08-三角级数及三角函数系的正交性课件

傅里叶级数
三角级数及三角函数系的正交 性 函数展开成傅里叶级数
正弦级数与余弦级数
三角级数及三角 函数系的正交性
1. 三角级数
周期运动是自然界中广泛存在的一种运动形态,
对周期运动可用周期函数来近似描述.例如描述简谐
振动的函数 y Asin( t ) 就是一个以 2π 为周
期的正弦函数.
值得注意的是:
nx) .
三角级数
其中 a0 , an , bn ( n 1, 2 , 3,) 都是常数.
2. 三角函数系的正交性 三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , , cos nx , sin nx ,
在区间π, π 上是正交函数系, 即
π
cos nxdx 0 ( n 1,2, 3, ) , -π
上的积分不等于零, 且有
π 12dx 2π , π
π sin2 nxdx π ( n 1, 2, 3, ) ,
π
π cos2 nxdx π ( n 1, 2, 3, ) . π
π
sin nxdx 0 ( n 1, 2, 3, ) , -π
π sin kx cos nxdx 0 ( k, n 1, 2, 3, ) , -π
π
cos kx cos nxdx 0 -π π
sin kx sin nxdx 0 -π
( k, n 1, 2, 3, , k n ) , ( k, n 1, 2, 3, , k n ) .
并非所有的周期过程都能用简单的正弦函数来表示.
例如周期为T 的矩形波：
u E
T
OT
x
2
2
想法：将周期函数展开成由简单的周期函数(例如三角
函数)组成的级数.
即:
若
f
(t) 是周期为T
2π
的周期函数,则
f (t) A0
An sin(n t n )
n1
其中 A0 , An , n (n 1, 2, 3, ) 都是常数.
将正弦函数 An sin(n t n ) 变形成为
An
sin(n
a
t
n )
Ansin n
cos
n
t
An cosn
sin
n
t
,令
0
2
A0 ,
an
An sin
n ,
bn
Ancosn ,
t
பைடு நூலகம்
x，
则级数 A0 Ansin(n t n ) 就可以改写为
a 0
2
n1
(an
n 1
cos
nx
bn sin
例如当 k n 时,有
π
1π
cos kx cos nxdx [cos (k n) x cos (k n) x]dx
π
2 π
1 2
sin
(k n)x kn
sin (k n)x k n
π π
0 ( k, n 1, 2, 3, , k n ) .
在三角函数系中, 两个相同函数的乘积在区间π, π