连续信号的采样与恢复实验报告

实验六、连续信号的采样与恢复
一、实验目的
1.加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；
2.加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；
3.掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。

二、实验原理
(1) 信号的采样
信号的采样原理图如下图所示，其数学模型表示为：
=
其中的f(t)为原始信号，为理想的开关信号（冲激采样信号）δTs(t) =，fs(t)为采样后得到的信号称为采样信号。

由此可见，采样信号在时域的表示为无穷多冲激函数的线性组合，其权值为原始信号在对应采样时刻的定义值。

令原始信号f(t)的傅立叶变换为F(jw)=FT(f(t))，则采样信号fs(t) 的傅立叶变换
Fs(jw)=FT(fs(t))=。

由此可见，采样信号fs(t)的频谱就是将原始信号f(t)的频谱在频率轴上以采样角频率ws为周期进行周期延拓后的结果（幅度为原频谱的1/Ts）。

如果原始信号为有限带宽的信号，即当|w|>|wm|时，有F(jw)=0，则有：如果取样频率ws≥2wm时，频谱不发生混叠；否则会出现频谱混叠。

(2) 信号的重构
设信号f(t)被采样后形成的采样信号为fs(t)，信号的重构是指由fs(t)经过内插处理后，恢复出原来的信号f(t)的过程。

因此又称为信号恢复。

由前面的介绍可知，在采样频率w s≥2w m的条件下，采样信号的频谱Fs(jw)是以w s为周期的谱线。

选择一个理想低通滤波器，使其频率特性H(j w)满足：
H(j w)=
式中的wc称为滤波器的截止频率，满足wm≤wc≤ws/2。

将采样信号通过该理想低通滤波器，输出信号的频谱将与原信号的频谱相同。

因此，经过理想滤波器还原得到的信号即为原信号本身。

信号重构的原理图见下图。

通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为w m的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/w m, 该取样间隔又称为奈奎斯特（Nyquist）间隔。

根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：
式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。

利用MATLAB中的抽样函数
来表示Sa(t)，有，，于是，信号重构的内插公式也可表示为：
(3) 模拟低通滤波器的设计
在任何滤波器的设计中，第一步是确定滤波器阶数N及适当的截止频率Ωc。

对于巴特沃斯滤波器，可使用MATLAB命令buttord来确定这些参数，设计滤波器的函数为butter。

其调用形式为
[N, wn]=buttord(wp, ws, rp, rs, 's')
[b, a]=butter[N, wn, 's']
其中，wp、ws、rp、rs为待设计滤波器的技术指标，分别代表通带截止频率、阻带截止频率、通带最大衰减和阻带最小衰减；'s'表示设计滤波器的类型为模拟滤波器；N、wn为设计得到的滤波器的阶数和3dB截止频率，b、a为滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数矢量，假定系统函数的有理分式表示为：
三、程序示例
示例1：选取门信号f(t)= g2(t)为被采样信号。

利用MATLAB实现对信号f(t)的采样，显示原信号与采样信号的时域和频域波形。

因为门信号并非严格意义上的有限带宽信号，但是，由于其频率f>1/τ的分量所具有的能量占有很少的比重，所以一般定义fm=1/τ为门信号的截止频率。

其中的τ为门信号在时域的宽度。

在本例中选取fm=0.5，临界采样频率为fs=1，过采样频率为fs>1（为了保证精度，可以将其值提高到该值的50倍），欠采样频率为fs<1。

% 显示原信号及其Fourier变换示例
R=0.01;%采样周期
t=-4:R:4;
f=rectpuls(t, 2);
w1=2*pi*10; % 显示从-20*pi到20*pi频率范围内的频谱
N=1000; % 计算出2*1000+1个频率点的值
k=0:N;
wk=k*w1/N;
F=f*exp(-j*t'*wk)*R;
% 利用数值计算求连续信号的Fourier变换，详细原理见附录
Fudu=abs(F); % 计算频谱的幅度
wk=[-fliplr(wk),wk(2:1001)];
Fudu =[fliplr(Fudu),Fudu(2:1001)]; % 计算对应负频率的频谱
figure;
subplot(2,1,1); plot(t, f);
xlabel('t'); ylabel('f(t)');
title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');
subplot(2,1,2); plot(wk, Fudu);
xlabel('w'); ylabel('F(jw)');
title('f(t)的Fourier变换');
程序运行后的结果见下图。

%显示采样信号及其Fourier变换示例
R=0.25; % 可视为过采样
t=-4:R:4;
f=rectpuls(t,2);
w1=2*pi*10;
N=1000;
k=0:N;
wk=k*w1/N;
F=f*exp(-j*t'*wk); % 利用数值计算求采样信号的Fourier变换
Fudu =abs(F);
wk=[-fliplr(wk),wk(2:1001)]; % 将正频率扩展到对称的负频率Fudu=[fliplr(Fudu), Fudu(2:1001)]; %计算对应负频率的频谱figure;
subplot(2,1,1)
stem(t/R, f); % 采样信号的离散时间显示
xlabel('n'); ylabel('f(n)'); title('f(n)');
subplot(2,1,2)
plot(wk, Fudu); % 显示采样信号的连续的幅度谱
xlabel('w'); ylabel('F(jw)'); title('f(n)的Fourier变换');
程序运行后的结果如下图。

示例2：利用MATLAB实现对示例1中采样信号的重构，并显示重构信号的波形。

示例3：通过频率滤波的方法，利用MATLAB实现对示例1中采样信号的重构，并显示重构信号的波形。

四、实验内容与步骤
1.修改示例中的门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特
性，以及重构信号与误差信号的变化。

2.将原始信号分别修改为抽样函数Sa(t)、正弦信号sin(20*pi*t)+cos(40*pi*t)、指数信号
e-2tu(t)时，在不同采样频率的条件下，观察对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。

3.利用频域滤波的方法（将采样信号通过一个（butterworth）低通滤波器），修改实验中的部分
程序，完成对采样信号的重构？
五、实验报告要求
整理并给出“实验内容与步骤”（1）、（2）、（3）中的程序代码与产生的图形，并回答下面的问题：
1.根据实验内容与步骤(1)，说明信号在时域宽度的变化对其频率特性的影响，总结信号在时域的宽
度与在频域的宽度的关系；
2.根据实验内容与步骤(2)和(3)，运用采样定理的知识，说明采样周期的变化对重构信号质量的影
响；
根据实验内容与步骤(3)，比较与步骤(2)重构信号的波形，看看重构信号相对于原信号在时域是否有延时？为什么？如何设计一段程序修正信号的延时，使得重构信号与原始信号基本对齐？
5.2 抽样定理
抽样的分类：
(1)根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理。

(2)用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样。

(3)抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。

5.2.1 低通型连续信号抽样定理
抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。

一、低通型连续信号的抽样定理:一个频带限制在赫内的时间连续信号,若以的间隔对它进行等间隔抽样，则将被所得到的抽样值完全确定。

图5-2-1 抽样
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM系统应无失真。

这一点与量化过程有本质区别。

量化是有失真的,只不过失真的大小可以控制。

二、低通型连续信号抽样定理证明
设的频带为,图5-1-1中将时间连续信号和周期性冲激序列相乘，用
表示此抽样函数，即
假设、和的频谱分别为、和。

按照频域卷积定理，因为
所以
由卷积关系，上式可写成
上式表明，已抽样信号的频谱是无穷多个间隔为的相迭加而成。

这表明包含迭全部信息。