第六讲 X射线衍射方法的应用讲解
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6
粉末衍射花样的指标化
晶胞参数未知时衍射线的指标化：
在衍射角θ（晶面间距d）已知的情况下，干涉指数和晶胞 参数两者是相互依赖的，无法直接求得。
在不同晶系中，晶胞参数中未知值的个数是多寡不一的， 对立方晶系来说，只有一个未知数a，中级晶族中为a和c 两个未知数，低级晶族中未知数则多至3、4和6个。
对薄膜分析，通常的要求是入射角必须高度精确。通常来 说薄膜的衍射信息很弱，因此需采用一些先进的X射线光 学组件和探测器技术。
薄膜掠射分析：薄膜相分析 反射率仪：密度、厚度、表面与界面粗糙度测量
28
薄膜材料掠角入射物相分析
X射线辐射具有较大穿透深度能力，故而X射线衍射不具 有表面敏感性。掠射入射(GID)则克服了这种困难，通过 以很低的入射角度进行掠射分析可尽可能从薄膜层得到最 大的信号，从而可分析相组份沿深度的分布。
仪器误差：仪器未经精确校准。
零点偏差：接收器零点误差，此误差是恒定的； 测角器刻度误差：固有机械误差；
这两项误差所导致的△2θ，一般调试后约为0.01º，若采 用光学方法校正，可以达到0.001º。
14
精确测定多晶体点阵常数的误差原因
试样误差：
试样平板状，与聚焦园不能重合而散焦；
试样表面与衍射仪轴不重合（偏离s）；
面心立方晶体：111，200，220，311，222，400，331，420
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K 3: 4 :8 :11 :12 :16 :19 :20
9
精确测定多晶体点阵常数的方法
晶体内部各种因素引起的点阵常数的变化十分微小，往往 在10-4数量级，如果采用一般的测试技术，这种微弱的变 化趋势势必被试验误差所掩盖，所以必须对点阵常数进行 精确测定。
(2 ) 2s cos
R
试样对X射线有一定透明度，使X射线穿透加深，试样 内部深处晶面参与反射，相当于试样偏离衍射仪轴。
(2 ) sin cos 高角度 l R
(2 ) cos l R
15
精确测定多晶体点阵常数的误差原因
X射线误差：入射线色散和角因子的作用使线形不对称、
因此，在粉晶法中，指标化对立方晶系来说是肯定可能的， 对中级晶族一般是有可能的，而对低级晶族则一般是非常 困难的。
7
立方晶系粉末衍射花样的指标化
对立方晶系来说：
1 (h2 k 2 l2)
d2
a2Hale Waihona Puke Baidu
对同一物质的同一个衍射花样，X射线波长和晶胞参数是常数
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K
射线发散等。
测试方法误差：连续扫描时，扫描速度、记录仪时间
常数、记录仪角度标记能造成衍射角位移。
16
纳米材料晶粒尺寸的测定
小的晶粒尺寸往往导致晶面间距的不确定性，引起衍射圆 锥的发散，从而使衍射峰形加宽。
薄膜的平均晶粒尺寸D可用Scherrer公式进行估算：
D K cos
其 中 K 为 常 数 ， 用 铜 靶 时 近 似 为 0.89 ， X 射 线 波 长 λ 为 0.154056nm，β是薄膜衍射峰的物理宽化，以弧度为单位。
衍射仪在采用掠入射几何后便具有了表面敏感性 薄膜层的相分析； 纳米尺度的表面灵敏度 相组份的深度分布
29
薄膜材料掠角入射物相分析
在入射角和反射角接近X射线全反射的临界角时，可以得 到最强的表面信号。
(h12
k12
l12 ) : (h22
k22
l22 ) : (h32
k32
l32 )
:: (hK2
k
2 K
lK2
)
8
立方晶系粉末衍射花样的指标化
根据晶体结构因子和点阵消光法则，立方晶系中能产生 衍射的晶面归纳如下：
简单立方晶体：100，110，111，200，210，211，220，221
衍射仪法的外推函数有：cos2θ、 ctg2θ、 cosθ ctgθ 这些都是经验表达式，没有公认可靠的外推函数
12
精确测定多晶体点阵常数的误差原因
德拜法：半径误差、底片误差、偏心误差、吸收误差 衍射仪法：
峰位的确定 仪器误差 试样误差 X射线误差 测试方法误差
13
精确测定多晶体点阵常数的误差原因
对低角度影响不大，能造成高角度衍射峰分离 晶粒尺寸纳米化 仪器及样品安放 微观应力、晶格畸变
21
晶格畸变的测定
晶粒尺寸范围内的微观应力或晶格畸变，能导致晶面间 距发生对称性改变，进而导致衍射角的相应变化：
d d
2( )
半高宽的变化为4△θ 由Bragg微分方程得到：
精确求算晶胞参数的数据要求： 强度大；衍射角度测量准确；
d
cos
单一面指数；高角度。
d
s in
ctg
11
精确测定多晶体点阵常数的误差消除
一般用外推法消除测量误差： 根据若干条衍射线测得的点阵常数，外推至θ=90º
对德拜照相法，外推函数f(θ)由J. B. Nelson和A. Taylor分 别从实验和理论证明为：f(θ)=(cos2θ/sinθ+cos2θ/θ) /2
天然和人工的多晶体很少有完全无序分布的，绝大多数都 不同程度存在取向结构。
择优取向的形成使材料的物理性能和力学性能表现出各向 异性。如果使磁性晶体形成沿磁性方向的强烈择优取向， 可以大幅度提高磁学性能，具有重要的实际应用意义。
23
多晶体择优取向举例
(100) (110)
(111)
50sccm
根据晶粒大小，还可以计算纳米粉体的比表面积。当已知 纳米材料的晶体密度ρ和晶粒大小，就可以利用公式ｓ＝ 6/ρD进行比表面积计算 。
20
晶格畸变及衍射线形分析
对衍射线峰形产生影响的因素：
波长的不确定性，主要指Kα1和Kα2双线，导致的衍射峰宽 化程度可以由下式得到：
W 4 tg
18
仪器宽化的校正
我们可以通过近似函数的方法，在仪器宽化b和被测试样 衍射峰半高宽B已知的情况下，分离出物理加宽β。
g(x)和f(x)的近似函数都取柯西函数：
1
1 x2
β＝B-b。
仪器宽化b在测试用的X射线衍射仪上（相同实验条件下） 用99.99%的无晶格畸变的高纯多晶硅标样测得，结果见 下表：
主要取决于sin的精确度
sin / 2d
对于立方晶系：
sin cos
d/d= a/a=-ctg 90 º时，ctg 0
2d
2
d
若 用 8 5 º数 据 求 d 其 准 确 度 比 =50º时高100倍
sin d
d
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K 1: 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 9 :
体心立方晶体：110，200，211，220，310，222，312，400
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K 2 : 4 : 6 :8 :10 :12 :14 :16 :
4tg d
d
只要从实验测量的衍射线得到其半高宽的宽化，就可通 过上式计算出晶格畸变量或者微观应力。
22
多晶体择优取向的测定
多晶体试样由许多晶粒组成，就其晶粒取向分布而言，可 以分为两种情况：一种是取向分布呈完全无序状态；另一 种是取向分布偏离完全无序分布状态，呈现某种择优分布 趋势，称为具有择优取向。具有择优取向的结构状态称为 织构。
用X射线衍射方法测定晶体物质的点阵常数是一种间接的 方法，其实验依据是根据衍射谱上各衍射线所处位置的θ 角，用Bragg方程和各个晶系的面间距公式，求出该晶体 的点阵常数。
多晶体衍射谱上每条衍射线都可以计算出点阵常数值，但 是哪一条衍射线确定的数值最接近实际呢？
10
精确测定多晶体点阵常数的误差分析
(200)(210)
(220)
(211)
(300) (310)
40sccm
Intensity / (a.u.)
30sccm
20sccm
10sccm
20
40
60
80
2Theta / (°)
24
晶体结晶度的测定
X射线衍射分析主要应用于结晶物质，物质结晶度直接影 响着衍射线的强度和形状。
结晶度即结晶的完整程度，结晶完整的晶体，晶粒较大， 内部质点排列比较规则，衍射线强、尖锐而且对称，衍射 峰半高宽接近仪器测量宽度，即仪器本身的自然宽度。结 晶度差的晶体，往往晶粒过于细小，缺陷较多，衍射峰宽 阔而弥散。结晶度越差，衍射能力越弱，衍射峰越宽，直 至消失在背景之中。
4
多晶体点阵常数的精确测定
精确测定已知多晶材料点阵常数的基本步骤：
1. 用照相法或者衍射仪法获取待测试样的粉末衍射谱； 2. 根据衍射线的角位置计算相应晶面间距d； 3. 标定各衍射线条的干涉指数hkl（指标化）； 4. 由d及相应的hkl计算点阵常数（a、b、c等）； 5. 消除误差。晶体内部各种因素引起的点阵常数的变化非
现代材料物理研究方法 第六讲
X射线衍射分析方法的应用
吴志国 兰州大学等离子体与金属材料研究所
晶体学基本知识 X射线衍射原理 X射线衍射分析方法 X射线物相分析 X射线衍射分析方法的应用
2
X射线衍射分析方法的应用
多晶体点阵常数的精确测定 纳米材料晶粒尺寸的测定 晶格畸变及衍射线形分析 多晶体择优取向的测定 晶体结晶度的测定 薄膜材料掠角入射物相分析 小角度散射研究超晶格结构 宏观残余内应力的测定 薄膜厚度的测量
·— amorphous intermediate 8h
Counts / a.u.
6h
4h
不同温度下煅烧2小时所得样品的XRD图
1h·
20 30 40 50 60 70 2θ / o
600℃下煅烧不同时间所得样品的 XRD图
27
薄膜分析
测量的数据用于确定样品成分和结构信息，如化学组分、 点阵间距、错配度、层厚、粗糙度、点阵缺陷及层错等。
适用范围：金属材料，1－100nm
17
仪器宽化的校正
薄膜的实际XRD衍射峰半高宽B（FWHM）是由物理宽化 β和仪器宽化b卷积合成的：
b
B g(x) f (x)dx
其中，g(x)代表几何线形，f(x)代表了物理结构线形。物 理宽化是由于晶粒细化等因素引起的，仪器宽化则是由于 X射线的不平行性、试样的吸收和光阑尺寸等仪器因素造 成的。
3
多晶体点阵常数的精确测定
点阵常数是晶体物质的基本结构参数，它随物质的化学组 成和外界条件（温度、压力等）变化
点阵常数的变化反映了晶体内部原子结合力、密度、热膨 胀、固溶体类型、受力状态、缺陷类型、浓度等的变化， 通过测量点阵常数的变化，可以揭示出上述问题的物理本 质和变化规律
通过点阵常数的变化测定弹性应力已经发展为一种成熟的 专门方法
常小，往往在10-4数量级，这就要求测量精度非常高； 6. 得到精确的点阵常数值。
5
粉末衍射花样的指标化
晶胞参数已知时衍射线的指标化：
立方晶系：sin 2 [ /(2a)]2 (h2 k 2 l 2 ) 四方晶系：sin 2 [ /(2a)]2 (h2 k 2 ) [ /(2c)]2 l 2 斜方晶系：sin 2 [ /(2a)]2 h2 [ /(2b)]2 [ /(2c)]2 l 2
2θ/° 28.38 47.28 56.08 69.10 76.34 88.00 94.94 b/° 0.118 0.118 0.118 0.141 0.118 0.118 0.094
19
晶粒尺寸测量的衍生
根据晶粒大小还可以计算出晶胞的堆垛层数。根据Ndhkl ＝Dhkl，dhkl为(hkl)面的晶面间距。
25
晶体结晶度的测定方法
有一些理论基础较好的方法，如常用的Ruland方法。但 这些方法均需要进行各种因子修正，实验工作量和数据处 理工作量较大，应用并不普遍。
实际应用中多采用经验方法，根据不同物质特征衍射线的 强度和形状，采用不同的处理和计算方法来评定、估计其 结晶程度。
26
晶体结晶度的测定（LaCoO3）
粉末衍射花样的指标化
晶胞参数未知时衍射线的指标化：
在衍射角θ（晶面间距d）已知的情况下，干涉指数和晶胞 参数两者是相互依赖的，无法直接求得。
在不同晶系中，晶胞参数中未知值的个数是多寡不一的， 对立方晶系来说，只有一个未知数a，中级晶族中为a和c 两个未知数，低级晶族中未知数则多至3、4和6个。
对薄膜分析，通常的要求是入射角必须高度精确。通常来 说薄膜的衍射信息很弱，因此需采用一些先进的X射线光 学组件和探测器技术。
薄膜掠射分析：薄膜相分析 反射率仪：密度、厚度、表面与界面粗糙度测量
28
薄膜材料掠角入射物相分析
X射线辐射具有较大穿透深度能力，故而X射线衍射不具 有表面敏感性。掠射入射(GID)则克服了这种困难，通过 以很低的入射角度进行掠射分析可尽可能从薄膜层得到最 大的信号，从而可分析相组份沿深度的分布。
仪器误差：仪器未经精确校准。
零点偏差：接收器零点误差，此误差是恒定的； 测角器刻度误差：固有机械误差；
这两项误差所导致的△2θ，一般调试后约为0.01º，若采 用光学方法校正，可以达到0.001º。
14
精确测定多晶体点阵常数的误差原因
试样误差：
试样平板状，与聚焦园不能重合而散焦；
试样表面与衍射仪轴不重合（偏离s）；
面心立方晶体：111，200，220，311，222，400，331，420
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K 3: 4 :8 :11 :12 :16 :19 :20
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精确测定多晶体点阵常数的方法
晶体内部各种因素引起的点阵常数的变化十分微小，往往 在10-4数量级，如果采用一般的测试技术，这种微弱的变 化趋势势必被试验误差所掩盖，所以必须对点阵常数进行 精确测定。
(2 ) 2s cos
R
试样对X射线有一定透明度，使X射线穿透加深，试样 内部深处晶面参与反射，相当于试样偏离衍射仪轴。
(2 ) sin cos 高角度 l R
(2 ) cos l R
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精确测定多晶体点阵常数的误差原因
X射线误差：入射线色散和角因子的作用使线形不对称、
因此，在粉晶法中，指标化对立方晶系来说是肯定可能的， 对中级晶族一般是有可能的，而对低级晶族则一般是非常 困难的。
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立方晶系粉末衍射花样的指标化
对立方晶系来说：
1 (h2 k 2 l2)
d2
a2Hale Waihona Puke Baidu
对同一物质的同一个衍射花样，X射线波长和晶胞参数是常数
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K
射线发散等。
测试方法误差：连续扫描时，扫描速度、记录仪时间
常数、记录仪角度标记能造成衍射角位移。
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纳米材料晶粒尺寸的测定
小的晶粒尺寸往往导致晶面间距的不确定性，引起衍射圆 锥的发散，从而使衍射峰形加宽。
薄膜的平均晶粒尺寸D可用Scherrer公式进行估算：
D K cos
其 中 K 为 常 数 ， 用 铜 靶 时 近 似 为 0.89 ， X 射 线 波 长 λ 为 0.154056nm，β是薄膜衍射峰的物理宽化，以弧度为单位。
衍射仪在采用掠入射几何后便具有了表面敏感性 薄膜层的相分析； 纳米尺度的表面灵敏度 相组份的深度分布
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薄膜材料掠角入射物相分析
在入射角和反射角接近X射线全反射的临界角时，可以得 到最强的表面信号。
(h12
k12
l12 ) : (h22
k22
l22 ) : (h32
k32
l32 )
:: (hK2
k
2 K
lK2
)
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立方晶系粉末衍射花样的指标化
根据晶体结构因子和点阵消光法则，立方晶系中能产生 衍射的晶面归纳如下：
简单立方晶体：100，110，111，200，210，211，220，221
衍射仪法的外推函数有：cos2θ、 ctg2θ、 cosθ ctgθ 这些都是经验表达式，没有公认可靠的外推函数
12
精确测定多晶体点阵常数的误差原因
德拜法：半径误差、底片误差、偏心误差、吸收误差 衍射仪法：
峰位的确定 仪器误差 试样误差 X射线误差 测试方法误差
13
精确测定多晶体点阵常数的误差原因
对低角度影响不大，能造成高角度衍射峰分离 晶粒尺寸纳米化 仪器及样品安放 微观应力、晶格畸变
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晶格畸变的测定
晶粒尺寸范围内的微观应力或晶格畸变，能导致晶面间 距发生对称性改变，进而导致衍射角的相应变化：
d d
2( )
半高宽的变化为4△θ 由Bragg微分方程得到：
精确求算晶胞参数的数据要求： 强度大；衍射角度测量准确；
d
cos
单一面指数；高角度。
d
s in
ctg
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精确测定多晶体点阵常数的误差消除
一般用外推法消除测量误差： 根据若干条衍射线测得的点阵常数，外推至θ=90º
对德拜照相法，外推函数f(θ)由J. B. Nelson和A. Taylor分 别从实验和理论证明为：f(θ)=(cos2θ/sinθ+cos2θ/θ) /2
天然和人工的多晶体很少有完全无序分布的，绝大多数都 不同程度存在取向结构。
择优取向的形成使材料的物理性能和力学性能表现出各向 异性。如果使磁性晶体形成沿磁性方向的强烈择优取向， 可以大幅度提高磁学性能，具有重要的实际应用意义。
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多晶体择优取向举例
(100) (110)
(111)
50sccm
根据晶粒大小，还可以计算纳米粉体的比表面积。当已知 纳米材料的晶体密度ρ和晶粒大小，就可以利用公式ｓ＝ 6/ρD进行比表面积计算 。
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晶格畸变及衍射线形分析
对衍射线峰形产生影响的因素：
波长的不确定性，主要指Kα1和Kα2双线，导致的衍射峰宽 化程度可以由下式得到：
W 4 tg
18
仪器宽化的校正
我们可以通过近似函数的方法，在仪器宽化b和被测试样 衍射峰半高宽B已知的情况下，分离出物理加宽β。
g(x)和f(x)的近似函数都取柯西函数：
1
1 x2
β＝B-b。
仪器宽化b在测试用的X射线衍射仪上（相同实验条件下） 用99.99%的无晶格畸变的高纯多晶硅标样测得，结果见 下表：
主要取决于sin的精确度
sin / 2d
对于立方晶系：
sin cos
d/d= a/a=-ctg 90 º时，ctg 0
2d
2
d
若 用 8 5 º数 据 求 d 其 准 确 度 比 =50º时高100倍
sin d
d
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K 1: 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 9 :
体心立方晶体：110，200，211，220，310，222，312，400
sin2 1 : sin2 2 : sin2 3 :: sin2 K 2 : 4 : 6 :8 :10 :12 :14 :16 :
4tg d
d
只要从实验测量的衍射线得到其半高宽的宽化，就可通 过上式计算出晶格畸变量或者微观应力。
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多晶体择优取向的测定
多晶体试样由许多晶粒组成，就其晶粒取向分布而言，可 以分为两种情况：一种是取向分布呈完全无序状态；另一 种是取向分布偏离完全无序分布状态，呈现某种择优分布 趋势，称为具有择优取向。具有择优取向的结构状态称为 织构。
用X射线衍射方法测定晶体物质的点阵常数是一种间接的 方法，其实验依据是根据衍射谱上各衍射线所处位置的θ 角，用Bragg方程和各个晶系的面间距公式，求出该晶体 的点阵常数。
多晶体衍射谱上每条衍射线都可以计算出点阵常数值，但 是哪一条衍射线确定的数值最接近实际呢？
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精确测定多晶体点阵常数的误差分析
(200)(210)
(220)
(211)
(300) (310)
40sccm
Intensity / (a.u.)
30sccm
20sccm
10sccm
20
40
60
80
2Theta / (°)
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晶体结晶度的测定
X射线衍射分析主要应用于结晶物质，物质结晶度直接影 响着衍射线的强度和形状。
结晶度即结晶的完整程度，结晶完整的晶体，晶粒较大， 内部质点排列比较规则，衍射线强、尖锐而且对称，衍射 峰半高宽接近仪器测量宽度，即仪器本身的自然宽度。结 晶度差的晶体，往往晶粒过于细小，缺陷较多，衍射峰宽 阔而弥散。结晶度越差，衍射能力越弱，衍射峰越宽，直 至消失在背景之中。
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多晶体点阵常数的精确测定
精确测定已知多晶材料点阵常数的基本步骤：
1. 用照相法或者衍射仪法获取待测试样的粉末衍射谱； 2. 根据衍射线的角位置计算相应晶面间距d； 3. 标定各衍射线条的干涉指数hkl（指标化）； 4. 由d及相应的hkl计算点阵常数（a、b、c等）； 5. 消除误差。晶体内部各种因素引起的点阵常数的变化非
现代材料物理研究方法 第六讲
X射线衍射分析方法的应用
吴志国 兰州大学等离子体与金属材料研究所
晶体学基本知识 X射线衍射原理 X射线衍射分析方法 X射线物相分析 X射线衍射分析方法的应用
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X射线衍射分析方法的应用
多晶体点阵常数的精确测定 纳米材料晶粒尺寸的测定 晶格畸变及衍射线形分析 多晶体择优取向的测定 晶体结晶度的测定 薄膜材料掠角入射物相分析 小角度散射研究超晶格结构 宏观残余内应力的测定 薄膜厚度的测量
·— amorphous intermediate 8h
Counts / a.u.
6h
4h
不同温度下煅烧2小时所得样品的XRD图
1h·
20 30 40 50 60 70 2θ / o
600℃下煅烧不同时间所得样品的 XRD图
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薄膜分析
测量的数据用于确定样品成分和结构信息，如化学组分、 点阵间距、错配度、层厚、粗糙度、点阵缺陷及层错等。
适用范围：金属材料，1－100nm
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仪器宽化的校正
薄膜的实际XRD衍射峰半高宽B（FWHM）是由物理宽化 β和仪器宽化b卷积合成的：
b
B g(x) f (x)dx
其中，g(x)代表几何线形，f(x)代表了物理结构线形。物 理宽化是由于晶粒细化等因素引起的，仪器宽化则是由于 X射线的不平行性、试样的吸收和光阑尺寸等仪器因素造 成的。
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多晶体点阵常数的精确测定
点阵常数是晶体物质的基本结构参数，它随物质的化学组 成和外界条件（温度、压力等）变化
点阵常数的变化反映了晶体内部原子结合力、密度、热膨 胀、固溶体类型、受力状态、缺陷类型、浓度等的变化， 通过测量点阵常数的变化，可以揭示出上述问题的物理本 质和变化规律
通过点阵常数的变化测定弹性应力已经发展为一种成熟的 专门方法
常小，往往在10-4数量级，这就要求测量精度非常高； 6. 得到精确的点阵常数值。
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粉末衍射花样的指标化
晶胞参数已知时衍射线的指标化：
立方晶系：sin 2 [ /(2a)]2 (h2 k 2 l 2 ) 四方晶系：sin 2 [ /(2a)]2 (h2 k 2 ) [ /(2c)]2 l 2 斜方晶系：sin 2 [ /(2a)]2 h2 [ /(2b)]2 [ /(2c)]2 l 2
2θ/° 28.38 47.28 56.08 69.10 76.34 88.00 94.94 b/° 0.118 0.118 0.118 0.141 0.118 0.118 0.094
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晶粒尺寸测量的衍生
根据晶粒大小还可以计算出晶胞的堆垛层数。根据Ndhkl ＝Dhkl，dhkl为(hkl)面的晶面间距。
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晶体结晶度的测定方法
有一些理论基础较好的方法，如常用的Ruland方法。但 这些方法均需要进行各种因子修正，实验工作量和数据处 理工作量较大，应用并不普遍。
实际应用中多采用经验方法，根据不同物质特征衍射线的 强度和形状，采用不同的处理和计算方法来评定、估计其 结晶程度。
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晶体结晶度的测定（LaCoO3）