高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

竞赛中常用的重要不等式

【内容综述】

本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用

【要点讲解】

目录§1 柯西不等式

§2 排序不等式

§3 切比雪夫不等式

★ ★ ★

§1。柯西不等式

定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当时成立。

本不等式称为柯西不等式。

思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1

∴右-左=

当且仅当定值时，等式成立。

思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

证明2

当时等式成立；当时，注意到

=1

故

当且仅当

且

（两次放缩等式成立条件要一致）

即同号且常数，

亦即

思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数

。

由于恒非负，故其判别式

即有

等式当且仅当常数时成立。

若柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：

调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证设本题即是欲证：

本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法

(1)先证①

注意到欲证①,即需证

②

此即

由柯西不等式,易知②成立,从而①真

(11)再证, ③

欲证③,只需证

④

而④即要证

⑤

(注意)

由柯西不等式,知⑤成立.

(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.

说明：若再利用熟知的关系(★)

（其中，结合代换，

即

当且仅当时，等式成立，

说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链

其中等式成产条件都是．

§２．排序不等式

定理２设有两组实数，满足

则

(例序积和)

（乱序积和）

（须序积和）

其中是实数组一个排列，等式当且仅当或

时成立。

说明本不等式称排序不等式，俗称

例序积和乱序积和须序积和。

证法一．逐步调整法

首先注意到数组也是有限个数的集合，从而

也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

设注意下面的两个和

注意

，

S（★）

可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组由小到大的顺序排列，最小的和就对应

数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的只要适当调整，如★所示就可越调越大（小），其中ｉ＝１，２……，n。

证法＝设

由的一个k阶子集

则显见

等式当且仅当

式

即，时,成立

这就证明了乱序积和≤顺序积和

注意列，仿上面证明，得

这里含义同上，于是有

又证明了例序积和≤乱序积和

综上排序不等式成立.

例2 利用排序不等式证明柯西不等式：

其中等式当且仅当为常数时成立。

证不失一般性，设；，则由排序不等式可得

（例序积和≤乱序积和)

相加即得

①

又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故

代入①，即得

平方后，即得柯西不等式

说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：

证（i）设n=2，则显然成立

（ii）设n=k时，

成立，即有

欲证n=k+1时，有

成立，只需证

考虑到归纳假设，只需证

（★）

而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对且n≥2时,命题成立, 正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。

例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。

证设，易见

构造数列，使

则由★知于是由排序不等式,有

(乱序积和)

(例序积和)

，

即

从而

其中等式当且仅当时成立

说明这里构造了两个数列和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均值不等式的简捷、漂亮解法。

§3契比雪夫不等式

设(i=1,2…，n)

(i)若则顺序积和的算术平均数不小于这两组数算术平均数之积：

；

（ⅱ）若，则倒序积和的算术平均数不大于这两组数算术平均数之积：

证明（i）由排序原理有

，

，

……

，

迭加可得

两边除以得

等式当且仅当；

类似可证(ⅱ)成立

例4 设，求证

证明不妨令，则

由切比雪夫不等式，有