平面解析几何中的对称问题

即 ，由定理2知： ，即： ，
故
即点 到直线 的距离为
此即平面解析几何中点到直线的距离公式。
二、求最值、函数的值域
例１若 且 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
（1990年全国高考试题）
解：设 ，得直线 ，由定理１得 ，解得：、
，即 ，故选（D）
例２求函数 的值域。
解：设 ， ，代入 得：
整理得 ，又
平面解析几何中的对称问题
李新林
汕头市第一中学515031
对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。
在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。
所以 中至少有一个大于 。
例５若 中，三边为 ，且 试确定 的形状。
（1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）
解：由 ２+ 得：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
解得： ，即 ， 代入 、 得：
所以 为等腰三角形。
例６求三个实数 使得它们满足方程组
解：由 可得：
由 可得：
关于 的直线 与关于 的椭圆
平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。
一、点点对称
定理1平面上一点 关于点 的对称点为 ，
特别地，点 关于点 的对称点为 。
证明：显然 为线段 的中点，设 ，由中点坐标公式有：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论2得：
解得：
即所求函数 的值域为 。
例３已知平面上两定点 ， 为圆 上任
一点，求 的最大值与最小值。
解：依题意有
又由 得 ，代入 得：
令 ，有 ，即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。由定理2得： 解得：
故 的最大值与最小值分别为 。
例４已知椭圆 ，求 的最大值。
，即 ，故 。
例１若点 关于点 的对称点为 ，求点 的坐标。
解：设 ，由定理１有 ，即 。
二、点线对称
定理1平面上一点 关于直线 的对称点为：
。
证明：先证明一般情况，即 的情况。
Y 如图（一）,设 ，线段 交直线 于点
，由点 与点 关于直线
对称，故 为线段 的中点且 ，
X于是有：
且 ，
又点 在直线 上，故有： ，
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点，
由定理２得： ，解得
即
例４设 满足方程组 ，若 ，试求 的取值范围。
（1986年全国高中数学联赛试题）
解：由 — 得： ，即 ，
由 + 得：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
解得：
故 的取值范围为 。
四、解方程组及证明不等式
例１已知： 求证：
证明：设 ，有 ，
解：由已知得 ，设 ，得直线 ，
由定理２得： ，解得： ，即 ,
即 ,又 ，
故 。
例２已知 ，求 的取值范围。
解：由 可得
令 ， ，代入 得：
又令 ，将 ， 代入 得：
即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点，
由推论２得：
解得： ，即
例３若 ，且 ，（ ）
求 的范围。
解：令 ， 代入
并化简得： ，即
又令 ，则有 ，即于 与 的情况比较简单，证明略。
特别地，有如下几种特殊情况：
（1）平面上一点 关于 轴的对称点为： ；
（2）平面上一点 关于 轴的对称点为： ；
（3）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（4）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（5） 平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
解：令 ，整理得
关于 的直线 与椭圆 有公共点。
由推论１得： ，解得：
故 的最大值为１。
例５（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数 ，使得实数 满足：
解：由 得：
又 ，代入 得： ，即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
解得： ，即：
故最大的实数 为 。
三、求代数式的范围
例１若 ，且 恒成立，求 的取值范围。
由推论２得：
解得： ，又 ，
故 ，同理， ，所以， 都不是负数，也不能大于 。
例４已知 且满足 ，
证明 中至少有一个大于 。（1991年“曙光杯”数学竞赛题）
证明：由 知 中至少有一个为正数，不妨设
又由 得：
由 得 ，代入 得：
，即
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由定理２得：
解得： ，即：
又 ，由 得： ，故
（6）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（7）平面上一点 关于直线 的对称点为： ；
（8）平面上一点 关于直线 的对称点为：
特别地，点 关于点 的对称点为 。
若直线 与椭圆
有公共点，则有：
证明：由 可令 ，
代入 得：
整理得：
即： ，（其中 为辅助角）
又 ,
即：
特别地，当 时，有
推论1若直线 与椭圆 有公共点，则有：
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由定理2得：
解得： ，即
例２实数 ，且 ，求证 。
证明：设 ，有 ，
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
由推论２得：
又 所以有
故 ，即
例３ 且满足 ，
证明 都不是负数，也不能大于 。（1957年北京市数学竞赛题）
证明：由 得 由 得 ，
关于 的直线 与关于 的圆 有公共点。
对于定理1，若令 ，则有
定理2若直线 与圆 有公共点，则有： ，整理得
特别地，当 时，有
推论2若直线 与圆 有公共点，
则有：
下面略举数例说明其应用。
一、求点到直线的距离
例１求点 到直线 的距离。
解：设点 到直线 的距离为 ，构造以点
为圆心， 为半径的动圆 ，显然，当直线
与动圆 有公共点时，
点 到直线 的距离 为半径 的最小值，
有公共点。
由定理１得：
化简得： ，即 ， 代入 、 得：
故所求三个实数分别为 ，