多元函数微分学--多元隐函数求导

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隐函数求导法则

隐函数求导法则隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它用于求解含有隐函数的导数。

在实际问题中，很多函数并不是显式地以y=f(x)的形式给出，而是以隐式方程的形式存在。

这时就需要用到隐函数求导法则来求解导数。

本文将介绍隐函数求导法则的原理和具体应用。

1. 隐函数的概念在代数中，如果一个方程中存在两个变量，并且其中一个变量无法用另一个变量表示，那么这个方程就是一个隐函数。

例如，方程x^2+y^2=1就是一个隐函数，因为无法用y=f(x)的形式来表示。

在实际问题中，很多函数都是以隐函数的形式存在的，因此需要用到隐函数求导法则来求解导数。

2. 隐函数求导法则的原理隐函数求导法则是通过对含有隐函数的方程两边求导来求解导数的方法。

假设有一个隐函数方程F(x, y)=0，其中y是x的函数，即y=g(x)。

为了求解y关于x的导数，可以对方程两边关于x求导，然后通过链式法则来求解。

具体来说，如果F(x, y)=0两边关于x求导，得到∂F/∂x+∂F/∂y*dy/dx=0，然后可以解出dy/dx的表达式。

3. 隐函数求导法则的具体应用隐函数求导法则的具体应用包括求解曲线的切线斜率、求解参数方程的导数、求解隐函数的高阶导数等。

在求解曲线的切线斜率时，可以将方程两边关于x求导，然后代入切点的坐标来求解斜率。

在求解参数方程的导数时，可以将参数方程化为隐函数方程，然后利用隐函数求导法则来求解导数。

在求解隐函数的高阶导数时，可以多次对方程两边求导，然后通过链式法则来求解高阶导数。

4. 隐函数求导法则的应用举例下面通过一个具体的例子来说明隐函数求导法则的应用。

假设有一个隐函数方程x^2+y^2=1，要求解y关于x的导数。

首先对方程两边关于x求导，得到2x+2y*dy/dx=0，然后可以解出dy/dx=-x/y。

这样就求得了y关于x的导数。

5. 隐函数求导法则的总结隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它用于求解含有隐函数的导数。

通过对隐函数方程两边关于自变量求导，然后利用链式法则来求解导数。

第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识

本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。

如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。

可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。

7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。

定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。

如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。

解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。

多元函数微分法及其应用-隐函数的微分法

( F , G ) ③J = P (u , v ) ≠0
P
则方程组 F ( x , y , u, v ) = 0 , G ( x , y , u, v ) = 0
在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内能唯一确定
一对满足条件 u0 = u( x0 , y0 ) , v0 = v ( x0 , y0 ),
F1′ F2′ F1′ F2′ z( + ) xy ( + ) x x y y = F1′ F2′ + y x
= z xy .
例3 设 xu yv = 0， yu + xv = 1， u u v v 求，，和 . x y x y 解（方法1）直接套公式（方法2）复合函数求导法将所给方程的两边对 x 求偏导数，并移项
Fy z = y Fz
注意公式里的负号
Fx z 注在公式 = 中， Fz x
Fx : 将 F ( x , y , z )中的 y , z暂视为常数，
对x 求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的 x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
(二) 由方程组确定的隐函数微分法以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 u = u( x , y ) F ( x , y , u, v ) = 0 v = v( x , y ) G ( x , y , u, v ) = 0 由函数F、G 的偏导数组成的行列式
( z x2 ′ F2 F1′ )
(
z
dz =
′ F1′ F2 + y x
z x
dx +
y2 ′ F1′ F2 + y x
z y
′ F1′ F2 )

高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件

x y
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ，练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x

多元函数的偏导数与全微分计算

多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用，研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。

本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。

一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数，其定义如下：对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$z$ 是函数的因变量。

函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为：$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时，可以将多元函数看作其他变量不变，只对某一变量求导的单变量函数。

常用的计算方法有以下几种：1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法计算偏导数。

通过对方程两边同时求导，并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。

2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时，可以直接对每个变量求导，其他自变量视作常数。

逐个变量求导后得到各个偏导数。

3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数，在参数的每个分量上分别求导，并利用链式法则计算出各个偏导数。

二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质：1. 交换性对于偏导数来说，次序并不重要，即换序后得到的偏导数结果相同。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续，那么该点处的偏导数存在。

多元函数微分学6.6隐函数的微分法

Fx 3yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy,
从而
z x
Fx Fz

yz , z2 xy
z y

Fy Fz

xz z2 xy.
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于是
2z xy

( z ) y x

y
( yz ) z2 xy
数的求导法则，得
Fx

Fy
dy dx

0
由于 Fy连续，且 Fy(x 0, y0 ) 0, 所以存在点(x0,y0)
的某个邻域，在此邻域内 Fy 0, 于是得到
dy Fx . dx Fy
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例6-28 设方程 sin xy ex y2 确定了y是x的函数，
我们可以根据三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)的存在，以及这个
函数的性质．
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定理6-7 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续
的偏导数，F(x 0, y0, z0 ) 0, Fz(x 0, y0, z0 ) 0. 则方程
z Fy . y Fz
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例6-29 设方程 sin z x2 yz 确定了函数z f (x, y)
求 z 及 z . x y 解设 F( x , y, z ) sin z x2 yz, 则有
Fx 2xyz, Fy x2z, Fz cos z x2 y.
dy Fx . dx Fy 公式（1）就是隐函数的求导公式．

多元函数及隐函数求导

多元函数的极值定义与性质
极值性质
极值点不一定是函数取得最大值或最小值的点；
极值点是函数值改变方向的点；
极值点可能是连续函数的不连续点。
多元函数的最值定义与性质
• 最值定义：设函数$f(x,y)$在闭区域$\Omega$上有定义，如果存在点$(x_0,y_0) \in \Omega$，使得对于所有$(x,y) \in \Omega$都有$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在区域$\Omega$上取得最大值（或最小值）。
生物问题
在工程学中，隐函数可以用来描述机械运动、流体动力学等物理现象。
在生物学中，隐函数可以用来描述种群增长、生态平衡等生物现象。
03
高阶导数与全微分
高阶导数的概念与性质
概念
高阶导数是指一个函数在某一点的导数，对其再次求导，得到的二阶导数、三阶导数等统称为高阶导数。
性质
高阶导数的计算涉及到多个求导法则，如链式法则、乘积法则、商的求导法则等。高阶导数的计算可以揭示函数的局部性质，如拐点、极值点等。
全微分的概念与性质
概念
全微分是指一个多元函数在某一点的微分，它表示函数在该点附近的小变化。全微分等于各个偏导数与相应变量的乘积之和。
VS
性质
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们微分的和或差。全微分还具有连续性，即如果函数在某点可微，则其全微分在该点连续。
全微分在实际问题中的应用
多元函数及隐函数求导
• 多元函数导数与偏导数 • 隐函数求导法则 • 高阶导数与全微分 • 多元函数极值与最值 • 多元函数及隐函数求导的应用实例

隐函数的求导法

17
F F x u G G x u
u F x v u G x v
v 0 x v 0 x
隐函数的求导公式
F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 求 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
F u G u
F v 1 ( F , G ) , G J ( y, v ) v
F v 1 ( F , G ) . G J ( u, y ) v
F u G u
18
隐函数的求导公式
特别
F ( x , y , u, v ) 0 如果方程组 G ( x , y , u, v ) 0
下面讨论如何由隐函数方程求偏导数.
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F ( x, y ) 0
(1)
的求导法. 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
隐函数的求导公式
x dy Fx ye y. dx Fy xe
6
隐函数的求导公式
注意:
1. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出. 2. 定理的结论是局部的. 3. 隐函数的导数仍含有x与y,理解: Fx ( x, y ) dy 求高阶导时,利用复 dx Fy ( x, y ) 合函数的求导方法.
设u z 2z, 且z z( x, y )由方程xe ye ze
2 x y
z
( z 1)所确定, 求du.
解法二利用隐函数求导公式. 令 F ( x , y , z ) xe x ye y ze z

多元函数隐函数存在定理

多元函数隐函数存在定理多元函数隐函数存在定理是微积分学中的重要定理之一。

它提供了一种方法，可以确定由多个变量组成的函数的隐函数表达式。

本文将讨论这个定理的基本概念、应用和证明。

我们需要了解什么是多元函数隐函数存在定理。

它指出，如果一个多元函数能够满足一定的条件，那么我们就可以通过这个函数的导数来确定它的隐函数表达式。

具体地说，如果函数的某个变量可以用其他变量的函数来表示，那么这个变量就是隐函数。

这个定理的应用非常广泛。

例如，我们可以用它来求解方程组、求极值和确定曲线的参数方程等。

在实际应用中，多元函数隐函数存在定理也是不可或缺的工具之一。

接下来，我们来看一个例子，以更深入地理解这个定理的应用。

假设我们有一个函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0，我们想要求解出它的隐函数表达式。

根据多元函数隐函数存在定理，我们可以通过求解以下方程组来得到答案：f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0∂f/∂x=2x=0∂f/∂y=2y=0∂f/∂z=2z=0解得x=y=z=0，因此隐函数为x=y=z=0。

这个例子说明了多元函数隐函数存在定理的应用，即通过导数来确定函数的隐函数表达式。

我们来看一下多元函数隐函数存在定理的证明。

证明过程中，我们需要使用到隐函数定理和隐函数求导法则等相关知识。

这些知识的具体内容可以在微积分学中学习到。

多元函数隐函数存在定理是微积分学中的重要定理之一。

它可以帮助我们确定由多个变量组成的函数的隐函数表达式，并在实际应用中发挥重要的作用。

虽然证明过程比较复杂，但是我们可以通过学习相关知识来理解其基本原理。

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

多元函数的隐函数定理与反函数定理

多元函数的隐函数定理与反函数定理隐函数定理（Implicit Function Theorem）和反函数定理（Inverse Function Theorem）是微积分中涉及多元函数的重要定理。

它们在数学和物理科学研究中具有广泛的应用。

本文将分别介绍这两个定理的概念、条件和应用，并通过例子说明其具体应用。

隐函数定理是关于多元函数的一个重要定理，它探讨了如何找到一个函数的隐函数表达式。

设有函数 F(x, y) = 0，其中 x 和 y 是多元函数F 的自变量。

如果可以确定存在与 y 相关的函数 x = g(y)（或者存在与x 相关的函数 y = f(x)），使得在某个区域内 F(x, g(y)) = 0（或者 F(f(x), y) = 0）成立，那么我们就可以说 g(y)（或者 f(x)）是 F(x, y) = 0 的一个隐函数。

隐函数定理的条件是：设函数 F(x, y) 在点 (a, b) 的某个邻域内具有连续的偏导数，并且满足 F(a, b) = 0 和F_y(a, b) ≠ 0，其中 F_x 和 F_y 分别表示 F 关于 x 和 y 的偏导数。

在符合这些条件的前提下，隐函数定理保证了存在一个连续可微的函数 g(y)，使得 F(x, g(y)) = 0，其中 x 的取值范围与 y 的取值范围有关。

隐函数定理的应用非常广泛，例如在几何问题中，可以利用隐函数定理来确定曲线的参数方程；在经济学中，隐函数定理可以用来求解一些均衡条件；在物理学中，隐函数定理可以用来推导一些物理方程的隐函数表达式等等。

接下来我们将介绍反函数定理。

反函数定理是关于函数反函数的一个定理。

设有函数 f: X -> Y，其中 X 和 Y 是实数集上的开集。

如果函数 f 在某个点 a 处连续可微，并且其导数f'(a) ≠ 0，那么存在一个开集V，使得 a 属于 V，且在 V 上函数 f 是一个双射。

这说明函数 f 在点 a 处存在反函数 f^(-1)，并且 f 在 a 的邻域内的一个开集上存在连续可导的反函数。

多元函数微分法(2)

例7 设 u f (x, y, z), (x2, ey , z) 0, y sin x,
( f , 具有一阶连续偏导数)，且 0, 求 du .
z
dx
解
du f f dy f dz , dx x y dx z dx
显然
dy cos x, dx
求 dz , 对 ( x2,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
x2 1 ( y)2
x
yy
xy
y
x
y x y . yx
例3：设F ( xy, x ) 0,求 dy .
y
dx
解(1)
F1( xy,
x )( y y
xy)
F2
y xy y2
0
y
F1 y xF2
3
F2 y xy 2 F1
.
解(2) 设G( x, y) F ( xy, x )
y
1
x
Gx F1 y F2 y
解令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数
的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x 0的值.

隐函数的求导法则

求 2z . x2
解令 F (x, y, z) x2 y2 z2 4z, 则
Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x ,
x
Fz 2 z
2z x2
(2 z) x z
x
(2 z)2
(2 z) x x
2z (2 z)2
(2 z)2 (2 z)3
x2
.
注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，生搬硬套地套公
dx Fy
y dx x0
二阶导数为
d2y dx 2
y xy y2
y x( x )
y y2
1 , y3
d2y
dx2
1.
x0
例 2 求由方程 xy ex ey
0 所确定的隐函数 y 的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过，
这里我们直接用公式求之.
z
z(x,
y) ，
y
sin
x,
求
du dx
时要考虑到上面各种联系.
例 8 设 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) 由方程(x2, ey , z) 0 确定，
其中 f , 具有一阶连续偏导数，且 0, 求 du .
z
dx
解由 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) ，
使 Fz0，于是得
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
例 1 证明方程 x2 y2 1 0 在点(0，1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导
数且当 x 0 时 y 1的隐函数 y f (x) ，求这函数的一阶和二阶导数在 x 0 的值.

隐函数求导数的五种方法

4求导"此时6是-"4的函数"求偏导数时"需要把6看作-" 4的函数#
例设方程求 3
-) P4) N* 6N$+) M%"6c$" 6" 6#
- 4
四微分法
设方程3*
-"4+
确定函数 M%"
4M!* -+
"利用微分形式
不变性"对方程两边同时求微分"此时需要将3看成关于
-"4的一个二元函数#
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)(%(%%'
科技风 "#"$ 年 % 月
隐函数求导数的五种方法
张亚龙4高改芸4刘爽
北京科技大学天津学院天津
摘4要针对隐函数求导数问题在隐函数存在定理的基础上总结出求隐函数导数的五种方法同时利用五种方法分别求解一元隐函数和二元隐函数并分析和比较每个方法的优点与缺点
解两端同时对-求导得)-N) * 6N$ + 6M%"所以 -
例设求 1 -N_-*-) P-4+M%" ,4# ,-
6M - 6N$
#
解两边同时求微分得 " ,-N-) P$-4,* -) P-4+ M%",-N
两端同时对求导得所以 4
)4N)* 6N$+ 6M%" 4
46M6N4$#
一"也是高等数学中的一个难点# 利用多元复合函数求偏导"对于初学者容易出错# 利用隐函数求导数可以求解空

高等数学微积分教程第四章多元函数微分学--多元隐函数求导

x Fz y Fz
证:
因为 F[ x, y, f ( x, y)] 0
Fx Fz z 0 x
两分别对 x,y 求偏导:
Fy Fz z 0 y
Fy Fx z z , x Fz y Fz
注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导. 例1. z 3xyz 1
( y z 0)
u u v v u 2 v x 0 例5. 求 x , y , x , y . 2 u v y 0 u v 1 0 各方程两边对x求偏导: 2u x x u v 2v 0 x x
对方程 z ln(x 3 y 2 ) 两边关于 x 求导并整理得: dz 3 x 2 2 y ' ( x) . 3 2 dx x y 故 du f f f 3 x 2 2 y ' ( x) ' ( x) . 3 2 dx x y z x y
2 2 2 例3. x y z 4z
2 z 求 x 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z
Fx 2 x, Fz 2 z 4
F z x x x Fz 2 z z (2 z ) x 2 z x x ( ) (2 z ) 2 x 2 x 2 z
解方程组得:
u 2v v 1 , x 4uv 1 x 4uv 1
(4uv 1 0)
同理,各方程两边对y求偏导,可得:
u 1 , y 4uv 1
v 2u . (4uv 1 0) y 4uv 1
思考练习
1. 设u f ( x, y, z ),而y ( x), z ln(x 3 y 2 ) . du 其中f , 均为可微函数，求 dx

5多元隐函数求导

x
z
y
(
y z
)
;
z Fy y Fz
z
(
y z
)
x
y (
y z
)
;
代入得 x z y z z. x y
补充题1. 设
是由方程
和
所确定的函数 , 求 (99考研)
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得 (1 y)
x f f x f
dz dx
Fy
Fx
x f 1
Fy Fz
( f x f )Fy x f Fx Fy x f Fz
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx x J (u, x) Gu Gx
同样可得
Fu Fv Gu Gv
u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv
多元复合函数的求导练习
P10. 7 设 z xy xF (u), 而 u y , F (u)为可导函数. x
解: z xy xF(u) f ( x, y,u)
z x
f x
z
y
F(u)
xF'(u) (
y x2
)
x
y
u
x y
z y
f y
x xF'(u) 1 x
P10. 8
设
z
f (x2
u 1x, y J v
v 1 x y J u
课堂习题
1.
x 设z
( y) ,
z
求证
x z x
y z y
z.