安徽省2019届高三皖南八校第一次联考数学理试卷附答案

绝密★启用前安徽省2019届高三皖南八校第一次联考数学（理）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合A ={x | x 2−x >0},B ={x | 2x >1}，则A ∩B ＝ A ． (0,12) B ． (12,1) C ． (0,+∞) D ． (1,+∞) 2．设i 是虚数单位，且i 2019=i−kki−1，则实数k ＝ A ． 2 B ． 1 C ． 0 D ． −13．函数f(x)=a x (a >0且a ≠1)是增函数的一个充分不必要条件是 A ． 0<a <12 B ． 0<a <1 C ． 2<a <3 D ． a >14．偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，且f(1)=−1，则满足f(2x −3)>−1的实数x 的取值范围是A ． (1,2)B ． (-1,0)C ． (0,1)D ． (-1,1)5．如图在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，F 为AE 的中点，则BF⃑⃑⃑⃑⃑A ． 13AB⃑⃑⃑⃑⃑ −23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ B ． −23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ． −13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ． 23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 6．若函数y =cosx +sinx 在区间（－a ，a ）上是单调函数，则实数a 的取值范围是A ． (0,π]B ． (0,3π4]C ． (0,π2]D ． (0,π4]7．设不等式组{2x +y −2≤0x −2y +4≥03x −y −3≤0，所表示的平面区城为M ，若直线y =k(x −2)−1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是A ． (−∞,−1]B ． [−32,−1] C ． (−∞,−32] D ． [−1,3]8．设{a n }是等差数列，a 1=5,a 8=11，且a n =b n+1−b n ,b 1=1，则b 11＝ A ． 59 B ． 64 C ． 78 D ． 869．函数y =log a(x+4)−1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线xm +yn =−1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为A ． 13B ． 16C ． 11+6√2D ． 2810．函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个π3单位长度，再向上平移2个单位长度，得到g(x)的图象则g(x)）图象的一条对称轴为直线A ． x =π12B ． x =π4 C ． x =π3 D ． x =5π1211．已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，若对任意x ∈(0,+∞),f(f(x)−1x)=2恒成立，则f(16)的值是A ． 5B ． 6C ． 7D ． 812．设函数f(x)在R 上存在导数f ′(x)，对任意的x ∈R ，有f(−x)−f(x)=0，且x ∈[0,+∞)时，f ′(x)>2x ．若f(a −2)−f(a)≥4−4a ，则实数a 的取值范围为A ． (−∞,1]B ． [1,+∞)C ． (−∞,2]D ． [2,+∞)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知α是第二象限角，且sinα=35，则sin(α+π4)=______14．用min {a,b }表示a 、b 两个数中的最小，设f(x)=min {1x ,√x}(x ≥14)，则由函数f(x)的图象，x 轴与直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积为__________。

15．设函数f(x)=3x+1+23x +1+2sinx(x ∈[−π2,π2]的最大值为M ，最小值为N ，则M＋N=___。

16．已知高数f(x)的周期为4，且x ∈(−1,3]时，f(x)={√1−x 2,x ∈(−1,1]1−|x −2|,x ∈(1,3],，若方程mf(x)=x 恰有5个实数解（其中m ＞0），则m 的取值范围为_____________。

三、解答题17．已知向量a =(5√3cosx,cosx),b ⃑ =(sinx,2cosx)，函数f(x)=a ⋅b⃑ +b ⃑ 2 （1）求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间 （2）当π6≤x ≤π2时，求函数f(x)的值域18．数列{a n }的前n 项和记为S n ，且a 1＝1，na n+1=(n +2)S n ,(n ∈N ∗)（1）求证：数列{Sn n }是等比数列（2）求数列{a n }的通项公式19．在斜ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(a+b+c)(b−a−c)ac+2=cos(A+C)sinAcosA（1）求A 的大小（2）若sinCcosB >√2，求B 的取值范围20．命题P ：∀x ∈R,√(a +1)x 2−(a +1)x +1有意义；命题q ：函数y =ax 2+3(xc0sx −sinx)在(0,+∞)上是单调函数（1）写出命题¬p，若p为真命题，求实数a的取值范围（2）若(¬p)∨q为真命题，(¬p)∧q为假命题，求实数a的取值范围21．已知函数f(x)=x+1e x（1）求证：对任意x∈R，有f(x)≤1（2）若g(x)=2x+1−x+a+1+f(x)在实数集内有两个零点，求实数a的取值e x范围22．设函数f(x)=x2+bx−alnx（1）若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在x轴上的截距为一2，在y轴上的截距为2，求a与b的值（2）若对任意b∈[−2,−1]，都存在x∈(1,e)（e为自然对数的底数），使得f(x)< 0成立，求实数a的取值范围参考答案1．D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合A，由交集的定义可得结果.【详解】因为集合A={x|x2−x>0}={x|x>1或x<0}，},所以，A∩B={x|x>1}=(1,+∞)，故选D.B={x|x>12【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合.2．C【解析】【分析】由虚数单位i的运算法则化简i2019，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为i2019i=i504×4+3=i3=−i，所以−i=i−k,ki−1可得k+i=i−k,∴k=0，故选C.【点睛】本题主要考查虚数单位i的运算法则以及复数相等的性质，属于简单题3．C【解析】【分析】利用指数函数的单调性，结合充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】与0<a<1是函数f(x)=a x(a>0且a≠1)为增函数的既不充分又不必要0<a<12条件；a>1是函数f(x)=a x(a>0且a≠1)为增函数的充要条件；2<a<3可得a>1，a>1不等得到2<a<3，所以2<a<3是函数f(x)=a x(a>0且a≠1)是增函数的一个充分不必要条件，故选C.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p⇒q,q⇒p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 4．A【解析】【分析】由偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，可得函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，结合f(1)=−1，原不等式转化为|2x−3|<1，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，所以函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，由f(1)=−1且满足f(2x−3)>−1=f(1)，等价于f(|2x−3|)>f(1)，|2x−3|<1，可得−1<2x−3<1,2<2x<4,1<x<2，实数x的取值范围是(1,2),故选A.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 5．B 【解析】 【分析】直接根据平面向量加法与减法的运算法则化简求解即可. 【详解】根据平面向量的运算法则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BE ⃑⃑⃑⃑⃑ , BE⃑⃑⃑⃑⃑ =23BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ； 因为AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC⃑⃑⃑⃑⃑ ,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ , 所以BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故选B. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 6．D 【解析】 【分析】求出函数y =cosx +sinx 在[2kπ−3π4,2kπ+π4]上递增，由−3π4≤−a <a ≤π4可得结果.【详解】函数函数y =cosx +sinx 可化为y =√2sin (x +π4)，由2kπ−π2≤x +π4≤2kπ+π2可得2kπ−3π4≤x ≤2kπ+π4函数y =cosx +sinx 的单调增区间为[2kπ−3π4,2kπ+π4],k ∈Z,由−3π4≤−a <a ≤π4可得0<a≤π4，实数a的取值范围是(0,π4]，故选D.【点睛】函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的求法：(1) 代换法：①若A>0,ω>0,把ωx+φ看作是一个整体，由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z)求得函数的减区间，−π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ求得增区间；②若A>0,ω<0,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.7．A【解析】【分析】画出不等式组{2x+y−2≤0x−2y+4≥03x−y−3≤0表示的可行域，将问题转化为可行域内的点(x,y)与C(2,−1)连线的斜率的范围求解即可.【详解】画出不等式组{2x+y−2≤0x−2y+4≥03x−y−3≤0表示的可行域，如图ΔABD，y=k(x−2)−1恒过C(2,−1)，k=y+1x−2即为可行域内的点(x,y)与C(2,−1)连线的斜率，由图可知，k≤k BC=−1，即实数k的取值范围是(−∞,−1]，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．D【解析】【分析】由a1=5,a8=11可得a n=n+3，利用“累加法”，结合等差数列的求和公式可得结果.【详解】设{a n}的公差为d，则a1+d=5,a1+7d=11,∴a1=4,d=1,∴a n=n+3，又a n=b n+1−b n,b1=1，∴n>1时，b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋅⋅⋅+(b n−b n−1)=1+a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1=1+(n−1)(n+6)2，∴b11=86，故选D.【点睛】等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1,d,n,a n,S n,一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质a p+a q=a m+a n=2a r（p+q=m+ n=2r）与前n项和的关系.9．B【解析】【分析】由函数y=log a(x+4)−1(a>0,a≠1)的图象恒过A(−3,−1)，可得3m +1n=1，则3m+n=(3m+n)×(3m +1n)，利用基本不等式可得结果.【详解】函数y=log a(x+4)−1(a>0,a≠1)的图象恒过A(−3,−1)，由点A在直线xm +yn=−1上可得，−3 m +−1n=−1，即3m+1n=1，故3m+n=(3m+n)×(3m +1n)=10+3(nm+mn)，因为m>0,n>0，所以nm +mn≥2√nm×mn=2（当且仅当nm=mn，即m=n时取等号），故3m+n=10+3(nm +mn)≥10+3×2=16，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D【解析】【分析】由最值求A，由周期求ω，利用特殊点求φ，从而可得结果.【详解】由图象可知A=√2,T4=π4,∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=√2sin(2×7π12+φ)=−√2，所以7π6+φ=2kπ−π2(k∈Z),∴φ=2kπ−5π3,∴φ=π3,∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴g(x)=f(x−π3)+2=√2sin(2x−π3)+2，2x−π3=π2可得x=5π12，故选D.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出φ，正确求ω，φ是解题的关键.求解析时求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 时ωx+φ=011．C【解析】因为函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且f(f(x)−1x )=2，所以f(x)−1x为一个常数，则f(x)=1x+n，令这个常数为n，则有f(x)−1x=n，且f(n)=2，将f(n)=2代入上式可得f(n)=1n+n=2，解得n=1，所以f(x)=1+1x ，所以f(15)=6，故选B.12．A【解析】【分析】构造函数G(x)=f(x)−x2，由f′(x)>2x可得G(x)在[0,+∞)上是增函数，在(−∞,0)上单调递减，原不等式等价于G(a−2)≥G(a),∴|a−2|≥|a|，从而可得结果.【详解】设G(x)=f(x)−x2，则G′(x)=f′(x)−2x,x∈(0,+∞)时，G′(x)=f′(x)−2x>0，G(−x)=f(−x)−(−x)2=f(x)−x2=G(x)∴G(x)为偶函数，∴G(x)在[0,+∞)上是增函数，x∈(−∞,0)时单调递减.所以f(a−2)−f(a)≥4−4a,可得f(a−2)−4+4a−a2≥f(a)−a2，∴f(2−a)−(a−2)2≥f(a)−a2，即G(a−2)≥G(a),∴|a−2|≥|a|,∴a≤1，实数a的取值范围为(−∞,1]，故选A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 13．【答题空13-1】−√210 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式求解即可. 【详解】因为a 是第二象限角，且sina =35， 所以cosa =−45，故sin (a +π4)=√22×(35−45)=−√210，故答案为−√210.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于简单题. 14．712+ln2 【解析】 【分析】将围成封闭图形转化为∫√x 114dx +∫1xdx 21，利用定积分求解即可.【详解】由题意，围成封闭图形如图中阴影部分，由题意，S =∫√x 114dx +∫1xdx =2321x 23|141+lnx |12=23(1−18)+ln2=712+ln2，故答案为712+ln2. 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分∫f (x )ba dx 的几何意义是介于x 轴、曲线y = f (x )以及直线x =a,x =b 之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解. 15．5 【解析】 【分析】 由f(x)=3x+1+23x +1+2sinx 可得f (−x )−52+f (x )−52=0，从而可得f (x )max −52+f (x )min −52=0，进而可得结果.【详解】f (−x )=3−x+1+23−x +1+2sin (−x )=3+2×3x 1+3x−2sinx,f (−x )+f (x )=5,∴f (−x )−52+f (x )−52=0,∴y =f (x )−52是奇函数， ∴f (x )max −52+f (x )min −52=0，即M −52+N −52=0,M +N =5，故答案为5. 【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数奇偶性的判断与应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题.16．(√15,6)【解析】【分析】mf(x)=x有5个解，等价于为y=f(x)与y=1mx的图象有5个交点，利用数形结合可得结果.【详解】mf(x)=x有5个解，等价于为y=f(x)={√1−x2,x∈(−1,1]1−|x−2|,x∈(1,3]与y=1mx的图象有5个交点，在同一坐标系内画出函数y=f(x)与y=1mx的图象，如图.求出直线y=1m x过点(6,1)和直线y=1mx与半圆(x−4)2+y2=1相切时的m的值分别为√15,6，由图可得m∈(√15,6)时，y=f(x)={√1−x2,x∈(−1,1]1−|x−2|,x∈(1,3]与y=1mx的图象有5个交点，故答案为(√15,6).【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)−g(x)的零点⇔函数y=f(x)−g(x)在x轴的交点⇔方程f(x)−g(x)=0的根⇔函数y=f(x)与y=g(x)的交点.17．（1）T=2π2=π，[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)（2）[1,172]【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积公式，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数f (x )化为5sin (2x +π6)+72.，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数f (x )的递减区间；（2）由π6≤x ≤π2,可得−12≤sin (2x +π6)≤1，从而可得结果. 【详解】f (x )=a ⋅b +b 2=5,√3cosx ⋅sinx +2cosx ⋅cosx +sin 2x +4cos 2x =5，√3sinxcos +sin 2x +6cos 2x =5√32sin2x +1−cos2x2+3(1+cos2x )=5√32sin2x +52cos2x +72=5sin (2x +π6)+72. （1）f (x )的最小正周期T =2π2=π.由2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3,k ∈Z∴f (x )的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k ∈Z ).（2）∵π6≤x ≤π2,∴π2≤2x +π6≤7π6，∴−12≤sin (2x +π6)≤1. ∴1≤f (x )≤172，即f (x )的值域为[1,172].【点睛】以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 18．（1）见解析（2）a n =(n +1)2n−2 【解析】 【分析】（1）把na n+1=(n +2)S n ，化为n (S n+1−S n )=(n +2)S n ，nS n+1=2(n +1)S n 化简整理得S n+1n+1=2(S n n )，进而可推出{Sn n}是以1为首项2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）由a 1=1，结合（1）可得S n =n ⋅2n−1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n +1)2n−2.【详解】（1）∵na n+1=(n+2)S n,∵n(S n+1−S n)=(n+2)S n，∴nS n+1=2(n+1)S n,∴S n+1n+1=2(S nn)，又a1=1,∴S nn=a11=1.∴{S nn}是以1为首项2为公比的等比数列（2）∵{S nn}是以1为首项2为公比的等比数列，S nn=2n−1，即S n=n⋅2n−1，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n⋅2n−1−(n−1)⋅2n−2=2n−2(2n−n+1)=(n+1)2n−2，a1=1也符合，所以a n=(n+1)2n−2，【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用公式a n={S1,n=1S n−S n−1,n≥2，将所给条件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用S n与通项a n的关系求a n的过程中，一定要注意n=1的情况.19．（1）A=π4（2）π4<B<π2【解析】【分析】（1）由(a+b+c)(b−a−c)ac +2=cos(A+C)sinAcosA，利用余弦走理，结合二倍角的正弦公式,可得sin2A=1,即可求角A；（2）若B+C=3π4,则甶余弦走理可得sin3π4cosB−cos3π4sinBcosB>√2,求得tanB>1,即可得π4<B<π2.【详解】（1）∵(a+b+c)(b−a−c)ac +2=cos(A+C)sinAcosA∴b2−(a+c)2ac +2=b2−a2−c2ac=cos(A+C)sinAcosA=cosB12sin2A，∴b2−a2−c2ac =−a2+c2−b22ac12sin2A，由ΔABC为斜三角形，∴sin2A=1,∴A=π4.（2）∵sinCcosB >√2,∴cosB >0， 由（1）知B +C =3π4,∴sin(3π4−B)cosB>√2，即sin3π4cosB−cos 3π4sinB cosB>√2∴√22+√22tanB >√2,∴tanB >1,∴π4<B <π2【点睛】本题主要考查余弦定理及三角函数的恒等变换，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a 2=b 2+c 2−2bccosA ；（2）cosA =b 2+c 2−a 22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o ,45o ,60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 20．（1）a ∈[−1,3]（2）(−32,−1)∪[32,3] 【解析】 【分析】（1）利用全称命题的否定可得¬p:∃x ∈R,√(a +1)x 2−(a +1)x +1=1无意义，p 为真命题时，分类讨论可得，a ∈[−1,3]；（2）¬p 为真命题时，a ∈(−∞,−1)∪(3,+∞)，化简命题q 可得a ≥32或a ≤−32，由(¬p)∨q 为真命题，(¬p)∧q 为假命题，可得¬p,q 一真一假，分两种情况讨论，对于¬p 真q 假以及¬p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）¬p:∃x ∈R,√(a +1)x 2−(a +1)x +1=1无意义， P 为真命题时，a +1≥0.当a +1=0,a =−1时，√(a +1)x 2−(a +1)x +1=1有意义. 当a +1>0,(a +1)2−4(a +1)≤0,−1≤a ≤3时，有意义.∴p 为真命题时，a ∈[−1,3].（2）¬p 为真命题时，a ∈(−∞,−1)∪(3,+∞)，q 为真命题时，y ′=2ax +3(cosx −xsinx −cosx )=x (2a −3sinx )， 由函数在(0,+∞)上是单调函数，∴2a ≥3sinx 或2a ≤3sinx 在x >0时成立，∵a ≥32或a ≤−32.∵(¬p)∨q为真命题，(¬p)∨q为假命题，∴¬p与q一真一假，当¬p为真命题时，q为假命题时，−32<a<−1.当¬p为假命题时，q为真命题时，32≤a≤3.∴a的取值范围是(−32,−1)∪[32,3].【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.21．（1）见解析（2）a∈(−2e−32,0)【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，由单调性可得x∈R时，f(x)≤f(0)=1；（2）由g(x)=2x+1−ae x ,可得g′(x)=2+ae x. 若a≥0，则g′(x)>0恒成立，∴g(x)在R内递增，g(x)不可能有2个零点，若a<0利用导数可得g(x)在(−∞,ln(−a2))内递减，在(ln(−a2),+∞)内递增，由题意，则f(ln(−a2))<0,−2e−32<a<0，利用导数结合零点存在定理可得结果.【详解】（1）∵f(x)=x+1e ,∴f′(x)=−xe.令f′(x)=0，解得x=0.∴f(x)在(−∞,0]内是增函数，在[0,+∞)内是减函数. ∴x∈R时，f(x)≤f(0)=1（2）∵g(x)=2x+1−ae x ,∴g′(x)=2+ae x.若a≥0，则g′(x)>0恒成立，∴g(x)在R内递增，g(x)不可能有2个零点若a<0,g′(x)=0得x=ln(−a2)令g′(x)>0得x>ln(−a2)；令g′(x)<0得x<ln(−a2).∴g(x)在(−∞,ln(−a2))内递减，在(ln(−a2),+∞)内递增，由题意，则f(ln(−a2))<0,∴2ln(−a2)+1+2<0,∴a>−2e−32,∴−2e−32<a<0.下证：a∈(−2e−32,0)时，g(x)有2个零点，由g(0)=1−a>0及单调性知g(x)在(ln(−a2),0)内有1个零点.∵a∈(−2e−32,0)时，0<−a4<−a2<e−32，∴ln(−a4)<ln(−a2)<−32，取x1=−n+ln(−a4)(n>0)，则x1<ln(−a2)，g(x1)=−2n+2ln(−a4)+4e n+1=2(e n−n)+2[e n+ln(−a4)]+1.由（1）知n+1e x ≤1,∴e n≥n+1>n，取n=1+ln[−ln(−a4)]，则e n>e ln[−ln(−a4)]=−ln(−a4),∴e n+ln(−a4)>0,∴g(x1)>0，由g(x)的单调性知g(x)在(x,ln(−a2))内有1个零点，∴g(x)有2个零点时，a∈(−2e−32,0).【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22．（1）a=3，b=2（2）{a|a>1}【解析】【分析】（1）先求导得到f′(x)=2x+b−ax，由f′(1)=2+b−a，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1−b=(2+b−a)(x−1)，求出直线在坐标轴上的截距可得得到a与b的值；（2）令g(b)=xb+x2−alnx,b∈[−2,−1]，问题转化为在x∈(1,e)上g(b)max=g(−1)<0有解即可，亦即只需存在x0∈(1,e)，使得x2−x−alnx<0即可，连续利用导函数，然后分别对1−a≥0，1−a<0，看是否存在x0∈(1,e)，使得ℎ(x0)<ℎ(1)=0，进而得到结论.【详解】（1）f′(x)=2x+b−ax,f(1)=1+b,f′(1)=2+b−a，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1−b=(2+b−a)(x−1)，即y= (2+b−a)x+a−1，∴切线在y轴上的截距为2，∴a−1=2,∴a=3，又切线在x轴的截距为−2,∴1−a2+b−a=−2,∴b=2（2）解法一：令g(b)=xb+x2−alnx,b∈[−2,−1]，则g(b)为关于b的一次函数且为增函数.根据题意，对任意b∈[−2,−1]，都存在x∈(1,e)，使得g(b)<0成立，则g(b)max= g(−1)=x2−x−alnx<0在(1,e)好有解，令ℎ′(x)=2x−1−ax =2x2−x−ax，令φ(x)=2x2−2x−a,x∈(1,e),φ′(x)=4x−1>0，∴φ(x)在(1,e)上单调递增，φ(x)>φ(1)=1−a，①当1−a≥0，即a≤1时，φ(x)>0，即ℎ′(x)>0,ℎ(x)在(1,e)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，不符合题意.②当1−a<0，即a>1时，φ(1)=1−a<0,φ(e)=2e2−e−a.若a≥2e2−e>1，则φ(e)<0，所以在(1,e)上φ(x)<0恒成立，即ℎ′(x)<0恒成立.∴ℎ(x)在(1,e)上单调递减.∴存在x0∈(1,e)，使得ℎ(x0)<ℎ(1)=0，符合题意.若2e2−e>a>1，则φ(e)>0.∴在(1,e)上一定存在实数m，使得φ(m)=0.∴在(1,m)上φ(x)<0恒成立，即ℎ′(x)<0恒成立，ℎ(x)在(1,m)上单调递减，∴存在x0∈(1,m)，使得ℎ(x0)<ℎ(1)=0，符合题意.综上所述，当a∈(1,+∞)时，对任意b∈[−2,−1]，都存在x∈(1,e)，使得g(x)<0成立.解法二：f′(x)=2x−ax +b=2x2+bx−ax,x∈(1,e)，设G(x)=2x2+bx−a,x∈(1,e)，∵b∈[−2,−1],∴G(x)在(1,e)上单调递增，且G(1)=2+b−a，①当G(1)≥0，即a≤2+b时，∵b∈[−2,−1],∴a≤0.此时G(x)>G(1)≥0，∴f′(x)>0在(1,e)上恒成立，即f(x)在(1,e)上单调递增.若存在x∈(1,e)，使得f(x)成立，则f(1)=1+b<0，即b<−1恒成立.∵b∈[−2,−1]，则b=−1时不成立，∴a≤0不成立.②当G(1)<0，即a>2+b时，∵b∈[−2,−1],∴a>1.此时，（i）当G(e)<0时，G(x)<0在(1,e)上恒成立，则f(x)在(1,e)上单调递减.∵f(1)≤0,∴存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立.（ii）当G(e)≥0时，则存在x0∈(1,e)，使得G(x0)=0成立，∵G(x)在(1,e)上单调递增，∴当x∈(1,x0)时，G(x)<0，则f(x)在(1,x0)好单调递减.∵f(1)≤0，故在(1,x0)内存在x∈(1,e)，使得f(x)<0成立.综上，满足条件的a的取值范围为{a|a>1}.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数证明不等式能成立问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数k=f′(x0)；(2) 己知斜率k求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k；(3) 巳知切线过某点M(x1,f(x1))(不是切点) 求切点, 设出切点A(x0,f(x0)),利用k=f(x1)−f(x0)x1−x0=f′(x0)求解.。