电子电路三角函数的正交性ppt课件

nx d
x
0
cos kx cos nx dx
1 2
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 : sin kx sin nx dx 0 (k n )
cos
k
x
sin
nx
dx
0
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
Fra Baidu bibliotek
上的积分不等于 0 . 且有
11dx
2
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
f
(x)dx
a0 2
d
x
n1
an
cos
nx
dx
bn
sin
nx
dx
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a0
1
f
( x) d
x
f
(x) cos kx dx
a0 2
cos kx dx
n1an
cos
k
x
cosnx
d
x
bn
cos
k
x
sin
nx
dx
ak
cos2 k x dx
第七节
傅里叶级数
第十一章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
复杂的周期运动 :
(谐波迭加)
An sinn cos n t An cosn sin n t
(利用正交性)
ak
1
f (x) cos k x dx
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
1
f
(x)sin k x dx
(k 1, 2, )
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f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
①
an
1
f (x) cos nx d x
(n 0, 1, )
②
bn
1
f
(x)sin nx d x
(n 1, 2, )
由公式 ② 确定的
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
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同学们
来学校和回家的路上要注意安全
同学们
来学校和回家的路上要注意安全
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
①
右端级数可逐项积分, 则有
令
an An sinn , bn An cosn ,
得函数项级数
a0 2
(an
k 1
cos
nx
bn
sin
nx
)
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
1
cos
nx
d
x
1
sin