解三角形复习课件

即a＝3，b＝5，c＝7. a2＋b2－c2 1 ∴cosC＝ 2ab ＝－2.∴C＝120° .
第一章
解三角形
已知条件
应用定理
一般解法 由A＋B＋C＝180° ，求角A； 由正弦定理求出b与c.
一边和二角 (如a，B，C)
正弦定理
1 S△＝ acsinB 2 在有解时只有一解． 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所
两边和夹角 (如a，b，C)
对的角；再由A＋B＋C＝180° 求出另一角． 余弦定理 1 S△＝ absinC 2 在有解时只有一解．
15 ＝ >0， 2 ∴cos∠ACB<0. ∴∠ACB>90° ，即∠ACB是△ABC中的最大内角． 33 → → 15 → → 由已知BC· CA＝ ，AB· BC＝－ ， 2 2 → → → → → → → ∴BC· CA＋AB· BC＝BC(CA＋AB) → → →2 ＝BC· CB＝－|BC| ＝－9.
二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝ b2＋c2－a2 a 等，通过代数恒等变换，求出三条边 2R ，cosA＝ 2bc 之间的关系进行判断．
5.与其他知识的综合运用 在解三角形应用正弦定理、余弦定理时，还要注意 与三角形的其他知识的综合应用． (1)三角形的内角和定理A＋B＋C＝180° . 1 1 1 (2)三角形的面积公式S＝ 2 ah，S＝ 2 absinC＝ 2 acsinB 1 ＝ bcsinA. 2 (3)大边对大角，等边对等角． (4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (5)解决不在同一平面内的三角形问题要注意正确画出 空间图形．
sinA＝sin(180° －45° －C)＝sin(135° －C ) 2 3 10 ＝ 2 (cosC＋sinC)＝ 10 . AC 10 3 10 由正弦定理，得BC＝sinB· sinA＝ × 10 ＝3 2. 2 2
[例1]
2 5 在△ABC中，B＝45° ，AC＝ 10，cosC＝ . 5
【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c· cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b) cos C＝c cos B， ∴(2sin A－sin B) cos C＝sin C cos B， 2sin A cos C－sin B cos C＝cos B sin C， 即2sin A cos C＝sin (B＋C)， ∴2sin A cos C＝sin A.
π ， 3
2
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
[例2]
在△ABC中，若B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△
ABC的形状．
[例2]
在△ABC中，若B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△
ABC的形状．
[解] 方法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2 → → → → [解] 方法一：∵ BC · CA ＝| BC || CA |· cos(180° －∠ACB)
(1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长． AC 10 5 (2)由正弦定理，得AB＝sinB· sinC＝ × 5 ＝2. 2 2 1 BD＝2AB＝1. 由余弦定理，得CD＝ BD2＋BC2－2BD· BC· cosB ＝ 2 1＋18－2×1×3 2× 2 ＝ 13.
三、正、余弦定理与其他知识的综合 [例4] 65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
在△ABC中，若B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△
ABC的形状．
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB. a＋c a＋c 2 ∵B＝60° ，b＝ 2 ，∴( 2 ) ＝a2＋c2－2accos60° . 整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c. ∴△ABC为正三角形．
由余弦定理求出角A，B；再利用 A＋B＋C＝180° ，求出角C. 三边(a，b，c) 余弦定理 S△＝ 解． 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C ＝180° ，求出角C；再利用正弦定 两边和其中一边的 对角(如a，b，A) 正弦定理 理求出c边． 1 S△＝ absinC，可有两解，一解或 2 无解. 1 absinC，在有解时只有一 2
∵B＝60° ，∴A＋C＝120° . 将A＝120° －C代入上式，得 2sin60° ＝sin(120° －C)＋sinC， 3 1 展开，整理得 2 sinC＋2cosC＝1. ∴sin(C＋30° )＝1，∴C＋30° ＝90° . ∴C＝60° ，故A＝60° .∴△ABC为正三角形．
[例2]
2.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解 这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时 应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此 时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
3．三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理 和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝ 2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进 行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关 系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A π ＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝2等；
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2 → → → 方法二：同解法一，求出|BC|＝3，|CA|＝5，|AB|＝7. ∴∠ACB最大，由余弦定理得 32＋52－72 1 cos∠ACB＝ ＝－ . 2 2×3×5 ∴∠ACB＝120° ，即最大角为120° .
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2
Hale Waihona Puke Baidu
→ → ∴|BC|＝3，同理可求得|CA|＝5. → → 15 又∵BC· CA＝ 2 ， 15 → → ∴ 2 ＝|BC||CA|cos(180° －∠ACB)＝－15cos∠ACB， 1 ∴cos∠ACB＝－2. 又∵0<∠ACB<180° ，∴∠ACB＝120° .
[例1]
2 5 在△ABC中，B＝45° ，AC＝ 10，cosC＝ 5 .
(1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长．
[例1]
2 5 在△ABC中，B＝45° ，AC＝ 10，cosC＝ . 5
(1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长． [解] 2 5 5 (1)由cosC＝ 5 ，得sinC＝ 5 ，
1 π ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos C＝ ，∴C＝ . 2 3
1 π (2)由 S＝ absin C＝10 3，C＝ ， 2 3 得 ab＝40.① 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 c ＝(a＋b) ∴7 ＝(a＋b)
2 2 2
－2ab1＋cos
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2 方法三：设△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a， b，c. 15 → → 15 由BC· CA＝ 得abcosC＝－ ， 2 2 由余弦定理得a2＋b2－c2＝－15.① 同理可得b2＋c2－a2＝65，② c2＋a2－b2＝33.③ 由①②③解得a2＝9，b2＝25，c2＝49，