中心力场的一般性质
中心力场下的圆周运动规律
中心力场下的圆周运动规律圆周运动是物体在力场中的一种常见运动形式。
在中心力场下，物体在力的作用下沿着一个半径不变的圆形轨迹运动。
本文将探讨中心力场下圆周运动的规律及相关特点。
一、中心力场的定义中心力场是指力的大小与物体到一个固定中心的距离成正比，方向始终指向该中心。
中心力的数学表达式为F = k/r²，其中F为力的大小，k为常数，r为物体与中心的距离。
二、圆周运动的基本特点1. 圆周运动的轨迹是一个半径不变的圆。
2. 物体在圆周运动过程中，速度的方向始终垂直于运动轨迹。
3. 物体在圆周运动中会受到一个向中心的向心力，向心力的大小为mv²/r，其中m为物体的质量，v为物体的速度，r为圆的半径。
4. 圆周运动的周期T与圆的半径r以及物体的质量m有关，满足公式T = 2π√(r³/(GM))，其中G为万有引力常数，M为中心物体的质量。
三、中心力场下圆周运动的规律1. 半径与速度的关系：根据向心力的表达式mv²/r = k/r²，可以得到mv² = k/r。
由此可见，物体的速度与半径的平方成反比，即半径越大，速度越小；半径越小，速度越大。
2. 周期与半径的关系：根据周期的表达式T = 2π√(r³/(GM))，可以看出，周期与圆的半径r的立方根成正比，即半径越大，周期越大；半径越小，周期越小。
3. 向心力与半径的关系：向心力的大小为mv²/r，因此可以得到，向心力与半径的平方成反比，即半径越大，向心力越小；半径越小，向心力越大。
这表明当半径减小时，物体会受到更大的向心力，运动速度也相应增加。
四、中心力场下与速度相关的其他规律1. 在圆周运动中，物体的速度大小保持不变，只有方向会改变。
2. 物体在圆周运动中，速度的方向始终与物体到中心的矢径方向相切。
五、实例分析：地球公转与卫星运动地球的公转运动可以看作是一种中心力场下的圆周运动。
量子力学(第五章中心力场)
1.角动量守恒与径向方程
在中心力场中V(r)运动的粒子，角动量
L r p 守恒。这个结论,对于经典粒子
是明显的,因为
d dr dp L pr dt dt dt
v mv r F r [V (r )]
r dV r 0 r dr
第五章 中心力场
本章所讲的主要内容
一般性质(5.1) 无限球方势阱(5.2)
三维各向同性谐振子(5.3) 氢原子(5.4)
§5.1
中心力场中粒子运动的一般 性质
无论经典力学或是量子力学中,中心力场都 占有重要的地位.而且，最重要的几种中心力 场－Coulomb场或万有引力场，各向同性谐振 子场以及无限深球方势阱，是量子力学中能 够精确求解的少数几个问题中的几个。中心 力场中运动的最重要特点是：角动量守恒。
而在边界上要求
Rl (r ) |r a 0
引进无量纲变量
(11)
(12)
kr
则式(10)化为
l (l 1) d 2 d Rl Rl 1 Rl 0 2 2 d d
2
(13)
此即球Bessel方程。令 可求出 u l 满足下列方程
Rl ul ( )
所以，径向波函数的两个解为 1 1 Rl J l 1/ 2 ( ) ， J l 1/ 2 ( )
通常用球 Bessel 函数及球 Neumann 函数 表示，其定义如下
jl ( ) Jl 1/ 2 ( ) 2
nl ( ) (1)
l 1
当 0 时，它们的渐进行为是
由于径向方程(6)或(8)中不出现磁量子数m , 因此能量本征值 E与m 无关。这是因为中心 力场具有球对称性，粒子能量显然与 z 轴的 取向无关。但在中心力场中运动的粒子能量 与角动量量子数 l 有关，而对于给定 l 的情况 下， m l , l 1, , l 1, l 共计有 2l 1 个 可能取值。因此,一般来说,中心力场中粒子 能级一般为 (2l 1) 重简并。
中心力场名词解释
中心力场名词解释中心力场（Central Force）：1、概念：是一种向心力，它是粒子之间本源力学作用的主要特点之一，表示在粒子互相施加力的同时，其运动轨道以某一点为中心，可以通过简单的几分法求解几何形状。
2、影响范围：中心力场在物体的运动中扮演着非常重要的角色，不论是在宇宙尺度、星系尺度、星系内尺度、类星体尺度或者行星尺度，都有其各自的我们重要的力学动力影响，构成了宇宙物理学的基本力学要素。
此外，中心力场还印象宇宙中数量繁多的天体形态、运动轨迹、运动引力以及物质结构等。
3、基本原理：中心力场通过对形成它的单位格子节点的相互影响和作用，能在物体上形成各种规则感知，以及普遍存在的定向力，这种力是一种非常有效的向心力，控制着物体之间的作用。
而这种力量主要来自于向心的力学动能，又叫做归中力。
4、应用：在物理学上，中心力场的应用非常广泛，可以用来说明物体运动的轨迹及其力学性质，如场中的物体如何运动以及两个物体之间的作用机制。
它是确定运动轨迹、确定运动率和建立各种工程设计模型等重要计算方法的基础。
如在物理学的范畴里，物体的质量比例为不同的中心力场，旋转引力学定律，双星系统，三个质点系统等概念也是通过中心力场阐述的。
另外中央力场也可以用于分析和预测不同的天体间的相互作用，帮助我们了解宇宙的动力学行为。
5、求解方法：比如说定性地给出解析解，将力学问题转化为微分方程来求解，或者用向量分析方法来求解，以及使用坐标转换技术，等等。
此外，还可以使用蒙特卡罗技术来求解不同参数情况下的力学测试结果，以期找到更准确的中心力场运动规律。
在求解中心力场动力学问题时，可以采用方位解办法，解决非线性中心力场的运动结果及力学性质。
第六章 中心力场
ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相 对坐标r
I II 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 二粒子作为一个整体的质心运动。 x z r1 R
1
r
+
r2
O
2
y
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第11页
可以证明：
证明：
m1 X x x1 X x1 x x1 m1 m2 X x
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第33页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数 满足下方程：
若E≥0: 自由定态, 电子从原子内电离, 连续能谱 若E＜0: 束缚定态, 电子被束缚在原子内,分立能谱
考虑氢原子的束缚态，即E < 0的情况，按§1有关结果，r→0方 程渐迚行为：
Fang Jun 第31页
练习 （习题5.7）
中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为
利用Feynman-Hellmann 定理（p.95, 习题4.7）证明对处 在能量本征态下的三维各向同性谐振子，
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第32页
§4 氢原子
r→0时，只有Rl(r) ∝rl是物理上可以接受的。等价地，要 求 径向方程的一个定 解条件。
Fang Jun 第10页
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
两体问题化为单体问题
实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量 分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r) 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,
中心力场的一般性质
量子力学中的角动量
在量子力学中，用另一种方法可以证明粒子在中心力 场中运动时角动量也是一个守恒量。
重复的指标表示 对指标求和。 角动量算符只与角度有关， 而势能只是径向坐标的函数
2015-1-26 8 3
球坐标系中的薛定谔方程
由于势能具有球对称性，采用球坐标系是方便的。
这给出恒为零的无物理意义的解。 物理上可接受的解满足：
2015-1-26 8 6
两体问题
考虑由两个粒子相互作用构成的两体系统：
引入质心坐标和相对坐标： 系统的总质量
2015-1-26
8
7
两体系统的薛定谔方程
由此得到两体系统在质心系中的薛定谔方程：
分离变量：
描写质心的自由运动， 与系统的内部结构无关 描写粒子的相对运动， 与单体方程形式相同
中
1
经典力学中的角动量
中心力场问题在粒子运动问题中占有特别重要的地位。 当粒子在中心力场中运动时，角动量守恒有重要作用。 假定质量为 的粒子在中心力场 中运动：
粒子在中心力场中运动时，对力心的角动量保持不变。 由于角动量与径矢和动量构成的 平面垂直，角动量守恒带来的结 果是，运动轨道必定是有确定法 线方向的平面曲线，轨道平面的 法线方向指向角动量的方向。
做如下变换
在不同的中心力场中，粒子的定态波函数的差别仅在 径向部分，它们由中心势的性质决定。 径向方程中不出现磁量子数，这导致能量本征值与m无 关，能级是2l+1 重简并的。
2015-1-26 8 5
径向波函数的渐近行为
假定势能在原点附近的行为满足 这时，径向方程渐近地表示成 原点是方程的正则奇 点，解必取以下形式 波函数的统计诠释要求在任何体积元内找到粒子的概 率有限，因此负幂 l + 1 < 1.5，这只当 l = 0 时才成立。 当 l = 0 时，将这个解代入径向方程，
中心力场的实验探究及应用
03 中心力场的热传导性质测定
测量传热系数和导热率
中心力场的热力学实验结果与分 析
在进行中心力场实验时，需要关注热平衡、热传 导和热力学过程等方面。通过实验数据的收集和 数学模型的拟合分析，可以深入了解中心力场下 物体的热力学特性，为进一步应用提供参考。
● 05
第五章 中心力场的动力学特 性
中心力场的应用领域
01、
天文学
中心力场在行星运动研究中发挥着至关重 要的作用
利用中心力场原理，解释宇宙中许多现象
02、
机械制造
中心力场在机械运动设计中具有广泛应用
利用中心力场原理，改善机械系统的效率
03、
生物医学
中心力场在生物医学领域的应用不断拓展
通过中心力场研究，探索细胞内部运动规律
04、
物理学研究
中心力场研究的成果与贡献
01、
基础理论
提出了中心力场的基本方程
解释了中心力场的运行原理
02、
应用领域
在航天工程中的应用
在能源领域的应用
03、
技术创新
开发了中心力场控制装置
提出了中心力场调节方法
04、
中心力场的未来发展方向
01 量子中心力场研究
探索中心力场量子特性
02 人工智能与中心力场
结合AI技术推动中心力场研究
简化谐振子模型 的中心力场
非线性中心 力场模型
复杂系统中的非 线性力场模型
谐振子中心 力场模型
描述谐振子振动 的模型
中心力场的数学定性分析
01 相空间分析
分析系统在相空间中的演化轨迹
02 系统稳定性分析
研究系统的稳定性与可持续性
03 动力学分析
量子力学 05中心力场
质心坐标 相对坐标
r r r r Y( r1 , r2 ) Y( R, r )
x1
X X x1
x x x1
x
1 1 R r 1 2 2 R r 2 1 2
z
r1
1
r
1
l (l 1) u0 2 r
若令
V (r )
l (l 1)h 2r
2
2
e
2
r
于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库 仑势两部分组成。
d u dr
2
2
2 h
2
[ E V ( r )]u 0
讨论 E < 0 情况，方程可改写如下：
•
（7）
•如果令 •则有
l (r ) [
''
Rl (r )
1 r
l (r )
l ( l 1) r
2
（8）
] l (r ) 0
2
2
( E V ( r ))
（9）
•由上式可看出粒子的能量本征值与l有关，而与m无关，而其本 征波函数还与m有关，每一个l取值，m取2l+1个值：故存在度简 并，这种简并来源于粒子所处的势场具有球对称性，故与Z轴取 值无关。 •上述径向方程解的情况有两种： •⑴如果E>0，则E的取值为连续变化，即体系能量具有连续谱， 电子此时离开原子核而运动到无限远处。 •⑵如果E<0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 Enr ,l， • nr =0,1,2,3…被称为径向量子数，故
第5章 中心力场
2015-10-9中心力场
k m F 2 r
2
开普勒第一定律
2 2 2 2 2
hu F h 1 2 2d u h u 2 u 2 m p p r d
h m F 2 p r
平方反比引力
2
iii.开普勒第三定律
2 2A r h
2 A h t t0 2 ab h
2) 开普勒定律
开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于 椭圆的一个焦点上。(1609)
开普勒第二定律：行星和太阳之间的联线(矢径)，在 相等的时间内所扫过的面积相等。(1609)
开普勒第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴 的立方成正比。(1619) 牛顿的万有引力定律(1687)：
GMm k m F 2 2 r r
1 r u
r
1 k A cos 2 h
2
轨道方程
2) 行星运动的分类I－圆锥曲线的几何判据
圆锥曲线正焦弦的一半
p r 1 e cos
偏心率
原点：力心：焦点
h2 p 2 k h2 e Ap A 2 k
r
1 k A cos 2 h
2
i. 椭圆
c e 1 a
由于 r 和 v始终在垂直于 J 的曲面内，所以质点
做平面曲线运动。
从角动量的大小为常数可得出位矢的掠面速度为 常数。
dA r dt 2
2
2 r re mr eJ J r mv mr r
constant 为行星对太阳的动量矩为常数，故 mr 行星所受力对太阳的力矩为零；又行星受力不为零， 因此必受有心力，太阳是力心。
§6.1中心力场
第六章 中心力场教材第5章P96～116 § 6.1 中心力场 § 6.2 氢原子§ 6.3 三维各向同性谐振子§ 6.1 中心力场一、力学量完全集 二、径向方程附 录：)(412r rπδ-=∇ 的证明势函数)(r V 球对称的力场称为中心力场)(2ˆ22r V H+∇-=μ其中μ代表粒子的质量。
一、力学量完全集在§5.1已经证明中心力场体系的轨道角动量守恒。
因此，中心力场体系的力学量完全集选}ˆ,ˆ,ˆ{2z L L H。
用ml n 代表共同本征态，本征值问题表示为m L m l n l l m l n L E H znlˆ)1(ˆˆ22+=其中nl E 代表能量本征值，n 称为主量子数。
共同本征态关于量子数m l n ,,自动正交m m l l n n m l n nlm '''=''',,,δδδ二、径向方程在球坐标系中2222211ϕθ∇+∂∂=∇rr r r222222ˆsin 1)(sin sin 1L -=∂∂+∂∂∂∂=∇ϕθθθθθϕθ)(2ˆ12ˆ22222r V rLr r r H ++∂∂-=μμ 能量本征方程为),,(),,()](2ˆ12[22222ϕθϕθμμr E r r V rL r r r ψ=ψ++∂∂-其中，222ˆrL μ 代表转动引起的离心势能。
因)(r V 球对称则可分离变量，其中与角度有关的因子可以取为球谐函数),()(),,(ϕθϕθlm Y r R r =ψ代入能量本征方程，得径向方程()0)(])1()(21[2222=+--+r R rl l r V E r rr lμd d令 rr u r R l l )()(=，径向方程化为()0)(])1()(2[)(22=+--+''r u rl l r V E r u l lμ中心力场本征值问题主要是针对给定的势函数求解上述径向方程。
量子力学_5.1中心力场中粒子运动的一般性质详解
0
(7)
不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于
径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定.
一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.
5.1.2 径向波函数在r→0邻域的渐进行为
假定V(r)满足 limr2V (r) 0
(8)
r 0
此条件下，当r→0时，方程（5）渐近地表示成
d2 dr 2
（18）
2M R
c
----描述质心运动
2
2
V (r) (r) E (r)
2
E ET EC
----描述相对运动
量子力学教程（第二版）
5.2 无限深球方势阱
考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动，
这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动
0， r a V (r) ， r a
(1)
V(r)
m l,l 1, , l (4)
代入方程（1），得到径向方程
d2 dr 2
Rl (r)
2 r
d dr
Rl (r)
2
2
(E
V
(r))
l(l 1) r2
Rl (r)
0
(5)
令
Rl (r)
l (r)
r
(6)
则 l (r) 满足
d2l (r)
dr 2
2
2
(E
V
(r))
l(l 1) r2
l
(r)
（12）
量子力学教程（第二版）
球方势阱内的解应取为
R (r ) j (kr )
l
l
式中k由边条件（10）确定，即
（13）
j (ka) 0 l
动力学中的中心力场中心力场对物体运动的影响是什么
动力学中的中心力场中心力场对物体运动的影响是什么动力学中的中心力场对物体运动的影响是什么动力学中，中心力场是一种特殊的力场，其它系的质点受到的力与质点到力场中心的距离成正比。
中心力场对物体运动的影响是非常重要的研究内容，本文将对中心力场的基本概念、数学描述以及对物体运动的影响进行探讨。
一、中心力场的基本概念和数学描述中心力场是指力的大小和方向只与物体到力场中心的距离有关，与物体在力场中位置的具体坐标无关。
数学上，中心力场可以描述为质点所受合力的向心分量。
在极坐标系下，中心力场对应的力可以表示为：F = F(r)·uᵣ其中，F(r)表示力大小与距离r的关系，uᵣ为径向单位向量。
中心力场的特点是只有径向分量，没有切向分量，这意味着力的方向始终指向力场中心。
二、中心力场对物体运动的影响中心力场对物体运动的影响主要表现在两个方面：一是改变质点的速度大小，二是改变质点的运动轨迹。
1. 改变质点的速度大小在中心力场中，根据牛顿第二定律，可以得到物体的径向加速度和切向加速度之间的关系：m·aᵣ = F(r)其中，aᵣ为物体径向加速度，m为物体的质量。
由于中心力场的特点，力的方向始终指向力场中心，因此有aᵣ = d²r/dt²，即质点的径向加速度可以表示为质点径向的二阶导数。
根据运动学基本关系，质点的速度可以表示为：v = dr/dt利用上面的运动学关系，可以得到质点的径向速度的变化率与质点加速度之间的关系：dvᵣ/dt = (dvᵣ/dr)·(dr/dt) = (dvᵣ/dr)·v = aᵣ/v通过对上面的方程求解，可以得到质点在中心力场中的速度与质点到力场中心的距离r的关系。
这表明中心力场会对质点的速度进行调节，使质点的速度大小产生变化。
2. 改变质点的运动轨迹根据牛顿第二定律和运动学基本关系，可以得到质点在中心力场中的运动方程：m·aᵣ = F(r)aᵣ = d²r/dt²将第一个方程代入第二个方程，可以得到质点的运动方程：m·d²r/dt² = F(r)解这个常微分方程，可以得到质点的轨迹方程。
中心力场第二讲
m2 M
R
2
2 2m 2 2 2 m2 m 2 r R 2 2 r 2 M M
2 2m1
2 2 m1 m 2 r R 2 1 r 2 M M
R
R
2
( E V )
ˆ ˆ 取为{ H , L
2
ˆ , L z } 的共同本征态
( r , , ) R ( r )Y lm ( , )
代入方程（2），得到径向方程
2 1 d 2 dR 2 l ( l 1) r 2 ( E V ( r )) 2 2 dr r dr r
两体问题
实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题。 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为 V (| r1 r2 |)
二粒子体系的能量本征方程
2 2 1 2 V (| r1 r2 |) ( r1 r 2 ) E t ( r1 r 2 ) 2m 2 2m1 引入质心坐标 R 及相对坐标 r r r1 r 2 m 1 r1 m 2 r 2 R m1 m 2
2 2
l ( l 1) 2 2 ( E V ( r )) 2 u (r ) 0 r
[注]：（1）方程（6）类似半壁无限高势垒中粒子一维运动方程。
（2）方程（6）中出现一项由轨道角动量引起的附加势能——离心势能
l ( l 1) 2r
2
2
。角 动量愈大，则离心势能愈大能级愈高。离心势能是正定的，因此，中心力场中粒 子的基态必属于l=0的态。
其中
3-9 中心力场
u ( r ) = rR ( r )
可将方程(18)化为
(22)
2 d 2 l ( l + 1) + − 2 2 r 2 2 dr
而归一化条件(21)变为
2
+ V ( r ) u ( r ) = Eu ( r )
2
(23)
u (r )
0
dr = 1
2
(24)
假定当 r → 0 时， r V ( r ) → 0 ，这相当于 r → 0 时 V ( r ) 比 1/ r 增长得慢。对于这样
因此中心力场中粒子的哈密顿算符为
2 ˆ2 ˆ2 p 1 2 L ˆ ˆ H= +V (r ) = − r+ +V (r ) 2 2 r r 2 2 r 2
2
(12)
(13)
ˆ 的本征方程 现在我们要求解 H
ˆψ( r ) = E H ψ( r )
采用分离变量法，令
(14)
ψ( r ) = R ( r ) Y ( , )
V (r ) = −
e2 4π 0 r
(42)
其中 e 表示电子电荷量的绝对值， 0 是真空电容率，势能零点选在无穷远处。(42)式为国际 单位制的表达式，理论物理中还常用高斯单位制，此时
V (r ) = −
e2 r
(43)
注意不同单位制中，电荷的单位并不相同，不能混为一谈。对(43)式作代换 e →
p2 = pr2 +
L2 r2
(4)
其中 pr 是径向动量。由此可将中心势场中粒子的哈密顿量写为
H=
pr2 L2 + +V (r ) 2 2 r 2
《中心力场》课件
中心力场与近地轨道
1
什么是近地轨道？
近地轨道是接近地球表面的环绕地球运动的轨道。
2
应用领域
近地轨道广泛应用于通信、气象、导航、科学研究和空间探索等领域。
3
国际空间站
国际空间站位于近地轨道上，是国际合作的太空科学实验室。
中心力场与行星轨道
行星轨道
火星轨道
根据中心力场，行星绕太阳运行， 形成椭圆轨道。
中心力场的数学形式
中心力场的数学形式可以用向心力公式表示，即 F = m * r * ω²，其中 F 表示向心力，m 表示物体质量，r 表示 到中心的距离，ω 表示力场中，力的方向始终指向中心，与物体运动方向垂直。
2 保持动量
在没有外力的情况下，中心力场中物体的动量守恒。
《中心力场》PPT课件
探索中心力场的奇妙世界，包括牛顿万有引力定律、数学形式、特点、轨道 运动、太空探索应用等。
什么是中心力场？
中心力场是指一个物体对其周围物体施加的力与与它们之间的距离成正比， 并且方向始终指向中心的力场。
牛顿万有引力定律
牛顿万有引力定律描述了物体之间的引力作用，根据质量和距离的乘积决定 了引力的大小。
3 椭圆轨道
中心力场中，物体的轨道通常是椭圆形，根据物体的速度和能量确定椭圆轨道的形状。
中心力场与轨道运动
开普勒定律
中心力场中，根据开普勒定律， 物体在椭圆轨道上运动，且与 离中心距离的平方成反比。
轨道周期
根据轨道速度和椭圆轨道的大 小，可以计算出物体在轨道上 的周期。
星体质量测量
通过观测天体的轨道运动，可 以计算出中心天体的质量。
火星绕太阳运行的椭圆轨道是研 究行星和宇宙探索的重要基地。
木星轨道
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这给出恒为零的无物理意义的解。 物理上可接受的解满足：
2015-1-26 8 6
两体问题
考虑由两个粒子相互作用构成的两体系统：
引入质心坐标和相对坐标： 系统的总质量
2015-1-26
8
7
两体系统的薛定谔方程
由此得到两体系统在质心系中的薛定谔方程：
分离变量：
描写质心的自由运动， 与系统的内部结构无关 描写粒子的相对运动， 与单体方程形式相同
做如下变换
在不同的中心力场中，粒子的定态波函数的差别仅在 径向部分，它们由中心势的性质决定。 径向方程中不出现磁量子数，这导致能量本征值与m无 关，能级是2l+1 重简并的。
2015-1-26 8 5
径向波函数的渐近行为
假定势能在原点附近的行为满足 这时，径向方程渐近地表示成 原点是方程的正则奇 点，解必取以下形式 波函数的统计诠释要求在任何体积元内找到粒子的概 率有限，因此负幂 l + 1 < 1.5，这只当 l = 0 时才成立。 当 l = 0 时，将这个解代入径向方程，
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量子力学中的角动量
在量子力学中，用另一种方法可以证明粒子在中心力 场中运动时角动量也是一个守恒量。
重复的指标表示 对指标求和。 角动量算符只与角度有关， 而势能只是径向坐标的函数
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球坐标系中的薛定谔方程
由于势能具有球对称性，采用球坐标系是方便的。
中心力场中心力场Leabharlann 一般性质2015-1-26
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经典力学中的角动量
中心力场问题在粒子运动问题中占有特别重要的地位。 当粒子在中心力场中运动时，角动量守恒有重要作用。 假定质量为 的粒子在中心力场 中运动：
粒子在中心力场中运动时，对力心的角动量保持不变。 由于角动量与径矢和动量构成的 平面垂直，角动量守恒带来的结 果是，运动轨道必定是有确定法 线方向的平面曲线，轨道平面的 法线方向指向角动量的方向。
质心运动方程反映系统整体的外部形态，相对运动方 程则反映系统的内部结构，是中心力场的主要问题。 如果其中一个粒子的质量很大，则在质心系中可以近 似看作静止，相对运动方程近似描写较轻粒子的运动。
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径向动能 离心势能 角动量的分量是守恒量， 必有共同本征函数。 角动量的平方是守恒量，并且与各分量对易， 必有共同本征函数。 角动量的分量互不对易，不同分量的本征函数可能有 相同的角动量和能量。因此，能级一般都有简并。 习惯上选 为守恒量完全集， 共同本征函数是：
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径向方程