九年级上册数学知识点总结(新人教版)

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开口向下 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y ax 2 bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.
(2)顶点式: y a x h2 k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、x2 ,通常选用交点式: y a x x1 x x2 .
设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为 x,则经过两次的增长或降 低后的等量关系为 a(1 x )2=b。 (3)利润问题 利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总 销售量;③利润=成本×利润率 (4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代 数式表示出来,建立一元二次方程。

或 b=0
成两个一次因式的积的一
元二次方程。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1,x2,则有 x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程 a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2=,
b
c
a ,x1x2= a 22.3 实际问题与一元二次方程
直线 x b .
2a
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y a x h2 k 的形式,得到顶
点为( h , k ),对称轴是直线 x h . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的
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连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
方程 ax 2 bx c 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二 次方程的根的判别式判定:
①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交;②有一个交点 (顶点在 x 轴上) 0 抛物线与 x 轴相切;③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离.
(4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
开平方。一般地,对于形如 x2=a(a ≥ 0) 的方程,根据平方根的定义可解得 x1= a ,x2= a .
(2)直接开平方法适用于解形如 x2=p 或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果 p≥0,就可
以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的 开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法: y ax
2
bx c a x
b 2
2a
4ac b 2
,∴顶点是(
4a
b 4ac b 2

),对称轴是
2a 4a
y ax2 bx c 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时 l 与 G
有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点;③方程组无解时
l
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与G 没有交点.
( 6 )抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为
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知识点一 公式法解一元二次方程
(1)一般x地=,对b 于 一b元2二次4方ac程,ax这2+个bx公+c式=0叫(a做≠一0),元如二果次方b2程-4的ac求≥根0,公那式么,方利程用的求两根个公根式为,
2a
我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解,这种解方程的方法 叫做公式法。
④ y a x h2 k ;⑤ y ax 2 bx c .
6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当 a 0 时,开口向上;当 a 0 时,开口向 下; a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x h .特别地, y 轴记作直线 x 0 .
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次, 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边; ⑵方程两边都除以二次项系数;
⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; ⑷ 若等号 右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法
3 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; 4 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方 法 名 理论依据
适用范围

直接开平 平方根的意 形如 x2=p 或(mx+n)2=p(p
方法

≥0)
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程
公式法 配方法
所有一元二次方程
因式分解 当 ab=0,则 a=0 一边为 0,另一边易于分解
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人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的
方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点:
1 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是 2;③是整式方 程。知识点二 一元二次方程的一般形式
12.直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为(0,c ).
(2)与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax 2 bx c 有且只有一个交点( h , ah 2 bh c ).
(3)抛物线与 x 轴的交点
二次函数 y ax 2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、x2 ,是对应一元二次
21.2.3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 (1)把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求
两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。 (2)因式分解法的详细步骤: 1 移项,将所有的项都移到左边,右边化为 0;
2 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平 方公式;
(2)函数 y ax 2 的图像与 a 的符号关系.
①当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点;
②当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2 (a 0).
3.二次函数 y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤:
1 方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般 a 化为正值 的值,注意符号;
②确定公式中 a,b,c
③求出 b2-4ac 的值; ④若 b2-4ac≥0,则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解, 若 b2-4ac<0,则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式
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根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数 的式子的平方项的系数为 1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方 程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
4. 二 次 函 数 y ax 2 bx c 用 配 方 法 可 化 成 : y a x h2
h b ,k 4ac b 2 .
2a
4a
k 的 形 式 , 其 中
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:① y ax 2 ;② y ax 2 k ;③ y a x h2 ;
(4)解:就是解方程,求出未知数的值。
(5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
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(6)答:写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1)数字问题 三个连续整数:若设中间的一个数为 x,则另两个数分别为 x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为 x,则另两个数分别为 x-2,x+2。三位数 的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,则这个三位数 是 100a+10b+c. (2) 增长率问题
y a x h2 y a x h2 k 当 a 0 时
y ax 2 bx c 开口向上
当a0时
x 0 ( y 轴) x 0 ( y 轴)
xh
xh x b
2a
(0,0)
(0, k )
( h ,0)
(h,k)
b 4ac b 2
, ( 2a 4a )
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① c 0 ,抛物线经过原点; ② c 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c 0 ,与 y 轴交于负半 轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则
ba 0 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式 开口方向
对称轴
顶点坐标
y ax 2 y ax 2 k
二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果 y ax 2 bx c(a, b, c 是常数, a 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 y ax 2 的性质 (1)抛物线 y ax 2 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴.
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式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即 △ =b2-4ac.
△>0,方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程 根的判别式
△=0,方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△<0,方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次 项,b 是一次项系数;c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次 方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一wenku.baidu.com.
9.抛物线 y ax 2 bx c 中, a, b, c 的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ax 2 中的 a 完全一样.
(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间
的等量关系。
(2)设:是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等 含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式, 即方程。
x 2ba ,故:① b 0 时,对称轴为 y 轴;② ba 0 (即 a 、b 同号)时,对称轴 在 y 轴左侧;③ ba 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧.
(3) c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置. 当 x 0 时, y c ,∴抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ):
同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点
的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根.
(5)一次函数 y kx nk 0的图像 l 与二次函数 y ax 2 bx ca 0的图像 G 的交点,
由方程组
kx n
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