非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)

出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的

d x/ dx 0/ 0, 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多
条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇
点.
在相平面的上方(如下图) ,
由于

x

0所以
x总是朝大的

x
A(x0 ,

x0 )
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图 中箭头所指从左向右移动. 在相平面
u0
0
u(t) u(t) G(s) c(t)
u0
上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节, G(s) 表示非线性系统中线性部分的传递函数.
非线性的特性是各种各样的, 教材图及 表给出了一些工程上常见的典型非线性特性.
7-2非线性控制系统的特征
非线性控制系统有如下两个基本特征: (1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参
0
x
的下方,
由于

x

0
所以
x
总是朝小的
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭

箭头所指从右向左移动. 在 x 轴上, 由于
x 0, 即 x不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线
与 x 轴的交点处的切线总垂直于x 轴.
2. 相轨迹作图法
先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法.
(1)解析法
数有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小 有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分 方程, 而从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的 解法, 再由于第二个特征, 对非线性控制系统也没有一 个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描 述函数法, 是在非线性控制系统满足一定的条件下, 将 线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因 此具有一定的局限性.
成的相轨迹簇叫相平面图. 因为




d x d x/ dt dx dx / dt

x


x
f (x, x)

x
(2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


所以, 当 x, x 确定后, d x/ dx 也唯一确定. 而 d x/ dx 是相

轨迹在 (x, x) 处的曲线斜率, 由于每一点上的斜率确定,所
每一点上只能通过一条相轨迹, 这说明由不同初始条件
x
x
(9)
对式(9)两边积分得:

xd
x




2 n
x
dx
2
x2 x A2
2 n
(10)
2

式(10)中, A
x02 x0
/

2 n
,
是由初始条件(x0, x0 ) 决定


的积分常数, 当 (x0, x0 )取不同的数值时, 式(10)在 x x
平面上表示一簇同心的椭圆, 如下图所示. 每一个椭圆
根据系统的微分方程求出相轨迹方程, 然后由相轨
迹方程绘制相平面图, 此方法仅用于简单的一﹑二阶线
性系统或分段线性系统.
(a)线性一阶系统 系统自由运动的微分方程为:


T x x 0 (3) 相轨迹方程为: x x /T
(4)

设初始条件: x(0) x0, x(0) x0 /T, 当T>0,相轨迹如下图
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
非线性系统.
设一二阶系统可用下面常微分方程描述:


x f (x, x) (1)
上面微分方程的解可用 x(t)对t 的关系曲线表示, 也可用

x(t )
与
x(t )
的关系曲线表示,
当用后一种关系曲线时,是
把曲线画在

xx
的直角坐标平面上,
而 t 作为参变量

在 x x 平面上并不出现.
设下图为式(1)在初始条件
x

x0
,

x


x0
情况下的

x
(t
)
与
x(t )
的关系曲线. 当 t [0,)时, 平面上的点随时间的增大,

x
A(x0 ,

x0 )
将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 则曲线上任何一点的

x
相当于一个简谐运动. 由于在原点,


x x 0 , 所以 d x/ dx 0/ 0, 原点叫

0
x 坐标也确定. 当 x, x 的值确定后, 由
式(1)可知

x

f
(

x,
x)
的值也唯一确
定, 从而系统的整个运动状态也完全确定. 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动
性质. 上图中的平面叫相平面, 曲线叫系统在某一初始
条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个,
因此相应的相轨迹也有无穷多条, 这无穷多条相轨迹构
第七章 非线性控制系统分析
7-1非线性控制系统概述
以前讨论的自动控制理论, 都是针对线性控制系统的 所以也叫线性自动控制理论. 所谓线性控制系统是指系统 中所有环节的输入输出都呈线性关系, 若有的环节所具有 的非线性特性不很强烈, 且可对其线性化, 则也可当作线 性环节处理. 但如此处理后, 应使对系统的分析和设计的 精度满足工程上的要求. 系统中只要有一个环节的非线性 特性很强烈, 对其线性化将影响对系统分析和设计的精度 或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化, 则只能用 非线性理论对系统进行分析和设计.
x
2 n
x

0
(5)
式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:


dx
dt

(2 n

x

2 n
x)
(6)
dx dt


x

(7)

式(6)除以式(7):
dx dx


2 n
x

x

2 n
x

(8)
第一种情况, 0 , 式(8)为:

dx dx


2 n
在工程实际中, 大多数被控对象都具有非线性特性, 因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义. 在某 些情况下, 在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素 反而有利于控制质量的提高.
在系统中, 只要有一个环节或元件有非线性特性,
则整个系统就叫非线性系统, 如下图所示.
r(t) e(t)
e(t )

B(x0 ', x0 ')
B(
x0
',

x0
')
0

x
系统从任一初始点出发, 均将沿相轨
A(
x0
,

x0
) 迹收敛于原点. x 中绿线所示.
当T<0, 相轨迹如图 系统从任一初始点出发

A( x0 , x0 )
均将沿相轨迹发散至无穷.
(b)线性二阶系统 系统自由运动的微分方程为:


x
2 n