第十二章 傅氏级数 三角函数系及其正交性

(m,n 1,2,)
§2
周
期 为
第
2 十
的 函 数
二 章
的 傅
傅
氏氏
级 数
级
及数
其
收
敛
性
1.周期函数的傅氏系数与傅氏级数
❖
假设三角级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
在 (,)上一致收敛于f ( x).此时有
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
则
an
1
连续.
❖ 如果函数 f ( x)在a,b上只有有限个单调 区间,则称 f ( x)在a,b 上分段单调.
❖假设 x0是 f ( x)的第一类间断点,记 f ( x0 ), f ( x0 )
分别为 f ( x)在 x0处的左,右极限,若极限
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
存在,则称 f ( x)在x0 处广义左可导,记该极限为
S( x) 1 f ( x ) f ( x ) , x . 2
例1
设函数 f ( x)以2 为周期,它在 , 上
的表达式为
f
(
x)
1,
1,
x0 0 x.
求 f ( x)的傅氏级数及其和函数.
1
1
3.奇,偶周期函数的傅氏级数
❖当 f ( x)是偶函数时,其傅氏系数为
an
x
)
,
x为f ( x)的连续点, x为f ( x)的间断点.
Remark
一个分段连续且分段单调的函数, 在其连续点处,其傅氏级数就收敛 到该点的函数值,此时称函数 在该点可以展成傅氏级数.
仅在连续点处可 展成傅氏级数.
定理2:
设函数 f ( x)以2 为周期,且在区间 ,
上分段可微,则 f ( x)的傅氏级数在任意 一点 x 处均收敛到和函数
为函数 f ( x)的傅里叶系数,简称傅氏系数.
以傅氏系数为系数所作的三角级数
a0
2
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
称函数 f ( x) 的傅里叶级数,简称傅氏级数.
记作
f
(
x)
~
a0 2
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
2.傅氏级数的收敛性定理及傅氏展开式
❖ 如果函数 f ( x) 在a,b 上除去有限个第一类 间断点外处处连续,则称f ( x) 在a,b 上分段
an 0, n 0,1,2,
bn
2
0
f ( x)sin nxdx,
n 1,2,
此时 f ( x)的傅氏级数中只有正弦函数项:
f ( x) ~ bn sin nx.
n1
称这样的级数为傅氏正弦级数,
简称正弦级数.
例2
设函数f ( x)以2 为周期,它在 ,
上的表达式为
1, 0 x ,
f
(x)
~
a0 2
n
(an cos
n1
l
x
n
bn sin l
x)
其中, an
1 l
l l
f ( x)cos n
l
xdx,
n 0,1,2,
bn
1 l
l l
f ( x)sin n
l
xdx,
n 1,2,.
情况三:
函数 y f ( x)在 0,l上有定义.
首先延拓到 l,l上.
(1)偶延拓:
F1
情况一:
函数 y f ( x)在 , 上有定义.
(1)令F ( x) f ( x 2k ), 2k x 2k .
则F ( x) 为以2 为周期的函数,称其为 f ( x)
的周期延拓函数.
(2)
F
(
x)
~
a0 2
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
其中,
an
1
F ( x)cos nxdx 1
f
(x)
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx)?
三角级数
基本三角函数系
以 T 为周期的函数 f ( x):
1,cosx,sinx,cos 2x,sin 2x,,cos nx,sin nx,
其中 2 .
T
是否存在常数 an 与 bn ,使得
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
s in nx ) ?
wk.baidu.com
(
x
)
f
f( (
x x
), ),
0 x l, l x 0;
f ( x), 0 x l,
(2)奇延拓:
F2
(
x
)
0,
x 0,
f ( x), l x 0.
之后,再按前面方法延拓成周期函数.
偶延拓后,
f ( x) ~ a0 2
n
an cos
n1
l
x,
0
x l,
其中, an
n 0,1,2,
bn
1 l
l l
f ( x)sin n
l
xdx,
n 1,2,.
例3
设函数
f
(t
)
以T为周期,它在
T 2
,T 2
上的表达式为
f
(t)
A sin t , A sin t ,
0
T
t t
T 2
0.
2
其中
2
T
.求
f
(t )的傅氏展开式.
5.定义在有穷区间的函数的傅氏级数
则称 f ( x)在a,b上分段可微.
Dirichlet定理
❖ 设函数 f ( x)以 2 为周期,在区间 , 上
满足Dirichlet条件,即:
f ( x)在 , 上分段连续且分段单调,则
f ( x)的傅氏级数在任意一点 x处均收敛, 且其和函数为
f ( x),
S(
x)
f
(
x
) 2
f
(
f
(
x)
0,
x 0, ,
1, x 0.
求 f ( x)的傅氏级数及其和函数.
1
1
4.任意周期的周期函数的傅氏级数
❖ 设 f ( x) 以 2l 为周期,则f ( x)的傅氏级数为
a0
2
n1
(an
cos
n
l
x
bn
sin
n
l
x)
其中,
an
1 l
l l
f ( x)cos n
l
xdx,
§1
第
十
三二
角章
函 数 系
傅 氏
及级
其数
正
交
性
1.问题的引出
在某区间上无穷次可导的函数可展成
Taylor级数
非无穷次可导的函数呢? 比如周期函数~
以2 为周期的函数 f ( x):
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,,cos nx,sin nx,
是否存在常数 an 与 bn ,使得
f ( x)cos nxdx,
n 0,1,2,
bn
1
f ( x)sin nxdx,
n 1,2,.
定义
❖ 设 f ( x)是一个以2为周期的函数,且在
, 上有界可积,则称数串
1
an
f ( x)cos nxdx,
n 0,1,2,
bn
1
f ( x)sin nxdx,
n 1,2,.
若 f ( ) f ( ),直接延拓;
若 f ( ) f ( ),按照 , 上的或 ,
上的定义延拓即可.
例4
求函数 f ( x) 2 x2 ( x )
在 , 上的傅氏展开式.
情况二:
函数 y f ( x)在 l,l 上有定义.
延拓成以 2l 为周期的周期函数,此时
2.三角函数系的正交性
①
cos nxdx sin nxdx 0.
(n 1,2,3,)
②
0, m n
sin mx sin nxdx , m n
③
cos mx cos nxdx
0,
,
mn mn
同弦同 数才为 .
(m,n 1,2,)
④
sin mx cos nxdx 0
f ( x0 ) 称之为 f ( x)在x0处的广义左导数.(广义右导数)
❖ 若函数 f ( x)在a,b上分段连续,又存在有限
个点a x0 x1 xn b,使得 f ( x)在每 一个小区间( xi , xi1 )上可微,且在这些点处 的广义导数 f ( xi ), f ( xi ) 存在,(i 0,,n)
f ( x)cos nxdx, n 0,1,2,
bn
1
F ( x)sin nxdx 1
f ( x)sin nxdx, n 1,2,
(3)则在 , 上,
f
(
x)
~
a0 2
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
Remark
函数y f ( x)在 , 上有定义类似. 函数y f ( x)在 , 上有定义时,
1
f ( x)cos nxdx 2
0
f ( x)cos nxdx, n 0,1,2,
bn
1
f ( x)sin nxdx 0,
n 1,2,
此时 f ( x)的傅氏级数中只有常数项和余弦
函数项:
f
(x)
~
a0 2
n1
an
cos nx.
称这样的级数为傅氏余弦级数,简称余弦级数.
❖当 f ( x)是奇函数时,其傅氏系数为
❖周期函数的傅氏系数与傅氏级数 ❖傅氏级数的收敛性定理及傅氏展开式 ❖奇,偶周期函数的傅氏级数 ❖任意周期的周期函数的傅氏级数 ❖定义在有穷区间的函数的傅氏级数
Thank you!@_@
2 l
l 0
f ( x)cos n
l
xdx, n 0,1,2,
奇延拓后, f ( x) ~
n1
bn
sin
n
l
x,
0
x l,
其中, bn
2 l
l 0
f ( x)sin n
l
xdx,
n 1,2,
例5
将函数 f ( x) x 在区间0,2上展开成:
2
(1)余弦级数; (2)正弦级数.
本节小结