数 / 空间角频率
相位变化2，波沿传播方向的光程
知识回顾
掌握:三维波波函数的形式、位相
E r , t E k r t 0
或
E r , t E k r kvt 0
或
k r t 0 k r kvt 0
• 球面波具有严格的对称性，在球坐标中讨 论比较方便
球面波
球面波 —球坐标中的波动微分方程
– 球坐标中的坐标参量
x r sin cos y r sin sin z r cos
– 球面波具有球对称性，波函数表示为E(r,t)，波 函数具有三维波的实质，一维波的形式，满足 一维波动微分方程 2 1 E (r , t ) 2 E (r , t ) 2 v t 2
球面波 —球坐标中的波动微分方程及解
1 2 E (r , t ) E (r , t ) 2 v t 2
2
利用拉普拉斯微分算符，得到球面波在球坐标系中 的波动微分方程 1 2 [rE (r , t )]
2 [rE (r , t )] v2 t 2
方程通解
rE (r , t ) B1 (r vt ) B2 (r vt ) 1 1 或E (r , t ) B1 (r vt ) B2 (r vt ) r r
第一章 光波的基本性质
§1.1 光的电磁理论基础 §1.2 光波的波函数 §1.3 平面电磁波的性质。 §1.4 电磁波在两种均匀各向同 性透明媒质界面上的反射和折射
知识回顾
1.2 光波的波函数
• 光波的分类
– 标量波和矢量波 – 纵波和横波 – 一维波和三维波
• 一维简谐波 • 三维平面波 • 三维简谐波
简谐球面波的空间周期和空间频率
• 简谐球面波的空间周期和空间频率
– 球面波不具有严格的空间周期性，空间周期和 空间频率以位相变化来讨论 – 空间周期：任一时刻，取得相同扰动值的空间 相邻两点间的距离
① 沿球Baidu Nhomakorabea半径（矢径）方向考察
空间周期为 空间频率为 f
1
相位变化2，波沿传播方向的光程
r x x0 y y0 z z0
简谐球面波在平面上的表达式
• 对z=0的Oxy平面
E0 E (r , t ) exp （jkr） r
r x x0 y y0 z
2 2 2 0
1/2
球面波在Oxy平面复振幅分布
简谐球面波的空间周期和空间频率
② 偏离球面半径（矢径）方向考察（如O’x’方向） 此方向空间周期不是一个常数，而是变量，从 极限的意义上讨论 由空间周期定义，推论：沿考察方向移动一个空间 周期时，波的位相改变2
O’x’方向的空间周期Tx’对应
着2的位相变化量
x ' r Tx ' 2
空间频率： f x
cos
fy
cos
fz
cos
知识回顾
掌握：三维简谐平面波在二维 平面上的波函数及复振幅分布
E x, y, t E0 exp j 2 f x f y 2 t x y 0 E x, y E0 exp j 2 f x x f y
E ( x, y ) E0 x x0 y y0 z
2 2 2 0 2 2 2 0 1/2
exp jk x x0 y y0 z
1/2
简谐球面波在平面上的表达式
• 简谐球面波在平面上的近似式
O
cos
x
Z
E x, y, t E0 exp j 2 f x f y f z t x y z 0
E x, y E0 exp j 2 f x f y f z x y z 0
1 1 r 相应的，附近沿O’x’方向的空间频率 f x Tsx' 2 x '
x' z ' 0
简谐球面波的空间周期和空间频率
• 简谐球面波的空间周期和空间频率
– 考察点O’处沿O’x’方向的空间周期
Tsx '
r
2 x '
x' z ' 0
r ( x ', z ')
3x y 4
（单位：mm）
（1）求出此三维简谐平面波的波长 （2）求出此维简谐平面波沿x,y,z坐标轴的空间频率
fx , f y , fz
（3）求出此三维简谐平面波传播方向与x,y,z坐标轴 的方向角 , , （4）写出此时三维简谐平面波在x,z平面的波函数表 E x, z, t 达式
用v的正负号表示波的传播方向，波函数一般表示为
1 E (r , t ) B(r vt ) r
1.2 光波的波函数 ～球面波
球坐标中的波动微分方程
波动微分方程 解的形式
简谐球面波
波函数与复振幅
简谐球面波参量的特点
振幅、相位、传播数 时间参量、空间参量 简谐球面波在平面上的表达式 波函数的判断 柱面波
1.2 光波的波函数 ～球面波
球坐标中的波动微分方程
波动微分方程 解的形式
简谐球面波
波函数与复振幅
简谐球面波参量的特点
振幅、相位、传播数 时间参量、空间参量 简谐球面波在平面上的表达式 波函数的判断 柱面波
总结
简谐球面波 —振幅、位相
• 简谐球面波参量特点 E0 E (r , t ) exp[ j (kr kvt 0 )] r
– 波矢 – 波面(等相面)
知识回顾
掌握: 一维平面简谐波
位相是时间和空间坐标的 函数，表示平面波在不同 时刻空间各点的振动状态
E＝A cos k ( z vt ) 0
A：电场振幅矢量 k：空间角频率
k ( z vt ) 0 称为位相
＝2 2 / T vT , 0 cT 0 / n k 2 / / v k 0 2 / 0 / c ：振动频率 ：波长
总结
球面波
• 球面波的产生
– 真空或均匀各向同性介质中的“点状”光源， 发出的光波以相同的速度向各个方向传播。经 过一段时间之后，振动状态或位相相同的点将 构成一个以光源所在点为球心的球面 – 三维波的实质，一维波的形式
• 球面波的定义
– 等相面是球面，且在等相面上振幅处处相等的 波称为球面波。
总结
简谐球面波 —波函数、复振幅
• 简谐球面波的波函数 波函数为余弦形式时，对应的球面波称为 简谐球面波 复指数表达式
E0 E (r , t ) cos(kr kvt 0 ) r
复振幅表示为
E0 E (r , t ) exp[ j (kr kvt 0 )] r
E0 E (r ) exp[ j (kr 0 )] r
x ' Tx ' 2 r
简谐球面波的空间周期和空间频率
• 简谐球面波的空间周期和空间频率
– 从极限意义讨论考察点O’处沿O’x’方向的 空间周期
x ' Tsx ' lim 2 x '0 r
x' z ' 0
Tsx '
r
2 x '
x' z ' 0
z0 >0，S为虚光源，到达Oxy平面的光波为会聚于S点的球面波
简 谐 球 面 波 在 平 面 上 的 表 达 式
③Z=0的考察平面上的球面波
z0 0
z0 0
E0 复振幅 : E (r ) exp[ j (kr 0 )] r E0 exp( jkr ) r
设 0 0
对于z=z的考察平面上任一考察点P(x,y)，球面波 的传播距离r为： 2 2 2 1/ 2
物理光学
Optical Physics
讲解人： 刘娟 联系方式：E-mail: juanliu@bit.edu.cn Voice: 68913790 北京理工大学光电学院
随堂练习
（写上姓名学号班级，不抄题做完交上来）
一个三维简谐平面波在真空中的复振幅表示为：
E x, y, z 8exp j 104
简谐球面波—时间、空间周期性
传播数
• 简谐球面波的时间参量和空间参量 E0 2 E (r , t ) exp[ j (kr kvt 0 )] k r
– 球面波时间参量T、、的定义和性质与一维 简谐平面波的完全相同 – 参量k仍称为传播数，正负号分别对应发散和会 聚球面波 – 当r变化时，位相改变2，波函数复指数项不 变，球面波相位沿r方向具有2周期性， 是固 有空间周期，称为球面波的波长 – 球面波振幅随r增大而衰减，球面波不具有严格 的空间周期性
0
初相位：
知识回顾
掌握:等相面/波面、三维平面波
等相面方程 k r kvt 常数
知识回顾
掌握:三维简谐平面波
E r , t E0 exp j k r t 0
j k r kvt 或 E r , t E0 exp 0
1 1 r fx Tsx' 2 x '
x' z ' 0
r ( x ', z ') kr k ( x ' x0 )2 ( z ' z0 )2
发散/会聚球面波
• 发散球面波：k > 0，v > 0 • 会聚球面波： k < 0，v < 0
简谐球面波在平面上的表达式
知识回顾
掌握:三维简谐平面波
cos
y
K
E (r , t ) E0 cos(k r k t 0 ) E0 cos(k x x k y y k z z k t 0 )
相位变化2，波沿传播方向的光程 考察沿坐标轴方向的空间周期：
Ts ( x)
O
– 球面波必须作合理近似，才能得出有实用意义 的结果 基本概念：区分原点与源点
简谐球面波在平面上的表达式
② 球面波的符号规定
设光波自左向右传播，建立坐标系如下
z0 0
z0 0
考察平面为直角坐标系Oxyz的z =0平面，点光源S(x0, y0, z0)
z0 <0，S为实际光源，发出发散球面波
– 讨论光波的空间传播和衍射问题时，常需要给 出三维波在某一确定平面上的表达式 – 例如：三维简谐平面波在2D平面上的复指数波 函数和复振幅
E ( x, y, t ) E0 exp[2 j ( f x x f y y k t 0 )] E ( x, y ) E0 exp[2 j ( f x x f y y 0 )]
y
0
空间频率： f x
cos
fy
cos
cos
y
K
O
cos
x
Z
1.2 光波的波函数 ～球面波
球坐标中的波动微分方程
波动微分方程 解的形式
简谐球面波
波函数与复振幅
简谐球面波参量的特点
振幅、相位、传播数 时间参量、空间参量 简谐球面波在平面上的表达式 波函数的判断 柱面波
cos
x
Z
cos
; Ts ( y)
cos
; Ts ( z )
cos
沿坐标轴方向空间频率：
f s ( x) cos
; f s ( y)
cos
; f s ( z)
cos
波矢 k：
k
2
知识回顾
y
cos
K
掌握：三维简谐平面波 波函数及复振幅 分布
简谐球面波的振幅E0/r 与传播距离成反比。
沿k方向相位变化2?
(r,t)=kr kvt 0
球面波沿径向传播的位 相速度为v，用v的正负 号代表球面波的发散和 会聚特性 v>0，发散球面波v<0， 会聚球面波
E0为一常量，代表r=1
r相同的球面上，振幅 均匀相等
处的振幅，称为源强度
能量守恒
k：波数 / 空间角频率
相位变化2，波沿传播方向的光程
知识回顾
掌握:三维波波函数的形式、位相
E r , t E k r t 0
或
E r , t E k r kvt 0
或
k r t 0 k r kvt 0
• 球面波具有严格的对称性，在球坐标中讨 论比较方便
球面波
球面波 —球坐标中的波动微分方程
– 球坐标中的坐标参量
x r sin cos y r sin sin z r cos
– 球面波具有球对称性，波函数表示为E(r,t)，波 函数具有三维波的实质，一维波的形式，满足 一维波动微分方程 2 1 E (r , t ) 2 E (r , t ) 2 v t 2
球面波 —球坐标中的波动微分方程及解
1 2 E (r , t ) E (r , t ) 2 v t 2
2
利用拉普拉斯微分算符，得到球面波在球坐标系中 的波动微分方程 1 2 [rE (r , t )]
2 [rE (r , t )] v2 t 2
方程通解
rE (r , t ) B1 (r vt ) B2 (r vt ) 1 1 或E (r , t ) B1 (r vt ) B2 (r vt ) r r
第一章 光波的基本性质
§1.1 光的电磁理论基础 §1.2 光波的波函数 §1.3 平面电磁波的性质。 §1.4 电磁波在两种均匀各向同 性透明媒质界面上的反射和折射
知识回顾
1.2 光波的波函数
• 光波的分类
– 标量波和矢量波 – 纵波和横波 – 一维波和三维波
• 一维简谐波 • 三维平面波 • 三维简谐波
简谐球面波的空间周期和空间频率
• 简谐球面波的空间周期和空间频率
– 球面波不具有严格的空间周期性，空间周期和 空间频率以位相变化来讨论 – 空间周期：任一时刻，取得相同扰动值的空间 相邻两点间的距离
① 沿球Baidu Nhomakorabea半径（矢径）方向考察
空间周期为 空间频率为 f
1
相位变化2，波沿传播方向的光程
r x x0 y y0 z z0
简谐球面波在平面上的表达式
• 对z=0的Oxy平面
E0 E (r , t ) exp （jkr） r
r x x0 y y0 z
2 2 2 0
1/2
球面波在Oxy平面复振幅分布
简谐球面波的空间周期和空间频率
② 偏离球面半径（矢径）方向考察（如O’x’方向） 此方向空间周期不是一个常数，而是变量，从 极限的意义上讨论 由空间周期定义，推论：沿考察方向移动一个空间 周期时，波的位相改变2
O’x’方向的空间周期Tx’对应
着2的位相变化量
x ' r Tx ' 2
空间频率： f x
cos
fy
cos
fz
cos
知识回顾
掌握：三维简谐平面波在二维 平面上的波函数及复振幅分布
E x, y, t E0 exp j 2 f x f y 2 t x y 0 E x, y E0 exp j 2 f x x f y
E ( x, y ) E0 x x0 y y0 z
2 2 2 0 2 2 2 0 1/2
exp jk x x0 y y0 z
1/2
简谐球面波在平面上的表达式
• 简谐球面波在平面上的近似式
O
cos
x
Z
E x, y, t E0 exp j 2 f x f y f z t x y z 0
E x, y E0 exp j 2 f x f y f z x y z 0
1 1 r 相应的，附近沿O’x’方向的空间频率 f x Tsx' 2 x '
x' z ' 0
简谐球面波的空间周期和空间频率
• 简谐球面波的空间周期和空间频率
– 考察点O’处沿O’x’方向的空间周期
Tsx '
r
2 x '
x' z ' 0
r ( x ', z ')
3x y 4
（单位：mm）
（1）求出此三维简谐平面波的波长 （2）求出此维简谐平面波沿x,y,z坐标轴的空间频率
fx , f y , fz
（3）求出此三维简谐平面波传播方向与x,y,z坐标轴 的方向角 , , （4）写出此时三维简谐平面波在x,z平面的波函数表 E x, z, t 达式
用v的正负号表示波的传播方向，波函数一般表示为
1 E (r , t ) B(r vt ) r
1.2 光波的波函数 ～球面波
球坐标中的波动微分方程
波动微分方程 解的形式
简谐球面波
波函数与复振幅
简谐球面波参量的特点
振幅、相位、传播数 时间参量、空间参量 简谐球面波在平面上的表达式 波函数的判断 柱面波
1.2 光波的波函数 ～球面波
球坐标中的波动微分方程
波动微分方程 解的形式
简谐球面波
波函数与复振幅
简谐球面波参量的特点
振幅、相位、传播数 时间参量、空间参量 简谐球面波在平面上的表达式 波函数的判断 柱面波
总结
简谐球面波 —振幅、位相
• 简谐球面波参量特点 E0 E (r , t ) exp[ j (kr kvt 0 )] r
– 波矢 – 波面(等相面)
知识回顾
掌握: 一维平面简谐波
位相是时间和空间坐标的 函数，表示平面波在不同 时刻空间各点的振动状态
E＝A cos k ( z vt ) 0
A：电场振幅矢量 k：空间角频率
k ( z vt ) 0 称为位相
＝2 2 / T vT , 0 cT 0 / n k 2 / / v k 0 2 / 0 / c ：振动频率 ：波长
总结
球面波
• 球面波的产生
– 真空或均匀各向同性介质中的“点状”光源， 发出的光波以相同的速度向各个方向传播。经 过一段时间之后，振动状态或位相相同的点将 构成一个以光源所在点为球心的球面 – 三维波的实质，一维波的形式
• 球面波的定义
– 等相面是球面，且在等相面上振幅处处相等的 波称为球面波。
总结
简谐球面波 —波函数、复振幅
• 简谐球面波的波函数 波函数为余弦形式时，对应的球面波称为 简谐球面波 复指数表达式
E0 E (r , t ) cos(kr kvt 0 ) r
复振幅表示为
E0 E (r , t ) exp[ j (kr kvt 0 )] r
E0 E (r ) exp[ j (kr 0 )] r
x ' Tx ' 2 r
简谐球面波的空间周期和空间频率
• 简谐球面波的空间周期和空间频率
– 从极限意义讨论考察点O’处沿O’x’方向的 空间周期
x ' Tsx ' lim 2 x '0 r
x' z ' 0
Tsx '
r
2 x '
x' z ' 0
z0 >0，S为虚光源，到达Oxy平面的光波为会聚于S点的球面波
简 谐 球 面 波 在 平 面 上 的 表 达 式
③Z=0的考察平面上的球面波
z0 0
z0 0
E0 复振幅 : E (r ) exp[ j (kr 0 )] r E0 exp( jkr ) r
设 0 0
对于z=z的考察平面上任一考察点P(x,y)，球面波 的传播距离r为： 2 2 2 1/ 2
物理光学
Optical Physics
讲解人： 刘娟 联系方式：E-mail: juanliu@bit.edu.cn Voice: 68913790 北京理工大学光电学院
随堂练习
（写上姓名学号班级，不抄题做完交上来）
一个三维简谐平面波在真空中的复振幅表示为：
E x, y, z 8exp j 104
简谐球面波—时间、空间周期性
传播数
• 简谐球面波的时间参量和空间参量 E0 2 E (r , t ) exp[ j (kr kvt 0 )] k r
– 球面波时间参量T、、的定义和性质与一维 简谐平面波的完全相同 – 参量k仍称为传播数，正负号分别对应发散和会 聚球面波 – 当r变化时，位相改变2，波函数复指数项不 变，球面波相位沿r方向具有2周期性， 是固 有空间周期，称为球面波的波长 – 球面波振幅随r增大而衰减，球面波不具有严格 的空间周期性
0
初相位：
知识回顾
掌握:等相面/波面、三维平面波
等相面方程 k r kvt 常数
知识回顾
掌握:三维简谐平面波
E r , t E0 exp j k r t 0
j k r kvt 或 E r , t E0 exp 0
1 1 r fx Tsx' 2 x '
x' z ' 0
r ( x ', z ') kr k ( x ' x0 )2 ( z ' z0 )2
发散/会聚球面波
• 发散球面波：k > 0，v > 0 • 会聚球面波： k < 0，v < 0
简谐球面波在平面上的表达式
知识回顾
掌握:三维简谐平面波
cos
y
K
E (r , t ) E0 cos(k r k t 0 ) E0 cos(k x x k y y k z z k t 0 )
相位变化2，波沿传播方向的光程 考察沿坐标轴方向的空间周期：
Ts ( x)
O
– 球面波必须作合理近似，才能得出有实用意义 的结果 基本概念：区分原点与源点
简谐球面波在平面上的表达式
② 球面波的符号规定
设光波自左向右传播，建立坐标系如下
z0 0
z0 0
考察平面为直角坐标系Oxyz的z =0平面，点光源S(x0, y0, z0)
z0 <0，S为实际光源，发出发散球面波