对称及三十二种对称型讲解
对称的知识点
对称的知识点一、引言对称是一种美妙而神奇的属性，它出现在自然界的各个角落，包括几何学、生物学和艺术等领域。
它是一种具有平衡、和谐和美感的特征，它存在于各种形式和尺度的事物中。
本文将探讨对称的知识点，以及它在不同领域中的应用。
二、对称的定义和类型对称是指具有镜像或旋转等操作下的不变性。
它可以分为几何对称和物态对称两类。
1.几何对称：几何对称是指在平面或空间中，物体的一部分可以通过某种操作（如镜像、旋转或平移）得到整个物体。
几何对称可以分为轴对称和中心对称两种。
•轴对称：轴对称是指物体可以通过镜像的方式对折，使得对折两侧的部分完全一致。
例如，正方形和圆都具有轴对称。
轴对称的物体在平面上存在对称轴。
•中心对称：中心对称是指物体可以通过旋转180度，使得旋转前后的物体完全一致。
例如，正六边形和心形都具有中心对称。
中心对称的物体存在旋转中心。
2.物态对称：物态对称是指物质在宏观或微观尺度下的对称性。
例如，晶体的原子排列具有空间对称性，液体和气体的分子运动具有时间对称性。
三、对称在不同领域中的应用对称不仅仅是一种美观的属性，它还在各个领域中发挥着重要的作用。
以下是一些对称在不同领域中的应用：1.几何学：对称在几何学中具有重要的地位。
例如，在建筑设计中，对称可以增加建筑物的稳定性和美感。
另外，对称也是几何图形的重要特征，如矩形、椭圆等。
2.生物学：对称在生物学中广泛存在。
许多生物体具有对称形状，如昆虫的翅膀、蜜蜂的蜂巢等。
对称在生物体的结构和功能中起到了重要的作用。
3.艺术：对称是艺术中常见的构图方式之一。
艺术家可以利用对称来创造平衡和和谐的效果。
例如，在绘画和摄影中，对称可以使画面更加有吸引力。
4.物理学：对称在物理学中也有重要的应用。
例如，对称性是量子力学中的一个基本原理，它可以帮助我们理解微观世界的行为。
另外，对称也在物理实验和理论模型中起到了关键作用。
四、结论对称是一种普遍存在于自然和人造物中的属性。
对称知识点总结
对称知识点总结对称是指某一对象的两侧是完全一致的，可以通过某个中心或轴线进行重合。
对称在数学、艺术、自然界以及日常生活中都有着重要的作用。
在数学中，对称性是一种重要的概念，包括点对称、轴对称、中心对称等不同的形式。
本文将对对称的相关知识点做一个总结，包括对称的定义、性质、应用等方面。
一、对称的定义对称是指某个对象的一个部分或全体在某个中心或轴线附近重合的性质。
对称可以分为几种不同的类型，主要包括点对称、轴对称和中心对称。
1. 点对称如果一个图形中的每一点关于给定的点O对称，那么这个图形就是关于点O对称的。
对称点O就是图形的中心。
点对称是一种基本的对称形式，常见于各种几何图形中，例如圆、椭圆、正多边形等。
2. 轴对称如果一个图形中的每一点关于一条直线l对称，那么这个图形就是关于直线l对称的。
轴对称是一种常见的对称形式，在许多几何图形中都有所体现，例如直线、矩形、椭圆等。
3. 中心对称如果一个图形中的每一点关于某个点O对称，且这个点O同时也在这个图形中，那么这个图形就是关于点O中心对称的。
中心对称在计算机图形学、晶体学等领域有着广泛的应用。
二、对称的性质对称具有一些基本的性质，这些性质对理解和应用对称有着重要的意义。
1. 对称性对称性是指一个对象关于某个中心或轴线的重合性质。
所有的对称图形都具有对称性，这是对称的基本特征。
2. 对称轴/中心对称图形具有对称轴或对称中心，这个轴线或中心是图形对称的基础，通过这个轴线或中心可以将整个图形分为对称的两部分。
3. 对称图形的性质对称图形的性质包括：a. 对称图形的对边(对侧)相等b. 对称图形的特定角度相等，如正多边形的内角相等c. 对称图形的重心位于对称中心d. 对称图形可以通过对称变换得到e. 对称图形满足某些特定的几何关系三、对称的应用对称不仅是一种几何性质，还广泛地应用于各个领域。
以下是对称在不同领域中的应用：1. 对称在几何学中的应用对称在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和分析各种几何图形，解决各种几何问题。
平面形的对称性
平面形的对称性对称性是一种美学原则，是指物体在某个轴线、平面、中心点等位置分割后，两个或多个部分的形状、大小、位置以及元素的装饰相似或相等。
平面形的对称性是一种特殊形式的对称性，指的是图形在平面上的对称性质。
一、平面形的对称类型1. 旋转对称：图形在某个中心点上进行旋转，旋转后的图形与原始图形完全一致。
常见的旋转对称有正多边形、圆形等。
2. 垂直对称：图形被垂直线分割，两个部分关于垂直线对称。
如正方形、矩形等。
3. 水平对称：图形被水平线分割，两个部分关于水平线对称。
如圆形、椭圆形等。
4. 中心对称：图形关于一个中心点对称，从中心点引出的线段在图形的两侧达到相等的长度和方向。
如心形图案等。
二、平面形的对称意义1. 美学意义：对称性是一种美学原则，能够给人以和谐、平衡、稳定的感觉。
对称图形常被应用于建筑、设计、艺术等领域，以增加作品的美感。
2. 功能性意义：对称性在产品设计中起到了重要的作用。
例如，汽车外形设计中常使用对称图形，以便增加车辆的稳定性和流线型。
三、平面形的对称应用1. 装饰设计：对称图案在家居装饰、服装设计等领域广泛应用。
墙面壁纸、地板砖、窗户花纹等都常使用对称形式，以使整个空间更具时尚感和和谐感。
2. 商标设计：许多商标都采用了对称形式，以使商标更易识别和记忆。
例如：Adidas、Nike等品牌的商标都具有明显的对称性。
3. 图案设计：对称图案在纺织品、陶瓷制品等工艺品的设计中十分常见。
通过使用对称图案，可以提升作品的美感和艺术价值。
四、平面形的对称与创新尽管对称性给人以稳定和和谐的感觉，但在一些创新设计中，非对称的形式也具有其独特的美感。
对称与非对称相结合的设计在当代艺术和建筑领域日益流行。
例子1：荷花荷花是一种常见的旋转对称图案。
荷花的花瓣围绕中心点进行旋转，形成完美的对称图案。
这种对称性使得荷花具有和谐、优雅的美感，因此被广泛用于园林设计、绘画艺术等领域。
例子2：建筑外观设计建筑外观设计中的对称性常常被用于表达庄重和稳定感。
3第二章晶体的对称
第二章晶体的对称[内容介绍]本章叙述晶体对称的概念、对称操作和对称要素，和晶体的分类—晶簇晶系的划分。
[学习目的] 理解和掌握晶体对称、对称要素的概念，学会晶体对称的操作方式，熟练正确地找出晶体的所有对称要素，肯定对称型，掌握晶族、晶系的划分方式。
第一节对称的概念一、对称的概念对称现象在自然界及人类日常生活中常常能够见到。
人的左右手，动物的躯体，植物的花冠、树叶，建筑物、器皿、图案等，常常都是对称的。
它们之所以是对称的，是因为这些物体包括有两个或两个以上的相同部份，而且这些相同的部份可以作有规律地重复。
图2-1 对称的图形如图2-1中，蝴蝶可通过垂直并平分躯体的一个镜面反映，使身体的左右两部份发生重合，花纹图案可通过垂直图形中心的一条直线旋转，在旋转360°里，图案中相同的图形发生四次重合。
但是，图2—2中的两个三角形之间，虽然图形完全相同，但彼其间的位置却没有必然规律，无法通过必然的操作使其重复。
所以，这两个三角形之间，不是对称的图形。
因此，对称的概念是：物体的相同部份作有规律地重复的性质称为对称。
二、晶体对称及特点晶体对称最直观地表此刻晶体的几何多面体外形上，如在不同方向上对称地散布着相同的晶面、晶棱和晶顶等。
同时，晶体对称还表此刻晶体的力学、电学、光学及热学等物理性质上。
晶体对称与动植物和其它物体的对称是有区别的。
动植物的对称是由于生存的需要而长图2-2 不对称图形期演化的结果，建筑物及工艺美术品的对称是为求美观而人为的，它们的对称现象都仅仅表此刻外部形态上，而晶体对称是本质的，是内部构造的反映。
因此晶体对称有如下特点：1.所有的晶体均具对称性，无一例外。
因为，晶体是具有格子构造的固体，而格子构造本身就具有对称性。
2.由于晶体对称受格子构造的严格控制，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上表现出来，这就是晶体对称的有限性。
3．同一晶体上相对称的各部份，不仅在外形上能够有规律地重复，而且在化学性质及物理性质方面，它们也是完全一致的，因此，晶体对称性不仅包括几何意义，同时也包括化学的和物理的意义。
对称问题设计知识点总结
对称问题设计知识点总结在设计领域中，对称性是一项重要而基础的概念。
无论是建筑、室内设计还是平面设计，对称性都扮演着重要的角色。
对称性能够给设计作品带来稳定、和谐和美感。
本文将对对称问题的设计知识点进行总结，包括对称的类型、运用方法以及相关的设计原则。
一、对称的类型对称可以分为以下几种类型：1.轴对称：即以一条中心线为对称轴，两侧完全对称。
2.平衡对称：即两侧的比例、形态和色彩相对一致，但并非完全对称。
3.辐射对称：即以一个中心点为起点辐射开来的对称方式。
4.镜像对称：即通过镜像反射的方式实现对称。
5.送物对称：即通过重复相同的元素实现对称。
二、对称的运用方法对称可以通过以下几种方法来实现：1.构图设计：在构图时，可以通过布局元素的位置、形态、大小以及色彩对称来达到视觉上的和谐与稳定。
2.图案设计：在设计中，可以通过图案的对称排列来增加视觉上的统一感。
例如，花纹图案的对称布局能够赋予设计作品更强的美感和艺术性。
3.色彩运用：对称的色彩运用能够增强设计的整体感，并为观者带来一种平衡和谐的感觉。
通过色彩的对称搭配，可以达到视觉上的平衡。
4.元素形态：通过对称的元素形态安排，可以创造出一种对称的美感。
例如，对称的圆形或方形元素能够给设计作品带来稳定感。
三、设计原则在运用对称设计时，需要遵循以下几个设计原则：1.稳定原则：对称设计能够给人一种稳定感，因此在运用对称时需要注重保持和谐的比例和形态。
2.统一原则：对称性能够赋予设计作品一种整体感和统一感。
在运用对称设计时，需要保持各个元素之间的协调与和谐。
3.平衡原则：对称设计是一种视觉上的平衡体现。
通过构图和元素的对称排列，需要达到左右对称或者上下对称的平衡感。
4.重复原则：对称设计中的元素重复是一种重要的手段。
通过将相同的元素在不同位置进行重复，能够增强设计的稳定感和整体感。
总结：对称问题是设计中的重要内容，掌握对称的类型和运用方法，遵循设计原则，能够帮助我们创造出稳定、和谐和美感的设计作品。
奇妙的对称世界认识各种对称形及其性质
奇妙的对称世界认识各种对称形及其性质奇妙的对称世界：认识各种对称形及其性质对称是人类观察事物、理解事物的重要方式之一，它存在于世界的每个角落，从自然界的花朵和动物身体到人类的艺术和建筑中。
本文将带您深入了解对称的概念、各种对称形以及它们的性质，进一步探索奇妙的对称世界。
一、对称的概念对称是指在某种参照物下，两侧或多个部分在形态、位置、比例等方面具有相似或者镜像对称关系。
它是一种美学原则，也是一种普遍存在于自然界和人类创造的艺术品中的现象。
对称使得物体更有吸引力，引发观者的美感和喜爱。
二、线对称首先，让我们来认识一种常见的对称形式——线对称。
线对称是指以某条中心线为轴，图形的两侧完全对称，即左右镜像。
我们经常在生活中见到线对称的例子，例如蝴蝶的翅膀、人类的脸部等，它们都具有线对称的特征。
线对称的性质包括对应点的距离相等、对应角度相等等。
三、旋转对称除了线对称，旋转对称也是一种重要的对称形式。
旋转对称是指图形绕某一中心点旋转一定角度后与原图形部分或全部完全一致。
如果一个图形旋转一周后与自身完全重合，则称为360°旋转对称。
例如，圆形就是一个具有360°旋转对称的图形。
另外，一些具有旋转对称特征的图形还包括正方形、五角星等。
四、平移对称平移对称是指图形在平面上沿着某个方向进行移动，同时保持形状和大小不变。
平移对称也被称为移动对称。
这种对称形式在几何学和物理学中都有广泛应用。
例如，无论是物体在空间中的位移还是电子在电场中的运动，都涉及到平移对称。
五、中心对称中心对称是指图形以一个中心点为镜像中心，两侧完全对称。
与线对称和旋转对称不同，中心对称一般情况下不涉及角度的变化。
我们可以观察到很多图形都具有中心对称的特点，如爱心、雪花等。
中心对称有助于创造出更加和谐、平衡的形式。
六、对称的应用对称的美学原则广泛应用于建筑、艺术、设计等领域。
在建筑中，对称常常被用于塑造建筑物的外观，使其更加庄重、稳定。
关于对称知识点总结
关于对称知识点总结一、对称的定义对称是指一个物体的一部分关于某个中心或轴旋转、翻转等操作后，与另一部分完全重合的性质。
简单地说，就是一个物体可以通过某种变换保持不变。
在几何学中，对称通常涉及到轴对称和中心对称两种类型。
1. 轴对称：轴对称是指存在一个直线，使得图形绕这条直线旋转180度后，图形仍然不变。
这条直线就被称为轴线，而关于轴线的对称变换就被称为轴对称变换。
轴对称的图形通常具有左右对称或上下对称的性质。
2. 中心对称：中心对称是指存在一个点，使得图形绕这个点旋转180度后，图形仍然不变。
这个点就被称为中心，而关于中心的对称变换就被称为中心对称变换。
中心对称的图形通常具有圆形或椭圆形的性质。
二、对称的性质对称具有许多重要的性质，在数学中，这些性质对于解题和证明都具有重要的作用。
下面我们来介绍一些常见的对称性质：1. 对称性质：对称性是物体的一种基本性质。
一个图形如果关于某个中心或轴对称，那么它的两部分互为镜像，即完全重合。
这种性质在几何学中有很广泛的应用，比如在证明定理、计算面积等方面。
2. 对称轴：对称轴是指一个图形能够关于其上的直线旋转180度后仍保持不变的直线。
对称轴通常具有一些特殊的性质，比如在研究多边形的对称性质时，我们常常需要找到多边形的对称轴来简化问题。
3. 对称中心：对称中心是指一个图形能够关于其上的点旋转180度后仍保持不变的点。
对称中心通常具有一些特殊的性质，比如在研究圆的对称性质时，我们常常需要找到圆的对称中心来简化问题。
4. 对称图形：对称图形是指具有轴对称或中心对称性质的图形。
对称图形通常具有美观性和稳定性，因此在设计建筑、家具等方面都得到了广泛的应用。
三、对称的分类在数学中，对称的分类通常以轴对称和中心对称为基础进行划分。
不同类型的对称性质具有不同的特点和应用，下面我们来介绍一些常见的对称类型：1. 轴对称图形：轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。
轴对称图形通常都具有左右对称或上下对称的性质，比如矩形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。
二年级下册数学第三单元《对称课件》
汇报人：
2023-12-14
• 对称的概念与定义 • 对称图形的性质与判定 • 对称图形的构造与设计
• 对称性在数学中的应用 • 对称性的拓展与延伸 • 总结与回顾
01 对称的概念与定义
对称的定义及特点
对称定义
对称是指图形或物体对于某一点 、线或平面具有相同的对应关系 。
对称的应用
结合生活实例，介绍了对称在建筑 设计、艺术等领域的应用。
重点与难点解析
重点
对称图形的识别和分类，对称性质的理 解和应用。
VS
难点
如何理解对称图形的性质，并运用这些性 质解决实际问题。
THANKS 感谢观看
在物理学中，许多现象都具有对称性。例如，行星围绕太阳的椭圆轨道运动具有对称性， 电磁场中的电荷和电流分布也具有对称性。
对称性与物理学定律
对称性在物理学中具有重要地位，许多物理定律都与对称性有关。例如，能量守恒定律、 动量守恒定律等都与空间和时间的对称性有关。此外，对称性还与量子力学中的波函数和 薛定谔方程等概念密切相关。
奇函数图像
如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数称为奇函数。例如，$f(x) = x^3$、$f(x) = sin x$等都 是奇函数。
偶函数图像
如果一个函数的图像关于y轴对称，则该函数称为偶函数。例如，$f(x) = x^2$、$f(x) = cos x$等都 是偶函数。
05 对称性的拓展与延伸
实际应用一
建筑设计中的对称运用。建筑师在设计建筑时，经常利用对称原理来确保建筑 的稳定性、安全性和美观性。例如，中国的古代建筑中常采用轴对称设计。
实际应用二
标志设计中的对称运用。在标志设计中，对称是一种常见的构图方法。例如， 中国银行的标志采用了轴对称的设计，突显了其稳重、可信赖的形象。
晶体的对称
为轴次(n)；重复时所旋转的最小角度称 为基转角(α)；n=360°／α。
.
晶体对称定律
• 晶体外形上可能出现的对称轴有L1（无实际 意义）、L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别 为360°、180°、120°、90°、60°。
等 轴
与本晶系
晶 系
对称不符
立方原始格子
立方体心格子
.
F＝I
F＝P 与空间格子 条件不符
立方面心格子
㈥、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定 的性质，称为晶体的基本性质。 1、自限性：是指晶体在适当条件
下可以自发地形成几 何多面体的性质。 ● 晶体通常被平的晶面所包 围，晶面相交成直的晶棱，晶棱 汇聚成尖的角顶。
单斜晶系: a≠b≠c；α＝γ＝90°，β≠90°
(c)
斜方晶系: a≠b≠c；α＝β＝γ＝90°
(d)
三方晶系: a＝b＝c；α＝γ＝β≠90°
(e)
四方晶系: a＝b≠c；α＝γ＝β＝90°
(f)
六方晶系: a＝b≠c；α＝β＝90°，γ＝120°
(g)
等轴晶系: a＝b＝c；α＝γ＝β＝90°
其对称不同于其它物体的对称。晶体的对 称具有表里一致性。
.
二、晶体的对称要素和对称操作
• 对称操作：是指欲使物体或图形中相同部
分重复出现的操作。
• 对称要素：在进行对称操作时所凭借的几
何要素（点、线、面）。
1、对称面（P） 2、对称轴（Ln） 3、对称中心（C） 4、旋转反伸轴（Lin） 5、旋转反映轴（Lsn）
◆ 平行六面体—空间格子中的最小单位。
对称的四种基本形式
对称的四种基本形式一、对称的概念对称是指一个物体或系统的两个部分在某种程度上呈镜像对称，即左右对称或上下对称。
对称是自然界中广泛存在的一种现象，它存在于几何形状、生物体结构、艺术作品等方方面面。
对称可以使物体或系统呈现出和谐、平衡、美感等特点，具有重要的意义和作用。
二、左右对称1. 定义左右对称是指物体或系统的左侧部分与右侧部分在形状、结构和布局等方面完全相同。
左右对称是最常见的对称形式之一，在几何学和生物学中都有广泛的应用和研究。
2. 典型例子左右对称的典型例子有人类身体、动物体、植物叶子等。
例如人类的脸部、手臂、腿部等都具有左右对称的结构，这种对称性使得人类身体的各个部分相互协调，形成一个整体的形象。
3. 应用领域左右对称在建筑、艺术、设计等领域都有广泛的应用。
建筑中的很多建筑物都采用左右对称的形式，如宫殿、教堂、博物馆等。
艺术作品中的许多画作、雕塑等也常常运用左右对称的手法，使作品更加美观和协调。
三、上下对称1. 定义上下对称是指物体或系统的上方部分与下方部分在形状、结构和布局等方面完全相同。
上下对称是另一种常见的对称形式，在自然界和人类创造的世界中都有广泛的存在。
2. 典型例子上下对称的典型例子有许多建筑物、植物、动物等。
例如，宫殿的楼梯、花朵的瓣片、鸟类的翅膀等都具有上下对称的特点，这种对称性使得它们看起来更加平衡和美观。
3. 应用领域上下对称在建筑设计、产品设计等领域都有广泛的应用。
在建筑设计中，上下对称的形式可以让建筑物更加稳定和壮观；在产品设计中，上下对称的布局可以使产品更加均衡和符合人体工程学原理。
四、旋转对称1. 定义旋转对称是指物体或系统以某个中心点为旋转轴，经过旋转后的状态与原来的状态完全相同。
旋转对称是对称形式中较为特殊和独特的一种，它具有一定的神奇和奇特感。
2. 典型例子旋转对称的典型例子有正多边形、圆形、螺旋结构等。
例如正六边形、正八边形等都具有旋转对称的特点，在旋转一定角度后，它们的形状和结构完全相同。
对称的相关知识
对称的相关知识
1.轴对称：
-如果一个图形沿着一条直线（称为对称轴）折叠后能够与自身完全重合，则称该图形具有轴对称性。
常见的轴对称图形包括圆、正多边形等。
2.中心对称：
-把一个图形绕某个点旋转180度，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则称这两个图形关于这个点为中心对称，这个点称为对称中心。
3.反射对称或镜像对称：
-这是指一个图形经过某平面（镜面）反射后与原图形重合的现象。
任何轴对称图形都同时具有反射对称性。
4.点对称：
-也称为旋转对称，如果一个图形围绕一个特定点旋转一定的角度（除了180度外，也可以是其他特定的角度如60度、90度等），旋转后能与原图形重合，则称此图形对此点具有点对称性。
5.平移对称：
-虽然严格来说不是对称的一种类型，但平移对称是指图形在不改变方向或形状的情况下沿某一方向移动一定距离后，新位置上的图形与原图形相同。
6.连续对称性与分立对称性：
-在群论中，对称性的描述更加抽象且深入。
连续对称性指的是对象可以连续变化而不改变其性质，例如旋转任意小的角度；分立对称性则指只有在有限个特定操作下才能保持不变，比如晶体中的空间群对称。
7.物理应用：
-对称原理在物理学中有重要应用，如量子力学中的守恒定律往往源于系统所具有的对称性，如时间平移对称对应能量守恒、空间平移对称对应动量守恒、旋转对称对应角动量守恒等。
对称的构成方式与特点
对称的构成方式与特点1. 什么是对称对称是指在形状、大小、分布上呈现出一致的特征或相似的外观。
在设计和艺术领域，对称被广泛运用，它可以使作品看起来更加美观、平衡和稳定。
2. 对称的构成方式对称的构成方式主要有以下几种：1) 平衡对称：即将物体平分为两半，左右两部分呈现对称的形状，就像一面镜子将物体镜像对称一样。
例如：建筑物正面的门厅、某些植物的花朵等。
2) 轴对称：即物体在一个轴线上呈现对称的结构，可以是水平、垂直或对角线。
例如：人的身体、国家的国旗、艺术作品中的形状等。
3) 径向对称：即以一个中心点为基础，将物体的各个部分呈现出向外辐射的对称形式。
例如：太阳花、钟表的指针、蜘蛛网等。
4) 运动对称：即通过物体的移动或旋转来体现对称的效果。
例如：旋转木马、折纸作品中的折叠线等。
3. 对称的特点对称具有以下特点：1) 平衡感：对称使物体的左右或上下部分呈现出一致的形状和分布，视觉上给人一种平衡的感觉。
2) 稳定感：对称的构成方式能够增强物体的稳定感，使其看起来更加牢固和有序。
3) 美观感：对称是一种视觉上的美感，人类大脑对对称形式的认知能让我们感到愉悦和满足。
4) 强调主题：对称也可以用来强调物体的主题或重要性，通过对称的形式将主要元素置于中心位置。
5) 可重现性：对称的构成方式可以简化物体的制作过程，并具备可重复的特点，方便大规模制作和复制。
4. 对称的应用领域对称的构成方式被广泛应用于各个领域，包括建筑设计、艺术创作、标识设计、产品设计等。
1) 建筑设计：对称结构可以使建筑物外观更加庄重、稳定，常见于宫殿、教堂等。
2) 艺术创作：对称构图是绘画、雕塑、摄影等艺术形式中常用的构图手法，能够使作品更加平衡、美观。
3) 标识设计：很多企业和组织的标识采用对称的形式，使其更加稳重、专业。
4) 产品设计：对称结构在产品设计中也得到广泛应用，例如家具、餐具等。
总结：对称是一种常见的构成方式，它通过对物体的形状、大小、分布等方面进行一致或相似的设计，使其呈现美观、平衡和稳定的特点。
第2章-3 晶体对称性
聚形的生成
（a）柱及双锥体
（b）立方体及菱形十二面体
1. 单形的概念: 是由对称要素联系起来的一组晶面的组合。也
就是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所有 对称要素操作而使它们相互重复的一组晶面。
在理想的情况下，同一单形内的晶面应该同形 等大。例如：立方体、八面体、菱形十二面体和 四角三八面体都是单形。
2.4.3 晶体定向 测定实际晶体的晶面符号时，为统一，必须确
定一个标准的结晶学坐标系，这样才会有共同的 语言来精确地描述晶体的外形。对称元素就是一 个现成的坐标系，旋转轴与直线点阵平行是可能 的晶棱方向；反映面法线方向也与直线点阵平行 ，也是可能的晶棱方向，晶棱有时会不出现，而 反映晶体本质的对称元素相互之间总是保持一定 的几何取向。因此对称元素方向不仅是坐标系而 且是比较标准的坐标系。此外，坐标轴上的单位 向量的大小我们也是不知道的，这可用选单位面 的办法来解决。
在与3个晶轴截距相等时出发面也必然和3次轴及反映面垂直， 重复数减少了6倍得到正八面体。单形符号{111}（图6）。
出发面与晶轴垂直时即与4次轴垂〔图7)。
{112}
｛101｝ {111}
图4
图5
图6
图7 {100}
2.5.4 47种单形
（2）轴率：轴单位是晶轴上的单位长度，由于所 选定的晶轴都是晶体格子构造中的行列方向，所 以晶轴的轴单位就是该晶轴行列的结点间距。X、 Y、Z轴上的轴单位分别以a0、b0、c0表示。有时 直 接 用 a 、 b 、 c 表 示 。 由 于 结 点 间 距 极 小 （ nm 计），需借X射线分析方能测得，所以在晶体外 形上能定出轴单位的真长。但是，可以通过晶体 测量和晶体计算求出它们之间的比率。a：b：c， 这个比率称为轴率（亦称轴单位比）。
八年级下册数学对称知识点
八年级下册数学对称知识点对称在数学中是一个重要且广泛运用的概念，是指在某个操作下，物体或者图形能够保持不变，即具有某种不变性。
本文将介绍八年级下册数学中对称的相关知识点，包括对称轴、中心对称和轴对称等。
一、对称轴对称轴是指一条直线，将图形分成两个完全相同的部分，且图形上的每一点与其对称点关于对称轴对称。
八年级数学中的对称轴分为两种，即横轴和纵轴。
横轴对称是指图形以水平轴为对称轴，则图形上的每个点关于水平轴对称，如下图：（图1）纵轴对称则是指图形以竖直轴为对称轴，图形上的每个点关于竖轴对称，如下图：（图2）二、中心对称中心对称是指图形中存在一个点，使得图形中所有的点关于该点对称。
在中心对称中，对称中心是图形的一个重要概念，对称中心的位置影响着对称的方向和效果。
三、轴对称轴对称是指图形中存在一条轴线，使得轴线两侧的图形完全相同，且轴线上每个点将图形分成两个对称的部分。
在八年级下册数学中，轴对称的图形有各种形状，如正方形、长方形、五边形等等，轴对称在图像的制作以及设计中都有广泛的应用。
四、对称性质对称具有很多重要的性质和应用，比如在计算面积或体积时，能够利用对称性质达到简化计算的目的。
同时，在对称性的应用中，也能看出对称与等量化之间的联系。
如果一个形状在对称的前提下能够完全重合，那么这两个形状就是等量的。
同时，在做题时，也需注意对称的特征，能够准确找到对称轴和对称中心，更好地解决问题。
结语：对称作为数学的一个重要概念，在八年级下册数学中扮演着重要角色，在学习对称的时候需要注意对称的特征、性质以及应用。
通过学习对称，能够更好地理解图形的特征，培养学生的空间想象能力，为以后学习高级数学打下基础。
对称及三十二种对称型讲解
镜像反映可理解为：如果垂直于对称面作任意直线时，则在此直线 上，位于对称面的两侧且距离对称面等距离的地方，必可找到性质完全 相同的对应点。
由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点 （中心），在进行对称操作时，至少有一个点不移动。因
此，对称型又称点群。
（二）三十二种对称型与晶类的概念：
经数学推导，晶体可能具有的对称型（点群）总共只 有32种。因此，具有相同对称型的晶体归为一个晶类。
即：自然界产出的所有晶体的对称总共只可能出现 32 个对称型，相应即可分为32个晶类。
对称的图形必须由两个以上的相同部分组成，如两个眼 睛大小不一，形状不同，就不是对称。但是只具有相同的部 分还不一定是对称图形，如图（板书显示）是由两个全等的 三角形组成，但它并不是对称图形。因此，对称的图形还必 须符合另一个条件，那就是这些相同的部分通过一定的操作 （如旋转、反映、反伸）可以发生重复。换句话说，也就是 相同的部分通过一定的操作彼此可以重合起来，使图形中恢 复原来的形象。
☆旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。 具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
Li 1= C
Li1为旋转360º后反伸，因为图形旋转360º后复 原，也就是说等于不旋转而单纯反伸，所以Li1=C。
• Li 2= P
Li2为旋转180º后反伸，如图， 点1围绕Li2旋转180º后，再凭供Li2上的一 点反伸与点2重合，但由图可见，凭籍垂
1章晶体几何基础-2
中心式
轴式
面式
倒转面式
面轴式
L 组合
n
方式
共同
L 式
n
L n=1
1
n=2 L2
Ln LnC i
Ln i
L Cn
L PC n
L Ln 2 () Ln nL2
C
L2
（L2 PC）
L Pn (∥)
Ln nP
L Pn i (∥)
L P L n
2
(∥) ( )
Ln i
n 2
L2
n 2
P
LnnL2nPC* LnnL2(n 1)PC
锥(8)
四方晶系之单形
对称型
单形名称
L4
23.四方锥(4)
L4PC
26.四方双锥(8)
L44P
29.复四方锥(8) 30.四方锥(4)
L44 L2 34. 四 方 偏 方 面 35.四方双锥(8)
体(8)
L44L25PC 39. 复 四 方 双 锥 40.四方双锥(8)
24.四方柱(4) 27.四方柱(4) 31.复四方柱(8) 36 复四方柱(8)
23
五角三四面体
9、 3L24L33PC Th
10、 3L4iL36P
Td
11、 3L44L36L2 O
m3
复方偏十二面体
43m 六四面体
43
五角三八面体
12、 3L44L36L29PC Oh
m3m 六八面体
六、对称型的国际符号
（1）对称型中对称要素的国际符号
对称型国际符号所采用的对称要素为对称面、对称 轴和旋转反伸轴，对应符号分别为：
Ln i
L2
Ln i
小学数学三年级认识简单的对称性
小学数学三年级认识简单的对称性对称性是数学中一个重要的概念，它在我们日常生活中随处可见。
在小学三年级的数学学习中，认识简单的对称性是一个基础而又关键的内容。
本文将介绍什么是对称，对称的类型以及一些有趣的对称图形。
一、什么是对称对称是指物体、图形或图像在某个中心轴线或旋转轴线上两侧完全相同或相似的特性。
我们可以通过将物体从中心或旋转轴线旋转180度，或将其沿着这条线翻转，来判断物体是否具有对称性。
二、对称的类型1. 线对称线对称是最常见的一种对称形式。
当一个物体或图形的一半与其另一半通过一条直线对称重合时，我们称它具有线对称。
例如，一个正方形、矩形或圆形，它们的两侧就是线对称的。
2. 中心对称中心对称是指物体或图形围绕一个中心点旋转180度后完全相同。
这个中心点是旋转轴线。
例如，一个五边形，它可以根据中心对称的原理将其旋转一定角度后保持完全一致。
三、对称图形1. 线对称图形线对称图形是最简单的对称图形之一。
以正方形为例，当我们将它沿着中心垂直线进行翻转时，两侧完全一样，表现出线对称的特性。
2. 中心对称图形中心对称图形是通过将图形沿着中心点旋转180度保持不变得来的。
例如，一个心形图形，无论我们将它顺时针或逆时针旋转180度，它的形状都一样，展现出中心对称的性质。
四、对称的应用对称不仅在数学中有重要的应用，还在日常生活中有很多实际的应用。
以下是一些例子：1. 对称的应用于建筑设计和艺术领域，通过对称图形的使用，可以增加美感和平衡感。
2. 对称可以应用于制作贺卡、手工艺品和绘画中，使得作品看起来更加有吸引力和协调统一。
3. 对称还可以在编程和图像处理中应用。
图像处理软件中的镜像效果，就是通过使图像通过中心轴线翻转来实现的。
五、小结通过了解和认识简单的对称性，我们可以更好地理解数学中的对称性概念，并且能够自如地在日常生活中应用对称性。
线对称和中心对称是最基本的对称形式，我们可以通过观察物体和图形，找到它们的对称特点。
对称相关数学知识点总结
对称相关数学知识点总结一、几何中的对称在几何中，对称是一个非常基本的概念。
对称主要包括轴对称和中心对称两种类型。
1.轴对称轴对称是指如果图形绕某条直线旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有轴对称性。
轴对称的特点是对称轴两边的图形完全相同。
常见的轴对称图形包括正方形、长方形、圆等。
在轴对称的图形中，我们可以找到一条或多条轴对称轴。
轴对称的性质：①.图形的轴对称轴上的每个点和对称轴上对应的点互为对称点，他们与对称轴的距离相等。
②.图形的轴对称轴将图形分成两部分，这两部分中的每个点关于轴对称轴都互为对称点。
2.中心对称中心对称是指如果图形绕一个点旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有中心对称性。
中心对称的特点是图形中心与对称中心的每个点互为对称点。
中心对称的性质：①.图形的中心对称中心上的每个点和对称中心上对应的点互为对称点，他们与对称中心的距离相等。
②.对于中心对称的图形，我们可以找到中心对称中心，使得图形中的每个点都关于中心对称中心对称。
几何中的对称性在很多图形的研究中都有着重要的应用。
比如在研究正多边形时，就要探讨其轴对称和中心对称的性质；在研究对称图形的面积时，要考虑对称性对面积的影响等。
二、代数中的对称在代数中，对称性主要体现在函数、方程、矩阵等方面。
1.函数的对称在函数中，常见的对称形式有偶函数和奇函数。
对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(x)= f(–x)，那么就称f(x)为偶函数；如果对于任意的x，有f(x)=–f(–x)，那么就称f(x)为奇函数。
偶函数的特点是其图象关于y轴对称，奇函数的特点是其图象关于原点对称。
在实际问题中，偶函数和奇函数的对称性质经常用来简化计算，研究函数的性质等。
2.方程的对称在方程中，一些特殊形式的方程也有对称性。
比如，关于x、y的二次齐次方程ax^2 +by^2 = 0，如果交换x和y的位置方程不变，那么就称此方程具有对称性。
另外，有一些特殊形式的方程也具有对称性，比如关于x、y、z的二次齐次方程ax^2 +by^2 + cz^2 = 0，可以根据其对称性来研究解的性质。
几何形的对称
几何形的对称几何形的对称是一个广泛应用于数学和几何学中的重要概念。
对称是指一个物体或形状在某个轴、面或中心点上镜像的性质。
几何形的对称有多种类型，包括轴对称、中心对称和等边对称等。
一、轴对称轴对称是最常见的对称类型之一。
轴对称的物体可以在一条轴线上镜像对称，轴线可以是任意的直线。
例如，圆是轴对称图形，因为它的每个点都在以圆心为中心的直径上镜像对称。
还有其他一些常见的具有轴对称性的几何形状，如矩形、正方形和等腰三角形等。
这些形状都可以沿着它们的中心轴线进行镜像对称。
轴对称对于许多领域都具有重要意义，例如建筑和设计。
通过应用轴对称原则，设计师可以创建平衡和和谐的图形。
二、中心对称中心对称是另一种常见的几何形对称类型。
中心对称通过一个中心点，使物体或形状在该点上对称。
一个物体的每个点都可以在以中心点为中心的直径上找到对称的点。
典型的例子是正圆，它具有无限数量的中心对称轴。
类似地，正多边形也可以通过一个中心点进行对称。
中心对称在自然界和艺术中经常出现。
例如，花瓣的排列通常具有中心对称性，很多花朵的花瓣分布在一个中心点周围。
三、等边对称等边对称是一种特殊的对称形式，只有少数几何形状具备这种对称性。
等边对称要求一个物体或形状在一个或多个轴上表现出相等的边长。
最常见的等边对称形状是正多边形，例如正三角形、正方形和正六边形等。
这些形状具有所有边和角度相等的性质，可以通过旋转来显现等边对称性。
等边对称在构建稳定和均衡的结构中起着重要的作用。
例如，在桥梁设计中，等边对称结构可以提供均匀分布力量的优势。
结论几何形的对称是数学和几何学中的重要概念，它可以以多种方式来实现。
轴对称、中心对称和等边对称是常见的对称类型。
对称性在自然界和人类创造的事物中随处可见，不仅仅是在几何形状中。
通过理解和应用对称性，我们能够创造出更加美观、均衡和功能性的设计。
对称性的研究还有助于推动科学和技术的发展，为我们提供更多的解决方案和工具。
因此，在日常生活和学术研究中，理解和利用几何形的对称性是非常重要的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．晶体的对称受格子构造规律的限制，只有符合格子构造规 律的对称才能在晶体上体现。因此，晶体的对称是有限的。
3．晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上， 也就是该晶体的对称不仅包含几何意义，也包含物理意义。
显晶质体、隐晶质体、非晶质体
内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体为晶质体。 其中较粗的用肉眼或者放大镜可以看出晶粒来为显晶质。
细微的只有通过显微镜才能分辨称为隐晶质。 内部质点在三维空间不成周期性重复排列的固体没有规则
的几何多面体外形。为非晶质体。（蛋白石）
第三讲：晶体对称规律（一）
一、晶体宏观对称要素及对称操作
4．倒转轴（Lin）：又称旋转反伸轴。是一根通过晶体中心 的假想直线，相应的对称操作是围绕此直线的旋转和对此直 线上一个与晶体中心重合的点反伸的复合操作。即图形围绕 此直线旋转一定角度后，再对此直线上一个与晶体中心重合 的点进行反伸可使相等部分重复。
旋转反伸轴以Lin表示，i是反伸的意思，n为轴次，n可以 为1、2、3、4、6。相应的基转角为360º，180º，120º，90º， 60º。
9.L4 ; 10. L44L2 ; 11. L4PC 12. L44P ; 13. L44L25PC 14.Li4 ; 15. Li42L22P
16.L3 ; 17. L33L2 ; 18. L33P 19.L3C ; 20. L33L23PC
21. Li6 ; 22.Li63L23P ; 23. L6 24. L66L2 ; 25. L6PC ; 26. L66P 27. L66L27PC
由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点 （中心），在进行对称操作时，至少有一个点不移动。因
此，对称型又称点群。
（二）三十二种对称型与晶类的概念：
经数学推导，晶体可能具有的对称型（点群）总共只 有32种。因此，具有相同对称型的晶体归为一个晶类。
即：自然界产出的所有晶体的对称总共只可能出现 32 个对称型，相应即可分为32个晶类。
Li6为旋转60º后反伸，从点1开始，旋转60º反伸获得点2，依次类推，可获得点 1、2、3、4、5、6共6个点，若将Li6代之以L3p，由点1开始，经L3的作用可获 得点1、3、5，再经过垂直于L3的P作用又可获得点2、4、6，因此，Li6=L3P
（PL3）。
（四）晶体对称定律 由上述对称轴我们可以看出：有没有L5及高于L6的对称
直于Li2（过中心）的对称面的反映，也 同样可以使点1与点2重合。
因此，Li2=P。
Li3为旋转120º后反伸，经Li3的作用可以依次获得1、2、3、4、5、6共6个点， 而由点1开始通过L3的作用可获得点1、3、5，再通过C的作用又获得点2、4、6，
总共获得6个点，与由Li3所推导出来的完全相同，因此，Li3=L3C；
是围绕此直线的旋转。当图形绕此直线旋转一定角度后，可使相同部
分重复。旋转一周重复的次数称为轴次n，重复时所旋转的最小角度称
为基转角，两者关系为
n 360
对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，记为Ln ； 晶体外形上可能出现的对称轴有L1，L2，L3，L4，L6；
L1无实际意义。 轴次高于2的对称轴又称为高次轴（L3，L4，L6）。在 一个晶体中，可以有，也可以没有对称轴，而每一种对称 轴也可以有一个或多个，一般把对称轴的数目写在符号Ln 的前面，如3L4, 4L3。 在一个晶体中，对称轴可能出露的位置为： （1）晶面的中心；（2）晶棱的中点；（3）角顶上。 举例：立方体（L2 位于棱中点；L4位于面中心，L3位 于角顶）。
结论：在晶体中，若存在对称中心时，其晶面必然是两两平行（不 管是反向或正向平行）而且相等的。晶体如有对称中心存在时，它必定 位于晶体的几何中心，对称中心用“C”表示。 2．对称面（P）：是一个假想的平面，相应的对称操作是对此平面的 反映。对称面将图形平分为互为镜象的两个相等部分。
镜像反映可理解为：如果垂直于对称面作任意直线时，则在此直线 上，位于对称面的两侧且距离对称面等距离的地方，必可找到性质完全 相同的对应点。
轴呢？答案是： 晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴。 这就是晶体对称定律。图示证明如下：
二、晶体对称型、晶类和对称分类
（一）对称型的概念及构成： 一个结晶多面体中全部对称要素的组合称为 该结晶
多面体的对称型。 举例：3L44L36L29PC，将一个晶体模型上所有对称
要素找出来，按一定规则和顺序写出列在一起，即为该 晶体的对称型。
以四方四面体模型为例，说明Li4。
关于倒转轴Lin与普通对称要素的关系： 能够在晶体中出现的Li1、Li2、Li3、Li4、Li6，除
Li4是一种完全独立的对称要素外，其余四种倒转轴都 可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其 关系如下：
Li1=C Li2=P Li3=L3C Li6=L3P（PL3） （注： Li6 在对称分类上具有独立意义。）
（三）对称要素和对称操作 对称操作：欲使图形中相同部分重复，必须通过一定的 操作，这种操作称为对称操作。 对称要素：在进行对称操作时所应用的辅助几何要素 （点——对称中心；线——对称轴；面——对称面）
称为对称要素。 晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下：
1．对称中心（C）：为一个假想的几何点，相应的对称操 作是对于这 个点的倒反（反伸）。
a=b ≠ c ==90°; =120°
a=b = c === 90°
对称特点 对称型种类
无对称面 无对称轴 L2 或 P 不多于1个 L2 或 P 多于1个 有一个L4 或Li4
有一个L3
有一个L6 或Li6
有四个L3
1.L1
2.C
3.L2 4.P 5.L2PC 6.3L2 7.L22P 8.3L23PC
因此，对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和 更广泛的含义：变换中的不变性；建造大自然的密码；审 美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。
（二）晶体对称的特点
生物的对称是为了适应生存的需要（不对称就是残疾）， 建筑物，用品器皿的对称是人为的，是为了美观和适用，晶体 外形的对称表现为相同的晶面，晶棱和角顶作有规律的重复。 晶体的对称取决于它内在的格子构造，具如下特点：
（一）对称的概念 （二）晶体对称的特点 （三）对称要素和对称操作 （四）晶体对称定律
二、晶体对称型、晶类和对称分类
（一）对称型的概念及构成 （二）三十二对称型与晶类的概念 （三）晶体的对称分类
一、晶体宏观对称要素及对称操作
（一）对称的概念
对称的现象在自然界和我们日常生活中都很常见，如蝴 蝶、花冠、动物的形体等，都常呈对称的图形。
28. 3L24L3 ; 29. 3L24L33PC 30. 3Li44L36P ; 31. 3L44L36L2 32. 3L44L36L29PC
☆旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。 具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
Li 1= C
Li1为旋转360º后反伸，因为图形旋转360º后复 原，也就是说等于不旋转而单纯反伸，所以Li1=C。
• Li 2= P
Li2为旋转180º后反伸，如图， 点1围绕Li2旋转180º后，再凭供Li2上的一 点反伸与点2重合，但由图可见，凭籍垂
晶体中如有对称面存在时，必定通过晶体的几何中心。
晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：
（1）垂直并平分晶面；
（2）垂直晶棱并通过它的中心；
（3）包含晶棱。举例：立方 体有9P， 平分晶面和晶棱有3个P，包含
晶棱有6个P。
一个晶体中，可以没有对称面，如有，可以有一个或多个。
3．对称轴（Ln）：是一根通过晶体中心的假想直线，相应 的对称操作
对称的图形必须由两个以上的相同部分组成，如两个眼 睛大小不一，形状不同，就不是对称。但是只具有相同的部 分还不一定是对称图形，如图（板书显示）是由两个全等的 三角形组成，但它并不是对称图形。因此，对称的图形还必 须符合另一个条件，那就是这些相同的部分通过一定的操作 （如旋转、反映、反伸）可以发生重复。换句话说，也就是 相同的部分通过一定的操作彼此可以重合起来，使图形中恢 复原来的形象。
（三）三十二种对称型及对称分类
晶族名斜晶系
斜方晶系 (正交晶系)
中级晶族
四方晶系
（只有一个高次轴）
三方晶系
六方晶系
高级晶族
等轴晶系
（有多个高次轴）
晶体常数特点
a≠b ≠ c ≠ ≠ ≠90° a≠b ≠ c = =90° ≠90° a≠b ≠ c === 90° a=b ≠ c === 90°