黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

试卷说明：
1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.) 1．设i 是虚数单位，则复数
－i
1＋2i
( i 是虚数单位)的实部是( ) A ．15 B ．－15 C ．－15 D ．－25
2．已知命题p ：∃x 0∈C ，x 20＋1<0，则 ( )
A ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≤0
B ．¬p ：∀x ∈
C ，x 2＋1<0 C ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≥0
D ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1>0
3．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工人数为7，则样本容量为( )
A ．7
B ．15
C ．25
D ．35 4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
5．双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )
A ．m >1
2 B ． m ≥1 C ．m >1 D ．m >2
6．如右图所示的程序框图中，输入x ＝2，则输出的结果是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．下列命题中，假命题．．．
是( ) A ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则命题p 与q 必一真一假 B ．互为逆否命题的两个命题真假相同
C ．“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件
D ．若f (x ) =2x ，则f ′(x )＝x ·2x －
1
8．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( )
A ．27
B ．86
C ．262
D ．789
椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x 216＋y 2
9＝1，点A 、
B 是它的两个焦点，当静止的小球放在A 点处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的路程可能是( )
A ．2(4－7)
B ．2(4＋7)
C ．16
D ．以上均有可能 10．若关于实数x 的不等式x 3－3x 2－9x ≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，5]
B ．(－∞，－22]
C ． (－∞，－2]
D ．[－14,5] 11．已知y ＝1
3
x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )
A ．－1＜b ＜2
B ．－1≤b ≤2
C ．b ＜－1或b ＞2
D ．b ≤－2或b ≥2
12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正实数a 、b ，若a <b ，则必有( )
A ．af (b )≤bf (a )
B ．bf (a )≤af (b )
C ．af (a )≤f (b )
D ．bf (b )≤f (a )
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________。

14．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率是_____。

15．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
由表中数据得到的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^
＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元。

16．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (4,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是________。

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分）
甲、乙两校各有3名教师报名支教，从报名的6名教师中任选2名， (I) 写出所有可能的结果；
(II) 求选出的2名教师自同一学校的概率。

18（本小题满分12分）
某校为了了解学生数学学习情况，随机抽取60位学生期中 考试数学成绩,并作出频率分布直方图如右图所示,其中成 绩分组区间是[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、
[]90,100，
(I) 求图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校学生数学成绩的平均分； (II)若这60名学生的数学成绩某些分数段的人数(x )与语文成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示,求语文成绩在[)50,90之外的人数。

19（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝1
3x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a 、b ∈R )，其图象在点(1，f (1))处的切线方程为x
＋y －3＝0.
(Ι)求a 、b 的值；
(II)求函数f (x )的单调区间和极值点。

20（本小题满分12分）
已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)，
(I)求抛物线C 的方程，并求其准线l 方程；
(II)若点B (1,2)，直线l 过点B 且与抛物线C 交于P 、Q 两点，若点B 为PQ 中点，求直线l 的方程。

21（本小题满分12分）
平面直角坐标系xOy 中，直线2x ＋y ＋2＝0经过椭圆M ：22
221x y a b
+=(a>b>0)的左焦
点且与椭圆
M 交于A ，B 两点，其中点A 是椭圆的一个顶点，
(Ι)求椭圆M 的方程；
(II)C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积S 的最大值。

22（本小题满分12分）
已知函数()1,x
f x e ax =+-
(I)求证：当a ＞－1且x ＞0时，()0f x >；
(II)2()2x
g x e x x k =+-+，若对任意123,,[1,1]x x x ∈-，长分别为123(),(),()g x g x g x 的线段
能构成三角形，求实数k 的取值范围。

大庆铁人中学高二学年上学期期末考试文科数学试题参考答案
(II) 从报名的6名教师中任选2名的15种情况等可能出现，且选出的2名教师自同一学校的所有可能的结果为(甲1, 甲2), (甲1, 甲3)、(甲2, 甲3)、(乙3, 乙1)、(乙1, 乙2), (乙2, 乙3)，共6种，所以选出的2名教师自同一学校的概率为
62
155
=. …………10分 18．解：解(Ⅰ)由()20.020.030.04101a +++⨯=,解得0.005a =.
0.05550.4650.3750.2850.059573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………6分
(II)这60位学生数学成绩在[]90,100的分别有3人、24人、18人、12人,按照表中所给比例，语文成绩在[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90的分别有3人、12人、24人、15人,共54人, 故
语
文
成
绩
在
[)
50,90之外的人数有6
人。

………12分
19．解：(Ι)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，∵(1，f (1))在直线x ＋y －3＝0上，∴f (1)＝2，f ′(1)＝－1
∴2＝
1
3
－a ＋a 2－1＋b ，a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，b ＝8
3
. …………6分 (II)∵f (x )＝13x 3－x 2＋8
3
，∴f ′(x )＝x 2－2x ，由f ′(x )＝0可知x ＝0或x ＝2，列表如下：
f (x )
的
极
大
值
点
为
x
＝
，
极
小
值
点
为
x
＝
2。

………12分
20．解：(I)由题，抛物线C 的方程为y 2＝8x ，其准线l 方程为x ＝－2；
(II)显然，直线l 的斜率不存在或直线l 的斜率为0均不符合题意， …………4分
故可设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，
2211221122(,),(,),8,8P x y Q x y y x y x ==设由题知.
221212121212
8
88,2y y y y x x k x x y y --=-∴=
==-+
所以,直线l 的方程为2x －y
＝
0。

…………12分 21．解：(I)由题可知，椭圆M 左焦点为（－1,0），一个顶点A 为（0，－ 2）, 则椭圆M 的方程
为
22
154
x y +=； …………4分 (II)由题，2233441
(0,2),(,),(
,),(,),+2
A B x y C x y D x y CD y x b -=
设直线: 22
2
16100,||54
22
x y x x AB
y x ⎧+=
⎪+==⎨⎪=--⎩
由得故有22
222212020800,320(214)01541||+2x y x bx b b CD y x b
⎧++-=∆=-≥+=⎪⎪⎨=≤⎪=⎪⎩
得由故有。