隐函数求导

第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率
一、隐函数的导数
第二章
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
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一、隐函数的导数
由方程 F( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为 隐函数.
y f ( x) 形式的函数称为 显函数 .
F ( x, y) 0
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二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若 可确定 y 与 x 间的函数关系, y (t ) 称此函数为由此 参数方程所确定的函数 .
例如
x 2 得 , 此参数方程确定的函数 y t ( ) , 2 2 x 即 y y( x ) . 4 问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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三、相关变化率：
解法: 通过建立两个变量之间的关系, 就将它们的 变化率联系起来，从一个变化率得到另一个变化率.
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思考与练习
1. 设 y (sin x)
tan x

x x
ln x
3
y2 , y2 . 提示: 分别用对数求导法求 y1
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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例3 设 x4 xy y4 1, 求 y( x) 在点 (0,1) 处的值. 解
(t ) 0 时, 有
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若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d 2 y d ( d y ) d ( d y ) d tdx 2 dt dx d x dx dx dt dx
2
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x 2t , 2 y t ,
x t 2
消去参数 t
若
可导, 且
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) d t (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
方程两边对 x 求导, 得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
将 x 0、y 1代入，得 y x 0
y 1
(1)
1 ; 4
视 y y( x ) 、y y( x ) ， 将方程 (1) 两边再对x 求导, 得
2 2 3 12x 2 y xy 12 y ( y ) 4 y y 0, 2
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
代入 x 0、 y 1 及
y x 0
y 1
1 得 4
y x 0
y 1
1 . 16
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对数求导法
——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。
对数求导法：
先对 y=f(x)（>0）两边取对数(或加绝对值后
两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
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例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 体积为 V , 则 2 1 π R 2 h 1 π r 2 ( h x ) π R [ h3 ( h x )3 ] 3 3 3 h2
四、小结
隐函数求导法则:视 y=y(x)， 利用复合函数求导法 则直接对方程两边求导; 对数求导法: 对函数两边取对数, 然后按隐函数的求 导法则求导;适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示 的函数
参数方程求导法: y对x的导数=y对参数的导数/x对参 数的导数; 相关变化率: 两个相互关联的变化率;
适用范围:
(1) 幂指型 函数 u( x)v ( x ) ,
(2) 含有较多的乘、除、乘 方、开方运算的函数。
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例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导

1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
d y 问： 3 ? dx
注意 : 已知
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3
对谁求导?
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例5. 设
2 x f (t ) d y 求 . f ( t ) 0 , , 且 2 y t f (t ) f (t ) dx
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
两个相互关联的变化 率称为相关变化率 为两可导函数
之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
之间也有联系
称为相关变化率
当已知两个 变量的关系后， 可从其中一个变 化率求出另一个 变化率。
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得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 2 2 sec 1 tan sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
两边对 t 求导
r
x
h
r hx πR 2 dV d V R h 2 ( h x ) 2 dx , 而 25 (cm3 s) hx dt dt h dt r R 2 h 25h dx 100 , 故 (cm s) 2 2 2 π R (h x) dt π R
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练习: 解:
d2 y 1 f (t ) d x2
dy 1 ; dx t
d y d x2
2
1 t2
1 3 t t
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x t 2 2 t (0 1) 例6. 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
y f ( x ) 隐函数的显化
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导? 隐函数求导法则: 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.
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例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y 的方程)
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
a a b y ln b x x y
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
等式两边取绝对值 再取对数
1 ln y ln x 1 ln 2 ln x 3 ln x 4 2
对 x 求导
u ( ln u ) u

y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4


1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
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