《两个变量的线性相关》教案
两个变量的线性相关 优秀教案
变量间的相关关系【教学内容】本节课的主要内容为用最小二乘法思想求线性回归方程。
本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。
在“经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系”的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好的理解核心概念“回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值。
就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。
了解“最小二乘法思想”，比较各种“估算方法”，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是“在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解”的需要。
“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。
所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。
考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。
【教学重点】知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
【教学难点】如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”并在此过程中了解最小二乘法思想。
回归方程中的斜率b和截距a的计算公式，用计算器求出线性回归方程。
通过大量的回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想。
【教学目标】本节课要求学生了解最小二乘法思想，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，理解线性回归方程概念和回归思想，在以上过程中体会随机思想：1．能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的点的偏差”的表达方式；2．通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题，通过逻辑推理，使学生接受最小二乘法思想，体会到它的科学性，在此过程中了解最小二乘法思想；3．能结合具体案例，经历数据处理步骤，根据回归方程系数公式建立回归方程；4．通过改变同一问题下样本点的选择进而对照回归方程的差异，体会随机思想；5．利用回归方程预测，体现用“确定关系研究相关关系”的回归思想。
人教版高中必修3(B版)2.3.2两个变量的线性相关教学设计
人教版高中必修3(B版)2.3.2 两个变量的线性相关教学设计1. 教学目标1.了解什么是两个变量的线性相关。
2.掌握用散点图和回归分析判断两个变量间是否存在线性相关。
3.能够利用Excel进行数据的处理和线性回归模型的建立。
4.能够分析不同变量间的线性相关性并进行实际应用。
2. 教学重点1.掌握用散点图和回归分析判断两个变量间是否存在线性相关。
2.理解和掌握线性回归模型的建立方法。
3.实际应用场景中的变量分析。
3. 教学工具1.教师用PPT进行幻灯片的展示。
2.学生使用Excel进行数据处理。
3.学生使用PPT或者报告进行结果汇报。
4. 教学步骤4.1 引入1.利用课件引入什么是线性相关性，同时列出场景案例。
2.让学生思考实际用途，如何帮助决策。
4.2 教学内容1.通过教学案例和数据，帮助学生发现两个变量之间存在的线性关系，将数据进行散点图的展示。
2.利用线性回归方法求出变量间的关系，并进行解释分析，同时重点帮助学生理解回归线和残差。
3.在Excel中模拟数据，并进行线性回归模型的建立，帮助学生掌握模型参数的估计与推断，同时展示数据处理过程。
4.通过网络或者其他途径获得实际数据，并进行数据处理和线性回归分析，展示关键参数和线性回归模型的评估。
4.3 练习和应用1.让学生利用Excel进行数据录入和线性回归模型的建立，同时进行结果展示。
2.让学生分组，进行数据收集处理和建模，完成案例分析和报告撰写，同时进行展示和交流。
4.4 总结1.整理本次课程的重点知识点，巩固学生的掌握程度。
2.引导学生思考如何将所学知识应用到更广泛的场景中。
5. 教学资源1.教材：人教版高中必修3(B版)2.网络课件和视频资源：参考相关资源如慕课网、Coursera等。
6. 教学评估1.观察学生课前预习和课堂参与状况。
2.课堂能力训练：教师提供练习题目并进行课堂答题，加深学生对所学知识点的理解，同时检验学会程度。
3.课堂小组作业和课外大作业的评估：教师通过查看学生PPT报告和答辩情况进行交流和评估。
两个变量的线性相关教案
两个变量的线性相关教案第一章：引言1.1 学习目标了解两个变量线性相关的概念掌握散点图在表示两个变量关系中的应用1.2 教学内容介绍两个变量线性相关的概念解释散点图在表示两个变量关系中的应用1.3 教学活动引入两个变量线性相关的概念，让学生初步了解通过实际例子，展示散点图在表示两个变量关系中的应用1.4 作业完成练习题，让学生巩固两个变量线性相关的概念第二章：线性相关性的判断2.1 学习目标学会判断两个变量之间的线性相关性掌握线性相关的判定方法2.2 教学内容介绍判断两个变量之间线性相关性的方法解释线性相关的判定方法2.3 教学活动通过实际例子，展示如何判断两个变量之间的线性相关性解释线性相关的判定方法，让学生能够运用到实际问题中2.4 作业完成练习题，让学生巩固判断两个变量之间线性相关性的方法第三章：线性回归方程的求解3.1 学习目标学会求解线性回归方程掌握线性回归方程的求解方法3.2 教学内容介绍线性回归方程的概念解释线性回归方程的求解方法3.3 教学活动通过实际例子，展示如何求解线性回归方程解释线性回归方程的求解方法，让学生能够运用到实际问题中3.4 作业完成练习题，让学生巩固线性回归方程的求解方法第四章：线性回归方程的应用4.1 学习目标学会应用线性回归方程解决实际问题掌握线性回归方程在实际问题中的应用方法4.2 教学内容介绍线性回归方程在实际问题中的应用解释线性回归方程的应用方法4.3 教学活动通过实际例子，展示如何应用线性回归方程解决实际问题解释线性回归方程的应用方法，让学生能够运用到实际问题中4.4 作业完成练习题，让学生巩固线性回归方程在实际问题中的应用方法5.1 学习目标掌握线性回归方程的求解与应用方法5.2 教学内容提出拓展问题，引导学生深入思考5.3 教学活动提出拓展问题，引导学生深入思考线性相关知识的应用5.4 作业完成练习题，让学生巩固本章所学内容回答拓展问题，展示学生对线性相关知识的深入理解第六章：相关系数的概念与计算6.1 学习目标理解相关系数的概念学会计算线性相关系数6.2 教学内容介绍相关系数的概念及其取值范围解释如何计算线性相关系数（皮尔逊相关系数）6.3 教学活动通过实际例子，解释相关系数的概念使用计算器或软件演示如何计算线性相关系数6.4 作业完成练习题，让学生巩固相关系数的概念及计算方法第七章：非线性关系的处理7.1 学习目标理解非线性关系与线性关系的区别学会处理非线性关系7.2 教学内容解释非线性关系的概念介绍处理非线性关系的方法，如多项式回归、逻辑回归等7.3 教学活动通过实际例子，展示非线性关系的特征介绍处理非线性关系的方法和工具7.4 作业完成练习题，让学生理解非线性关系及其处理方法第八章：线性回归模型的评估8.1 学习目标学会评估线性回归模型的有效性掌握评估线性回归模型的常用方法8.2 教学内容介绍评估线性回归模型的指标，如均方误差（MSE）、决定系数（R²）等解释如何使用这些指标来评估模型的有效性8.3 教学活动通过实际例子，展示如何评估线性回归模型的有效性介绍常用的评估方法和工具8.4 作业完成练习题，让学生掌握评估线性回归模型的方法和指标第九章：多重线性回归分析9.1 学习目标理解多重线性回归的概念学会进行多重线性回归分析9.2 教学内容介绍多重线性回归的概念和应用场景解释如何进行多重线性回归分析9.3 教学活动通过实际例子，展示多重线性回归的应用使用统计软件演示如何进行多重线性回归分析9.4 作业完成练习题，让学生理解多重线性回归的概念和应用第十章：案例分析与实践10.1 学习目标能够将线性回归模型应用于实际问题学会分析实际问题中的线性关系10.2 教学内容分析实际问题，确定变量之间的关系应用线性回归模型解决实际问题10.3 教学活动分析一个实际问题，引导学生识别变量之间的线性关系指导学生应用线性回归模型解决问题10.4 作业完成案例分析报告，让学生将线性回归模型应用于实际问题讨论案例中的发现和解决方法，展示学生对线性回归模型的深入理解重点和难点解析一、线性相关性的判断学生可能难以理解如何准确判断两个变量之间的线性相关性。
两个变量的线性相关教案
两个变量的线性相关教案第一章：引言1.1 教学目标使学生理解什么是两个变量的线性相关性。
使学生掌握散点图的绘制和解读。
使学生了解线性相关的概念和特点。
1.2 教学内容介绍两个变量的概念。
解释线性相关性的概念。
介绍散点图的概念和绘制方法。
介绍线性相关的特点和判定方法。
1.3 教学方法使用案例和实际数据引出两个变量的线性相关性概念。
通过绘制和解读散点图来展示线性相关性的可视化。
引导学生进行小组讨论和思考，探索线性相关的特点和判定方法。
第二章：散点图的绘制和解读2.1 教学目标使学生能够熟练地绘制散点图。
使学生能够正确地解读散点图中的信息。
2.2 教学内容介绍散点图的绘制方法。
介绍散点图中的坐标轴表示的意义。
介绍散点图中点的含义和解读方法。
2.3 教学方法演示散点图的绘制方法，并进行实践操作。
使用实际数据集进行散点图的绘制和解读练习。
引导学生进行小组讨论和分享，互相学习和交流。
第三章：线性相关的概念和特点3.1 教学目标使学生理解线性相关的概念。
使学生掌握线性相关的特点。
3.2 教学内容介绍线性相关的概念。
介绍线性相关的特点。
3.3 教学方法通过案例和实际数据引导学生理解线性相关的概念。
使用散点图来展示线性相关的特点。
引导学生进行小组讨论和思考，探索线性相关的判定方法。
第四章：线性相关的判定方法4.1 教学目标使学生掌握线性相关的判定方法。
使学生能够应用判定方法解决实际问题。
4.2 教学内容介绍线性相关的判定方法。
介绍判定方法的原理和步骤。
4.3 教学方法通过案例和实际数据引导学生理解和掌握线性相关的判定方法。
进行实践操作和练习，应用判定方法解决实际问题。
引导学生进行小组讨论和分享，互相学习和交流。
第五章：线性回归方程的建立与应用5.1 教学目标使学生理解线性回归方程的概念。
使学生掌握线性回归方程的建立方法。
使学生能够应用线性回归方程进行预测和分析。
5.2 教学内容介绍线性回归方程的概念。
介绍线性回归方程的建立方法。
两个变量的线性相关教学案
高一数学教学案 材料编号：30变量间的相关性班级 姓名 学号 设计人：贾仁春 审查人：孙慧欣 使用时间：08.04. 一、学习目标：1.掌握线性相关的定义及回归直线方程的意义；2.利用最小二乘法求回归直线。
二、学习重难点：1.学习重点：求回归直线方程；2.学习难点：了解最小二乘法的原理。
三、课前自学： （一）课前检测： 1.有下列关系：（1）人的年龄与其拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点一该点坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；（5）学生与其学号之间的关系。
其中有相关关系的是 。
（二）知识点梳理：1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。
2.观察散点图的特征，如果点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有 ，这条直线叫做 。
根据不同的标准可画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。
我们希望找到一条直线，“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近一直的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系，记此直线方程为：.y a bx ∧=+ （1）这里在y 的上方加记号“∧”是为了区别Y 的实际值y ，表示当x 取值(1,2,...,)i x i n =时，y 相应的观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是i i y a bx ∧=+（1）式叫做y 对x 的回归直线方程。
,a b ∧∧叫做回归系数，要确定回归直线方程（1），只要确定回归系数,a b ∧∧。
设x ，y 的一组观察值为)(1,2,...,)i i x y i n =（，且回归直线方程为.y a b x ∧∧∧=+当x 取值(1,2,...,)i x i n =时，y 的观察值为i y ，对应回归直线上的y ∧，即y a b x ∧∧∧=+，离差(1,2,...,)i y y n ∧-刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度。
2.3.两个变量的线性相关-人教A版必修三教案
2.3.两个变量的线性相关-人教A版必修三教案
一、知识点概述
本节主要介绍两个变量之间的线性相关性的概念和判断方法。
通过本节学习，学生应该能够掌握以下知识点：
1.什么是两个变量之间的线性相关性。
2.判断两个变量之间是否存在线性相关关系的方法。
3.相关系数的定义及其计算方法。
4.相关系数的含义及其应用。
二、教学重难点分析
本节主要教学重点为相关系数的定义及其计算方法，以及相关系数的含义及其应用。
教学难点在于如何理解两个变量之间的线性相关性及其判断方法。
三、教学过程设计
3.1 导入新知识
通过实验或者案例介绍两个变量之间的线性相关性的概念，引导学生思考两个变量之间的关系及其表现形式。
3.2 讲解相关系数的定义及其计算方法
介绍相关系数的定义及其计算方法，包括协方差和标准差的计算方法，以及相关系数的计算公式。
3.3 案例分析
通过案例讲解如何使用相关系数判断两个变量之间的相关性，引导学生掌握相关系数的应用方法。
3.4 思考扩展
通过问题的提出和分组讨论，引导学生思考两个变量之间的线性相关性和非线性相关性的区别，以及相关系数的局限性。
四、教学反思
通过本节课程的学习，学生应该已经掌握了相关系数的基本概念及其应用方法，并能够在实际问题中运用相关系数进行分析和判断。
教师应该及时检查学生的学习效果，针对学生掌握情况进行巩固和强化。
同时，教师还应多组织实际应用情境、案例和练习，加强学生对知识点的理解和掌握。
高中数学3必修A版《两个变量的线性相关》教案
两个变量的线性相关（第2课时）教材：普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）人民教育出版社A版一、教学目标根据课标的要求，结合高一学生的认知特点确定本节课的教学目标如下：知识与技能：1．了解最小二乘法思想，理解线性回归方程概念和回归思想；2．能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
3．利用回归方程预测，体会用“确定关系研究相关关系”的回归思想。
过程与方法：结合具体案例，经历数据处理步骤和建立线性回归方程的过程，增强应用数学知识和运用信息技术解决实际问题的意识。
情感态度与价值观努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆猜想勇于创新氛围；通过互动探究学习，养成倾听别人意见的良好品质。
二、教学重点、难点教学重点：1．了解最小二乘法和回归分析的思想；2．能利用给出的线性回归方程系数公式求回归直线教学难点：建立回归思想三、教学方法与手段多媒体辅助、启发式和探究式相结合教学四、教学过程复习引入观察下列三个散点图，哪些表示变量间具有相关性？两个变量的线性相关----若两个变量x和y的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的。
复习旧知，向学生初步渗透回归分析的思想：用确定的函数关系对不确定的相关关系进行预测、估计，从而引出课题。
创设情景，探究问题互动探究一：将收集到的全班同学的身高和右手一拃长的数据，输入电脑，画出散点图，观察图形，有什么规律。
1.怎样确定回归直线？分组讨论，分组表述。
方案1：经过点最多的直线方案2：将样本数据分成两组，分别求出两组的平均数，以这两点确定的直线方案3：使得分布在直线两侧的点的个数基本相同方案4：选择两点确定几条直线方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将平均数当成是回归方程的斜率和截距2.以上方案哪个比较可靠？从整体上看，各点与此直线的距离最小互动探究二：1.你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小吗？”（引导学生将距离转化为偏差∧-yyi处理）)()()(2211∧∧∧-++-+-=nnyyyyyyQ =∑--=niiiabxy1)(2.偏差有正负，以下三种处理方案哪种比较好呢？方案一：∑--=niiiabxy1最小方案二：21)(∑--=niiiabxy最小因为教学中要体现以学生发展为本的理念，充分给学生思考的时间、交流的机会以及展示思维过程的舞台，分小组讨论就能使学生之间的思维产生碰撞。
数学教案《两个变量的线性相关》
数学教案《两个变量的线性相关》学习目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。
明白最小二乘法的思想，能依照给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程。
学习过程：1．回忆上节课的案例分析给出如下概念:（1）回来直线方程（2）回来系数2．最小二乘法3．直线回来方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回来方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回来方程进行推测；把预报因子（即自变量x）代入回来方程对预报量（即因变量Y）进行估量，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回来方程进行统计操纵规定Y值的变化，通过操纵x的范畴来实现统计操纵的目标。
如差不多得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回来方程，即可通过操纵汽车流量来操纵空气中NO2的浓度。
4．应用直线回来的注意事项（1）做回来分析要有实际意义；（2）回来分析前,最好先作出散点图；（3）回来直线不要外延。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
5．实例分析：某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（）与公司所获得利润（）的统计资料如下表：科研费用支出（）与利润（）统计表事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
高中数学新人教版B版精品教案《2.3.2 两个变量的线性相关》
课题：两个变量的线性相关（第一课时）教学内容分析：在此前的学习中，学生已经学习过相关关系的概念，能够根据散点图判断是否相关，是正相关还是负相关。
学情分析：学生已经学习过了方差的概念，所以有助于理解最小二乘法的思想。
对复杂的公式，大量的运算可能心存畏惧。
教学目标：经历用不同的方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法。
根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
教学重点：经历用不同的方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法。
根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程教学难点：最小二乘法的思想。
教学过程1.复习引入：问题1：通过什么判断两个变量是相关的。
问题2：观察屏幕上的散点图，判断是否相关，正相关还是负相关。
今天将学习两个变量相关的一种特殊相关──线性相关。
2．画出散点图，引出回归直线的概念下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：（1）将上表中的数据制成散点图（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗从图中可以看出温度与杯数具有相关关系，当温度由小到大变化时，杯数的值由大到小所以温度与杯数成负相关。
图中的数据大致分布在一条直线附近，因此温度与杯数成线性相关关系。
分析：这些直线的点近似的分布在一条直线的附近，根据不同的标准，可以画出不同的直线。
而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映与Y 之间的关系。
使这条直线“最贴近”已知的数据点。
记此直线方程是上式叫做Y 对于的回归直线方程， b 叫做回归系数。
3引出回归直线方程的求法即最小二乘法。
给出离差的概念，学生自主讨论什么样的直线是最佳直线即n 个偏差的平方和 最小叫做“最小二乘法”。
，b 的公式： 说明：回归系数的意义。
（1）b>0表示两个变量正相关，b bˆ2 1.5yx =-y y y y 0，6课堂小结：1了解最小二乘法原理（2）能根据给出的回归方程系数公式建立线性回归方程ˆy bx a =+21()ni i i Q y bx a ==--∑1122211()()ˆ,()ˆ.nni i i i i i n n i ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑11,n i i x x n ==∑11nii y y n ==∑7作业：教材79页练习A组，B组8板书设计：课题1.线性回归方程2.最小二乘法3.（1）公式2回归系数的意义4.例题。
“两个变量的线性相关”教学设计
Ｙ ， ｇ 。 擎 ｊ 薹 鼙 ． 会Ｑ ＿ 。
的思 想 ．
何 问题代数化为 由回归方程计算 出来的值 与实际值存
在 偏 差 ，将 比较 各 点 偏 差 的绝 对 值 之 和这 个 代 数 问题 ５ ． 应 用 现代 教育 技术 手段 本 节 课 内容 涉及 大量 的 图形 绘 制 与 复 杂 的数 据 运
学 生学情 分析
本 节 课 纯粹 知识 层 面 的 内容 并 不 多 ，但 涉 及 许 多 几 何化 为样 本 点与 直线 问 的斜线 段 的长度 和 最小 等． 重 要 且 新 颖 的数 学 思 想 方 法 ，有 些 思 想 方 法 与 学 生 已 有 的认 知 基 础 偏 离 较 远 ．例 如 ，学 生 已 经 习 惯 了一 个
收 稿 日期 ：２ ０ ｌ ５ —０ ３ —１ ５
（ １ ） 了解 （ 线性） 相关关 系 、回归直线 、回归方
（ ２ ） 认 识最 小二 乘法 的思 想 ；
就 是对 “ 从 整 体上 看 ，直线 最 接 近样 本 点 ”进 行 精 准 程 等基 本概念 ；
（ ３ ） 能熟练操作图形计算器进行绘 图 ，计算 回归
教 学 目标 设 置
１ ． 课程第二课时 ，在
学生通过对统计知识 的学习 ，掌握一种认识 客观
此前 的学 习 中 ，学生 已经 能够 理解 相关 关 系这 一概 念 ， 世界 的重要思维模式 （ 随机 思想及用样本估计总体的
能通 过 绘 制散 点 图对 其 进行 直 观及 定性 的描述 ． 例如 ， 思想等） 和解 决 问题 的方法 ．
理 解 核 心 概 念 不 是 一 件 容 易 的事 情 ．此外 ，学 生 对 大 于达 成 教 学 目标 ．图形 计 算 器 在 本 节 课 的应 用 包 括 如
两个变量的线性相关说课稿 教案 教学设计
两个变量的线性相关一、教学目标重点: 了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程．难点：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想．知识点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.能力点：探究体会数形结合的方法及最小二乘法的数学思想.教育点：学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的方式完成一个完整的数学学习过程. 自主探究点：自学例2.考试点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.易错易混点：如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高.拓展点：事件、样本数据、回归直线方程三者关系．二、复习引入【设计意图】为本节课学生能够更好的建构新的知识做好充分的准备，对旧的知识进行简要的提问复习，为能够顺利的完成本节课的内容提供必要的基础．【设计说明】学生动手操作得出散点图回答．【设计意图】通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛．【设计说明】设计该问题，引导学生自己发现问题，鼓励学生大胆表达自己的看法，充分暴露思维过程．发现：图1很乱，两个变量没有相关关系；图2呈上升趋势，图中点的分布呈条状，所有点都落在某一直线的附近，这样由图2自然地引出线性相关、回归直线的概念，同时引入课题．引入：为此我们引入今天的课题-回归直线及其方程．【设计意图】循序渐进，符合学生的认知规律．三、探究新知(一)探索回归直线的概念1.回归直线的定义：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．【设计意图】培养自学能力和数学阅读能力．【设计说明】让学生阅读教材，通过阅读教材学习线性相关，回归直线，回归方程的概念，并分析概念中应注意的问题．注意：概念的前提是点的分布在一条直线附近． (二)探索回归直线的找法结合引例—年龄与体内脂肪含量相关性的散点图观察，思考以下问题．问题1.对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？【设计意图】让学生通过观察、分析，自己发现回归直线的条数只有一条，从而培养学生观察、分析问题的能力．问题2.回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？【设计意图】让学生分析两者的关系，教师引导学生发现两者整体上最接近，以进一步培养学生观察、分析问题的能力．问题3.那么在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？【设计意图】让学生动手操作画回归直线，建立回归思想，以分解难点、突破难点，培养学生的动手操作能力．问题4.如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性．那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢？对于求回归直线方程，你有哪些想法？ 【设计意图】充分暴露学生的思维过程, 通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛,培养学生动脑思考问题的能力． 【设计说明】结合教材，学生会出现以下方案．方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测出此时的斜率和截距，就是回归方程了．如图脂肪含量脂肪含量方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同． 如图方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距，得回归方程．如图问题5.以上这些方法是不是真的可行？为什么？【设计意图】结合以上三个方案让学生画图，然后教师引导学生讨论、交流方案的可行性，体会回归直线的特征．【设计说明】教师先展示学生画图情况，学生说明理由；然后教师总结回归直线的特征：整体上看散点图中的点到此直线的距离最小．问题6.如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小”？ 【设计意图】这样设疑符合学生的认知规律，增强了学生的求知欲． 【设计说明】教师引导学生进行下面的分析： 脂肪含量 y引导学生以等效性和简化计算为目标，将点到直线的距离转化为自变量x 取值一定时，纵坐标的偏差．这样自然引出下面求回归方程的方法．问题7.结合以上分析，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？【设计意图】几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．【设计说明】假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，，(,)n n x y ．当自变量x 取i x ),,2,1(n i =时，可以得到ˆi ybx a =+),,2,1(n i =，它与实际收集到的i y 之间的偏差（如图）是ˆ()i i i i y yy bx a -=-+),,2,1(n i =．问题8.教师启发学生比较下列三个模型，哪个模型比较可行？ 模型一：1ˆ()nii i yy =-∑最小 模型二：1ˆ||n ii i yy=-∑最小 模型三：21ˆ()nii i yy=-∑最小【设计意图】先向学生说明1ni =∑的意义，体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程的过程，提高学生分析问题的能力；培养学生的动手操作能力．【设计说明】教师指出：模型一中ˆ()i i y y-可能有正有负，互相抵消怎么办？学生一般会想到加绝对值． 模型二中ˆ||i i y y -去绝对值非常困难（可以提问，让学生思考），是否有其它的方法，同时可以类比方差的处理方法，引导学生思考．师生一起分析后，得出用模型三来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便． (三) 利用最小二乘法推导回归系数公式问题9.通过对上述问题的分析，我们知道可以用Q =2211ˆ()()nnii i i i i yyy bx a ==-=--∑∑最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标(,)i i x y 确定时，a ，b 等于多少，Q 能取到最小值呢？【设计意图】体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n 个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想． 【设计说明】我们采用n 个偏差的平方和Q =2221122()()()n n y bx a y bx a y bx a --+--++--表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q =21()nii i ybx a =--∑．通过化简，得到的其实是关于a 、b 的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a 、b ，使Q 取到最小值． 教师指出：(1)在此基础上，视Q 为b 的二次函数时，根据有关数学原理分析，可求出使Q 为最小值时的b 的值的线性回归方程系数公式：1122211()(),().nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b xx xnxa y bx ====⎛--- ==-- =-⎝∑∑∑∑这样，回归方程的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+．(2)),(y x 称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得a y bx =-． 最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．四、理解新知例1.进一步探究引例—年龄与体内脂肪含量【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性． 【设计说明】可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：i i x y 、n 、x 、y 、1n i ii x y =∑、21nii x=∑六个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．而后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成，得出回归直线方程为：0.6541 4.5659y x =-．(2)利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程．【设计意图】让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握利用计算器求回归直线的操作方法．得出回归直线方程为：0.57650.4478y x =-．【设计说明】学生独立运用计算器求回归直线方程，对于不会操作的学生，教师给予必要的指导．继续思考下列问题：问题1.请同学们从表格中选取年龄x 的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系．如：x =50时，得出估计值为28.3772，而实际值为28.2，有偏差为什么？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值，将x 值带入后肯定有误差．问题2.试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量，并说明结果的含义． 【设计意图】进一步理解线性回归方程的真正意义与作用．【设计说明】学生代入计算得20.883．教师进一步提问：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.883%？学生思考回答：不能，只能说他体内的脂肪含量在20.90%附近的可能性比较大．问题3.同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？【设计意图】明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念．【设计说明】教师说明回归直线方程由数据唯一决定，提供的数据不同，回归直线方程当然不同，同时回归直线方程又能反映数据的本质． 理解回归系数公式思考1.线性回归方程y bx a =+为何不记为y bx a =+？你能说明对于确定的x ，根据y bx a =+计算出的y 的意义吗？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值． 【设计说明】学生思考，教师帮助学生理解线性回归方程的意义与作用．思考2.这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,b a 的值，你会按怎样的顺序求呢？【设计意图】公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．【设计说明】由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,b a 时，必须要有条理，先求什么，再求什么．比如，我们可以按照i i x y 、n 、x 、y 、1ni ii x y=∑、21nii x=∑顺序来求，再代入公式．五、运用新知例2.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一1、画出散点图；23、求回归方程；4、如果某天的气温是2（2）2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。
《两个变量的线性相关》教学设计
《两个变量的线性相关》教学设计教学目标：1、了解最小二乘法的思想，掌握回归直线方程的求解方法2、理解回归直线方程的意义3、体会统计思想与确定性思维的差异教学重难点：利用最小二乘法求回归系数教学过程：・线性回归分析：・概念解读：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析叫线性回归分析.・回归直线方程：・:♦概念解读：对于具有线性相关关系的两个变量X与y ,我们可以拟合许多条直线来表达它们之间的相关关系，而这许多直线中，最“贴近“〃个观测点(Xj )，i=1 ,2,3, ,n的数据的直线方程为g = a + bx.这里在y的上方加记号“人”，是为了区分旷的实际值y,表示当x 取值％(i=l,2,3,,n)时,g相应的观察值为Yi ,而直线上对应于A的纵坐标是a =a + bx「y = a + bx叫做y对x的回归直线方程，b叫做回归系数.要确定回归直线方程，只要确定a 与回归系数b.思想方法：。
把相关关系(不确定关系)转化为函数关系(确定关系)；。
根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线性关系.比方可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线，也可以让画出的直线上方的和下方的点数目相等…….我们希望找到一条直线，”从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近的数据点，最能代表变量x和y之间的关系.记此直线方程为：y = a + bx .・回归直线方程推导：由线性相关的两变量的散点图可确定多条直线，每一组差(i = 1,2,・・,〃)都刻画了实际观察值,与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度.设所求的直线方程为y = a + bx ,其中a、b是待定系数.那么力=如+〃" = 1,2,….于是得到各个偏差y -z = 一一(如+4),(i = 1,2,•••,//).显见，偏差其-戈.的符号有正有负，假设将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和Q =(Ji —bx x— a)2 + (y2~bx2— a)2 + +-bx” - a)2作为总离差,并使之到达最小.记Q二次(y-如-〃尸(£是求和符号). 1=1/=1这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方, 所以这种使离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法.上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，应用配方法，可求出使^(七一x)(» —y) ZZX 一〃Q为最小值时的a、b的值.即《^x^-nx其中叫的上方加“人”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值，b 也叫回归系数.A求出后，回归直线方程就建立起来了.・回归直线方程的求法：根据最小二乘法的思想和公式，通过计算就可以方便地求出回归方程.第一步先求又，下，胃,又.y ；第二步求七七V；〃Zz y 一〃 X)'第三步求Xw；第四步代入公式求A = w—/=,1=1第五步代入公式求4 = y-派.代入直线方程得：y = bx + a.♦概念解读：(1)利用回归直线方程可由一个变量的值预测或控制另一个变量的值.借助计算器，特别是含两组数据的统计，用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确结果；(2) "回归"和"相关”含义是不同的.如果两个变量中的一个变量是人为可以控制、非随机的，另一变量的变化是随机的且随控制变量的变化而变化，那么这两变量间的关系就称为回归关系；假设两个变量都是随机的，那么称它们之间的关系为相关关系，在本教材中，两者不加区别.(3)应在理解其各符号含义的情况下学会使用公式.例1求：(1)水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱; ⑵)，关于x的线性回归方程.例2在某种产品外表进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度），与腐蚀时间x之间对应的一组数据:小数点后3位数字）（3）试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少.课堂练习:课后作业:。
两个变量的线性相关教学设计
课题：两个变量的线性相关教学内容解析：《两个变量的线性相关》是普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A版）第三章2.3节的学习内容；本节课在学生学习了随机抽样的基本方法和如何用样本估计总体后，让学生经历一次统计案例研究的完整过程，从中学会线性回归的基本方法，体会统计思维和确定性思维的差异；为学习选修2-3第三章《统计案例》奠定基础。
教学目标：1. 学生通过经历“发现统计问题——收集数据——画散点图”的过程，明确现实生活中两个变量间存在的非确定性的相关关系，体会此类问题在现实生活中的重要性，会利用Excel软件画散点图，能根据散点图，对两个变量间的正相关或负相关做出直观的判断。
2. 学生通过经历“确定线性回归方程”的过程，学会用数量来描述现实关系，知道最小二乘法思想，会利用Excel软件求回归方程。
3.学生通过经历“做出统计推断”的过程，体会用样本估计总体的思想，体会统计思维与确定性思维的差异。
教学重点：学生经历完整的统计案例研究流程，学会线性回归的基本方法。
教学难点：回归思想的建立，对回归直线与观测数据的关系的理解，体会统计思维和确定性思维的差异。
学情分析：1.学生已基本适应了自主研修，合作探究的学习方式。
2.学生掌握了随机抽样的基本方法和如何用样本估计总体。
3.学生具备一定的电脑软件的应用能力。
教学策略分析：课前布置任务，充分发挥学生的主动性，积极性，激发学生的学习兴趣；课堂上引导学生独立思考，合作探究，动手实践；围绕统计案例研究的流程，步步推进，先放后收，教师参与学生交流，单独指导；最后由师生共同总结提升！教学用具：电子白板，学生电脑，教学过程：一、课前准备：1．将全班同学分成了四个组，每组4—5名学生。
2．组内每个学生确定自己感兴趣的研究问题，并提前收集数据。
三、板书设计：两个变量的线性相关发现统计问题——收集数据——画散点图——确定线性回归方程——做出统计推断。
两个变量的线性相关 优秀教案
《两个变量的线性相关》教学设计目录一.教学内容解析二、教学目标设置三、学生学情分析四、教学策略分析五、教学媒体支持六、教学过程设计1提出问题、大胆设计2数学建模、转化化归、深入研究、转化求解4感受成功、拓展推广5学以致用6课堂小结七、教学反思《两个变量的线性相关》教学设计1.教学内容解析《两个变量的线性相关》是高中教材人民教育出版社版必修三第二章的内容。
本节课主要探讨对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析，是回归分析的基础知识，体现了统计是以确定性数学为工具来研究不确定现象的数学。
其最小二乘法的思想是提高学生数学思维能力很好的素材。
同时为以后更好的研修选修2-第3三章《回归分析的基本思想及其初步应用》奠定基础。
2．教学目标设置知识与技能目标：（1）了解最小二乘法的思想及回归直线方程的推导过程；（2）通过实例加强对回归直线方程含义的理解。
过程与方法目标：（1）通过自主探究体会数形结合及最小二乘法的数学思想方法；（2）通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，培养学生的创造性思维。
情感态度与价值观目标：（1能）通过亲身试验和感受来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系。
（2）通过体验公式的生成过程，培养学生积极探索的学习习惯。
3．学生学情分析学生已经懂得通过散点图认识变量之间的相关关系，学生已经能解决单变量的统计问题，两个变量的回归分析将为学生翻开统计学崭新的一页。
4．教学策略分析数学源自于生活，也应用于生活。
为更好实施教学和激发学生学习的热情和积极性，本节课从生活实际问题引入，寓教于乐。
在教法上，采用以教师引导为主，学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，灵活运用多媒体展示，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我以建构主义为主，强调数学知识的建构过程。
5．教学媒体支持由于本节课涉及到大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，本节课主要采用多媒体教学手段，通过学生动手操作，教师动画演示，师生合作交流来突破难点。
两个变量的线性相关教学设计
《两个变量的线性相关》教学设计一、教学内容解析现代社会是信息化的社会，人们面临形形色色的问题，把问题用数量化的形式表示，是利用数学工具解决问题的基础，对于数量化表示的问题，需要收集数据、分析数据、解答问题.统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析结果作出决策的科学，它可以为人们制订决策提供依据.对于现实中的一些随机现象，通过收集大量数据，再通过一定的统计分析来发现随机现象中的规律性，这就是统计这门学科的主要任务.简而言之，一次完整的统计活动包括“提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、做出决策、进行交流、评价与改进”等必要环节.本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》（必修3）第二章《统计》第3节，“变量间的相关关系”主要是探讨利用回归直线方程对生活中的实际问题进行分析与预测，使学生理解变量间的相关关系，并掌握应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的方法，同时为选修2-3回归分析的应用奠定基础.本节内容共分两个课时，本节课为第二课时.第一课时介绍变量间的相关关系，从具体实例中，引导学生理解并区分确定的函数关系与不确定的相关关系，会根据数据列表做散点图并直观认识正相关、负相关，能利用统计抽样的方法认识生活中变量间的相关关系.第二课时通过具体的统计案例，让学生完整经历“发现统计问题——收集数据——画散点图——确定线性回归——做出统计推断”的过程.选定学生身边的实际问题，课前布置探究任务：探究银川一中在校学生的体重y和身高x之间的关系.课堂中通过小组探究结果的展示，引领学生归纳收集数据、分析数据的方法，感受用样本代表总体的科学性和合理性.在得到散点图之后，抛出问题“预测本校身高为188cm的同学的体重”，从而将问题从定性讨论推进到定量探究，引发学生思考并寻找某种确定的函数关系来近似描述体重和身高之间的相关关系，并通过该函数计算出来的函数值来完成预测.学生自然由形联系到一次函数模型，但是学生在明确“回归直线应该最能代表样本数据，应该满足从整体上看，使得散点所代表的真实数据和通过直线方程计算所得出的预报数据的偏差最小”的原则之后，对回归直线的探究仍将停留在形的层面，缺少严谨的代数证明.此时引导学生发现，确定回归直线的关键，是寻找到适当的数学表达形式来刻画“从整体上看，散点所代表的真实数据和通过直线方程计算所得出的预报数据的偏差最小”.这一过程，体现了数形结合思想的重要性，数缺形时少直观，形少数时难入微.顺理成章介绍由最小二乘法求得线性回归直线方程之后，通过计算身高为175cm同学的体重的预报值和真实值的对比，让学生对回归方程的预报作用形成正确理解，并解决上课时抛出的预测问题.至此，学生已经经历了完整的统计案例的探究过程，引导学生归纳回归分析的流程已经水到渠成.这一课时的内容是一个比较完整的建立线性回归方程解决实际问题的例子，在让学生经历运用回归直线方程分析、预测实际问题的全过程，培养学生从现实生活的随机现象中发现问题，提出问题并解决问题的统计思想和用数学解决实际问题的能力，是一节应用类型的问题解决课.基于以上分析，本节课的教学重点是：培养学生的统计思想并引导学生掌握运用统计知识解决实际问题的方法.即：针对实际问题中变量的相关关系，合理收集数据，科学分析数据之后，画出散点图，建立合适的线性回归方程，利用回归方程做出统计推断.二、教学目标设置统计学是一门“实践性”和“过程性”都很强的学科，任何一个单独的统计概念、公式、统计方法及其所蕴涵的统计思想都与解决特定实际问题的过程相关联.因此应在统计知识的教学过程中，重视渗透和明确统计思想.统计思想既深刻又有其独特性，正如统计学家陈希孺先生所说“统计学不止是一种方法或技术，还含有世界观的成分——它是看待世界上万事万物的一种方法”.所以，统计教学最重要的的一个目标就是培养学生的“统计思想”.具体来讲，可分为以下几个方面：1、让学生自己经历“发现统计问题——收集数据——画散点图——确定线性回归——做出统计推断”的过程，并在过程中掌握用统计方法解决实际问题；2、课堂教学中充分发挥电脑、计算器等工具的作用，让学生学会使用Excel软件分析数据并作出散点图和得到线性回归直线方程；3、引导学生了解最小二乘法和回归分析的思想，了解回归直线方程在做统计推断时的局限性，体会用样本估计总体的思想，体会统计思维与确定性思维的差异.三、学生学情分析在本章的前两节中，学生已经学习了用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的方法收集数据，以及用样本的频率分布和数字特征来估计总体的方法分析数据，在面对随机现象的研究时，已经初步具备了统计思想并掌握了一定的统计方法，但是缺少运用统计知识完整的解决实际问题的实践.在本小节内容的第一课时中，学生已经掌握了散点图的画法，并能在散点图中直观分析两个变量的正负相关关系，但是对变量之间的相关关系的认识，仅仅停留在定性讨论的阶段，如何进行定量刻画，还需要教师引领.线性回归直线方程推导中所用的最小二乘法，涉及大量学生并不熟悉的符号计算，不宜深究，课堂中为保证应用主题鲜明，此处将以讲解方法和原理为主，数学方法推导公式的过程留待学生课后探究完成.在分析数据的过程中，若是采用传统课堂的学生手算的形式，将使得学生整节课的思维主线和方法主线被繁琐的计算割裂，不利于培养学生的统计思想，也不符合统计学科的实际应用，所以本节课打破传统，鼓励学生利用计算机、计算器分析数据.得出线性回归直线方程后，学生对线性回归方程的预报值的理解可能存在误区，如何正确理解预报值？回归方程的预报作用有哪些局限性？对于这些问题，都需要精心教师设置问题串，引发学生思考并在理解的基础上，完成一次完整的统计活动.基于以上分析，本节课的教学难点是：在线性回归直线方程分析和解决实际问题的过程中，学生要面临繁冗的思维转折、公式推演和计算过程，如何巧妙避重就轻保证思维的连贯性.四、教学策略分析学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念.传统教学过程中，重点放在有关数据的计算上，学生并没有经历“发现统计问题——收集数据——画散点图——确定线性回归——做出统计推断”这一用回归分析方法解决实际问题的完整过程，难以形成正确的统计观念.观念的建立需要人们亲身的经历.要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中去：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进.在参与活动中学会统计方法，渗透统计思想.本节课的内容“变量间的相关关系”与生活紧密相连，清晰的展现出其应用价值.基于此，本堂课关于教学策略的设计，我以学生身边的实际问题为探究方向，以小组合作探究以手段、以问题导引为指向，以应用感悟为目标，以信息技术为辅助，组织教学，重在培养学生运用统计知识解决实际问题的能力.在小组合作交流的过程中，充分关注不同层次的学生的成长.为关注在逻辑推导方面有困难学生的学习热情，我充分调动这部分学生在数据收集、归纳整理、以及汇报展示等方面的优点，并让他们与数据分析与处理能力较强的同学构成学习小组，优势互补，协作探究.统计知识的教学不应只局限于数据的处理、繁杂的计算，其应用价值只有让学生参与从问题提出、调查研究、数据收集、分析处理、预测判断、评价反馈的全过程，学生才能真切地感受统计源于生活、服务于生活的价值.五、教学过程设计（一）展示及点评，分析收集数据和整理数据.师：这节课我们一起探究：两个变量的线性相关.通过前面的学习，我们已经了解到：变量之间，不止存在着确定的函数关系，比如：匀速直线运动中，路程S和时间t之间的关系.还存在着不确定的相关关系，比如：体重y和身高x之间的关系.我们在课前留下了这样的一个探究任务，让大家探究：银川一中在校学生的体重y和身高x之间的关系.利用10月22号全校体检的机会，班级同学以小组的形式，进行了具体的分组探究，以下是探究过程的回顾.（播放视频）探究过程中，同学们一共收集和整理了一千多个数据，在所获数据的基础上，绘制出了散点图，并形成了初步的探究结果.下面，我们先请四个小组的同学上来展示，各自的探究结果.师生活动：第一小组的探究总结：小样本容量，不分男女；得出的探究结果：数据列表中，看出有正相关的规律，但在散点图中，这一规律并不明显.自己思考，原因是：由于样本容量小，不足以反映变量之间的关系.教师点评：师：非常好！这组同学是通过收集数据，画散点图来探究体重和身高的关系的.从数据列表中能看出体重有随身高增大而增大的趋势，因此得到二者正相关的结论，但这一规律在散点图中却不明显，究其原因，他们认为是由于样本容量太小.那么，样本容量增大后，这一规律是否会更明显呢？下面，有请第二组同学.师生活动：第二小组的探究总结：大样本容量，不分男女；得出的探究结果：体重和身高呈正相关关系.但存在着特殊点，反映出有这样的现象：身高增加时，体重在减小.自己思考，原因是：因为性别差异，生活习惯差异.教师点评：师：非常好！通过对比，我们能够发现，当样本容量增大时，显然散点图中，二者呈正相关这一规律更明显了.这说明，在收集数据时，需要关注样本容量.一般认为，样本容量越大，越能反映变量之间的关系.但由于大样本容量的取样，会为实际操作带来不便，因此，应该选择适当容量的样本，这样既确保样本能较好的代表总体，又不会造成人力、物资的浪费.那么，为研究银川一中在校学生的体重和身高的关系，从3000人的总体中应该选取多少人的数据作为样本较为科学合理呢？根据统计学所给出的标准，选取400人的数据作为样本是较为科学合理的.下面，有请第三组同学.师生活动：第三小组的探究总结：小样本容量，区分男女；得出的探究结果：男生、女生的体重和身高都呈正相关关系，但又有明显区别.自己思考，分开探究更科学.教师点评：师：非常好！这组同学的探究，为大家提供了一个崭新的视角：区分男生女生来进行探究，才更科学.因为在探究过程中，他们发现男生、女生两者的体重和身高之间的规律存在明显不同.就这一探究结果，我们继续展开讨论.从该组同学的探究中，我们知道，男生、女生、所有在校学生这三个群体的体重和身高之间的规律会不一样.那么，我们就应该针对具体要探究的问题来收集数据和分析数据.而从以上三组同学的收集数据和分析数据的方式来看，有如下三种，一种是收集和分析在校男生的数据，一种是收集和分析在校女生的数据，一种是收集和分析在校学生的数据，（即不分性别）.请问：如果我们要探究的是“银川一中在校男生的体重和身高之间的关系”，那么需要收集和分析怎样的数据？预设回答：如果我们要探究的是“银川一中在校男生的体重和身高之间的关系”，那么应该只收集和分析男生的数据就可以.请问：如果我们要探究的是“银川一中在校女生的体重和身高之间的关系”，那么需要收集和分析怎样的数据？预设回答：如果我们要探究的是“银川一中在校女生的体重和身高之间的关系”，那么应该只收集和分析女生的数据就可以.请问：如果我们要探究的是“银川一中在校学生的体重和身高之间的关系”，那么需要收集和分析怎样的数据？预设回答：如果我们要探究的是“银川一中在校学生的体重和身高之间的关系”，那么应该收集和分析在校学生的数据，而不区分性别.同时，前面同学的探究中还提到：散点图中有部分孤立点，是远离散点聚集区域的，这类孤立点实际上就是数据列表中的极端数据，那么，该如何合理处理这类极端数据呢？带着这样的问题，下面，有请第四组同学.师生活动：第四小组的探究总结：大样本容量，区分男女，处理数据时，用身高和同一身高值下的体重的平均值得到新的数据列表，并依此做出散点图，得出的探究结果为：男生、女生的体重和身高都成正相关关系，这样处理数据能消除极端数据对整组数据的影响，是科学合理的.教师点评：师：非常好！这组同学的探究又给了我们新的启发，他们在收集完数据后，先处理了数据，“用身高和同一身高值下的体重的平均值得到新的数据列表，”这么处理数据的原因是：为了消除极端数据对整体数据的影响.我们知道，收集样本数据时，由于种种原因，常遇到一些差异巨大的数据，比如以下数据：同为166cm，52公斤，92公斤；同为168cm，50公斤，81公斤；同为171cm，60公斤，76公斤.所以，在处理样本数据时，为了尽量尊重客观现实，消除极端数据对整体数据的影响，取同一身高值所对应的体重的平均值，来构成新的数据，是合理的.再次感谢以上各组同学的展示.那么，经过以上展示、分析，我们在探究“银川一中在校学生的体重和身高之间的关系”时，应该怎样选取样本呢？第一、样本容量为？预设学生回答：400.师：第二、收集数据时该用哪种随机抽样方法，才能在综合考虑不同性别、不同年级的同学的情况下，使得样本更具代表性呢？预设学生回答：依据性别和年级分别进行分层抽样.师：非常好，现在，我们已经明确了，为探究：“银川一中在校学生的体重和身高之间的关系”，可以在全校三个年级中，分年级、分性别以分层抽样的方法，随机抽取出400个数据构成样本，再由数据列表中，身高值和同一身高值下的体重的平均值构成新的数据列表，以此画出散点图，以便进一步探究.课堂预设：时间：12分.第一阶段，展示及点评，分析收集数据和整理数据.设计意图：在传统理念中，对于“统计案例”中的收集数据和处理数据的教学，往往只停留在让学生动手操作层面.即明确告知学生应该收集哪些数据来构成样本，却没有让学生经历“为什么要这么收集数据”、“到底应该收集怎样的数据作为样本才科学合理”的思考过程.典型的，只授人以鱼，却不授人以渔.为了让学生真正体会统计思想，本节课，通过小组展示，一步一步引发学生对收集数据和处理数据的科学性和合理性的思考，在完整经历了一个统计案例的收集数据和处理数据的过程之后，学生才能逐步归纳并掌握如何收集数据和处理数据，真正体会到用样本估计总体的思想，真正理解统计思想的科学性. （二）抛出问题，引出概念.师：这就是我依据以上方法，收集数据并处理数据所得的数据列表，在此基础上，可以做出散点图.（现场演示散点图的生成）请根据散点图，预测本校身高为188cm的同学的体重.我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多时候，我们需要的是定量的刻画.我们从之前的探究中知道，在身高确定时，学生的体重并不是惟一确定的.我们感兴趣的是，在知道某位在校学生的身高后，能否知道他的体重大约是多少？因此，若能找到一个函数模型（比如一次函数），用这个函数模型计算出来的函数值，作为某学生的体重的近似值，并且这个近似值还具有一定的精确度，那么我们就能根据学生的身高对他的体重作出预测.观察散点图，请问，散点的分布大致位于哪一类函数的图象附近？预设学生回答：一次函数.师：一次函数.非常好.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量具有线性相关关系.这条直线叫做回归直线.回归直线的方程简称回归方程.课堂预设：时间：17分.第二阶段，抛出问题，引出概念.设计意图：抛出问题，以问题驱动学生思考：为了解决预测问题，需要得到一个体重和身高的关系式.而函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种不确定的关系，在寻求不确定的相关关系的某种表达式时，引导学生从形直观感知，用函数关系来近似描述相关关系的合理性.既体现了数形结合思想，也体现了化归思想.同时，在相关关系基础之上生成“线性相关关系”，“回归直线”、“回归方程”等概念，思路自然.由于统计学科需要处理大量数据，所以在课堂中演示使用计算机等工具，让学生体会合理使用工具带来的便利.体现了新课标中：教师为主导，学生为主体的教育理念.（三）探究回归直线，求解回归方程.师：再回到问题：要预测本校身高为188cm的同学的体重，就先要确定回归直线，进而得到回归方程.那么，在散点图中，如何确定回归直线呢？（停顿）请同学们观察散点聚集区域.（停顿）显然，在这一区域附近，存在无数条直线.我们要确定的回归直线从整体上看，应该最能代表样本数据.（停顿）也就是要使得直线所代表的函数关系，与散点所包涵的相关关系，两者之间拟合程度最好.即：从整体上看，散点坐标所代表的真实数据，和通过直线方程计算所得出的预报数据，之间的偏差最小.下面，请同学们思考，并给出确定回归直线的方案.预设学生回答：生：均分法：选取两个点做直线，使直线两侧的点的个数基本相同.最多点法：选取过散点最多的直线.测量法：先画一条直线，测量出各点与它的距离，然后我移动这条直线，到达某一位置的时候，能够使得这个距离之和最小.师：依次点评.刚才几位同学给出的方案，都是依据观察图形得到的直观感知，能否确保“偏差最小”，还缺乏代数的严谨证明.下面，我们一起探究，如何用数学表达式来刻画偏差.先假设有相关关系的两个变量的一组数据如下：),(),,(11n n y x y x ⋯⋯，再令回归方程为：a x b yˆˆˆ+=. 设第一个点的坐标为（x 1,y 1），直线上横坐标相同的点的坐标为（停顿）（x 1,1ˆy ），则偏差的数学表达形式为：（停顿）11ˆyy -. 则第二个点的坐标为（x 2,y 2），直线上横坐标相同的点的坐标为（停顿）（x 2,2ˆy ），则偏差的数学表达形式为：（停顿）22ˆyy -. 则第n 个点的坐标为（x n ,y n ），直线上横坐标相同的点的坐标为（停顿）（x n ,n y ˆ），则偏差的数学表达形式为：（停顿）n n yy ˆ-. 则散点图中，n 个点所代表的真实数据，与通过直线方程计算所得出的预报数据，之间的偏差和可以表示为：（停顿）)ˆ(11yy -+)ˆ(22y y -+……+)ˆ(n n y y -由于各式计算结果可正可负，为了避免相互抵消，用11ˆyy -+22ˆy y -+……+n n yy ˆ-来代替. 我们可以简记为：∑=-ni i i yy 1ˆ.即用点到直线的纵向距离，来刻画散点所代表的真实数据，与通过直线方程计算所得出的预报数据，之间的偏差.由于多个绝对值求最值，计算不方便，在实际应用中，我们用下面的等效关系式来替代：21)ˆ(∑--n i i i y y =21)ˆˆ(∑---n i ii a x b y 令Q=21)ˆˆ(∑---n i ii a x b y ……（1）. 问题归结为：当b aˆˆ、取什么值时Q 最小.经过数学上的推导， b a ˆˆ、的值由下列公式给出：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ˆˆ)())((ˆ1221121.这种通过求（1）式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.师：再次观察，b aˆˆ、的表达形式，请问：回归方程必过的点是哪个点？ 生：),(y x . 师：对照函数表达式：a x b yˆˆˆ+=，变量部分的x 和y ˆ分别由y x ,替代，所对应点的坐标为),(y x ，所以直线必过该点.我们称点),(y x 为数据的样本中心点.课堂预设：时间：30分.第三阶段，探究回归直线，求解回归方程.设计意图：华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”.由此可见数形结合思想在数学中的重要地位，它是数学思想方法的核心，数形结合思想贯穿于高中数学的始终，特别是在新课程改革的背景下，更加强调对基本数学思想的掌握和考查.本环节中，当学生为了完成预测，尝试寻找回归直线时，却发现遇到了新的问题：只从形的角度，从众多直线中无法确定出最合理的那条回归直线.通过鼓励学生自主思考探究，不断暴露不同思维方式中的矛盾冲突，让学生自己在矛盾中体会，形只能得到直观的认知，但是不够严谨，只有用代数表达式刻画出的结论，才具说服力.本课的重点是引领学生经历完整的 “发现统计问题——收集数据——画散点图——得到回归方程——做出统计推断” 的统计案例，是一节问题解决课和思想体会课.回归方程的探究过程，教学上的重点在于引导学生体会：选择合适的数学表达式，来研究问题将为问题的研究带来便利.因此教学中有意弱化了最后一步a bˆˆ、的表达形式的推导的解释. （四）回归方程应用，解决问题.师：下面，借助计算机Excel 软件，求解身高和体重这两个变量的回归直线和回归方程：.利用这个回归方程，请大家计算：x=175cm时，y的预报值.预设学生活动：使用计算器计算.（计算时间：1分钟）师：……同学，你的答案是？预设学生回答：67.464kg.师：但数据列表中真实值为65公斤，出现误差，说明预测所得数值为近似值. 回归方程只能近似描述身高和体重之间的相关关系.通过上式计算，可以预测：学校身高为175cm的同学的体重在67.464kg附近的可能性比较大.师：请同学们利用回归方程来预测：学校身高为188cm的同学的体重，（板书y = 0.8325x - 78.223）.预设学生回答：学校身高为188cm的同学的体重在78.287kg附近的可能性比较大.师：非常好.课堂预设：时间：34分.第四阶段，回归方程应用，解决问题.设计意图：本环节的重点，在于引导学生用回归方程完成统计推断，并通过对比预报值和真实值，体会统计推断中得到的只是近似值.并由此引出学生对统计思维和确定性思维的对比.考虑到回归方程中公式的复杂性，设计了一道公式应用题帮助学生熟练使用计算器进行计算.并将随机现象、样本数据、回归直线方程之间的关系已逻辑图形给出，进一步深化学生的统计思维，提高应用数学知识解决问题的能力.统计学是一门“实践性”和“过程性”都很强的学科，任何一个单独的统计概念、公式、统计方法及其所蕴涵的统计思想都与解决特定实际问题的过程相关联．正如统计学家陈希孺先生所说“统计学不止是一种方法或技术，还含。
2.3.2两个变量的线性相关 精品课教案
§2.3.2两个变量的线性相关一、教学内容解析本节课为两个变量的线性相关，是人教A版必修三第二章第三节的内容，通过用线性回归分析，刻画两个变量之间的相关关系，让学生经历一个相对完整的统计过程，感受统计与实际生活的联系以及在解决实际问题中的重要作用。
两变量的线性回归内容，既是前面单变量数据样本估计总体的拓展，也是统计学科回归分析的典型，为选修2-3回归分析的学习提供思路与模型，起到承上启下的教学作用。
对于具有线性相关关系的两个变量，应鼓励学生用多种方法探索确定线性回归直线方程，在此基础上，再引导学生了解最小二乘法思想，根据给出的公式求出线性回归直线方程。
在学生“经历收集数据——画散点图——用不同估算方法描述两个变量线性相关关系”的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好地理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。
考虑到本节课教学侧重点和新课标的要求，并充分注意到已有的相关教与学的的实践经验与教训，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要合理归纳回归方程求解步骤，让学生获得具体的程序化解题，尽量避免求解过程出错。
同时，也鼓励学生尝试计算器，和Excel软件功能,简化繁琐的系数求解过程,利用现代化工具解决统计问题。
二、学生学情分析经过调查，多数学生虽然具备初步的统计基础知识，但是良好的统计观念普遍尚未形成，统计经验比较缺乏，另外，学生的计算能力也比较欠缺。
知识发展的要求和学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到期的最大矛盾。
教学中，要防止两种倾向：一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程;二是过多纠缠于数学刻画过程,甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行证明说理.这两种倾向都脱离了学生的实际,前者忽略了“最小二乘法思想”,迷失了本节课的教学目标;后者人为拔高教材的要求,背离了本节课的教学要求.三、教学目标与重难点知识与技能目标能根据散点图判断两变量的线性相关，了解最小二乘法思想，掌握回归方程系数公式求回归方程，理解回归分析思想；过程与方法目标经历一个相对完整的统计推断过程，了解“最小二乘法”思想建立回归方程，学生学科素养和能力得到到发展，自主探究，合作探究等习惯得到培养；结合具体案例，经历数据收集整理，观察分析，运算操作，应用结论预测等完整步骤，培养了学生应用统计方法解决实际问题的能力与意识。
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《两个变量的线性相关》教案
教学目标
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
教学重点
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
教学过程
1．回顾上节课的案例分析给出如下概念: （1）回归直线方程 （2）回归系数 2．最小二乘法 3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量X ）代入回归方程对预报量（即因变量Y ）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间.
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制X 的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO 2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO 2的浓度.
4．应用直线回归的注意事项 （1）做回归分析要有实际意义； （2）回归分析前,最好先作出散点图； （3）回归直线不要外延. 5．实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（i X ）与公司所获得利润（i Y ）的统计资料如下表：
科研费用支出（i X ）与利润（i Y ）统计表 单位：万元 年份 科研费用支出 利润 1998 1999 2000
5 11 4
31 40 30
2001 2002 2003 5 3 2 34 25 20 合计
30
180
要求估计利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型.
解：设线性回归模型直线方程为：i
i X Y 10ˆˆˆββ+= 56
30
===∑n
X
X i
306
180
==
=∑n
Y
Y i
因为：
根据资料列表计算如下表： 年份
i X i Y i Y
X 2
i
X X X i -Y
Y i -2
)(X X i -)
)((Y Y X X i i --1998
1999
2000
2001
2002
2003
5 11 4 5 3 2 31
40 30 34
25
20
1
55
4
40
1
20
1
70
7
5
4
2
5
121
1
6
2
5
9 4
0 6 -1 0 -2 -3
1 10 0 4 -5 -1
0 36 1 0 4 9
0 60 0 0 10 30
合计
30
180 1
000
2
00
50
100
现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解参数10ββ、的估计值： 2
300600900120054006000302006180
3010006)(ˆ22
2
1==
--=
-⨯⨯-⨯=
--=∑∑∑∑∑i i i i i i X X n Y X Y X n β 20
5
230ˆˆ1
0=⨯-=-=X Y ββ
∑∑--=-=2
21
10)
(ˆˆˆX n X Y
X n Y X X Y i
i i βββ 20
5
230ˆˆ1
0=⨯-=-=X Y ββ
2
50100
5620030
5610002
==⨯-⨯⨯-=
∑∑---=
-=2
1
10)
())((ˆˆˆX X Y Y X X X Y i
i i
βββ 205230ˆˆ1
0=⨯-=-=X Y ββ
2
50100
==
所以：利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型直线方程为：i
i X Y 220ˆ+= 6、求直线回归方程，相关系数和作图,这些E X CEL 可以方便地做到.仍以上题的数据为例.于 E X CEL 表 中的空白区，选用"插入"菜单命令中的"图表"，选中 XY 散 点图类型，在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地 操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改.适当修饰 图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图 美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线，还有直线方程和相关系数.图中的每一个部份如坐标、标题、图例 等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程.
y = 2x + 20R 2
= 0.8264
51015202530354045
5
10
15
系列1
线性 (系列1)
图1散点图
鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选 " 添加趋势线" ，图中自动画上一条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选取显示公式和显示R 平方值，确定后即在图中显示回归方程和相关系数.
7、课堂练习：第83页，练习A ,练习B
小结
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.。