解析几何中的对称问题
高考数学 专题05 解析几何中的对称解法(解析版)
专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 三．【题型】（一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得． 当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2， 由x=-2得6（负值已舍） 故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（ ）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=， 即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-， 所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１， 即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =； （2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+， 所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++， 因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-， 因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=， 由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =， 根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-， 从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。
解析几何中对称问题(完整版)
大共享论文网 专题：探究解析几何中点、线对称问题（一）（导学案）一、学习目标（1）从数和形两个角度来理解图形中对称问题，并能用其解决实际问题。
（2）在探究中进一步让学生体会数形结合和转化的数学思想。
二、课前篇自学支持条件1、轴对称的性质：①对称轴是____ ___ ②对称轴是对应点连线的_______ 线；2、中心对称的性质：①对称中心是_____ ②对称轴的连线都经过对称中心，并且被对称中心_______ ；3、几种特殊的对称（1）点p （x,y ）关于下列点或线的对称点分别为点p （x,y ）关于x 轴对称点是__ _ ； 点p （x,y ）关于y 轴对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于原点对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于y=x 对称点是___ ；（2）设直线l ：0=++C By Ax ，则l 关于x 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y=x 轴对称的直线方程是__ _ ；三、课上篇新知探究引例探究一：点关于点对称例1、 已知点A(5,8) , B(4,1), 试求A 点关于B 的对称点C 的坐标。
解题要点：中点坐标公式的运用规律技巧总结：一般的，点A （00,y x ）关于点P （m ，n ）的对称点是______ _ ； 探究二：直线关于点对称例2、求直线1l :043=--y x 关于点p(2,-1)对称的直线2l 的方程。
解题要点：方法一：2l 上的任意一点的对称点在1l 上；方法二：1l ∥2l 且点p 到两直线等距。
规律技巧总结：一般的，直线Ax+By+C=0关于点P （m ，n ）的对称的直线方程是 。
探究三：点关于直线对称例3.已知点M 的坐标为（-4,4），直线L 的方程为3x+y-2=0,求点A 关于直线l 的对称点/M 的坐标。
解题要点：⎩⎨⎧-=•1/MM k k探究四：直线关于直线对称例4、试求直线1l ：01=--y x 关于直线2l ：032=+-y x 对称的直线l 的方程。
高中数学教案 解析几何 专题提升课三 对称问题
专题提升课三 对称问题类型一 点关于点的对称点问题【典例1】已知点A (x ,5)关于点(1,y )的对称点为(-2,-3),则点P (x ,y )到原点的距离是( )A .2B .4C .5D .√17 【解析】选D .根据中点坐标公式得到x -22=1且5-32=y ,解得x =4,y =1,所以点P 的坐标为(4,1),则点P (x ,y )到原点的距离d =√(4-0)2+(1-0)2=√17.【思维提升】运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.类型二 点关于直线的对称点问题【典例2】过点A (2,3)的光线在直线l :x +y +1=0上反射后的反射光线经过点B (1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.【思路分析】先求点关于直线l 的对称点,再由点斜式求直线的方程.【解析】设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A'(x 0,y 0),则{2+x 02+3+y 02+1=0y 0-3x 0-2=1, 解得{x 0=-4y 0=-3,所以A'(-4,-3). 因为反射光线经过点A'(-4,-3)和B (1,1),所以反射光线所在直线的方程为y -1=(x -1)·1+31+4,即4x -5y +1=0. 联立{4x -5y +1=0x +y +1=0, 解得{x =-23y =-13,所以反射点的坐标为-23,-13,所以入射光线所在直线的方程为5x -4y +2=0.综上,入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x -4y +2=0,4x -5y +1=0.【思维提升】点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸,处理这类问题主要抓住两个方面:(1)两点连线与已知直线斜率乘积等于-1;(2)两点的中点在已知直线上.类型三 直线关于点的对称直线问题【典例3】已知直线l :x +2y -2=0,试求:(1)点P (-2,-1)关于直线l 的对称点坐标;(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程.【解析】(1)设点P 关于直线l 的对称点为P'(x 0,y 0),则线段PP'的中点在直线l 上,且PP'⊥l.所以{y 0+1x 0+2×(-12)=-1,x 0-22+2×y 0-12-2=0, 解得{x 0=25,y 0=195.即P'点的坐标为25,195. (2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l',则直线l 上任意一点P 2(x 1,y 1)关于点A 的对称点 P 2'(x ,y )一定在直线l'上,反之也成立.由{x+x 12=1,y+y 12=1, 得{x 1=2-x ,y 1=2-y .将(x 1,y 1)代入直线l 的方程得,x +2y -4=0,即直线l'的方程为x +2y -4=0.【思维提升】 直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题,这里需要注意的是两对称直线是平行的.类型四 直线关于直线的对称直线问题【典例4】直线2x -y +3=0关于直线x -y +2=0对称的直线方程是 ( )A .x -2y +3=0B .x -2y -3=0C .x +2y +1=0D .x +2y -1=0【解析】选A .设所求直线上任意一点P (x ,y ),则P 关于x -y +2=0的对称点为P'(x 0,y 0),由{x+x 02-y+y 02+2=0,x -x 0=-(y -y 0), 得{x 0=y -2,y 0=x +2,由点P'(x 0,y 0)在直线2x -y +3=0上, 所以2(y -2)-(x +2)+3=0,即x -2y +3=0.【思维提升】直线关于直线对称问题,包含两种情形:①两直线平行,②两直线相交.对于①,可转化为点关于直线的对称问题去求解;对于②,其一般解法为先求交点,再转化为点关于直线的对称问题.。
第八课解析几何中的最值定值对称问题
二轮复习之八解析几何中的最值、定值、对称问题一、最值问题 （1）函数法例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求PQ 的最大值。
练习：若(,0)A a ，P 为双曲线221169x y -=上一点，若P 为双曲线左顶点时，AP 长度最小，则_____________∈a（2）不等式法例2、已知：21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点。
证明：（1）当P 为椭圆短轴端点时，三角形21F PF 面积最大。
（2）当P 为椭圆短轴端点时，21F PF ∠最大。
练习：设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ∙的最大值是（3）几何法例题：函数8x 4x 73x 6x y 22+-+++=的最小值为____________。
练习：函数1)4x (25)4x (y 22++-+-=的最大值为M ，最小值为N ，则M －N＝_________ 二、定值问题例题：如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹。
练习：在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．三、对称问题 (1)代入法对称例题：已知双曲线C ：1222=-y x ,点M （0，1），设P 是双曲线上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记t ＝的范围求t ,∙练习：曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________.(2)解析法对称例题：已知椭圆方程为13422=+y x ，试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
2023-2024学年苏教版选择性必修第一册 培优课1对称问题 课件(17张)
题后反思
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般
用中点坐标公式解决这种对称问题.
跟踪训练1 求点 2,4 关于点 3,5 的对称点 的坐标.
解 由题意知， 是线段 的中点．
2+
3=
,
= 4,
2
设点 , ，由中点坐标公式得 ൞
2 + 11 + = 0 ≠ 16 ． 由点到直线的距离公式，得
11+16
22 +112
=
11+
22 +112
，即
11 + = 27 ，解得 = 16 （即为已知直线，舍去）或 = −38． 故所求的对称直线
方程为 2 + 11 − 38 = 0．
题后反思
直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条
的线段被点 平分，求直线 的方程.
解
设 1 与 的交点为 , 8 − 2 ，则由题意知，点 关于点 的对称点
−, 2 − 6 在 2 上，将点 −, 2 − 6 的坐标代入 2 的方程,得
− − 3 2 − 6 + 10 = 0 ，解得 = 4 ，即点 4,0 在直线 上，所以直线 的方程为
两个特殊点 ， 关于点 的对称点 ′ ， ′ 的坐标，则直线 ′′ 的方程即为所求的
直线方程.
知识点4.直线关于直线对称
（1）若已知直线 1 与已知对称轴相交，则交点必在与直线 1 对称的直线 2 上，
然后求出直线 1 上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点写出直线 2 的方程.
解析几何中的对称问题
解析几何中的对称问题一、基础知识1、 点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。
（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。
4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 对称的直线方程是（ ）A 。
高中数学解析几何中的对称问题
高中数学解析几何中的对称问题作者：陈晶来源：《理科考试研究·高中》2014年第07期对称问题是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点.它的运用非常广泛，不仅体现在数学知识上，有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称等几个方面.一、点关于点对称点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.例1设点M(2,4)，求点M关于点P(-1,2)对称的点N的坐标.分析P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.解设点N(x,y)，点M(2,4)，点P(-1,2)，由中点坐标公式可得N(-4,0).二、直线关于点对称直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两对称点可确定直线方程.在解题过程中我们发现直线关于点的对称直线和原直线是平行的，这样我们解决此类问题还可设平行直线系，再将一个对称点坐标代入即可求出.例2求直线l1:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l2方程.方法一分析在l1上找两个点，求出其在l2上的两对称点，确定方程l2.解在l1上任取两点，如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A的对称点M′,N′均在l2上.得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l2的方程为2x-3y-9=0.方法二分析可设直线系方程，再代入一个特殊点，就可以确定直线方程了.解因为l1∥l2,所以设对称直线方程l2为： 2x-3y+c=0(c≠1).因为点A到两直线的距离相等,所以由点到直线的距离公式得|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.所以l2的方程为2x-3y-9=0.方法三分析通过点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题.设P(x,y)是l2上任一点，则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y).因为P′在直线l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.三、点关于直线对称在坐标系中我们容易观察出点关于坐标轴的对称点，点关于特殊直线y=x的对称点.但如果面对一般直线的对称问题时，如假设已知点的坐标是A(x0,y0)，已知直线方程（非坐标轴直线）是y=kx+b，求点A关于已知直线y=kx+b的对称点B的坐标.解决此类问题就要抓住两点：①两点所在直线与已知直线垂直，②两点的中点在已知直线上.例3 求点A(-1,-2)关于直线l∶2x-3y+1=0的对称点A′的坐标.分析求解的关键是抓住垂直与平分这两个几何条件上，转化为代数关系列方程求解.解设A′(x,y)，AA′中点坐标为(x-12,y-22).由已知得 y+2x+1·23=-1，2×x-12-3×y-22+1=0,解得x=-3313，y=413.所以A′(-3313,413).四、直线关于直线对称直线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求解方法和点关于直线的对称相同.但是直线关于直线的对称问题中，两直线的位置关系有两种不同的情况：两直线平行，两直线相交.当两直线平行时，通常设平行直线系方程，然后通过两组平行线间的距离相等求出直线方程.当两直线相交时，解决此类问题的方法很多，主要有：特殊值法，交点法，动点代入法等.为了方便，我们通常采用取交点的方法.下面我们以相交直线为例.例4求直线m:3x-2y-6=0关于直线l1∶2x-3y+1=0的对称直线l2的方程.分析线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决.解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点M′必在l2上.设对称点M′(a,b).则由2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,得M′(613,3013).设m与l1的交点为N，由2x-3y+1=03x-2y-6=0得N(4,3).又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.五、对称问题与物理知识结合应用由物理光学知识知道，入射光线与反射光线关于法线对称.所以解决光学对称题，经常会利用到点关于线的对称知识.例5从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上，求经y轴反射的光线所在的直线方程.解由题意得，射出的光线方程为y-3=12(x-2),即得x-2y+4=0与y轴的交点为(0,2),又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过(0,2),(-2,3).故方程为x+2y-4=0.例６在直角坐标系中，A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程.解设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),则△PMN的周长=|PM|+|MN|+|PN|=|DM|+|MN|+|NC|.由对称性，D,M,N,C共线，所以|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|=40=210.。
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解析几何中对称问题的常见求解方法
关键词：对称点、对称直线
解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。
对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。
这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。
使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。
一、关于点对称。
1、点关于点对称。
①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点
(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。
2、直线关于点对称。
① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。
设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。
它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。
2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为
00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的
方程。
解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。
再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。
解法（三）：由12l l K K =，可设
1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=
且
=
求设'C 从而可求的及对称直线方程。
3、曲线关于点对称，曲线1:(,)0C f x y =关于00(,)M x y 的对称曲线的求法：设(,)P x y 是所求曲线的任一点，则P 点关于00(,)M x y 的对称点为
00(2,2)x x y y --在曲线(,)0f x y =上。
故对称曲线方程为00(2,2)0f x x y y --=。
二、关于直线对称 1、点关于直线对称。
⑴ 点(,)P a b 关于x 轴、y 轴，直线x y =，x y =-的对称点坐标可利用图像分别求设为(,),(,),(,),(,)a b a b b a b a ----。
⑵ 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标。
解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP B K A =
⇒直线'PP 的方程→()B
y b x a A
-=-由0
()Ax By C B
y b x a A
++=⎧⎪
⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。
解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y
++把中点坐标代入L 中得到022
a x
b y
A B C ++⋅
+⋅+=；
① 再由'PP B K A =得b y B a x A
-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。
解法（三）：设对称点为'(,)P x y ，由点到直线的距离公式
有
=
①，再由'PP B K A =
得b y B
a x A
-=-②由①、②可得到'P 点坐标。
2、直线1l 关于直线l 的对称直线2l 。
⑴ 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l 。
在1l 上取一点00(,)P x y 求出它关于l 的对称点Q 的坐标。
再利用12l l P P =可求出2l 的方程。
⑵ 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。
解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。
则交点必在对称直线2l 上。
再在1l 上找一点B ，点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线2l 的方程。
解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，1PQ L K K =-。
又PQ 的中点在l 上，由此解得
11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的方程中可求出2l 的方程。
解法（三）：设1l 关于l 的对称直线为2l ，则2l 必过1l 与l 的交点，且2l 到l 的角等于l 到1l 的角，从而求出2l 的斜率，进而求出2l 的方程。
3、曲线关于直线对称。
曲线1C 关于直线l 的对称曲线2C 的方程，在2C 上任取一点(,)P x y ，可求出它关于l 的对称点坐标，再代入1C 中，就可求得2C 的方程。
综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。
求对称问题的通法是：⑴ 求对称点一般采用，先设对称点(,)P x y ，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出,x y 的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)P x y ，再利用求对称点的方程求出P 点的对称点Q 点坐标，将Q 点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,x y 的关系式，就是所求对称曲线的方程。
通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：
由此可见，熟练地记忆和掌握各种对称点和对称曲线的求法，将会对我们解决对称问题带来很大的方便。