高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

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高中重要不等式公式

高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。

绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。

下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。

1. |x| > a ，其中a为正实数。

解集为：x < -a 或 x > a。

这个不等式表示x与原点的距离大于a。

2. |x| < a ，其中a为正实数。

解集为：-a < x < a。

这个不等式表示x与原点的距离小于a。

3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。

解集为：-a ≤ x ≤ a。

这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。

4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。

解集为：x < a - b 或 x > a + b。

这个不等式表示x与点a的距离大于b。

5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b < x < a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于b。

6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。

（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。

熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。

二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。

下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。

1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。

这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。

2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式

. . . A B
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc

x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作代换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。那么可取 p n .若它只需对 s n 进行证明。如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1，们之中至少有一个大于 1 ，则不妨设 x1 x2 ...x p 是其中的最大值，有

高中数学竞赛holder不等式

高中数学竞赛holder不等式摘要：1.介绍高中数学竞赛的holder 不等式2.holder 不等式的基本原理3.holder 不等式的应用实例4.结论正文：一、介绍高中数学竞赛的holder 不等式在高中数学竞赛中，holder 不等式是一个非常重要的知识点，它是解决许多数学问题的关键思想。

holder 不等式是一种不等式，它的本质是关于p 和q 指数的不等式，可以广泛应用于各种数学问题中。

二、holder 不等式的基本原理holder 不等式的基本形式为：$|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|leqprod_{i=1}^{n}|a_ib_i|$。

其中，$a_i$和$b_i$是实数或复数，$n$是正整数，$p$和$q$是正实数，满足$1<p<q$。

holder 不等式的证明比较复杂，需要涉及到一些高级的数学知识，比如Hlder 不等式和Minkowski 不等式。

在理解holder 不等式的基本原理之前，需要先理解它的前提条件和结论。

三、holder 不等式的应用实例holder 不等式在实际应用中非常广泛，它可以用于解决各种数学问题，比如不等式问题、最大值最小值问题、积分问题等。

例如，考虑以下不等式问题：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$，如何求解$x,y,z$的取值范围？这就是一个典型的holder 不等式问题，可以通过holder 不等式来解决。

具体来说，我们可以把$x^2-4y^2+z^2$看作是一个三元数的平方，然后应用holder 不等式，得到：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$$Leftrightarrow |x|leq 1, |2y|leq 1, |z|leq 1$$Leftrightarrow -1leq xleq 1, -1/2leq yleq 1/2, -1leq zleq 1$因此，$x,y,z$的取值范围为$[-1,1]times [-1/2,1/2]times [-1,1]$。

(完整版)高中数学竞赛讲义(九)──不等式

(11)
(12)
a>b>0, nCN+=an>bn;⑻a>b>0, nCN+=^^>^/^;
a>0, |x|<aQ -a<x<a, |x|>a= x>a或x<-a;
a, b€ R,则|a|-|b| < |a+b| <|a|+|b|;
a, bC R,贝U (a-b)2a2+b2> 2ab;
x, y, z € R+,则x+y>2*/^, x+y+z—刊Q电
-|b| w b与师以-（|a|+|b|） wa+bq|嘛|雄|a+b| < |a|-+ |b|T面再证（10）的左边，
|a|=|a+b-b| w |a+b|+回所以|a|-|b| w |a+b所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12）
为x+y-2而=（质-6）'>0,所以x+yP历，当且仅当x=y时，等号成立，再证另
工工
… …x+y —f+e一耳+沙，原不等式成立。
(6)放缩法，即要证A>B,可证A>C1, 01>C2,---,Cn-1>Cn, Cn>B(nCN+).
1 +--i--+,+---《厘(用主2).
例8求证：2 3 2*-1
【证明】
因为r: 2而=白+疝+疯>3^c~o~h=3狙瓦，所以原不等式成立。
1
例4已知实数a, b, c满足0<awbwc2,求证：。。一切却一右)8(1-浦

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

高中数学竞赛培训几个重要不等式(二)柯西不等式 Word版含答案

例3.已知a,b,cÎR+求证：
证明：不妨设a³b³c>0,则 >0且a12³b12³c12>0
则
例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1；
c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)
∴
a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则
证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2#43;anbn-1
证明：左边=
例2.对实数a1,a2,…,an,求证：
证明：左边=
例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边³
例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：
证明：左边=

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全
高中数学竞赛中涉及到不等式的公式大全包括但不限于以下内容：
1. 平均值不等式（AM-GM不等式），对于非负实数a1,
a2, ..., an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)。

这个
公式在解决求最值问题时非常常用。

2. 柯西-施瓦茨不等式，对于实数a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，有|(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)| ≤ √(a1^2 +
a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。

这个不等
式在向量和内积的相关问题中经常被应用。

3. 阿贝尔不等式，对于实数序列a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，若a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an且b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn，则有a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)。

这个不等式在求和问题中有着重要的应用。

4. 杨辉不等式，对于非负实数a, b, c，有(a+b)^n ≥ a^n + b^n，其中n为自然数。

这个不等式在代数不等式证明中经常被使用。

5. 三角不等式，对于任意实数a, b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

这个不等式在解析几何和向量的运算中常常被用到。

以上是高中数学竞赛中常见的不等式公式，当然还有其他一些不等式公式和定理，但这些是比较基础和常见的。

希望这些内容能够对你有所帮助。

数学竞赛中的不等式知识点总结

数学竞赛中的不等式知识点总结数学竞赛在学生的学习中扮演着很重要的角色，不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养学生的逻辑思维能力和解题能力。

在数学竞赛中，不等式是一个非常重要的知识点，很多的数学竞赛都会考察不等式相关的题目，因此在备战数学竞赛的过程中，掌握好不等式知识点是非常必要的。

1.基本不等式基本不等式是指在所有正整数中，算术平均数大于等于几何平均数。

即对于任意正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，都有：$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$基本不等式是不等式中最基础的知识点，但是在数学竞赛中应用的非常广泛，尤其是在证明其他不等式定理时，基本不等式起到了非常重要的作用。

2.均值不等式均值不等式是指在所有实数中，算术平均数大于等于几何平均数。

均值不等式分为两种情况，一种是两个数的情况，另一种是多个数的情况。

两个实数$a$和$b$的均值不等式如下：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$多个实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$的均值不等式如下：$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$均值不等式是在基本不等式的基础上发展起来的，应用范围比基本不等式更广泛，也更加灵活。

3.柯西不等式柯西不等式是指两个向量的点积不大于这两个向量的模的乘积。

柯西不等式可用于证明其他不等式，也可作为求极值的工具在数学竞赛中得到广泛应用。

柯西不等式如下：$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2 \leq(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$是任意实数。

高中重要不等式及其应用

高中重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当n b b b === 21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。

（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。

高中竞赛之重要不等式(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时成立。

本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当时，等式成立。

柯西不等式的两个推论： ⅰ．设同号（），则当且仅当时取等号。

ⅱ．若，且，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。

3次可以推广为4、5等n 次。

3333333333123123123111222333(a +a +a )(b +b +b )(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) ≥ 证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式. 柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，0k >且1k ≠ ，则（）（）当且仅当1212n na a ab b b === 时等号成立。

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。

若记，，则上式为特例：2212122222221122()()m mm ma a ab b ba b a b a b+++++++≤++++++222121212222222222111222()()()m m mm m ma a ab b bc c ca b c a b c a b c+++++++++++≤+++++++++多个根式可转化为一个根式。

高中数学竞赛holder不等式

高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。

它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。

2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。

霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。

霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。

3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。

4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。

当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。

5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。

根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。

高中竞赛常用的不等式

高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。

附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。

2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。

满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。

调和平均不常用。

3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和）（逆序和）。

其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。

高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

优秀学习资料欢迎下载高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1柯西不等式§2排序不等式§3切比雪夫不等式★★ ★§1。

柯西不等式定理 1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即时成立。

等式当且仅当本不等式称为柯西不等式。

思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明 1∴右-左=当且仅当定值时，等式成立。

思路 2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

证明 2当时等式成立；当时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路 3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明 3 构造函数。

由于恒非负，故其判别式即有等式当且仅当常数时成立。

若柯西不等式显然成立。

例 1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1) 先证①注意到欲证① , 即需证②此即由柯西不等式, 易知②成立 , 从而①真(11) 再证,③欲证③ , 只需证④而④即要证⑤( 注意)由柯西不等式, 知⑤成立.( Ⅰ)(Ⅱ) 中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系( ★)（其中，结合代换，即当且仅当时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是．§２．排序不等式定理２设有两组实数，满足则( 例序积和 )（乱序积和）（须序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。

说明本不等式称排序不等式，俗称例序积和乱序积和须序积和。

证法一．逐步调整法首先注意到数组也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全（实用版）目录1.竞赛不等式的基本概念2.高中竞赛不等式的分类3.高中竞赛不等式的解题技巧4.高中竞赛不等式的应用实例正文【高中竞赛不等式公式大全】一、竞赛不等式的基本概念竞赛不等式是高中数学竞赛中经常出现的一类题型，它涉及到较深的数学知识，需要运用较高的数学技巧来解决。

竞赛不等式主要考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式主要分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是一次的。

2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是二次的。

3.多元不等式：涉及多个未知数。

4.绝对值不等式：包含绝对值符号的不等式。

5.复合不等式：包含多个不等式的不等式。

三、高中竞赛不等式的解题技巧1.符号法则：根据不等式的符号，确定未知数的取值范围。

2.同向相乘，反向相加：将不等式中的乘法项同向相乘，加法项反向相加，使不等式变形，便于求解。

3.移项：将不等式中的项移到同一侧，使未知数的系数为 1。

4.分类讨论：根据不等式的特点，对未知数的取值范围进行分类讨论，求解不等式。

5.利用基本不等式：运用基本不等式求解复杂的不等式。

四、高中竞赛不等式的应用实例1.求解一元一次不等式：根据符号法则，同向相乘，反向相加，移项等技巧，求解一元一次不等式。

2.求解一元二次不等式：运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解一元二次不等式。

3.求解多元不等式：根据不等式的特点，运用分类讨论，符号法则等技巧，求解多元不等式。

4.求解绝对值不等式：利用绝对值不等式的性质，运用符号法则，同向相乘，反向相加等技巧，求解绝对值不等式。

5.求解复合不等式：根据不等式的特点，运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解复合不等式。

高中数学竞赛知识点

高中数学竞赛知识点高中数学竞赛是一项具有挑战性的活动，它涵盖了众多深入且复杂的知识点。

以下为您详细介绍一些常见且重要的高中数学竞赛知识点。

函数是数学中的重要概念，在竞赛中更是如此。

函数的单调性、奇偶性、周期性等性质需要深入理解。

比如，单调性的判断方法，不仅要会用定义法，还要熟练掌握导数法。

对于奇偶性，要能准确判断函数的奇偶类型，并利用奇偶性的性质来简化计算和解题。

周期性的函数，其周期的求解以及相关性质的运用，常常是竞赛中的难点。

不等式是另一个关键的知识点。

均值不等式、柯西不等式、排序不等式等都是竞赛中常用的工具。

均值不等式在求最值问题中应用广泛，但使用时要注意等号成立的条件。

柯西不等式的形式多样，需要灵活变形和巧妙运用。

排序不等式则需要对给定的数列进行合理排序，以达到证明或求解的目的。

数列也是竞赛的重点之一。

等差数列和等比数列的通项公式、求和公式要熟练掌握。

此外，还要学会处理递推数列，通过递推关系求出数列的通项公式。

对于一些特殊的数列，如周期数列、斐波那契数列等，其性质和特点也要有所了解。

三角函数在竞赛中的要求较高。

不仅要熟悉常见的三角函数公式，如二倍角公式、和差化积公式等，还要能灵活运用它们进行化简、求值和证明。

三角函数的图像和性质，包括周期性、对称性、单调性等，也是解题的关键。

平面几何是竞赛中的经典内容。

相似三角形、全等三角形的判定和性质需要牢记。

圆的相关知识，如圆的切线定理、弦切角定理等，都是解题的常用工具。

此外，三角形的五心（内心、外心、重心、垂心、旁心）的性质以及它们之间的关系，也经常在竞赛题中出现。

解析几何方面，直线和圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质是基础。

还要掌握一些常见的解题技巧，如参数方程、极坐标方程的应用，以及利用几何性质简化计算。

立体几何中，空间向量的引入为解题提供了新的方法。

要熟练掌握利用空间向量求线线角、线面角、面面角的方法，以及求点到平面的距离等。

同时，对于多面体和旋转体的体积、表面积的计算，以及空间位置关系的判断，也需要有清晰的思路。

高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)

（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证：作变换令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念和意义2.高中竞赛不等式的分类和特点3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧4.高中竞赛不等式的应用实例5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念和意义】竞赛不等式是指在解决各类数学竞赛题目中，涉及到的不等式问题。

这类问题不仅在高中数学竞赛中占有重要地位，也是选拔和培养优秀数学人才的重要手段。

高中竞赛不等式作为数学竞赛的一个组成部分，对于提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

【2.高中竞赛不等式的分类和特点】高中竞赛不等式可以分为以下几类：（1）代数不等式：涉及变量的代数式大小关系问题。

（2）几何不等式：涉及线段、角、三角形等几何元素的大小关系问题。

（3）三角不等式：涉及正弦、余弦、正切等三角函数的大小关系问题。

（4）对数不等式：涉及对数函数的大小关系问题。

（5）指数不等式：涉及指数函数的大小关系问题。

高中竞赛不等式的特点主要表现在：题目难度较大，需要运用一定的数学知识和技巧进行解答。

同时，这类题目具有较高的灵活性和广泛性，能够充分检验学生的数学能力。

【3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧】解决高中竞赛不等式问题，需要掌握一定的解题方法和技巧：（1）分析法：通过对题目中的条件进行分析，找到不等式成立的充分条件。

（2）综合法：将题目中的条件综合起来，利用数学公式和定理进行推导。

（3）代换法：将题目中的变量进行代换，化简原不等式，便于求解。

（4）构造法：通过构造新的数学对象，将原不等式转化为更容易解决的问题。

（5）特殊值法：通过取特殊值，检验原不等式是否成立。

【4.高中竞赛不等式的应用实例】例题：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1，求证：f(x)≥0。

解：首先，我们可以求出函数的导数f"(x)=6x^2-6x+1，然后令f"(x)=0，解得x=1/2 或x=1。

接着，我们可以通过分析法，得出当x∈(-∞,1/2]∪[1,+∞) 时，函数f(x) 单调递增；当x∈[1/2,1] 时，函数f(x) 单调递减。

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