1.6微积分基本定理课件(2)
微积分基本定理PPT课件

π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为
b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得:
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看,设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P,PD是P点处 的切线,由导数的几何意义知,切 线PD的斜率等于y' ti-1 ,于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想,并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例(如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系),直观了解微积分基本定理的 含义.
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修,是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.
1.6微积分基本定理(2)

1.6微积分基本定理(2)
学习目标
1.理解微积分的基本定理成立的条件.
2.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.
学习过程
一、学前准备
◆复习:求下列函数的导数:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) .
二、新课导学
◆探究新知(预习教材P51~P54,找出疑惑之处)
问题:总结求定积分的方法.
◆应用示例
例1.(课本P53例2)计算下列定积分: , , .由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.
例2.(课本P55B1)计算下列定积分:
(1) ;(2) ;(3) ;
(4)设 ,求 .
◆反馈练习
1.(课本P55A2)计算定积分 的值,并从几何上解释这个值表示什么.
2.(课本P66A14)计算下列定积分:
(1) ;(2) .
(3)(课本P67BБайду номын сангаас)求 .
学习评价
1.已知 ,则 等于( )
A. B. C. D.
2.函数 的导数是( )
A. B. C. D.
3. .
4. 等于.
课后作业
1.(课本P66A15)用定积分的几何意义说明下列等式:(1) ;(2) .
2.(课本P55B2)设 是正整数,试证下列等式:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) ;
3.(课本P55B3)一个实验物体从一飞机弹出,但该物体的降落伞没能打开,弹出 后,物体的下落速度(在垂直方向的分速度)近似为: (其中 .(1)写出 后实验物体的下落距离的表达式;(2)如果实验物体从高出地面5000 的高空处弹出下落,那么经过多少秒后该物体将接触到地面?
河南省新乡市原阳一中高中数学课件:1.6 微积分的基本定理 选修2-2

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关 终属楚; 苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可 吞吴!
恰同学少年; 风华正茂;
书生意气; 挥斥方遒!
第一页,编辑于星期日:十五点 一分。
第二页,编辑于星期日:十五点 一分。
一、复习引入
1.定积分的定义:
b
f
a
n ba x dx lim
n n i 1
练一练:已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,
1 f (x)dx 2,求a,b,c的值
0
第十九页,编辑于星期日:十五点 一分。
小结
1.微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,且F' x f x,则
b
a
f
xdx
F
x
b a
F
b
F
a
2.基本初等函数的原函数公式
2
32
6 2 ln 2
32.
第十三页,编辑于星期日:十五点 一分。
例5 计算下列定积分 :
2
2
0 sin xdx, sin xdx, 0 sin xdx.
解 因为 cos x' sin x, π sin xdx cos x|0π 0
cos π cos0 2;
2π π
sin
xdx
第八页,编辑于星期日:十五点 一分。
回顾:基本初等函数的导数公式
函数 c xn sin x cos x
f(x)
a x e x loga x ln x
导函数 f′(x)
0
nx n1
cos
x
sin
xax
ln a
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

2
2
答案:D
3.设 f(x)=x22-,x0,≤1x<≤x≤1,2,
则2f(x)dx 等于________. 0
解析:2f(x)dx=1x2dx+2(2-x)dx
0
0
1
=x3310 +(2x-x22)21
=13+[(2×2-222)-(2-12)]=56.
答案:56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a,b]上的 连续 函数,并且 F′(x) 内容 = f(x),那么bf(x)dx= F(b)-F(a)
a
符号
bf(x)dx=F(x)ba = F(b)-F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则 1.当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1), 则bf(x)dx= S 上.
(7)baxdx=lnaxaba (a>0 且 a≠1). a
1.计算下列定积分.
(1)1(x3-2x)dx; 0
(2)
2 0
(x+cos
x)dx;
(3
解析:(1)∵(14x4-x2)′=x3-2x,
∴1(x3-2x)dx=(14x4-x2)10 =-34. 0
2.(1)若
f(x)=x2 cos
x≤0 x-1
x>0
2.常见函数的定积分公式: (1)bCdx=Cxba (C 为常数).
a
(2)abxndx=n+1 1xn+1ba (n≠-1). (3)bsin xdx=-cos xba .
a
(4)bcos xdx=sin xba . a
(5)b1xdx=ln xba (b>a>0). a
2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)

[解]
∵f(x)=- x
(12t+
a
4a)dt
= (6t2+ 4at)|x- a = 6x2+ 4ax- (6a2- 4a2 )
= 6x2+ 4ax- 2a2,
∴ F(a)=01[f(x)+ 3a2 ]dx=01(6x2+ 4ax+ a2)dx
= (2x3+ 2ax2+ a2 x)|10= a2+ 2a+ 2 = (a+ 1)2+ 1≥ 1,
4
4.02(x2-23x)dx= ____3____.
第一章 导数及其应用
B.01 (x+ 1)dx D.0112dx
第7页,共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分:
(1)121xdx;(2)02πsin xdx;(3)13(2x-x12)dx;
(4)0-
(cos
9+2× 3
93- 2
(4+2× 3
43)= 2
27-(4+16)=53.
33
第11页,共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分:
(1)若 f(x)=x2
x≤ 0
cos x-1 x>0
,求- π2
f(x)dx;
1
(2)12
[解]
|3- (1)
2x|dx.
- π2
第一章 导数及其应用
1.6 微积分基本定理
第1页,共30页。
第一章 导数及其应用
学习导航
学习 目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分. (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,直观 学法 了解微积分基本定理的含义.微积分基本定理不仅揭示 指导 了导数和定积分之间的内在联系,而且还提供了计算定
微积分基本定理 课件

[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)=∫10(2tx2- t2x)dx,则 f(t)的最大值是________.
解析:因为∫10(2tx2-t2x)dx=23tx3-12t2x2|10= 23t-12t2,所以 f(t)=23t-12t2=-12t-232+ 29, 所以,当 t=23时,f(t)有最大值为29. 答案:29
解析:∫10(1-2x+2t)dt=[(1-2x)t+t2]|10=2-2x, 即 f(x)=2-2x.因为 x∈[1,2], 所以 f(2)≤f(x)≤f(1),即-2≤f(x)≤0, 所以函数 f(x)的值域是[-2,0]. 答案:[-2,0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)=∫10(1-2x+ 2t)dx,则 f(t)=________.
温馨提示 在找被积函数的原函数时,必须熟练掌握 导数的运算法则,否则易出错.
2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面 积为 S 下,则:
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图①所示, 则∫baf(x)dx=S 上.
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图②所示, 则∫baf(x)dx=-S 下.
(3)对于多项式函数的原函数,应注意 xn(n≠-1)的原 xn+1
函数为 ,它的应用很广泛. n+1
[变式训练] 计算下列定积分: (1)∫325x4dx; (2)∫31(1+x+x2)dx; (3)∫31 x+ 1x26xdx. 解:(1)因为(x5)′=5x4,
所以∫325x4dx=x5|32=35-25=243-32=211.
【数学】1.6《微积分基本定理(第2课时)》课件(人教A版选修2-2) (2)

π
πБайду номын сангаас
(cosx-e )dx= cosxdx- exdx (3)-π -π -π
1 =sinx|-π-e |- π= π-1. e
0 x0
0
(2)0 (sinx-cosx)dx=0 sinxdx- 0 cosxdx
π π =(-cosx)|0 -sinx|0 =2. 0 0 x
变式训练 1 计算下列定积分: ∫105x4dx; (1) 2 3 ( x+ 1 )26xdx. (2)1 x
解:(1)∵(x5)′=5x4, ∫105x4dx=x5|10=105-25=99968. ∴ 2 2 3 3 1 2 ( x+ ) 6xdx= (x+1+2)6xdx (2)1 1 x x =1(6x2+6+12x)dx=(2x3+6x+6x2)|3 1 =(54+18+54)-(2+6+6)=112.
0 0
【解】
2
(1)1(x2+2x+3)dx
2 2
2
=1x2dx+12xdx+13dx x 2 25 22 2 = |1+x |1+3x|1= . 3 3
π
3
(2)0 (sinx-cosx)dx=0 sinxdx- 0 cosxdx
π π =(-cosx)|0 -sinx|0 =2. 0 0 x
0 b
3.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上, x 轴下 在 方的面积为 S 下,则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时,如图①,则 a
b
S上 f(x)dx=_____
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时,如图②,则a f(x)dx=______. -S下
b
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时, b S上-S下 如图③,则 f(x)dx=____________.
1.6微积分基本定理课件人教新课标2

(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯 形面积时,定积分的值为_0_,且等于位于x轴上方的曲边梯形 面积_减__去__位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)微积分基本定理中,被积函数f(x)是原函数F(x)的导 数.( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通常 取原函数的常数项为0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区 间上必须是连续函数.( )
分值是原函数在区间端点值的差,差值是唯一确定的.即积分
值是确定的.
【即时练】
1.若a=
1
0
(x-2)dx,则被积函数的原函数为(
)
A.f(x)=x-2
B.f(x)= x-2+C
C.f(x)= 1 x2-2x+C D.f(x)=x2-2x
2
2.下列积分值等于1的是( )
A. 1 0
xdx
C. 1 0
2.分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同,所以被积函数是 分段函数时,常常利用定积分的性质(3),转化为各区间上定 积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分 段函数的定积分再计算.
【变式训练】1.
1
0
(ex+2x)dx等于(
)
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
2.计算定积分
1(x2+sin 1
x)dx=______.
【解析】1.选C.因为被积函数为ex+2x的原函数为ex+x2,
20-1.6微积分基本定理(2)

复习课: 微积分基本定理教学目标重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点:理解微积分基本定理的推导..能力点:掌握正确运用基本定理计算简单的定积分.教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力.自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义.易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 学法与教具1.学法:讲授法、讨论法.2.教具:投影仪.一、【知识结构】二、【知识梳理】1.导数的概念;2.定积分的概念、性质;3.微积分基本定理;4.常见基本函数的定积分:三、【范例导航】例1已知函数()sin ,02()1,221,24x x f x x x x ππ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≤≤⎪⎩先画出函数图象,再求这个函数在[]0,4上的定积分.【分析】被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.【解答】424200222242022()sin 1(1)1(cos )||()|21(2)(40)722f x dx xdx dx x dxx x x x ππππππ=++-=-++-=+-+-=-⎰⎰⎰⎰ 【点评】(1)分段函数在区间[],a b 的定积分可分成n 段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标准进行.(2)带绝对值号的解析式,可先化为分段函数,然后求解.变式训练:1.求函数3(01)()2)2(23)x x x f x x x ⎧≤≤=≤≤≤≤⎪⎩,在区间[0,3]上的定积分.答案:5412ln 2- 2.设(),x f x e =求42()f x dx -⎰. 答案:422e e +-.例2 计算下列积分(1)20cos 2x dx π⎰ (2)220x e dx ⎰【分析】先化简,再求积分,准确找到原函数. 【解答】(1)200001cos 11cos sin 22222x x dx dx x x πππππ+==+=⎰⎰.(2)由()222x x e e '=知,2212x x e e '⎛⎫= ⎪⎝⎭,则21221001122x x e e dx e -==⎰. 【点评】求定积分应该注意的几点:(1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)对求符合函数的定积分,关键找准原函数.变式训练计算下列定积分 (1)20cos 2cos sin x dx x xπ+⎰. (2)0⎰答案:(1)2(2)π.例3(2008年山东)已知函数2()(0)f x ax c a =+≠,若100()()f x dx f x =⎰,001x ≤≤,求0x 的值. 【分析】先求出10()f x dx ⎰的值,再列出方程求0x 的值.【解答】因为2()(0)f x ax c a =+≠, 且323a x cx ax c '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以1123120000()()33a a f x dx ax c dx x cx c ax c ⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰解得0x =0x = (舍去).即0x =【点评】利用定积分求参数时,注意方程思想的应用.一般地,首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时,必须分清常数和变量,再进行计算;其次要注意积分下限不大于积分上限.四、【解法小结】1.求定积分的一些常用技巧:(1)对被积函数,要先化简,再求积分.(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.2. 利用定积分求参数时,注意方程思想的应用.五、【布置作业】必做题:1.计算下列定积分(1)220x e dx ⎰ (2)20sin 2x dx π⎰ (3)46cos 2xdx ππ⎰ (4)312x dx ⎰. 2.计算定积分(1)20sin xdx π⎰ (2)312x dx -⎰. 3.求函数1220()(64)f a x ax a dx =++⎰的最小值.必做题答案:1.(1)22e -(2)24π- (3)12 (4)6ln 22.(1)4 (2)1 3. 1 选做题:1.求定积分(1)210(21)x dx -⎰ (2)22123x x dx x--⎰.2.已知函数20()(1)xf x at bt dt =++⎰为奇函数,且1(1)(1)3f f --=,求,a b 的值. 选做题答案:1.(1)143 (2)13ln 22-- 2. 5,02a b =-= 六、【教后反思】 本教案的亮点是:一是利用结构图呈现了导数与定积分的关系,是对所学知识的宏观把握;二是例题选择有代表性,分别为分段函数、复合函数求定积分及定积分的综合应用;三是讲解透彻,学生反映较好.。
2018版高中数学人教A版选修2-2课件:1-6 微积分基本定理

=
2 3 9 1 9 271 ������d������ = ������ 2 |4 + ������2|4 = . 3 2 6
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
反思求函数f(x)在某个区间上的定积分时,要注意: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数 等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变 形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差. (2)准确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
1.6 微积分基本定理
-1-
目标导航
1.了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.
重难聚焦
如何理解微积分基本定理? 剖析:1.微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在 联系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 2.利用微积分基本定理计算定积分
������ ������
分析:解答本题第(1)小题,可按f(x)的分段标准及积分区间将其化 为两段积分的和;解答第(2)(3)小题,可根据绝对值的意义将其转化 为分段函数的定积分.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
x 2 ,x ≤ 0 , 解:(1)因为 f(x)= cosx-1,x > 0, 所以 = =
0 -1
1 ������ 1 ������2
(3)∵ - -ln������ ′ =
3
− =
∴
2
1-������ 1 1 1 1 2 3 d������ = - -ln������ |2 = - -ln3 − - -ln2 = + ln . 2 ������ 3 2 6 3 ������
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理

求使3f(x)dx=430恒 k
成立的 k 值.
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时,
k3f(x)dx=k3(1+x2)dx=x+13x33k =3+13×33-k+13k3 =430, 整理得 k3+3k+4=0,即 k3+k2-k2+3k+4=0, ∴(k+1)(k2-k+4)=0, ∴k=-1. 而 k∈(2,3],∴k=-1 舍去.
∴∫2ππ(cos x+sin x)dx=(sin x-cos x)2ππ =(sin 2π-cos 2π)-
(sin π-cos π)=(0-1)-[0-(-1)]=-1-1=-2.
(3)∵(ex-sin x)′=ex-cos x,
∴∫
0 -π
(ex
-
cos
x)dx = (ex - sin
x)
0 -π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上,从图形的角度直观理解微积分 基本定理. 2.从形式上体会原函数与被积函数之间的关系,并深化认识 微积分基本定理. 3.微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系,同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法.
高考导航 对于本节知识,高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算,以选择题或填空题的形式呈现,分值 5 分.
(2)当 k∈[-2,2]时,
3f(x)dx=2(2x+1)dx+3(1+x2)dx
k
k
2
=(x2+x)2k +x+13x332
=(22+2)-(k2+k)+3+13×33-2+13×23 =430-(k2+k)=430,
∴k2+k=0,
解得 k=0 或 k=-1,
综上所述,k=0 或 k=-1.
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)

高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校: 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨:杨蕙心是一个目标高远 的学生,而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点,一般同 学两三个小时才能完成的作业,她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强,这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ,她能很快找到问题的原因,并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业:P62 A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
小魔方站作品 盗版必究
谢谢您下载使用!
更多精彩内容,微信扫描二维码获取 扫描二维码获取更多资源
附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体,在许多 人的眼中,他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通,但他们 有是不平凡不普通的,他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性,又有 着一些共性,而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
1.6微积分基本定理课件人教新课标4

ax ln a
1
ex x
e x ln | x |
付出,不一定会有收获;不付出,却一 定不会有收获,不要奢望出现奇迹.
e x ln | x |
例1
计
算
下
列
定
积
分
:
1
2
1
1 x
d
x
;
2
3 1
2
x
1 x2
dx .
解 (1)因为 ln x ' 1 ,
x
所以
2 1
1dx x
ln
x
|12
ln 2 ln 1 ln 2.
(2)因为
x2
'
2
x,
1 x
'
1 x2
,
3
1
2x
1 x2
dx
3
2xdx
3 2 3x2 + 2x -1 dx = ____9_____ -1
4
2
1
ex +1 dx = ___e_2___e___1__
3.计算定积分
3 1
3
x
2
1 x2
dx
解:
因为
x3
'
3x2
,
1 x
'
1 x2
所以原式
3 3x2dx
1
31 1 x2 dx
3 3x2dx
1
3 1
1 x2
dx
x3
3 1
1 x
3 1
33 13
1 3
1 1
76 3
4.计算下列定积分 : 1
π
cos 2xdx ;
1.6微积分基本定理-人教版高中数学选修2-2课件

一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
b
b
a v(t)dt a s'(t)dt
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a f (x)dx
F(b)
F(a )
或
b a
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s'(ti1)t
i1
i1
i1
i1
当n越大,即t越小时,区间[a, b]的划分就越细,
n
n
v(ti1)t s'(ti1)t与S的近似程度就越好。
i1
i1
由定积分的定义
S
lim
n
n i1
b
n
a
v(ti1)
lim
n
n i1
b n
a
s' (ti1 )
5.若f (x) ax,则f '(x) ax ln a
6.若f (x) ex,则f '(x) ex
7.若f
(x)
loga
x,则f
'(x)
16微积分基本定理课件

2.定积分的简单性质
(1 )bk f(x )d x kbf(x )d x(k 为 常 数 )
a
a
b
b
b
( 2 )a [ f1 (x ) f2 (x ) ] d x af1 (x ) d x af2 (x ) d x
得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和。
三、小结
b
1.微积分基本定理 f(x)d x F (b )F (a) a
2.基本初等函数的原函数公式
c 被积
函数f(x)
xn
s in x cos x a x e x
1 x
e 一个原
函数F(x)
cx
1 x n 1 cosxs in x n1
ax ln a
3 1
911122.
3 3
练习1:
1
1 0
3t2 2
dt
____1 _____
3
2
2
1
x
1 x
d x
ln 2 _ _ _2_ _ _ _ _ _ _ _ _
3 2 3 x 2 2 x 1 dx __9_______ 1
解1因为 lnx' 1,
所以 12x1dxlnxx|12 l2 n l1 n l2 n .
2因为 x2' 2x,1' x
x 1 2,
1 32xx 1 2d x1 32xdx1 3x 1 2dxx2
|13
1 x
函数F(x)
cx
1 x n 1 cosxs in x n1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
c cx
x
n
sin x cos x
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
a 1 n +1 x − cos x sin x n +1 ln a
x
小结: 小结:P55 A组 1 组 B组 1 组
(4)(5)(6) )(2) (1)( ) )(
(
)
3 1 2 3 x 1 x ∫1 2 − x dx = ∫1 2 dx − ∫1 xdx= ln2 |1 − 2 x 1 2 6 8 = − − 2 3 − 2 = ln2 − 2 3 + 2 . ln2 ln 2
3 3 3
x
(
)
2 x 0 ≤ x ≤ 1 ,求 例3 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5
被积 函数f(x) 函数 一个原 函数F(x) 函数
c cx
x
sin x cos x
a
x
x
e e
x
1 x
ln | x |
a 1 n +1 x − cos x sin x n +1 ln a
x
1.计算定积分 计算定积分
1 例 计算下列定积分:
∫
π
0
sin xdx, ∫ sin xdx, ∫ sin xdx .
y
1
y = sinx
y 1
y = sinx
π
o −1
π2π2πx Nhomakorabeax
o −1
y
1
−1
y = sinx
o
2π
π
x
得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和 得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和
x 1 例2.计算下列定积分: (1) ∫ cos 2xdx; ( 2) ∫ 2 − dx . 0 1 x '
( 例4.已知f ( x)是一次函数,其图象过点 3, 4),且 4.已
∫
1
0
f ( x)dx = 1,求f ( x)的解析式
练一练:已知 练一练:已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0, 且
∫ f (x)dx = −2,求a,b,c的值
0
1
练习:已知f (a) = ∫ (2ax2 − a2 x)dx,求f (a)的最大值。
我们发现: 我们发现:
(1)定积分的值可取正值也可取负值,还可以是0; 定积分的值可取正值也可取负值,还可以是0 当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值; (2)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值; 当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值; (3)当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值; 当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x (4)当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时,定积分的值为0 的面积时,定积分的值为0.
0
1
1.微积分基本定理 微积分基本定理 ' 如果f ( x) 是区间[ a, b] 上的连续函数, 且F ( x) = f ( x) , 则
小结
b a
∫
b
2.基本初等函数的原函数公式 基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x) 函数 一个原 函数F(x) 函数
a
f ( x )dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a )
π
0
2π
2π
解 因为( − cos x) = sin x,
'
∫ ∫ ∫
π
0
sin xdx = ( −cos x) |0 = (− cosπ) − (− cos0) = 2;
π
2π
π 2π
sinxdx = (− cos x) |2π = (− cos2π) − (− cosπ) = −2; π
2 W sinxdx = (− cos x) |0π= (− cos2π) − (− cos0) = 0.
解
∫0
2
f ( x )dx .
y
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1 2 0 1
1
2
原式 = ∫ 2 xdx + ∫ 5dx
= x | +5 x |
2 1 0
2 1
o
1
2
x
= 6.
2.微积分与其他函数知识综合举例: 微积分与其他函数知识综合举例: 微积分与其他函数知识综合举例
π
3
1 解 (1) 因为 sin 2x = cos 2x, 2 π 1 1 1 所以 cos 2xdx = sin2x |π = sin 2π − sin0 = 0. 0 ∫0 2 2 2 ' x ' 2 1 x ( 2)因为 = 2 , 2 x = , x ln 2
复习引入: 复习引入:
1.微积分基本定理 微积分基本定理 ' 如果f ( x) 是区间[ a, b] 上的连续函数, 且F ( x) = f ( x) , 则
b
∫
a
f ( x )dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a )
b a
n
2.基本初等函数的原函数公式 基本初等函数的原函数公式