1.6微积分基本定理课件(2)
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微积分基本定理PPT课件
π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为
b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想，并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系），直观了解微积分基本定理的 含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修，是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.
1.6微积分基本定理(2)
第18课时
1.6微积分基本定理（2）
学习目标
1．理解微积分的基本定理成立的条件.
2．会用微积分基本定理求一些函数的定积分.
学习过程
一、学前准备
◆复习：求下列函数的导数：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P51～P54，找出疑惑之处）
问题:总结求定积分的方法.
◆应用示例
例1．（课本P53例2）计算下列定积分： ， ， .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.
例2．（课本P55B1）计算下列定积分：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4）设 ，求 .
◆反馈练习
1.（课本P55A2）计算定积分 的值，并从几何上解释这个值表示什么.
2.（课本P66A14）计算下列定积分：
（1） ；（2） .
（3）（课本P67BБайду номын сангаас）求 .
学习评价
1.已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的导数是（ ）
A． B． C． D．
3． .
4． 等于.
课后作业
1．（课本P66A15）用定积分的几何意义说明下列等式：（1） ；（2） .
2．（课本P55B2）设 是正整数，试证下列等式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
3．（课本P55B3）一个实验物体从一飞机弹出，但该物体的降落伞没能打开，弹出 后，物体的下落速度（在垂直方向的分速度）近似为： （其中 .（1）写出 后实验物体的下落距离的表达式；（2）如果实验物体从高出地面5000 的高空处弹出下落，那么经过多少秒后该物体将接触到地面？
1.6微积分基本定理（2）
学习目标
1．理解微积分的基本定理成立的条件.
2．会用微积分基本定理求一些函数的定积分.
学习过程
一、学前准备
◆复习：求下列函数的导数：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P51～P54，找出疑惑之处）
问题:总结求定积分的方法.
◆应用示例
例1．（课本P53例2）计算下列定积分： ， ， .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.
例2．（课本P55B1）计算下列定积分：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4）设 ，求 .
◆反馈练习
1.（课本P55A2）计算定积分 的值，并从几何上解释这个值表示什么.
2.（课本P66A14）计算下列定积分：
（1） ；（2） .
（3）（课本P67BБайду номын сангаас）求 .
学习评价
1.已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的导数是（ ）
A． B． C． D．
3． .
4． 等于.
课后作业
1．（课本P66A15）用定积分的几何意义说明下列等式：（1） ；（2） .
2．（课本P55B2）设 是正整数，试证下列等式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
3．（课本P55B3）一个实验物体从一飞机弹出，但该物体的降落伞没能打开，弹出 后，物体的下落速度（在垂直方向的分速度）近似为： （其中 .（1）写出 后实验物体的下落距离的表达式；（2）如果实验物体从高出地面5000 的高空处弹出下落，那么经过多少秒后该物体将接触到地面？
河南省新乡市原阳一中高中数学课件：1.6 微积分的基本定理 选修2-2
几句勉励：
有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关 终属楚； 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可 吞吴！
恰同学少年； 风华正茂；
书生意气； 挥斥方遒！
第一页，编辑于星期日：十五点 一分。
第二页，编辑于星期日：十五点 一分。
一、复习引入
1.定积分的定义:
b
f
a
n ba x dx lim
n n i 1
练一练：已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,
1 f (x)dx 2,求a,b,c的值
0
第十九页，编辑于星期日：十五点 一分。
小结
1.微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,且F' x f x,则
b
a
f
xdx
F
x
b a
F
b
F
a
2.基本初等函数的原函数公式
2
32
6 2 ln 2
32.
第十三页，编辑于星期日：十五点 一分。
例5 计算下列定积分 :
2
2
0 sin xdx, sin xdx, 0 sin xdx.
解 因为 cos x' sin x, π sin xdx cos x|0π 0
cos π cos0 2;
2π π
sin
xdx
第八页，编辑于星期日：十五点 一分。
回顾：基本初等函数的导数公式
函数 c xn sin x cos x
f(x)
a x e x loga x ln x
导函数 f′(x)
0
nx n1
cos
x
sin
xax
ln a
有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关 终属楚； 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可 吞吴！
恰同学少年； 风华正茂；
书生意气； 挥斥方遒！
第一页，编辑于星期日：十五点 一分。
第二页，编辑于星期日：十五点 一分。
一、复习引入
1.定积分的定义:
b
f
a
n ba x dx lim
n n i 1
练一练：已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,
1 f (x)dx 2,求a,b,c的值
0
第十九页，编辑于星期日：十五点 一分。
小结
1.微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,且F' x f x,则
b
a
f
xdx
F
x
b a
F
b
F
a
2.基本初等函数的原函数公式
2
32
6 2 ln 2
32.
第十三页，编辑于星期日：十五点 一分。
例5 计算下列定积分 :
2
2
0 sin xdx, sin xdx, 0 sin xdx.
解 因为 cos x' sin x, π sin xdx cos x|0π 0
cos π cos0 2;
2π π
sin
xdx
第八页，编辑于星期日：十五点 一分。
回顾：基本初等函数的导数公式
函数 c xn sin x cos x
f(x)
a x e x loga x ln x
导函数 f′(x)
0
nx n1
cos
x
sin
xax
ln a
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)
[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章 导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章 导数及其应用
学习导航
学习 目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观 学法 了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示 指导 了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定
微积分基本定理 课件
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
【数学】1.6《微积分基本定理(第2课时)》课件(人教A版选修2-2) (2)
π
πБайду номын сангаас
(cosx－e )dx＝ cosxdx－ exdx (3)－π －π －π
1 ＝sinx|－π－e |－ π＝ π－1. e
0 x0
0
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
变式训练 1 计算下列定积分： ∫105x4dx； (1) 2 3 ( x＋ 1 )26xdx. (2)1 x
解：(1)∵(x5)′＝5x4， ∫105x4dx＝x5|10＝105－25＝99968. ∴ 2 2 3 3 1 2 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋1＋2)6xdx (2)1 1 x x ＝1(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|3 1 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
0 0
【解】
2
(1)1(x2＋2x＋3)dx
2 2
2
＝1x2dx＋12xdx＋13dx x 2 25 22 2 ＝ |1＋x |1＋3x|1＝ . 3 3
π
3
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
0 b
3.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上， x 轴下 在 方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 a
b
S上 f(x)dx＝_____
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则a f(x)dx＝______． －S下
b
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时， b S上－S下 如图③，则 f(x)dx＝____________．
1.6微积分基本定理课件人教新课标2
且等于曲边梯形的_面__积__的__相__反__数__.(如图2)
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯 形面积时，定积分的值为_0_，且等于位于x轴上方的曲边梯形 面积_减__去__位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导 数.( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常 取原函数的常数项为0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区 间上必须是连续函数.( )
分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分
值是确定的.
【即时练】
1.若a=
1
0
(x-2)dx，则被积函数的原函数为(
)
A.f(x)=x-2
B.f(x)= x-2+C
C.f(x)= 1 x2-2x+C D.f(x)=x2-2x
2
2.下列积分值等于1的是( )
A. 1 0
xdx
C. 1 0
2.分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是 分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定 积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分 段函数的定积分再计算.
【变式训练】1.
1
0
(ex+2x)dx等于(
)
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
2.计算定积分
1(x2+sin 1
x)dx=______.
【解析】1.选C.因为被积函数为ex+2x的原函数为ex+x2，
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯 形面积时，定积分的值为_0_，且等于位于x轴上方的曲边梯形 面积_减__去__位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导 数.( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常 取原函数的常数项为0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区 间上必须是连续函数.( )
分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分
值是确定的.
【即时练】
1.若a=
1
0
(x-2)dx，则被积函数的原函数为(
)
A.f(x)=x-2
B.f(x)= x-2+C
C.f(x)= 1 x2-2x+C D.f(x)=x2-2x
2
2.下列积分值等于1的是( )
A. 1 0
xdx
C. 1 0
2.分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是 分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定 积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分 段函数的定积分再计算.
【变式训练】1.
1
0
(ex+2x)dx等于(
)
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
2.计算定积分
1(x2+sin 1
x)dx=______.
【解析】1.选C.因为被积函数为ex+2x的原函数为ex+x2，
20-1.6微积分基本定理(2)
复习课: 微积分基本定理教学目标重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点：理解微积分基本定理的推导．.能力点：掌握正确运用基本定理计算简单的定积分.教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义.易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪.一、【知识结构】二、【知识梳理】1.导数的概念；2.定积分的概念、性质；3.微积分基本定理；4.常见基本函数的定积分:三、【范例导航】例1已知函数()sin ,02()1,221,24x x f x x x x ππ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≤≤⎪⎩先画出函数图象,再求这个函数在[]0,4上的定积分.【分析】被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.【解答】424200222242022()sin 1(1)1(cos )||()|21(2)(40)722f x dx xdx dx x dxx x x x ππππππ=++-=-++-=+-+-=-⎰⎰⎰⎰ 【点评】(1)分段函数在区间[],a b 的定积分可分成n 段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标准进行.(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.变式训练:1．求函数3(01)()2)2(23)x x x f x x x ⎧≤≤=≤≤≤≤⎪⎩，在区间[0,3]上的定积分.答案：5412ln 2- 2．设(),x f x e =求42()f x dx -⎰. 答案：422e e +-.例2 计算下列积分（1）20cos 2x dx π⎰ （2）220x e dx ⎰【分析】先化简，再求积分，准确找到原函数． 【解答】（1）200001cos 11cos sin 22222x x dx dx x x πππππ+==+=⎰⎰.（2）由()222x x e e '=知，2212x x e e '⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21221001122x x e e dx e -==⎰. 【点评】求定积分应该注意的几点：(1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)对求符合函数的定积分，关键找准原函数.变式训练计算下列定积分 （1）20cos 2cos sin x dx x xπ+⎰. （2）0⎰答案：（1）2（2）π.例3(2008年山东)已知函数2()(0)f x ax c a =+≠,若100()()f x dx f x =⎰,001x ≤≤,求0x 的值. 【分析】先求出10()f x dx ⎰的值,再列出方程求0x 的值.【解答】因为2()(0)f x ax c a =+≠, 且323a x cx ax c '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以1123120000()()33a a f x dx ax c dx x cx c ax c ⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰解得0x =0x = (舍去).即0x =【点评】利用定积分求参数时，注意方程思想的应用.一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限.四、【解法小结】1.求定积分的一些常用技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分.（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2. 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．五、【布置作业】必做题：1.计算下列定积分（1）220x e dx ⎰ （2）20sin 2x dx π⎰ （3）46cos 2xdx ππ⎰ （4）312x dx ⎰. 2.计算定积分（1）20sin xdx π⎰ （2）312x dx -⎰. 3.求函数1220()(64)f a x ax a dx =++⎰的最小值.必做题答案：1.（1）22e -（2）24π- （3）12 （4）6ln 22.（1）4 （2）1 3. 1 选做题：1.求定积分（1）210(21)x dx -⎰ （2）22123x x dx x--⎰.2.已知函数20()(1)xf x at bt dt =++⎰为奇函数，且1(1)(1)3f f --=，求,a b 的值. 选做题答案：1.（1）143 （2）13ln 22-- 2. 5,02a b =-= 六、【教后反思】 本教案的亮点是：一是利用结构图呈现了导数与定积分的关系，是对所学知识的宏观把握；二是例题选择有代表性，分别为分段函数、复合函数求定积分及定积分的综合应用；三是讲解透彻，学生反映较好．。
2018版高中数学人教A版选修2-2课件：1-6 微积分基本定理
=
2 3 9 1 9 271 ������d������ = ������ 2 |4 + ������2|4 = . 3 2 6
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
反思求函数f(x)在某个区间上的定积分时,要注意: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数 等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变 形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差. (2)准确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
1.6 微积分基本定理
-1-
目标导航
1.了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.
重难聚焦
如何理解微积分基本定理? 剖析:1.微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在 联系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 2.利用微积分基本定理计算定积分
������ ������
分析:解答本题第(1)小题,可按f(x)的分段标准及积分区间将其化 为两段积分的和;解答第(2)(3)小题,可根据绝对值的意义将其转化 为分段函数的定积分.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
x 2 ,x ≤ 0 , 解:(1)因为 f(x)= cosx-1,x > 0, 所以 = =
0 -1
1 ������ 1 ������2
(3)∵ - -ln������ ′ =
3
− =
∴
2
1-������ 1 1 1 1 2 3 d������ = - -ln������ |2 = - -ln3 − - -ln2 = + ln . 2 ������ 3 2 6 3 ������
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
1.6微积分基本定理课件人教新课标4
ax ln a
1
ex x
e x ln | x |
付出，不一定会有收获；不付出，却一 定不会有收获，不要奢望出现奇迹.
e x ln | x |
例1
计
算
下
列
定
积
分
:
1
2
1
1 x
d
x
;
2
3 1
2
x
1 x2
dx .
解 （1）因为 ln x ' 1 ,
x
所以
2 1
1dx x
ln
x
|12
ln 2 ln 1 ln 2.
（2）因为
x2
'
2
x,
1 x
'
1 x2
,
3
1
2x
1 x2
dx
3
2xdx
3 2 3x2 + 2x -1 dx = ____9_____ -1
4
2
1
ex +1 dx = ___e_2___e___1__
3．计算定积分
3 1
3
x
2
1 x2
dx
解:
因为
x3
'
3x2
,
1 x
'
1 x2
所以原式
3 3x2dx
1
31 1 x2 dx
3 3x2dx
1
3 1
1 x2
dx
x3
3 1
1 x
3 1
33 13
1 3
1 1
76 3
4.计算下列定积分 : 1
π
cos 2xdx ;
1.6微积分基本定理-人教版高中数学选修2-2课件
1.6 微积分基本定理
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
b
b
a v(t)dt a s'(t)dt
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a f (x)dx
F(b)
F(a )
或
b a
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s'(ti1)t
i1
i1
i1
i1
当n越大，即t越小时，区间[a, b]的划分就越细，
n
n
v(ti1)t s'(ti1)t与S的近似程度就越好。
i1
i1
由定积分的定义
S
lim
n
n i1
b
n
a
v(ti1)
lim
n
n i1
b n
a
s' (ti1 )
5.若f (x) ax，则f '(x) ax ln a
6.若f (x) ex，则f '(x) ex
7.若f
(x)
loga
x，则f
'(x)
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
b
b
a v(t)dt a s'(t)dt
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a f (x)dx
F(b)
F(a )
或
b a
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s'(ti1)t
i1
i1
i1
i1
当n越大，即t越小时，区间[a, b]的划分就越细，
n
n
v(ti1)t s'(ti1)t与S的近似程度就越好。
i1
i1
由定积分的定义
S
lim
n
n i1
b
n
a
v(ti1)
lim
n
n i1
b n
a
s' (ti1 )
5.若f (x) ax，则f '(x) ax ln a
6.若f (x) ex，则f '(x) ex
7.若f
(x)
loga
x，则f
'(x)
16微积分基本定理课件
f(x)0, abf(x)dxA曲边梯形的面积的负值
2.定积分的简单性质
(1 )bk f(x )d x kbf(x )d x(k 为 常 数 )
a
a
b
b
b
( 2 )a [ f1 (x ) f2 (x ) ] d x af1 (x ) d x af2 (x ) d x
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。
三、小结
b
1.微积分基本定理 f(x)d x F (b )F (a) a
2.基本初等函数的原函数公式
c 被积
函数f(x)
xn
s in x cos x a x e x
1 x
e 一个原
函数F(x)
cx
1 x n 1 cosxs in x n1
ax ln a
3 1
911122.
3 3
练习1:
1
1 0
3t2 2
dt
____1 _____
3
2
2
1
x
1 x
d x
ln 2 _ _ _2_ _ _ _ _ _ _ _ _
3 2 3 x 2 2 x 1 dx __9_______ 1
解1因为 lnx' 1,
所以 12x1dxlnxx|12 l2 n l1 n l2 n .
2因为 x2' 2x,1' x
x 1 2,
1 32xx 1 2d x1 32xdx1 3x 1 2dxx2
|13
1 x
函数F(x)
cx
1 x n 1 cosxs in x n1
2.定积分的简单性质
(1 )bk f(x )d x kbf(x )d x(k 为 常 数 )
a
a
b
b
b
( 2 )a [ f1 (x ) f2 (x ) ] d x af1 (x ) d x af2 (x ) d x
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。
三、小结
b
1.微积分基本定理 f(x)d x F (b )F (a) a
2.基本初等函数的原函数公式
c 被积
函数f(x)
xn
s in x cos x a x e x
1 x
e 一个原
函数F(x)
cx
1 x n 1 cosxs in x n1
ax ln a
3 1
911122.
3 3
练习1:
1
1 0
3t2 2
dt
____1 _____
3
2
2
1
x
1 x
d x
ln 2 _ _ _2_ _ _ _ _ _ _ _ _
3 2 3 x 2 2 x 1 dx __9_______ 1
解1因为 lnx' 1,
所以 12x1dxlnxx|12 l2 n l1 n l2 n .
2因为 x2' 2x,1' x
x 1 2,
1 32xx 1 2d x1 32xdx1 3x 1 2dxx2
|13
1 x
函数F(x)
cx
1 x n 1 cosxs in x n1
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c cx
x
n
sin x cos x
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
a 1 n +1 x − cos x sin x n +1 ln a
x
小结： 小结：P55 A组 1 组 B组 1 组
(4)(5)(6) ）（2） （1）（ ） ）（
(
)
3 1 2 3 x 1 x ∫1 2 − x dx = ∫1 2 dx − ∫1 xdx= ln2 |1 − 2 x 1 2 6 8 = − − 2 3 − 2 = ln2 − 2 3 + 2 . ln2 ln 2
3 3 3
x
(
)
2 x 0 ≤ x ≤ 1 ,求 例3 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5
被积 函数f(x) 函数 一个原 函数F(x) 函数
c cx
x
sin x cos x
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
a 1 n +1 x − cos x sin x n +1 ln a
x
1.计算定积分 计算定积分
1 例 计算下列定积分:
∫
π
0
sin xdx, ∫ sin xdx, ∫ sin xdx .
y
1
y = sinx
y 1
y = sinx
π
o −1
π2π2πx Nhomakorabeax
o −1
y
1
−1
y = sinx
o
2π
π
x
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和 得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和
x 1 例2.计算下列定积分: (1) ∫ cos 2xdx; ( 2) ∫ 2 − dx . 0 1 x '
( 例4.已知f ( x)是一次函数，其图象过点 3, 4),且 4.已
∫
1
0
f ( x)dx = 1,求f ( x)的解析式
练一练：已知 练一练：已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0, 且
∫ f (x)dx = −2,求a,b,c的值
0
1
练习：已知f (a) = ∫ (2ax2 − a2 x)dx,求f (a)的最大值。
我们发现： 我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； 定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； 当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； 当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0 的面积时，定积分的值为0．
0
1
1.微积分基本定理 微积分基本定理 ' 如果f ( x) 是区间[ a, b] 上的连续函数, 且F ( x) = f ( x) , 则
小结
b a
∫
b
2.基本初等函数的原函数公式 基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x) 函数 一个原 函数F(x) 函数
a
f ( x )dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a )
π
0
2π
2π
解 因为( − cos x) = sin x,
'
∫ ∫ ∫
π
0
sin xdx = ( −cos x) |0 = (− cosπ) − (− cos0) = 2;
π
2π
π 2π
sinxdx = (− cos x) |2π = (− cos2π) − (− cosπ) = −2; π
2 W sinxdx = (− cos x) |0π= (− cos2π) − (− cos0) = 0.
解
∫0
2
f ( x )dx .
y
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1 2 0 1
1
2
原式 = ∫ 2 xdx + ∫ 5dx
= x | +5 x |
2 1 0
2 1
o
1
2
x
= 6.
2.微积分与其他函数知识综合举例： 微积分与其他函数知识综合举例： 微积分与其他函数知识综合举例
π
3
1 解 (1) 因为 sin 2x = cos 2x, 2 π 1 1 1 所以 cos 2xdx = sin2x |π = sin 2π − sin0 = 0. 0 ∫0 2 2 2 ' x ' 2 1 x ( 2)因为 = 2 , 2 x = , x ln 2
复习引入： 复习引入：
1.微积分基本定理 微积分基本定理 ' 如果f ( x) 是区间[ a, b] 上的连续函数, 且F ( x) = f ( x) , 则
b
∫
a
f ( x )dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a )
b a
n
2.基本初等函数的原函数公式 基本初等函数的原函数公式