数学分析定理公式
数学分析格林公式
以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点, 则称此平 面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域.
D1
D2
D3
图 21 18
在图 21-18 中,
D1 与 D2 是单连通区域, 而
是复连通区域. 单连通区域也可以这样叙述: D 内任
一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点. 更通
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x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
请看以下二例:
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例1 计算
x dy , 其中曲线 AB
第一象限部分 (图21-16).
是A半B径为 r 的圆在
y
解 对半径为 r 的四分之一圆域
A
D, 应用格林公式:
d L x dy
AB,
G
E L3
C
DF
L2 B
L1 A
图 21 15
CE后, D 的边界则由
AB, L2 , BA, AFC ,CE, L3, EC
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及 C构G成A. 由(ii)知
D
Q x
P y
d
(Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
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其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
y)
数学分析公式定理1-11章
第一章 变量与函数 §1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １．定义１ 设,X Y R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x X ∀∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。
习惯上称x 自变量，y 为因变量。
函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X .{}()|(),f X y y f x x X ==∈。
２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。
例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）。
（2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。
即“函数()y f x =”或“函数f ”。
（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。
a 称为()f a 的原象。
3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）用语言叙述的函数。
例：１）[]y x =（x 的最大整数部分）２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义 2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x x X x x ∀∈< （１）若12()()f x f x ≤，则称f 为X 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为X 上的严格增函数。
数学分析八大定理互证
数学分析八大定理互证数学分析中的单调有界性定理，闭区间套定理、确界存在性定理、Heine 一Borel有限微盖定理、Weierstrass聚点定理，致密性定理以及Cauchy收敛准推则，虽然它们的数学形式不同，但它们都是描述了实数集的连续性，在数学分析中有者举足轻重的作用。
为方便读者，我们叙述如下：定理I(单调有界性定理)单调有界数列必存在极限。
定理2（闭区间套定理）设有闭区间列{[4.，b.]},满足1)[ab[azb2]つ。
…つ[an:b]つ2)lim (b-)=0则存在唯-一数，使得∈[a.b](n=1,2,…)或{}=∩[a:b] 定理3（确界存在性定理）若非空数集E有上界（下界），则数集E一定存在上确界（下确界)。
若确界存在，则不难证明确界一定唯一。
定理4，(Hcine-一Borel有限覆盖定理)若开区间集S盖闭区间[a,b],则在S 中存在有限个开区间也微盖了闭区间[a,b]。
定理5(Weierstrass聚点定理)数轴上有界无限点集E至少有一个聚点。
定理6（致密性定理）有界数列{an}必有子数列{ak}收敛。
定理7(Cauchy收敛准则)数列{an}收敛台对于任意s>0,存在正整数N>0,当nm>,有an一am<e。
许多学者指出数学分析上述七大定理是相互等价的，即任意一个定理都是其它定理成立的必要充分条件：任何两个命题都可相互直接推导。
然而这七大定理的相互证明散见于浩瀚的文献之中，是否存在一个完整的证明还是一个未知数，笔者系统整理了已有结果，指出这样的证明是存在的。
作为补充，还给出了由闭区间套定理到Weierstrass聚点定理，山致密性定理到单调有界性定理，由确界存在性定理到Cauchy收敛准则，由闭区间套定理到单调有界性定理，以及由Weierstrass聚点定理到Cauchy收敛准则的证明，为给出另一个数学分析-七大定理的相互证明作了准备。
已有结果的系统整理许多学者~已对这七大定里的相互证明作了一定的探讨（具体见图1）。
数学分析公式定理111章
第一章 变量与函数 §1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １．定义１ 设,X Y R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x X ∀∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。
习惯上称x 自变量，y 为因变量。
函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X .{}()|(),f X y y f x x X ==∈。
２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。
例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）。
（2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。
即“函数()y f x =”或“函数f ”。
（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。
a 称为()f a 的原象。
3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）用语言叙述的函数。
例：１）[]y x =（x 的最大整数部分）２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x x X x x ∀∈< （１）若12()()f x f x ≤，则称f 为X 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为X 上的严格增函数。
初一初中数学常用公式与定理
初一初中数学常用公式与定理数学作为一门基础学科，在初一和初中阶段，对于学生的发展至关重要。
掌握数学常用公式与定理，不仅可以提高数学分析和解决问题的能力，还有助于培养逻辑思维和数学思维能力。
下面是一些初一和初中数学常用的公式与定理以及它们的应用。
1. 代数运算公式代数运算是数学的基础，掌握一些常用的代数运算公式对于解决复杂的代数问题非常有帮助。
下面是一些常用的代数运算公式：1.1 加法和减法公式加法公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2减法公式：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^21.2 乘法公式(a+b)(a-b) = a^2 - b^21.3 平方差公式(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab2. 几何定理几何是数学的重要分支之一，许多几何定理可以帮助我们理解图形的性质和解决几何问题。
下面是一些初一和初中常用的几何定理以及它们的应用：2.1 皮亚诺定理皮亚诺定理表明，在一个平面上的n个点中，任意两点之间的连线的条数等于C(n, 2)，即C(n, 2) = n(n-1)/2。
这个定理可以应用于计算几何图形中的线段数量。
2.2 正弦定理正弦定理表明，在一个三角形ABC中，三个内角A、B、C的正弦值与对边a、b、c之间的关系为：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
这个定理可以帮助我们计算三角形的边长或角度。
2.3 余弦定理余弦定理表明，在一个三角形ABC中，三个内角A、B、C的余弦值与对边a、b、c之间的关系为：cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)。
这个定理可以帮助我们计算三角形的边长或角度。
3. 概率与统计概率与统计是数学中的实用工具，在解决排列组合、概率等问题时起着重要作用。
下面是一些初一和初中常用的概率与统计公式：3.1 排列公式排列公式表示从n个不同元素中选取r个元素进行排列的总数，表示为P(n, r) = n!/(n-r)!。
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
数学分析23.3反函数定理和隐函数定理(含习题及参考答案)
第二十三章向量函数微分学3 反函数定理和隐函数定理一、反函数定理概念1：若定义在开集D⊂R n上的向量函数f: D→R m是一一映射，即不仅对每一个x∈D只有一个y∈R m与之对应，且对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f-1: f(D)→D,称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f-1满足：(1)(f-1◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f-1)(y)=y, y∈f(D).定理23.17：(反函数定理)设D⊂R n是开集, 函数f: D→R m满足条件：①在D上可微且f’连续；②存在x0∈D, 使det f’(x0)≠0,则存在邻域U=U(x0)⊂D, 使得：(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f-1: V→U，其中V=f(U)是开集;(2)f-1在V上存在连续导数(f-1)’, 且(f-1)’(y)=(f’(x))-1, x=f-1(y), y∈V.证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.设T=f’(x0), 由①②知存在点x0的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.在U-x0={x-x0|x∈U}上定义函数F(x)=T-1[f(x0+x)-f(x0)], x∈U-x0.记U-x0为U1, 即有0∈U1, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U1可微, F’连续, 对所有x∈U1, F’(x)≠0.(2)证明存在邻域U2⊂U1, 使得F在U2上是一一映射.设φ(x)=x-F(x), x∈U1, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,存在中心在原点的开球U 2⊂U 1, 使得对x ∈U 2, )(x ϕ'<α.应用定理23.14微分中值不等式得)()(x x '-''ϕϕ≤αx x '-'', x ’,x ”∈U 2. ∴)()(x F x F '-''≥(1-α)x x '-'', 即F 在U 2上是一一映射. 若定义F 的反函数H: F(U 2)→U 2, H(F(x))=x, x ∈U 2, 则有H 连续. 3)证明F(U 2)⊃(1-α)U 2, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U 2. 任取y ∈(1-α)U 2, 对任何n>1, 应用迭代法构造x 0,…,x n 使得 x 0=0, x i =y+φ(x i-1), x i-1∈U 2, 1--i i x x ≤αi-1y , 1≤i ≤n. 于是有n x ≤∑=--ni i i x x 11≤∑=-ni i y 11α<y α-11, 即 x n ∈U 2, x n+1=y+φ(x n ), n n x x -+1=)()(1--n n x x ϕϕ≤α1--n n x x . 所以将n 换成n+1时归纳法假设也成立.由于α<1, 因此{x n }是R n 中的柯西序列，于是有x n →x ∈U 2. ∴∞→n lim F(x n )=∞→n lim (x n -φ(x n ))=∞→n lim (x n -x n+1+y)=y. 设V=(1-α)U 2, 于是有U=F -1(V). 由F 连续，而开集的原象是开集知, U 是开集. 4)证明：若y ∈V, x=H(y), 则H ’(y)=F ’(x)-1.设y ∈V, y+k ∈V, k ≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F ’(x), 于是有 H(y+k)-H(y)-S -1k=h-S -1k=S -1(Sh-k)= -S -1[F(x+h)-F(x)-Sh]. 由(1-α)h ≤k 得,kkS y H k y H 1)()(---+≤hShx F h x F S )1()()(1α---+-.当k →0时, h →0, 即有上式右边趋于0，∴H ’(y)=F ’(x)-1. 5)证明：H ’(x)在V 内连续.∵)()(y H k y H '-+'≤11)]([)]([--'-+'x F h x F≤11)]([)()()]([--''-+'+'x F x F h x F h x F .由F ’的连续性, 当h 充分小时, 1)]([)()(-''-+'x F x F h x F <21. ∴1)]([-+'h x F ≤21)]([-'x F , 于是)()(y H k y H '-+'≤2)()()]([21x F h x F x F '-+''-, ∴H ’也连续.例1：记w=(x,y,z)T , p=(r,θ,φ)T ,求函数w=f(p)=(rsin θcos φ,rsin θsin φ,rcos θ) 的反函数的导数.解：(f -1)’(w)=[f ’(p)-1]=10sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθr r r r r =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin 122222222ϕϕθϕθθϕθθθθϕθϕθθr r r r r r r r r=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθr r r r r (r 2sin θ≠0). 将w=f(p)代入上式得：(f -1)’(w)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++02222222222222y x x y x y r y x y x r yz yx r xzrz r y r x, (x 2+y 2≠0), 其中r=222z y x ++.二、隐函数定理概念2：设X ⊂R n , Y ⊂R m , Ω=X ×Y ⊂R n+m , F: Ω→R m . 考察向量函数方程 F(x,y)=0, x ∈X,y ∈Y. 若有向量函数f: U →Y(U ⊂X), 则F(x,f(x))≡0, x ∈U. 称函数f 是由方程F(x,y)=0确定的定义在U 上的隐函数.固定y∈Y时, 关于x的偏导数记为：F’x(x,y)或D x F(x,y) (为m×n矩阵); 固定x∈X时, 关于y的偏导数记为：F’y(x,y)或D y F(x,y) (为m×n矩阵).定理23.18：(隐函数定理)设X⊂R n,Y⊂R m是开集,Ω=X×Y⊂R n+m(为开集), F: Ω→R m. 若F满足下列条件：①存在x0∈X, y0∈Y, 使得F(x0,y0)=0;②F在Ω上可微，且F’连续; ③det F’y(x0,y0)≠0.则存在点x0的n维邻域U=U(x0)⊂X和点y0的m维邻域V=V(x0)⊂Y,使得在点(x0,y0)的n+m维邻域W=U×V⊂Ω内, 由方程F(x,y)=0惟一地确定了隐函数f: U→V，它满足：(1)y0=f(x0);(2)当x∈U时, (x,f(x))∈W, 具有恒等式F(x,f(x))≡0, x∈U;(3)f在U内存在连续偏导数f’, 且f’(x)=-[F’y(x,y)]-1F’x(x,y), (x,y)∈W. 证：定义函数G: Ω→R n×R m, G(x,y)=(x,F(x,y)), 即有det G’(x0,y0)=det F’y(x0,y0)≠0, G(x0,y0)=(x0,F(x0,y0))=(x0,0).应用定理23.17, 存在R n×R m中包含(x0,0)的开集U×V’, U⊂R n, V’⊂R m和R n×R m中包含(x0,y0)的开集U’×V, U’⊂R n, V⊂R m使得G: U’×V→U×V’具有可微反函数H: U×V’→U’×V. 由G(x,y)=(x,F(x,y))得H(x,y)=(x,k(x,y)),其中k(x,y)是从U×V’到V的可微向量函数. 定义映射π: R n×R m→R m, π(x,y)=y. 由于π◦ G=F, ∴F(x,k(x,y))=F◦ H(x,y)=(π◦ G)◦H(x,y)=π◦(G◦H)(x,y)= π(x,y)=y, ∴F(x,k(x,0))=0. 定义f(x)=k(x,0), 即有x∈U, f(x)∈V, F(x,f(x))=0, y0=f(x0). 引入向量增量符号△f=f(x+△x)-f(x), x,x+△x∈U. 于是有F(x+△x,f(x+△x))-F(x,f(x))=F(x+△x,f(x)+△f)-F(x,f(x))=0.各分量运用微分中值公式： F i (x+△x,f(x)+△f)-F i (x,f(x))=k i i nk k i x f x f x x x F ∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ+j i i mj ji f f x f x x y F∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ=0 (i=1,…,m). 又k i mj ji x fx f x y F ∂∂∂∂∑=))(,(1=))(,(x f x x F k i ∂∂-(i=1,…,m; k=1,…,n).将这m ×n 个式子列成矩阵式，即有：F ’y (x,y)f ’(x)=-F ’x (x,y), y=f(x), (x,y)∈U ×V. 由F ’y 在U 内可逆, 解得： f ’(x)=-[F ’y (x,y)]-1F ’x (x,y), (x,y)∈W. 由条件②推得f ’(x)在U 上连续.例2：设Ω⊂R 4, F,G: Ω→R.若向量H=(F,G)T 在点(z 0,w 0)T ∈Ω的某邻域内 满足定理23.18条件, 其中z 0=(x 0,y 0)T , w 0=(u 0,v 0)T , 且det H w ’(z 0,w 0)≠0, 则方程H(x,y,u,v)=0. 在点z 0的某邻域内确定一个可微的隐函数w=f(z), 且f ’(z)=-[H ’w (z,w)]-1H ’z (z,w), 即f ’(z)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v xvyu x u=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂--y G x G yF x F vG u Gv F u F1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂-y G x Gy F x Fv F u G v F v GJ 1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-),(),(),(),(),(),(),(),(1y u G F x u G F v y G F v x G F J , 其中J=),(),(v u G F ∂∂.三、拉格朗日乘数法设D ⊂R n 为开集, f: D →R, φ: D →R m , n=m+r, 用行向量记x=(x 1,…,x n )=(x 1,…,x r ,x r+1,…,x r+m )=(y,z), y ∈R r , z ∈R m , 当φ(x)=φ(y,z)=0时,求函数f(x)=f(y,z)的极值, 其格拉朗日函数为L(x,λ)=L(y,z,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z), 其中λ=(λ1,…,λn)T为拉格朗日乘数向量.定理23.19：对上述所设函数f, φ若满足条件：(1)f, φ在D内有连续导数；(2)φ(x0)=φ(y0,z0)=0；(3)rank φ’(x0)=rank[φ’y(y0,z0),φ’z(y0,z0)]=m；(4)x0=(y0,z0)是f在φ(x)=φ(y,z)=0时的极值点.则存在A0∈R m, 使得(x0,A0)是函数L(x,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z)的稳定点, 即满足L’(x0,A0)=[L x(x0,A0)+ Lλ(x0,A0)]=0, 其中λ=(λ1,…,λn)T,又由条件(2)有Lλ(x0,A0)=[φ(x0)]T=0, ∴L x(x0,A0)=f’(x0)+A0Tφ’(x0)=0.证：不妨设由条件(3)有det φ’z(y0,z0)≠0.由条件(1)(2)及上式满足定理23.18, 知由方程φ(x)=φ(y,z)=0确定惟一隐函数z=g(y), (y,z)∈U(y0)×U(z0)⊂D, 使得z0=g(y0), φ(y,g(y))≡0, y∈U(y0) 且g在U(y0)存在连续导数. 于是由复合函数求导法则得φy(y0,z0)+φz(y0,z0)g’(y0)=0. 又(y0,z0)是f的条件极值点,∴y0是h(y)=f(y,g(y))的极值点. 于是有f y(y0,z0)+f z(y0,z0)g’(y0)=0.取A0∈R m为方程f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0的解. 由det φ’z(y0,z0)≠0知, A0存在. ∵A0Tφy(y0,z0)+A0Tφz(y0,z0)g’(y0)=0, ∴A0Tφy(y0,z0)-f z(y0,z0)=0,∴f y(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 又f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 得证.习题1、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+023*******u z y x u z y x u z y x , 证明：除了不能把x,y,z 用u 惟一表示出来外,其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表示出来.证：令F(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+u z y x u z y x u z y x 2322232, 则F ’(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---232212112113u . F 满足条件：(1)F(0,0,0,0)=0, 存在(0,0,0,0)T ∈R 4; (2)F 在R 4上可微, 且F ’连续;(3)令ω1=(x,y,z)T , ω10=(0,0,0)T , 则det F ’ω1(0,ω10)=322211113---=0; 令ω2=(x,z,u)T , ω20=(0,0,0)T , 则det F ’ω2(0,ω20)=232121013--=21≠0;令ω3=(x,y,u)T , ω30=(0,0,0)T , 则det F ’ω3(0,ω30)=222111013-=-12≠0;令ω4=(x,y,u)T , ω40=(0,0,0)T , 则det F ’ω4(0,ω40)=232121011---=3≠0; 根据定理23.17，在原点邻域，除了不能把x,y,z 用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表示出来.2、应用隐函数求导公式，求由方程组x=ucosv, y=usinv, z=v 所确定的隐函数之一z=z(x,y)的所有二阶偏导数.解：令F=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---v z v u y v u x sin cos , ω1=(x,y)T , ω2=(z,u,v)T , 依隐函数求导公式有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v xv y u x u y z x z =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v v u =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----v vv u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1, 其中u=),,(),,(321v u z F F F ∂∂. ∴xz ∂∂=u v sin -, y z ∂∂=u v cos , x u ∂∂=cosv, y u ∂∂=sinv, x v ∂∂=u v sin -, y v ∂∂=u v cos .又u=22y x +, cosv=22yx x +, sinv=22yx y +, 因此有22x z∂∂=2sin cos u vx u x v vu ∂∂-∂∂-=2sin cos 2u v v =222)(2y x xy +; yx z∂∂∂2=2sin cos u vy uy v vu ∂∂-∂∂-=222cos sin u v v -=22222)(y x x y +-;22yz∂∂=2cos sin u vyuy v vu ∂∂-∂∂-=2cos sin 2uv v -=222)(2y x xy +-.3、设方程组⎩⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u . 试问：(1)在什么条件下，能确定以x,y,v 为自变量, u,z 为因变量的隐函数组？ (2)能否确定以x,y,z 为自变量, u,v 为因变量的隐函数组? (3)计算x u ∂∂,y u ∂∂,vu∂∂.解：设F=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21FF =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u , F: R 5→R 2. 若F 满足下列条件： ①存在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0,v 0)∈R 5, 使F(p 0)=0;②在邻域U(p 0)⊂R 5内，F 可微且F ’连续，则有f, g 可微且f ’, g ’连续; ③由行列式求导法知：F ’=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-00)()(1321321321z y x g g g f f f u f f f v f f f (1)令ω1=(x,y,v)T , ω2=(u,z)T , ω10=(x 0,y 0,v 0)T , ω20=(u 0,z 0)T , 满足det F ’ω2(ω10,ω20)=g ’z [1+v(f 1’+ f 2’+ f 3’)]≠0时，在邻域U(ω10)⊂U(p 0)内， 由方程F=0, 能唯一确定隐函数f(ω1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),,(),,(v y x z v y x u . (2)令ω3=(x,y,z)T , ω4=(u,v)T , 则det F ’ω4(ω3,ω4)≡0,∴不能判断确定x,y,z 为自变量，u,v 为因变量的隐函数组. (3)由(1)所设, 有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即f ’(ω1)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂v z yz xzv u y uxu =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+--0)(0)(13212113321y x z g g f f f u f f g f f f f v =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-0)()(101321213213y x zg g f f f u f f f f f v f g =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'+'+''+'+'+''+'+''''+''-''+''-∆-0)](1[)](1[)(1321321321323f f f v g f f f v g f f f g u g f g f g f g f y x z y z x z . 其中△=g ’z [1+v(f ’1+f ’2+f ’3)].∴xu ∂∂=∆''-''x z g f g f 3; y u ∂∂=∆''-''y z g f g f 32,v u ∂∂=∆'+'+''-)(321f f f g u z .4、设f(x,y)=(e x cosy,e x siny)T . 证明：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)≠0, 但在R 2上f 不是一一映射； (2)f 在D={(x,y)|0<y<2π}上是一一映射，并求(f -1)’(0,e). 证：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)=ye ye y e y e x x x x cos sin sin cos -=e 2x ≠0,令v=(x,y)T , 取v 1=(0,0)T , v 2=(0,2π)T , v 1≠v 2, 而f(v 1)=f(v 2)=[1,0]T , ∴f 在R 2上不是一一映射.(2)当(x,y)∈D={(x,y)|0<y<2π}时, 令v=(x,y)T, 而u=f(v)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y e y e x x sin cos .取v 1=(x 1,y 1)T , v 2=(x 2,y 2)T , 且x 1≠x 2, y 1≠y 2, 若有f(v 1)=f(v 2), 即e x1cosy 1=e x2cosy 2且e x1siny 1=e x2siny 2, 则有21x x e e =12cos cos y y =12sin sin y y , 从而有11cos sin y y =22cos sin y y , 即tany 1= tany 2, 由正切函数的周期性知|y 1-y 2|=π, 因此知cosy 1与cosy 2异号, 即不可能有21x x ee =12cos cos y y , ∴f(v 1)≠f(v 2),即f 在D 上一一映射.又f 在D 上可微, f ’连续，∴存在可导函数并求f -1:V →D, 其中V=f(D),则(f -1)’(u)=[f ’(v)]-1=1cos sin sin cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e xx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e e x x x x x cos sin sin cos 12. 又e2x=u 12+u 22, e x cosy=u 1, e x siny=u 2,∴(f -1)’(u)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+122122211u u u u u u , 从而(f -1)’(0,e)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0110ee .5、计算下列函数反函数的偏导数：u x ∂∂,v x ∂∂,u y ∂∂,vy ∂∂.(1)(u,v)T =Tx y x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛sin ,cos ；(2)(u,v)T =(e x +xsiny,e x -xcosy)T . 解：令s=(u,v)T , t=(x,y)T , s=f(t), 则有(f -1)’(s)=[f ’(t)]-1, 即 (1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1cos cos sin sin sin cos -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+x y x y x y x y x y x y x y x y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-x y x y x y x y x y x y x y x y sin cos sin cos sin cos =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-⋅+u u v v v u v u v u v u arctan arctan 122. ∴u x ∂∂=22v u u +,v x ∂∂=22v u v +,u y ∂∂=22arctan v u v u v u +-⋅,v y ∂∂=22arctan vu u u v v ++⋅. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1sin cos cos sin -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y x y e y x y e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x x e y e y y x y x y e y e x sin cos cos sin )1cos sin (1. ∴u x ∂∂=1cos sin sin +-y e y e y x x , v x ∂∂=1cos sin cos +--y e y e y x x , u y ∂∂=)1cos sin (cos +--y e y e x e y x x x , v y ∂∂=)1cos sin (sin +-+y e y e x e y x x x .6、设D ⊂R n 为开集, φ, ψ:D →R, f: D →R 2且f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T , x ∈D. 证明：在满足f(x 0)=0的点x 0处, rank f ’(x 0)<2. 但是由方程f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2.证：由f(x 0)=0, 得φ(x 0)=0, φ(x 0)ψ(x 0)=0, 依定理23.9求导公式得f ’(x 0)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+''+''')()()()()()()()()()(0000000000111x x x x x x x x x x nn nx x x x x x ψϕψϕψϕψϕϕϕΛΛ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''')()()()()()(00000011x x x x x x nnx x x x ψϕψϕϕϕΛΛ. 设f 在的导数矩阵两行线性相关，则rank f ’(x 0)<2.但f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2. 例如φ(x 1+x 2+x 3-x 4)=x 1+x 2+x 3-x 4, ψ(x)=(x 1-x 32-x 2x 4), 则f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T =[x 1+x 2+x 3-x 4,(x 1+x 2+x 3-x 4)(x 1-x 32-x 2x 4)]T ,取x 0=(0,0,0,0)满足f(x 0)=0, 能由方程f(x)=0确定函数g(x 1,x 3)=Tx x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++2233223223221,1.7、设D ⊂R n 为开集, f: D →R n , 证明：当满足条件(1)f 在D 上可微，且f ’连续；(2)当x ∈D 时, det f ’(x)≠0. 则f(D)是开集. 证：对任一y 0∈f(D), 存在x 0∈D, 使y 0=f(x 0), 依定理23.17, 存在邻域U(x 0)⊂D, 使f 在U 上一一映射, 存在反函数f -1: V →U(V=f(U)), 且(f -1)’在V 上连续, x 0=f -1(y 0). 由开集U ⊂D, 取ε>0, 使U(x 0,ε)⊂U, 又 (f -1)’在V 上连续知f -1(y)在y 0连续, ∴存在δ>0, 当y ∈U(y 0,δ)时, f -1(y)∈U(x 0,ε)⊂D, 于是U(y 0,δ)⊂f(D), 可见y 0是f(D)的点,由y 在f(D)上的任意性知f(D)为开集.8、设D,E ⊂R n 为开集, f: D →E 与f -1: E →D 互为反函数. 证明：若f 在x ∈D 可微, f -1在y=f(x)∈E 可微, 则f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵. 证：依定理23.13, 复合函数h=f -1◦f: D →D 在x 可微，且h ’(x)=(f -1◦f)’(x)=(f -1)’(y)f ’(x), 把h(x)=(f -1◦f)(x)看作以下两个变换的复合：(x 1,x 2,…,x n )↦(y 1,y 2,…,y n )↦(x 1,x 2,…,x n ), 则有(f -1)’(y)f ’(x)=h ’(x)=n nx x x x x x ∂∂∂∂∂∂0000000000002211ΛΛΛΛΛ=I. ∴f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵.9、对n 次多项式进行因式分解P n (x)=x n +a n-1x n-1+…+a n =(x-r 1)…(x-r n ). 从某种意义上说，这也是一个反函数问题. 因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1.要求得到用系数表示的根，即r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 试对n=2与n=3两种情形，证明：当方程P n (x)=0无重根时, 函数组 a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1存在反函数组r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 证：(1)当n=2时, P 2(x)=x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)=x 2-(r 1+r 2)x+r 1r 2.则有函数组a 1=-(r 1+r 2), a 0=r 1r 2. ),(),(2101r r a a ∂=1211r r --=r 2-r 1≠0(r 1≠r 2). 当r 1≠r 2时一切点偏导连续, 依定理18.5上述函数组确定反函数组： r 1=2)40211a a a -+-, r 2=2)40211a a a ---.(2)当n=3时,P 3(x)=x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)(x-r 3)=x 3-(r 1+r 2+r 3)x 2+(r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1)-r 1r 2r 3. 则有函数组a 2=-(r 1+r 2+r 3), a 1=r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1, a 0=-r 1r 2r 3.),,(),,(321012r r r a a a ∂=213132213132111r r r r r r r r r r r r ---+++---≠0 (r 1,r 2,r 3互不相等时).在r1,r2,r3互不相等时,一切点上偏导连续, 依定理18.5确定反函数组：r1=r1(a2,a1,a0), r2=r2(a2,a1,a0), r3=r3(a2,a1,a0).。
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义：若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0)；8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0)；
9、∫sec2xdx=tanx+C；10、∫csc2xdx=-cotx+C；11、∫secx·tanxdx=secx+C；
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C；13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1；
(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
数学分析课件高斯公式与斯托克斯公式
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总结词
高斯公式的应用举例包括计算球体体积、表面积，以及解决物理问题中的积分问题。
详细描述
高斯公式可以用于计算球体的体积和表面积。例如，对于球体，其表面积可以通过高斯公式计算得出。此外，高斯公式在解决物理问题中的积分问题时也很有用，例如计算电场强度、磁场强度等物理量的积分值。
高斯公式的应用举例
02
斯托克斯公式
斯托克斯公式是描述在三维空间中，一个向量场沿着某曲面边界的线积分与该曲面内体积分的关系的公式。
斯托克斯公式定义
设向量场 F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k，其中 P、Q、R 是具有连续偏导数的函数，Σ 是有界闭曲面，L 是 Σ 的边界曲线，则有 Stokes' formula: ∫Σ (▽×F) · dS = ∮L F · dS，其中 ▽×F 是向量场 F 的旋度，dS 是 Σ 上任意一点处的单位法向量。
数学分析课件高斯公式与斯托克斯公式
目录
contents
高斯公式 斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式的比较 公式证明 公式在实际问题中的应用
01
高斯公式
高斯公式是数学分析中的一个重要定理，用于计算一个封闭曲面内的体积。
高斯公式表述为，对于一个封闭曲面内的体积，可以通过计算该曲面内所有点处的三重积分值，再乘以封闭曲面的面积，得到该体积的数值。
03
高斯公式与斯托克斯公式的比较
总结词：高斯公式和斯托克斯公式在形式上存在显著差异。
详细描述：高斯公式是一个体积分公式，用于计算三维空间中封闭曲面内的体积，而斯托克斯公式是一个面积分公式，用于计算二维封闭曲线在三维空间中的投影面积。
数学分析定义、定理、推理一览表
参变量函数的导数
高阶导数
定义略
微分
定义1
定理5.10
可微函数
若函数在定义区间上每一点都可微，则称函数为可微函数.
微分的运算法则
高阶微分
微分中值定理
函数的极值与最值
通过比较 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值才能得到最大值或最小值.
函数的凸性与拐点
函数图像的讨论
作函数图像的一般程序
1.求函数的定义域；
2.考察函数的奇偶性、周期性；
3.求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；
4.确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；
5.考察渐近线；
6.综合以上结果画出函数图像.
定义1给定两个非负实数
其中 为非负整数， 为整数，若有
则称 与 相等，记为 .
定义2
定义3
绝对值得一些性质
定义4
区பைடு நூலகம்和邻域
定义5有界的定义
定义6确界的定义
定理1
定理一确界原理
定理2
推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.
函数的概念
定义1
函数的四则运算
初等函数
定义2
几个重要的等式（不等式）
定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
数学分析第十八章隐函数定理及其应用
由连续函数的局部保号性, (0, ], 使当x ( x0 , x0 )时,
如图，在矩形ABBA的AB边上F 0, AB上F 0,因此, x ( x0 , x0 ), 唯一y ( y0 , y0 )使F ( x, y ) 0. 即方程F ( x, y ) 0唯一地确定了定义在区间( x0 , x0 ) 内的(隐)函数y f ( x).
隐函数必须在指出确定它的方程以及x, y的取值范围后才有意义.
又如方程 1 x y c 0, y x sin y 0. 2
2 2
(i ) 要研究什么条件下才能确定隐函数. (ii ) 隐函数一般不能化成显函数.但要研究其连续性和可微性.
二、隐函数存在性条件的分析
满足方程(1)的点集可看作z F ( x, y )与z 0的交集.
证：）存在唯一性.由(iv) , 不妨Fy ( x0 , y0 ) 0.由(iii), Fy 局部保号, 1 [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D, 使其上每点Fy ( x, y ) 0. 故x [ x0 , x0 ], F ( x, y )关于y在[ y0 , y0 ]上严格增 且连续.
1 几何意义 : 平面曲线y 1 x 是空间曲面z xy y 1与平面z 0
的单值交线.
例 2 二元方程F ( x, y ) x 2 y 2 1 0.x (1,1)通过方程对应 两个y.若限定0 y 或 y 0, 则x (1,1)对唯一一个y, 即y1 1 x 2或y2 1 x 2 , 也就是 F ( x, y1 ) F ( x, 1 x 2 ) 0或 F ( x, y2 ) F ( x, 1 x 2 ) 0.
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导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。
常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。
常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。
数学分析定义、定理、推理一览表
定义1给定两个非负实数^a o.a1.a2n∣aj∣∣, y = b∙ b∙ bll n b∣其中a0,b0为非负整数，a k,b k k=1,2,∣)∣为整数，若有O Ea k 乞 9,0 Eb k乞 9.则称X与y相等，记为X = y.若a0■ b0或存在非负实数丨,使得a k =bk k =0,1,2,∣l（l 而a∣ 1 ■ b∣ 1,则称X大于y或y小于X,分别记为X ∙y或y ：：：x.定义2设X =a0.a1a2∣∣（a n川为非负实数.称有理数X =a°.a1a2∣l（a n为实数X的 n位不足近似，而有理数1称为X的 n位过剩近似，n =0,1,2,11（.实数的一些主要性质1. 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍然是实数.2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a = b,a ：： b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4. 实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数n，使得 na>b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点 O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着 -------- 对应关系.定义3a a > 0实数a的绝对值定义为a =《a, a一0,[-a, a £ 0.从数轴上看，数a的绝对值a就是a到原点的距离绝对值得一些性质1. a ∣ =|—a ∣ ≥0;当且仅当 a=0时有 a =0.2. — a ≤a ≤ a3. a ∣ch= -h ca c h; a ∣ 兰 h u —h ≤a ≤ h(h >0).4. 对于任何a 、b ∙ R ∙有如下三角形不等式：a —b ≤∣a ±b ≤∣a +∣b .定义5有界的定义 设S 为R 中的一个数集•若存在M(L),使得对一切x ∙ S,都有X 乞M(X _L),则称S 为有上界(下界)的数集，数 M(L)称 为S 的一个上界(下界)•简记：S Q R, E M >ORx E Sn ∣x ≤M ,称S 有界•5. ab =a b6.(b=0).定义4区间和邻域[ 开区间：(a,b )= {χ a C X cb },有限区间J 闭区间：Ia,b] = {χa 兰x≤b}, 半开半闭区间 :la, b )={χ a ≤ X < b},!U无限区间*(- ：：，a] = ：XXmaf, (a, ：：) =IXX ■ a/ , ,a,b R. (^oCl , +□c ) — { X 亠 VX £^} = R,邻域：a E R,6>0.满足X-a < 6的全体实数X 的集合称为点a 的：邻域，记作U a;、：，或U （a ）,即有U (a√ ) ={x Il X - a 卜：、} = (a -、, a 、).点 a 的空心邻域：U ° （a;「•）={x| 0 ：:：| x - a卜：：}.点 a 的：右邻域：U .（a;-；） [a, a r ）;点a 的「•左邻域：U_（a;-：）（a -",a];点a 的空心「•右邻域：U °.（a;「•）= （a, a ，）;点a 的空心「•左邻域：U j⅛-Q =（a -、：，a ）;：：邻域U （：：） ={X ∣∣x ∣ M},其中M 为充分大正数； b b若数集S既有上界又有下界，则称 S为有界集•若S不是有界集, 则称为无界集•定义6确界的定义1设S R.若数满足：i X三S,有X-,即是S的上界；ii -「：：：，-X0∙S,使得x0八J即又是S的最小上界，则称为数集S的上确界，记作=SUP S.2.设S R.若数■满足：i -x S,有X _■,即■是S的下界;ii - 一：∙, X o ∙S,使得X o ::：二即•又是S的最大下界，则称•为数集S的下确界，记作= inf S定理1设数集S有上确界•i) =SUP S S= =max S.ii) =inf S S = = min S.定理一确界原理设S为非空数集•若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界•定理2设A B为非空数集，满足：对一切X A和y∙ B有x _ y・数集A有上确界，数集B有下确界，且SUPAminf B・推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的)函数的概念定义1给定两个实数集D和M ,若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f :D > M,X y.数集D称为函数f的定义域，X所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (X).全体函数值的集合f (D) J y∣y = f(x),x∙ D“ M) 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f,x∙ D1和g,x∙ D2,记D=D I nD2,并设D定义f与g在D上的和、差、积运算如下：F(x) = f(x) g(x),x D,G(X) = f(χ) -g(χ),χ D,H(X) = f(x)g(x),x D.若在D中剔除g(x)=O的X值，即令D =D I rh Xlg (X)= 0,x D2 5 I ,则除法如下L(X)^f(X)/g(x), x D*.初等函数常量函数科=C(C为常数)；幕函数y =x>(>为实数)；指数函数 y =a x(a 0,a -1);对数函数 y=log a x(a ∙0,a=1);三角函数 y = sin X, y = cosx, y = tan x, y = cot x;反三角函数y =arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arc cotx.定义2给定实数a ∙0,a = 1设X为我们规定SUPL a r| r为有理数｝,当a ∙1时,a r|r为有理数｝,当0 ：：a ：：： 1时.设E an 护数列，a 为定数.若对任给的正数 関总存在正整数N, 使得当n^^时有则称数列斗葩攵敛于a,定数a 称为 数列R n ｝的极限，并记作Im^nPa,或a nd a （n 若数列B n D 殳有极限，则称定义1'任给s!>0，若在U lE^l 之外数列F aj -中的项至多只有有限个, 则称数列K a I 收敛于极限a.定义2若 Iima n=0,则称I a r l 为无穷小数列.定理2.1数列Ra n 0收敛于a 的充要条件是：R a n -a ｝为无穷小数列. 几个重要的等式（不等式） 1. Sin X Sin X 2•由 4n n( n - 1) n n n 2 n - 1 3. 1n 2n 2n 4.算术平均数5.几何平均数 a6.调和平均数a∣a ∣ 1 n 1 1 a 1 a 2 7. n n 1n 11数列极限 定义1n a 2 a 1 a 2 I a n 竺当a ^H a 吕a n 时，“=” 成立 收敛，或称 ^n 1为发散数列.a收敛数列的性质定义1设i.a n'为数列，In kf为正整数集N +的无限子集，且n1：：： n2 :：：|1| :：：入：：：|）| , 则数列θn1, a n2 JIL a n k J11称为数列Ia nf的一个子列，简记为：a n* 平凡子列：数列订」本身以及去掉有限项后得到的子列• 非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列^a n［与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列⅛n ?收敛的充要条件是：Ia nI的任何非平凡子列都收敛• 定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.函数极限定义1设f为定义在a上的函数，A为定数•若对人给的；0, 存在正数M(A a ,使得当XAM时有f(x)-A]"则称函数f当X趋于时以A为极限，记作Iim f X = A或f x ：—；A x—；.X-Ji-Xl2设函数f在点X)的某个空心邻域J。
数学分析第二讲 实数系的6个定理
数, N 2 N 1 .{an } n N 2 小数点后面第二位恒为x2 .
单调数列收敛定理
重复上述过程得到:
a A. x1 x2 x3 x4
一样,为 A. x1 x2 x3
；N 0 N1 N 2
xi i 1, 2, 3, 4
特点： {an } n N i 整数部分以及一直到小数点后面第i 数值
单调数列收敛定理
注1:单调递增数列 xn , lim xn n N * : xn
n
注2:单调递减数列 xn , lim xn n N * : xn
n
推论
(1)单调数列收敛的充分必要条件为有一个子列的极限存在 (2)单调数列发散的充分必要条件为有一个子列的极限不存在 (3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷 (4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界
下证a A. x1 x2 x3 x4 就是数列{an }的极限.
对 0, 取m N * , 满足 10 m , n N m , an的整数部分和前m位上的数码与a是一样.
| an a | 10 m
即 lim an A. x1 x2 x3 . 结论得证 n
n 1
< b2 < b1
2) 区间长度 | I n | bn an 0 (n )
则存在唯一一点 满足： In
列紧性定理
列紧性定理
任意有界数列中必有收敛子列.
证明： 设 xn 满足a xn b.
1 将区间[a, b]二等分, 选包含 xn 的无穷多项子
闭区间套定理
逐步逼近：闭区间套定理
定理 设I n [an , bn ], n N * , 为一列闭区间, 满足