三角函数之正交性

cos a cos b = sin a sin b = sin a cos b =
1 [cos(a + b ) + cos(a − b )] 2 1 [cos(a − b ) − cos(a + b )] 2 1 [sin (a + b ) + sin (a − b )] 2
(2a) (2b) (2c)
π
(4c)
式(4a)與式(4b)中之正弦函數的值與 m 、 n 有關，說明下： n當 m ≠ n 且 m 、 n 均為自然數時， o當 m = n 且 m 、 n 均為自然數時， 達定理(L’Hospital’s Rule)知：
sin[(m + n )π ] sin[(m − n )π ] = 0 、但 ≠ 0 ，因為由羅必 m+n m−n
d sin[(m − n )π ] dm π cos[(m − n )π ] sin[(m − n )π ] = lim = lim = π cos 0 = π m→n m→n m→n m−n d (m − n ) dm 1 lim
(5)
故式(4a)與式(4b)可加以改寫，再將式(4c)整理在一起，即可證出三角函數之正交性：
∫
π
π
π
−π
sin[(m + n )x ] ∫ cos[(m + n)x]dx = m+n
π
=
−π
sin[(m + n )π ] sin[− (m + n )π ] 2 sin[(m + n )π ] − = m+n m+n m+n
cos[(m − n )x ] cos[(m − n )π ] cos[− (m − n )π ] =− + sin[(m − n )x ]dx = − =0 − − − m n m n m n − π −π
證明： 雖然很少有人需面對三角函數之正交性(Orthogonality)的證明，但是對其由來之清 楚瞭解，應有助於將以上所示積分公式背下來，甚至於在忘記積分公式時，還能將所需 公式給推導出來。 國中時，讀者應有學過三角函數之和積關係式如下：
cos(a + b ) = cos a cos b − sin a sin b sin (a + b ) = sin a cos b + sin b cos a
Hale Waihona Puke Baidu
∫ ∫
π
π
π
sin[(m + n )x ]dx = −
−π
cos[(m + n )x ] cos[(m + n )π ] cos[− (m + n )π ] =− + =0 + + m+n m n m n −π
π
故式(3a)-(3c)可改寫為：
π
−π
∫ cos mx cos nxdx = ∫ sin mx sin nxdx =
π
sin[(m − n )π ] sin[(m + n )π ] + m−n m+n sin[(m − n )π ] sin[(m + n )π ] − m−n m+n
(4a)
(4b)
−π
−π
∫ sin mx cos nxdx = 0
sin[(m + n )π ] sin[(m − n )π ] = 0、 = 0。 m+n m−n
∫ ∫
0, for m ≠ n sin mx sin nxdx = −π π , for m = n
π π
2.
0, for m ≠ n cos mx cos nxdx = −π π , for m = n
π
3.
∫
−π
sin mx cos nxdx = 0, for any m and n
1 {cos[(m − n )x] − cos[(m + n )x]}dx 2 −π
∫
π
(3b)
1 {sin[(m − n )x] + sin[(m + n )x]}dx sin mx cos nxdx = 2 −π −π
∫
π
∫
π
(3c)
其中
sin[(m − n )x ] sin[(m − n )π ] sin[− (m − n )π ] 2 sin[(m − n )π ] = − = cos[(m − n )x ]dx = − − − m n m n m n m−n − π −π
cos(a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin (a − b ) = sin a cos b − sin b cos a
(1a) (1b) (1c) (1d)
茲考慮式(1a)與式(1b)相加除以 2、式(1b)減式(1a)再除以 2、式(1c)與式(1d)相加除 以 2 可分別求得：
π
−π
∫ cos mx cos nxdx = π , ∫
π
0,
m≠n m=n
(6a)
0, m ≠ n sin mx sin nxdx = π , m = n −π
(6b)
−π
∫ sin mx cos nxdx = 0 (其中 m 、 n 為任意值)
π
(4c)
式(2a)-(2c)中之符號 a 改寫為 mx 、b 改寫為 nx，再分別對變數 x 進行 − π 到 π 之線積分， 可得：
π π
1 {cos[(m − n )x] + cos[(m + n )x]}dx cos mx cos nxdx = 2 −π −π
∫
∫
(3a)
−π
∫
π
sin mx sin nxdx =
提要 259：三角函數之正交性(Orthogonality)
在探討 Fourier 級數問題時，常需面對許多牽涉三角函數中之「正弦函數」和「餘 弦函數」的定積分，解決此類常見問題時，前人發現，可利用以下三個簡單關係式推求 出問題之積分值，這三個簡單積分式的關係稱為三角函數之正交性(Orthogonality)，說 明如下。 三角函數之正交性(Orthogonality) 1.