三角形等高模型

等高三角形模型

知识框架

三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3

，则三角形面积与原来

的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

b

a

S 2S 1

D

C B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

例题精讲

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成 3个面积相等的三角形．

【巩固】你有多少种方法将任意一个三角形分成4个面积相等的三角形．

【例 2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．

⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

D C

B

A

【巩固】如右图，E在AD上，AD垂直BC， AD=12厘米，DE=3厘米。

求：三角形EBC的面积是三角形ABC面积的几分之几？

【例 3】如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

【巩固】 求下图中阴影部分的面积。

【例 4】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分

的面积是 平方厘米．

E

D C

A

【巩固】 如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，

则它内部阴影部分的面积是 ．

C

D

E

【例 5】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H

为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

G

E D C

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．

G

E

B

C

F

【例 6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

E

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．

【例 7】 正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？

【巩固】 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．

A

【例 8】 如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共

有哪几个三角形？

E

D

C

B

A

【巩固】 如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

O

D

C

B

A

【例 9】 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点。求：三角形DEF 的面积。

【巩固】 如右图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF=2CF ，三角形AFE(图中阴影部分)的面

积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?

【例 10】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

G

F

E

C

B A

【巩固】 如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为

几厘米？

A B

G

C E F

D

【例 11】如右图，三角形ABG和三角形ECF是两个完全一样的直角三角形，AB=10，BC=7，ED=4。求四边形EDGF的面积。

【巩固】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.

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【例 12】如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF FC

，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．

A B D F

甲乙丙

【巩固】已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积．