多元函数微分学--多元隐函数求导

2
=−
Fxx Fy − 2 Fxy Fx Fy + Fyy Fx
2
2
Fy
3
2.可推广到二元隐函数.
此公式不实用
(2).F ( x, y, z ) = 0 所确定的隐函数:
定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fy ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
Fx = 2 x, Fz = 2 z − 4
=
(2 − z ) + x ⋅
x (2 − z ) 2 + x 2 2− z = 2 (2 − z ) 3 (2 − z )
上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形. 注:上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形 上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形
二.方程组情形 方程组情形 F ( x, y, u, v) = 0 有可能确定两个二元函数. 例如 G ( x, y, u, v) = 0 存在定理略去,只讨论其微分法. x2 + y 2 + z 2 = 1 dy dz 例4. 求 dx , dx . x+ y+z =0 dy dz =0 各方程两边对x求偏导: x + y + z dx dx dy dz 1+ + =0 dx dx 解方程组得:
2. 设f ( x, y, z ) = xy 2 z 3 , 其中z = z ( x, y )由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 5 xyz = 0 确定, 求 f x ' (1,1,1)
对方程 x 2 + y 2 + z 2 − 5 xyz = 0 两边关于 x 求导得 : ∂z ∂z 2 x + 2 z − 5 yz − 5 xy = 0. ∂x ∂x ∂z 把x = 1, y = 1, z = 1代入上式得 : |(1,1,1) = −1. ∂x 2 3 2 2 ∂z 而 f x ' = y z + 3 xy z , ∂x 故 f x ' (1,1,1) = 1 + 3 × (−1) = −2.
第四节 隐函数微分法
第四节 隐函数及其微分法
一.一个方程的情形 一个方程的情形
(1).F ( x, y ) = 0 所确定的隐函数:
上册已经介绍过求导方法
定理1(一元隐函数存在定理) 设F(x,y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 ) = 0, Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能
Fy + Fz ⋅ ∂z =0 ∂y
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− , =− ∂x Fz ∂y Fz
注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导 注意 上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导. 上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导 例1. z − 3xyz = 1
3
∂z ∂z 求 , ∂x ∂y
解法一:
F ( x, y, z ) = z 3 − 3 xyz − 1
Fx = −3 yz , Fy = −3 xz , Fz = 3 z 2 − 3 xy
∴ ∂z F yz =− x = 2 ∂x Fz z − xy
Fy ∂z xz =− = 2 ∂y Fz z − xy
解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略)
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ϕ ( x, t ) = 0 所确定的函数,
dy 且 ϕ ( x, t ) = 0可微.求 dx
x y t x
dy ∂f ∂f dt ∴ = + ⋅ dx ∂x ∂t dx
隐函数求导
方程 ϕ ( x, t ) = 0 两边对 x 求偏导: :
∂ϕ dt ∂ϕ ∂ϕ dt ∴ = − ∂x , + ⋅ = 0, ∂ϕ dx ∂x ∂t dx ∂t ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ ⋅ − ⋅ dy ∂x ∂t ∂t ∂x ∴ = ∂ϕ dx ∂t
dy z − x = , dx y − z
dz x − y = . dx y − z
( y − z ≠ 0)
u 2 − v + x = 0 ∂u ∂u ∂v ∂v 例5. 求 ∂x , ∂y , ∂x , ∂y . 2 u + v − y = 0 ∂u ∂v − +1 = 0 各方程两边对x求偏导: 2u ∂x ∂x ∂u ∂v + 2v = 0 ∂x ∂x
对方程 z = ln( x 3 + y 2 ) 两边关于 x 求导并整理得 : dz 3 x 2 + 2 yϕ ' ( x) = . 3 2 x +y dx 故 du ∂f ∂f ∂f 3x 2 + 2 yϕ ' ( x) = + ⋅ ϕ ' ( x) + ⋅ . 3 2 dx ∂x ∂y ∂z x +y
内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有: ∂z = − Fx , ∂z = − Fy
∂x Fz ∂y Fz
证:
因为 F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0
Fx + Fz ⋅ ∂z =0 ∂x
两边分别对 x,y 求偏导:
2 2 2 例3. x + y + z = 4 z
∂2z 求 ∂x 2
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z
∂z F xLeabharlann Baidu=− x = ∂x Fz 2 − z ∂z (2 − z ) + x ∂2z ∂ x ∂x = ( ) = (2 − z ) 2 ∂x 2 ∂x 2 − z ∴
唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),满足
y0 = f ( x0 ), 并有:
F dy =− x dx Fy
证:
因为
F [ x, f ( x)] ≡ 0
两边对x求导:
∴
Fx + Fy ⋅
F dy =− x dx Fy
dy =0 dx
注:1.若存在二阶连续偏导数,则
dy dy ( Fxx + Fxy ) Fy − ( Fyx + Fyy ) Fx d y d Fx dx dx =− ( ) =− 2 2 dx dx Fy Fy
解方程组得:
∂u − 2v ∂v 1 = , = ∂x 4uv + 1 ∂x 4uv + 1
(4uv + 1 ≠ 0)
同理,各方程两边对y求偏导,可得:
∂u 1 = , ∂y 4uv + 1
∂v 2u = . (4uv + 1 ≠ 0) ∂y 4uv + 1
思考练习
1. 设u = f ( x, y, z ), 而y = ϕ ( x), z = ln( x 3 + y 2 ) . du 其中f , ϕ均为可微函数，求 dx