高中数学讲义微专题30 y=Asin(wx+t)的解析式的求解

（3）举例说明：
y sin x 3 cos x
①
y
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
②
1 cos ,
2
3
3 2
sin
3
y
2
cos
3
sin
x
sin
3
cos
x
③
y
2
sin
x
3
（4）注意事项： ① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余 弦公式，所以构造的正余弦要同角 ② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的 角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：
sin x 进 行 了 横 纵 坐 标 的 放 缩 ， 此 时 解 析 式 为
2
y 2sin 3 x ，这个函数图象的特点是过原点。而与已知图像比较，可得已知图像相当于 2
y
2 sin
3 2
x
图像向左平移了
6
个单位。所以
y
2 sin
3 2
x
6
2
sin
3 2
x
4
。利用
图像变换求解析式关键要分析出所求图像与 y Asinx 的联系（即如何平移得到）。
y
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
，可视为
1 2
sin
6
,
3
cos
，那么此时表达式就变为：
2
6
y
2
sin
6
sin
x
cos
6
cos
x
，使用两角差的余弦公式：
y
2
cos
x
6
所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。
当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但
进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点 ① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的 统一（有句老话：切割化弦）
② 确定研究对象：是以 x 作为角来变换，还是以 x 的表达式（例如 2x ）看做一个角来进行变
换。 ③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）， 若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要
2
2
例如：
y
sin
x
cos
x
6
，确定研究对象了：
x
，也齐一次，但就是角不一样（一个是
x
，一个是
x
6
）那么该拆则拆，将
cos
x
6
打开
y sin x 3 cos x 1 sin x 1 sin x 3 cos x 于是就可合角了
2
2
2
2
（二）求解 A,, 的值以确定解析式
1、 A,, 的作用
x
4
D.
f
x
4
sin
1 2
x
3 4
思路：
f
'x
A cosx ，可先从周期入手确定 的值， T
2
3 2
2
4
，
所以
1， 再 由 最 值 可 得 ： 2
A 2 A 4 ， 代 入
2
,
2
即
可
解
出
：
f
'
2
2
cos
1 2
2
2
cos
4
1，所以
4
sin
1 2
6
，所以
f
1
2
sin
3
6
1
答案： f 1 1
例
6
：
已
知
函
数
f x Asin x A 0, 0,0 ，其导函数
f ' x的部分图像如图所示，则函数 f x的解析式是
（
）
A.
f
x
2 sin
1 2
x
4
B.
f
x
4
sin
1 2
x
4
C.
f
x
2 sin
所以
代入
6
,
2
可
得：
2 sin
3 2
6
2
4
2
2k
k
Z
，由 0
2
可解得：
4
，所以解
析式为
y
2 sin
3 2
x
4
答案：A 小炼有话说：
（1）本题在求 时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点，
那么在 y Asin x 的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。
微专题 30 函数 y Asin x 解析式的求解 在有关三角函数的解答题中，凡涉及到 f x Asin x 的性质时，往往表达式不
直 接 给 出 ， 而 是 需 要 利 用 已 知 条 件 化 简 或 求 得 A,, 得 到 ， 本 讲 主 要 介 绍 求 解
y Asin x 解析式的一些技巧和方法
3 2
x
6
D.
y
2
sin
x 2
6
思路：由题目所给最值可得 A 2 ，图中所给两个零点的距
离刚好是函数一个周期的长度。所以 T
7 6
6
4 3
2 T
3
，此时解析式为
2
y
2
sin
3 2
x
，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐标
与
x 的 距 6
离为
T ， 64 6
（1）使用范围：三个特点：① 同角（均为 ），②齐一次，③正余全
（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为
f x Asin x 的形式了，通过以下三步：
①一提：提取系数： a2 b2 ，表达式变为：
a sin b cos
a2
b2
a sin a2 b2
只要最值点可求，就用最值点求得
（2）为什么不能用其它点？不妨以此题为例，代入零
点
求
解
再
进
行
对
比
。代
入
6
,
0
可
得：
2 sin
3 2
6
0
4
k
k Z，
从而
在 0,2 中
的
值
有
两
个
：
, 5 ，那么到底哪个是符合图像的呢？不妨再代入最值点验证，会发现 5 时，
44
4
y
|
x
（1） A : 称为振幅，与 y Asin x 一个周期中所达到的波峰波谷有关 （2） ：称为频率，与 y Asin x 的周期 T 相关，即 2
T
（3） ：称为初相，一定程度上影响 y Asin x 的对称轴，零点
2、 A,, 的常规求法：
（1） A ：
① 对于 y Asin x 可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 ② 对于 y Asin x b 可通过一个周期中最大，最小值进行求解： A ymax ymin
3
解：方法一：拆开化简
f x 3 sin 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 3 sin 2x
2
2
2
2
3
sin
2x
cos
2x
2
sin
2
x
6
方法二：将 2x 视为一个整体，则 2x 2x
6
3
62
f
x
sin
2
x
6
cos
2x
3
sin
2x
6
cos
出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。 二、典型例题：
例
1：化简：
f
x
2 sin
x
cos
x
4
2 2
解：原式 2 sin x
2 cos x 2
2 2
sin
x
2 2
2 sin x cos x 2 sin2 x 2 2
2 sin 2x 2 1 cos 2x 2
2
x
6
2
sin
2x
6
sin
2
x
6
2
sin
2
x
6
例
Hale Waihona Puke 4：如图，函数yAsin x
A
0, 0
2
的图像经过点
6
,0
,
7 6
,0
，
且该函数的最大值为 2 ，最小值为 2 ，则该函数的解析
式为（ ）
A.
y
2 sin
3x 2
4
B.
y
2 sin
x 2
4
C.
y
2 sin
已知图像完全一致，只是在最值点处刚好关于 x 轴对称。如果是曲线上的其它点也是会出现两
个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对 的取值范围刻画更加严格，那么代入
非最值点也可得到唯一解。
（3）本题除了可用纯代数方法计算 ，还可以利用图像变换得到 的取值，由前面计算出
A 2,
3
，可得函数图象从
y
y
2
cos
x
6
与
y
2 sin
x
3
本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~） ③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现
括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的 来代替，再在旁边标注 的一个三角函数值。
3、表达式的化简攻略： 可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来
③ 如果 y Asin x 相邻的对称轴与对称中心分别为 x a,b,0 ，则 T 4 b a
注：在 y Asin x 中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。
（3） ：在图像或条件中不易直接看出 的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要
注意题目中对 的限制范围
3、确定解析式要注意的几个问题：
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
（4）合角公式： a sin b cos a2 b2 sin ，其中 tan b （这是本讲的主角，
a
也是化简的终结技）
2、关于合角公式： a sin b cos a2 b2 sin 的说明书：
2
2
2
2 sin 2x 2
2 2
cos
2
x
sin
2x
4
例 2：化简： f x 2 cos2 x 2 3 sin x cos x 1
解： f x 2 cos 2x 1 3 sin 2x 1
2
cos 2x
3
sin
2x
2
sin
2
x
6
例
3：
f
x
sin
2
x
6
cos
2x
2
（2） ：由 2 可得：只要确定了 y Asin x 的周期，即可立刻求出 ，而 T
T
的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果 y Asin x 相邻的两条对称轴为 x a, x ba b ，则 T 2b a
② 如果 y Asin x 相邻的两个对称中心为 a,0,b,0a b ，则 T 2b a
2 3
，所以 3
，
取零点的中点可得对称轴 x
7 12
11 12
3
2
4
而
f
3 4
Acos
3
3 4
A，从而
一、基础知识：
（一）表达式的化简：
1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）
（1）降幂公式： cos2 1 cos 2 ,sin2 1 cos 2
2
2
（2） 2sin cos sin 2
（3）两角和差的正余弦公式
sin sin cos sin cos
sin sin cos sin cos
2
，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出两
6
个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到1, 1 时，对应的角
只有一个，而正弦值取到 1,1 时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会出
现多解问题。那么 5 时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点和 4
2k
k Z，即
4
。从而
f
x 的解析式为
f
x
4
sin
1 2
x
4
答案：B
例
7：已知函数
f
x
A cos x
的图像如图所示，
f
2
2 3
，则
f
0
（
）
A. 2 3
B. 1 2
2
C.
3
思路一：可以考虑确定 f x 的解析式进而求出 f 0 ，
1
D.
2
如图可计算出T
2
11 12
7 12
例
5：如图所示为函数
f
x
Asin x
0, 0
2
的部分图像，其中
A, B
两点
之间的距离为 5 ，那么 f 1 _________
思路：如图可得 AC 4 ，从而计算出 BC 3 ，所以 T 2 BC 6 ，进而 3
而
Ay 2 ， 所 以
A2， 此 时
f
x
2 sin
3
x
，
而
f 0 2sin 1， 解 得
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于 A, 与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定 A 的值，再根据对称轴对称中心 的距离确定 T ，进而求出 ，最后再通过代入一个特殊点，并根据 的范围确定 。
（2）求 时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的 值唯一，不会
b a2
b2
cos
② 二找：由
a a2
b2
2
b a2
b2
2
1，故可看作同一个角的正余弦（称
为辅助
角），如 cos a ,sin b ，可得：
a2 b2
a2 b2
a sin b cos a2 b2 cos sin sin cos
③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角： a sin b cos a2 b2 sin
使用合角公式，其结果成为 f x Asin x 的形式。例如：
齐二次式：
y
sin2
x
2
cos
x
sin
x
2
，齐一次式：
y
sin
x
cos
x
6
（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式