平面解析几何中的对称问题
解析几何中的对称性和轴对称性
解析几何中的对称性和轴对称性解析几何是数学的一个分支，涉及到平面几何和空间几何的研究。
对称性和轴对称性是解析几何中极其重要的一部分内容。
它们是我们研究几何形状的重要工具，可以帮助我们呈现出几何形状的美感和魅力。
从理论和实践两个方面来探讨对称性和轴对称性对于解析几何的意义和应用。
一、对称性在解析几何中，对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。
简单来说，就是如果一个几何形状在满足特定条件的情况下能够发生变化，而这种变化后的形状与原始形状完全相同，那么这种几何形状就具有对称性。
对称性有许多种类型，如旋转对称性、平移对称性、点对称性等。
其中，旋转对称性是指在特定中心进行旋转后能够得到与原始形状相同的新形状；平移对称性是指在特定方向上平移后能够得到与原始形状完全相同的新形状；点对称性是指以特定点为中心将一条几何线转移到对称轴的相同位置上，从而得到一个与原始形状完全一致的新形状。
通过对称性，我们可以在几何形状间进行比较和分析，帮助我们更好地理解和掌握几何形状的规律和特征。
同时，在科学研究和实际工程中，对称性也具有重要的作用，可以帮助我们设计和制造更为合理、美观、稳定的物体。
二、轴对称性轴对称性是解析几何中另一个重要的概念，它与对称性有很多相似之处。
轴对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。
而轴对称性和对称性的不同之处在于轴对称性是指一个几何形状能够沿特定轴进行翻转后得到与原始形状相同的新形状。
轴对称性有很多种类型，根据轴的不同可以分为水平轴对称、垂直轴对称、对角轴对称等。
其中，水平轴对称是指几何形状以水平轴为对称轴进行翻转后得到新形状；垂直轴对称是指几何形状以垂直轴为对称轴进行翻转后得到新形状；对角轴对称是指几何形状以对角线为对称轴进行翻转后得到新形状。
通过轴对称性，我们可以更好地理解和掌握几何形状的特征和规律，有助于我们分析和设计更为合理、美观、稳定的物体；同时，在实际工程中，轴对称性也有着重要的应用，如在汽车、飞机、船舶等的设计和制造中，轴对称性可以提高其稳定性和美观性。
高考数学 专题05 解析几何中的对称解法(解析版)
专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 三．【题型】（一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得． 当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2， 由x=-2得6（负值已舍） 故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（ ）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=， 即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-， 所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１， 即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =； （2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+， 所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++， 因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-， 因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=， 由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =， 根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-， 从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。
解析几何中对称问题(完整版)
大共享论文网 专题：探究解析几何中点、线对称问题（一）（导学案）一、学习目标（1）从数和形两个角度来理解图形中对称问题，并能用其解决实际问题。
（2）在探究中进一步让学生体会数形结合和转化的数学思想。
二、课前篇自学支持条件1、轴对称的性质：①对称轴是____ ___ ②对称轴是对应点连线的_______ 线；2、中心对称的性质：①对称中心是_____ ②对称轴的连线都经过对称中心，并且被对称中心_______ ；3、几种特殊的对称（1）点p （x,y ）关于下列点或线的对称点分别为点p （x,y ）关于x 轴对称点是__ _ ； 点p （x,y ）关于y 轴对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于原点对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于y=x 对称点是___ ；（2）设直线l ：0=++C By Ax ，则l 关于x 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y=x 轴对称的直线方程是__ _ ；三、课上篇新知探究引例探究一：点关于点对称例1、 已知点A(5,8) , B(4,1), 试求A 点关于B 的对称点C 的坐标。
解题要点：中点坐标公式的运用规律技巧总结：一般的，点A （00,y x ）关于点P （m ，n ）的对称点是______ _ ； 探究二：直线关于点对称例2、求直线1l :043=--y x 关于点p(2,-1)对称的直线2l 的方程。
解题要点：方法一：2l 上的任意一点的对称点在1l 上；方法二：1l ∥2l 且点p 到两直线等距。
规律技巧总结：一般的，直线Ax+By+C=0关于点P （m ，n ）的对称的直线方程是 。
探究三：点关于直线对称例3.已知点M 的坐标为（-4,4），直线L 的方程为3x+y-2=0,求点A 关于直线l 的对称点/M 的坐标。
解题要点：⎩⎨⎧-=•1/MM k k探究四：直线关于直线对称例4、试求直线1l ：01=--y x 关于直线2l ：032=+-y x 对称的直线l 的方程。
高中 平面解析几何 对称问题 练习 含答案
训练目标会利用点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称的性质求对称“元素”.训练题型(1)求对称点、对称直线，圆关于直线对称的圆；(2)利用对称求最值.解题策略(1)根据对称的几何性质列方程求解；(2)关于特殊“元素”的对称，可按相应公式代入即得(如关于原点、坐标轴、直线x＝a，y＝x，y＝－x等)；(3)数形结合，利用几何性质解决最值问题.2．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a与b的值分别为________．3．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________．4．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0 (a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.5．直线2x＋3y－6＝0分别交x，y轴于A，B两点，P是直线y＝－x上的一点，要使P A＋PB最小，则点P的坐标是________．6．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．7．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与直线l：y＝x＋2相切，且圆D与圆C关于直线l对称，则圆D的方程是________________．8．若直线ax－y＋2＝0与直线3x－y－b＝0关于直线y＝x对称，则a＝________，b＝________. 9．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线l1：x－y－1＝0对称，动圆P与圆C相外切且与直线l2：x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________________．10．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．答案解析1．x ＋2y －3＝0解析 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3， 即x ＋2y －3＝0.2．－9,3解析 在直线ax ＋3y －9＝0上取一点(0,3)，点(0,3)关于x ＋y ＝0的对称点(－3,0)在直线x －3y ＋b ＝0上，所以b ＝3，同理在直线x －3y ＋b ＝0上取一点(0,1)，它关于x ＋y ＝0的对称点(－1,0)在直线ax ＋3y －9＝0上，∴a ＝－9.3．y ＝2x ＋5解析 点A (3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点分别为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)，且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为：y ＝2x ＋5.4．－2解析 由已知得，直线x －y ＋2＝0经过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2， 所以－1＋a 2＋2＝0，从而有a ＝－2. 5．(0,0)解析 2x ＋3y －6＝0分别交x 、y 轴于A 、B 两点，则A (3,0)、B (0,2)．B 关于y ＝－x 的对称点为B ′(－2,0)．AB ′交直线y ＝－x 于点(0,0)，则P (0,0)即为所求．6．x －y ＝0解析 由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b 2)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2， 即x －y ＝0.7．x 2＋(y －1)2＝12解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，由于圆C 与直线l 相切，故圆心C (－1,2)到l 的距离等于半径，即|－1－2＋2|2＝5－m ，解得m ＝92. 故5－m ＝12，又圆心C (－1,2)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为D (0,1)， 所以圆D 的方程为x 2＋(y －1)2＝12. 8.136 解析 因为直线ax －y ＋2＝0关于直线y ＝x 对称的直线是ay －x ＋2＝0，即x －ay －2＝0，所以直线x －ay －2＝0与直线3x －y －b ＝0重合，所以13＝－a －1＝－2－b， 即a ＝13，b ＝6. 9．y 2－6x ＋2y －2＝0解析由题意知，圆C 的圆心为C ⎝⎛⎭⎫a 2，－1，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，由两圆关于直线l 1对称，易得点(0,0)关于直线l 1：x －y －1＝0对称的点(1，－1)即为点C ，故a ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P 的圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，由动圆P 与圆C 相外切可得：PC ＝r ＋1，由图可知，圆心P 一定在直线x ＝－1的右侧，所以由动圆P 与直线l 2：x ＝－1相切可得r ＝x 0－(－1)＝x 0＋1.代入PC ＝r ＋1，得：(x 0－1)2＋(y 0＋1)2＝x 0＋1＋1＝x 0＋2，整理得：y 20－6x 0＋2y 0－2＝0.即圆心P 的轨迹方程为y 2－6x ＋2y －2＝0.10．解 (1)B 关于l 的对称点B ′(3,3)，l AB ′：2x ＋y －9＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，得P (2,5)．(2)C 关于l 的对称点C ′(35，245)， 由图象可知P A ＋PC ≥AC ′，当P 是AC ′与l 的交点P (117，267)时，等号成立， 所以P (117，267)．。
解析几何求点关于标准直线的对称坐标公式
解析几何求点关于标准直线的对称坐标公式
在解析几何中，我们可以通过求点关于标准直线的对称坐标来推导出对称性质。
下面是关于标准直线的对称坐标公式：
设点A(x1, y1)位于平面上的一个点，标准直线的方程为ax + by + c = 0。
点A关于这条直线的对称点为A'(x2, y2)。
对称坐标的计算步骤如下：
1. 求直线的斜率m：根据直线的方程，可以得到 m = -a / b。
2. 求直线的截距k：根据直线的方程，可以得到 k = -c / b。
3. 计算点A到直线的距离d：利用点到直线的距离公式，可以得到 d = |ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2)。
4. 利用点A和直线的斜率m，求点A关于直线的垂直线的斜率m'：由于两个垂直线的斜率的乘积等于-1，因此 m' = -1 / m。
5. 求点A关于直线的垂直线的方程：根据点斜式可以得到 y = m'(x - x1) + y1。
6. 求点A关于直线的对称点A'的坐标：将点A的坐标代入垂直线的方程，可以得到x2 = (x1 - m'(y1 - k)) / (1 + m'^2) 和 y2 = m'(x2 - x1) + y1。
7. 得到点A关于标准直线的对称点A'的坐标为 A'(x2, y2)。
这样，我们就可以通过以上步骤计算出任意点关于标准直线的对称坐标。
解析几何中的对称问题
解析几何中的对称问题一、基础知识1、 点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。
（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。
4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 对称的直线方程是（ ）A 。
平面解析几何中有关对称问题的处理
同，圭ｚ ＋）Ｌ 理ｏ ２ 善≤ ｌ ｇ
由，２一 （ ）＝ ｆ２ ） （ ＋ 知抛物线的对称 轴为 ＝ ２ 又Ｙ＝ ｆｘ 的图象开 口向下知， ， （） 当 ≤２ 时函数ｆｘ 为增函数， （） 原不等式化为
・ｇ 。
、
用抽象函数作背景解不等式
（ １ ・（一 詈即 ＋ ＜圭２＋， ２ 。 ２ ） ＋ ） ｇ
利用方程组（ ） Ｂ 建立方程组， 得
代入方程 Ｙ ＝２ ｚ 得动点 Ｂ的轨迹方程为 ｐ，
（ 一２） Ｙ ｂ ＝２ ２ — ． ｐ（ａ ）
本文 主要讨论 了点、直 线、曲线关于定点、 定直线 的对 称问题．解决这些问题 的关键所在
对称的点， 所以Ｍｏ 定在 曲线 Ｃ ： 上． Ｙ＝
、
表曲线上的点为 Ｐ （１ １， ｌ ， ） 定点为 Ｐ （ ， ） ｚｖ ｏ ｏｖ ， ｘ ｏ 相对称的曲线上对应的点为Ｐ（， ， ｘ ）则都可归
结为点与点关于定 点对称问题， 则可运用方程组
将 、 １ １ 的表达式代入 已知的曲线方程， 化 简后便 ｌＯ 珈 Ｘ －
（ Ａ ）
ｆ． 一． ＋：， 掣 ２ ２ １０
二、 关于定直线对称问题（ 即轴对称问题）
１点 关于定 直线 对 称 ．
若 Ｐ与 Ｐ 关于直线 Ａ ｘ＋Ｂｙ ＋Ｃ ＝ｏ ￣ ｘ 称， 则应满足如下两个条件： ＰＰ 的连线垂直于直线 Ａ ｘ＋Ｂｙ＋ ＝ ０ Ｐ、Ｐ 的中点应落在直线 ；
例２ 设ｆｘ 对于任意实数 、Ｙ∈Ｒ， （） ， 有
黧… ………
、 ／
，．
：
＝Ｙ ＋ ４ ＋ ６ ｙ ．
２ Ｘ一２ ＋：
：Ｏ
１ ．
／ ／ ０ ／ １
对高中数学解析几何中对称问题浅析
对高中数学解析几何中对称问题浅析摘要：伴随着人们对教育的越来越重视，教育行业也开始了飞速的发展。
在这种背景影响下，高中数学中的解析几何对称问题逐渐受到了高中数学教师的重视。
众所周知，对称问题是高中数学解析集合中的基础部分。
不管是点对点间的对称还是线对线间的对称，都是高中学生学习数学的重要内容。
本文主要针对目前的高中数学解析几何中的对称问题进行了探究，希望能为高中阶段的数学教育提供帮助。
关键词：高中数学；解析几何；对称问题随着新课改的逐渐实行，我国的教育事业也在持续不断地发展。
数学是一门贯穿于学生整个教育生涯的学科，其重要性不言而喻。
而高中数学无论是从高考占比上还是知识面上都是非常重要的。
高中数学相较于基础数学而言具有了一定的难度。
尤其是高中数学解析几何部分的对称问题，不仅是整个高中数学中的基础部分，也是一大重点内容。
一、解析几何的基本概念几何是高中数学学习过程中非常重要的一部分内容。
几何原本叫欧几里得几何，由著名数学家欧几里得命名，简称为“欧氏几何”。
是整个几何学部分的一个分支学科。
其最早来源于公元前3世纪。
由古希腊数学家欧几里得总结得出。
欧几里得将一些流传于民间的几何知识点进行总结和编撰，同时还做出了一系列的延伸推理，最后写出了文明一时的《几何原本》，后又逐渐形成了欧氏几何[1]。
在整个欧氏几何的体系中，最主要的内容当属平行公理。
但是后期由于一部分不同公理的出现，导致了非欧几何的出现。
如果按照图形的平面与空间来划分，可以称之为“平面几何”和“立体几何”。
而对于解析几何，其核心部分其实是笛卡尔坐标系。
解析几何也主要分为两部分，平面解析几何和立体解析几何。
平面解析几何主要是通过平面直角坐标系来展现的，主要就是通过平面直角坐标系来建立点和实数之间的对应关系，以及曲线和方程之间的对应关系。
通过几何法去解决代数问题，同时也可以应用代数法去解决几何问题。
从17世纪开始，各个先进技术开始了飞速的发展，几何与代数也开始了不断地发展。
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故
即点 到直线 的距离为
此即平面解析几何中点到直线的距离公式。
二、求最值、函数的值域
例１若 且 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
（1990年全国高考试题）
解：设 ，得直线 ，由定理１得 ，解得：、
，即 ，故选（D）
例２求函数 的值域。
解：设 ， ，代入 得：
整理得 ，又
平面解析几何中的对称问题
李新林
汕头市第一中学515031
对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。
在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。
所以 中至少有一个大于 。
例５若 中，三边为 ，且 试确定 的形状。
（1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）
解：由 ２+ 得：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
解得： ，即 ， 代入 、 得：
所以 为等腰三角形。
例６求三个实数 使得它们满足方程组
解：由 可得：
由 可得：
关于 的直线 与关于 的椭圆
平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。
一、点点对称
定理1平面上一点 关于点 的对称点为 ，
特别地，点 关于点 的对称点为 。
证明：显然 为线段 的中点，设 ，由中点坐标公式有：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论2得：
解得：
即所求函数 的值域为 。
例３已知平面上两定点 ， 为圆 上任
一点，求 的最大值与最小值。
解：依题意有
又由 得 ，代入 得：
令 ，有 ，即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。由定理2得： 解得：
故 的最大值与最小值分别为 。
例４已知椭圆 ，求 的最大值。
，即 ，故 。
例１若点 关于点 的对称点为 ，求点 的坐标。
解：设 ，由定理１有 ，即 。
二、点线对称
定理1平面上一点 关于直线 的对称点为：
。
证明：先证明一般情况，即 的情况。
Y 如图（一）,设 ，线段 交直线 于点
，由点 与点 关于直线
对称，故 为线段 的中点且 ，
X于是有：
且 ，
又点 在直线 上，故有： ，
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点，
由定理２得： ，解得
即
例４设 满足方程组 ，若 ，试求 的取值范围。
（1986年全国高中数学联赛试题）
解：由 — 得： ，即 ，
由 + 得：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
解得：
故 的取值范围为 。
四、解方程组及证明不等式
例１已知： 求证：
证明：设 ，有 ，
解：由已知得 ，设 ，得直线 ，
由定理２得： ，解得： ，即 ,
即 ,又 ，
故 。
例２已知 ，求 的取值范围。
解：由 可得
令 ， ，代入 得：
又令 ，将 ， 代入 得：
即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点，
由推论２得：
解得： ，即
例３若 ，且 ，（ ）
求 的范围。
解：令 ， 代入
并化简得： ，即
又令 ，则有 ，即于 与 的情况比较简单，证明略。
特别地，有如下几种特殊情况：
（1）平面上一点 关于 轴的对称点为： ；
（2）平面上一点 关于 轴的对称点为： ；
（3）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（4）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（5） 平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
解：令 ，整理得
关于 的直线 与椭圆 有公共点。
由推论１得： ，解得：
故 的最大值为１。
例５（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数 ，使得实数 满足：
解：由 得：
又 ，代入 得： ，即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
解得： ，即：
故最大的实数 为 。
三、求代数式的范围
例１若 ，且 恒成立，求 的取值范围。
由推论２得：
解得： ，又 ，
故 ，同理， ，所以， 都不是负数，也不能大于 。
例４已知 且满足 ，
证明 中至少有一个大于 。（1991年“曙光杯”数学竞赛题）
证明：由 知 中至少有一个为正数，不妨设
又由 得：
由 得 ，代入 得：
，即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由定理２得：
解得： ，即：
又 ，由 得： ，故
（6）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（7）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（8）平面上一点 关于直线 的对称点为：
特别地，点 关于点 的对称点为 。
若直线 与椭圆
有公共点，则有：
证明：由 可令 ，
代入 得：
整理得：
即： ，（其中 为辅助角）
又 ,
即：
特别地，当 时，有
推论1若直线 与椭圆 有公共点，则有：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由定理2得：
解得： ，即
例２实数 ，且 ，求证 。
证明：设 ，有 ，
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
又 所以有
故 ，即
例３ 且满足 ，
证明 都不是负数，也不能大于 。（1957年北京市数学竞赛题）
证明：由 得 由 得 ，
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
对于定理1，若令 ，则有
定理2若直线 与圆 有公共点，则有： ，整理得
特别地，当 时，有
推论2若直线 与圆 有公共点，
则有：
下面略举数例说明其应用。
一、求点到直线的距离
例１求点 到直线 的距离。
解：设点 到直线 的距离为 ，构造以点
为圆心， 为半径的动圆 ，显然，当直线
与动圆 有公共点时，
点 到直线 的距离 为半径 的最小值，
有公共点。
由定理１得：
化简得： ，即 ， 代入 、 得：
故所求三个实数分别为 ，