特殊平面图的集合色数

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0.引言

文中考虑的图都是简单无向有限连通平面图。有限图是指图的顶点集、

边集都是有限集；连通图是指只有一个分支的图。简单图是指无环且无多重边的图。如果一个图能画在平面上使得它的边仅在端点处

相交，则称这个图为可嵌入平面的，或称为平面图。给定图G ，

分别用V(G),E(G)表示G 的顶点集、边集。对图G 中任意顶点v ，用N(v)表示v 的邻点的集合。图G 的色数χ(G)是指对图G 的顶点进行染色，使得任意两个相邻的顶点染不同颜色所需要的最少的颜色数。设c 是图G 的一个顶点染色，若G 中任意相邻的两个顶点u,v ，满足NC(u)≠NC(v)，则c 是图G 的一个集合染色，集合染色所需的最少的颜色数称为G 的集合色数，记χs (G)并且χs (G)≤χ(G)，可参见文献[1]。关于平面图的集合色数笔者已经给出了团数为3的平面图的集合色数是3，不包含K 4的平面图的集合色数也是3及烟花图的集合色数与C n 的奇偶性有关等一些相关结论。下面将要给出与轮图有关的一类平面图的集合色数和向日葵图的集合色数。

文中未提到的一些定义及符号可参见文献[2]。1.主要定理及结论

轮图G=C n +K 1,n 中C n 的边称为G 的外边，其它的边称为G 的辐边。

在外边上添加k(1≤k ≤n)个新顶点所得到的图记为G *

（参见文献[3]）。

圈C n 中的顶点称为G *

的主顶点，而C n 加上所有的新顶点组成的圈称为G *的外围圈记为C *

n 。与外边相邻的两条辐边和外边添加新顶点后形

成的边组成的圈称为G *

的外圈记为C *。

用O(C),E(C)和V w 分别表示奇圈的个数，偶圈的个数和外边上添加新顶点的个数。下面给出G *的集合色数。

定理1(I)若G *的外圈包含偶数个奇圈，则χs (G)=2。

(II)若G *

的外圈包含奇数个奇圈，则χs (G)=3。

证明(I)若G *

的外圈包含偶数个奇圈，事实上，这些奇圈是由G 中相邻的的两条辐边和与这两条辐边相邻的外边上添加偶数个新顶点后

形成的边所围成的。

同样的，偶圈是由G 中相邻的的两条辐边和与这两条辐边相邻的外边上添加奇数个新顶点后形成的边所围成的。如此以来，

G *

的阶数为1+n+O(C)

i=1

ΣV w +E(C)

i=1

ΣV w ，由此式可以得出无论n 是奇数还是偶数，在这种情况下G *

的阶数都是奇数。下面给出G *的一个2集合染色：c:V(G *)→{1,2}，其染色规则为：c(v 0)=1，d(v 0)=n ，在外围圈上的顶点依次交替的着1，2。因为外围圈上的顶点个数为偶数，因此，1，2是成对出现的，且任意相邻的两个顶点有不同的着色，其邻色集分别为{1},{2}，而v 0的邻色集必然是{1,2}。这是因为由外围圈上的着色规则知，v 0的邻色集中必有1或2，不失一般性，若只有1，考虑外边上添加偶数个顶点的那条边，则这条边上是主顶点的那两个顶点必然同时着色为1，所以这条边上的着色不可能是1，2交替出现的，与给出的着色规则矛盾。也就是说，对任意两个相邻的顶点u,v ，有NC(u)≠NC(v)，即χs (G *)≤2，又显然χs (G *)→1，故χs (G *)=2。

(II)由(I)的证明过程可知，若G *的外圈包含奇数个奇圈，则G *的阶数为偶数且外围圈上顶点个数为奇数，这时若用两种颜色交替的染外围圈上的顶点，则必有两个相邻的顶点有相同的邻色集，故χs (G *)≥2。下面给出G *的一个3集合染色c:V(G *)→{1,2,3}，其着色规则为：c(v 0)=1，d(v 0)=n ，选择与v 0相邻的一个主顶点v i 染2而与v i 相邻的其中一个顶

点染3，剩下的顶点按顺时针方向依次交替的染1，2，。容易证明，这种染色是G *

的一个集合染色。这是因为由染色规则知外围圈上任意相邻的两个顶点的邻色集都不相同，而主顶点的邻色集为{1,3},{1},{2},{2,3}且相邻的两个主顶点的邻色集不同，而中心顶点的邻色集为{1,2}。故

χs (G *

)=3。

将圈C n =v 1v 2…v n (n ≥3)的每条边v i v i+1（i=n 时，为v n v 1)以双重边(无方向)代替，对每条双重边外部的一条相应的加剖分点u i ，i=1,2,…,n ，得到向日葵图H(参见文献[4])。其中双重边中圈C n =v 1v 2…v n 外的那些边称为H 的外边，外边v i v i+1添加新顶点后形成的边加上与外边v i v i+1对应的C n 中的边组成的圈称为H 的外圈。由所有的外边添加新顶点后所得到的

边组成的圈称为H 的外围圈。圈C n 中的顶点称为H 的主顶点。

定理2(I)若H 中所有的圈都是偶圈，则χs (H)=2。(II)若H 中存在一个奇圈，则χs (H)=3。证明(I)若H 中所有的圈都是偶圈。下面按照如下规则给出H 的一个2集合染色：c:V(H)→{1,2}，选择任意一个主顶点，以这个主顶点为起点按照顺时针方向依次给所有的顶点交替的着色1，2。容易证明c 是H 的一个2集合染色。因为按照着色规则，新添加的顶点中相邻的顶点有不同的邻色集，而外边上新添加的顶点个数都是偶数，故圈C n 上的顶点也是以顺时针方向交替的着色1，2，并且两个相邻主顶点的邻色集分别为{1}或{2}。又因图H 显然不是1集合可染色的，从而χs (H)=2。

(II)若H 中存在一个奇圈，这时这个奇圈可能是C n =v 1v 2…v n 也可能是外圈或者外围圈。不失一般性，假设这个奇圈是外圈，另外两种情况可类似的讨论。不妨设这个奇圈为C o =v 1u 1…u l v 2，1≤l ≤n 。下面证明H 不可能是2集合可染色的。假设c:V(H)→{1,2}是H 的一个2集合染色。考虑奇圈C o ，C o 中必有两个相邻的顶点着相同的颜色。假定c(v 1)=c(v 2)，因为H 是圈的并图，故外围圈上的顶点必然是交替的着1，2才能使有更多相邻的顶点有不同的邻色集，这样使得c(u 1)=c(u l )=2，从而NC(v 1)=NC(v 2)={1,2}。故χs (H)≥3。

下面给出H 的一个3正常顶点着色：c:V(H)→{1,2,3}，着色规则如下：

i)选择C n =v 1v 2…v n ，若n 为偶数，则以顺时针方向从v 1开始交替的给顶点着1，2。若n 为奇数，则令c(v n )=3，其余顶点仍以顺时针方向从v 1开始交替的给顶点着1，2。

ii)若外边上的顶点个数为奇数，则按顺时针方向最后一个顶点着色为3。对于剩下的顶点，若c(v i )=1，i=1,2,…,n ，则以v i 为其中一个顶点

的外边上的新顶点以顺时针方向按2，

1顺序交替的着色。若c(v i )=2，i=1,2,…,n 或c(v i )=3，i=n ，则以v i 为其中一个顶点的外边上的新顶点以顺时针方向按1，2顺序交替的着色。这种着色显然是一个正常的3顶点着色，又因为χs (H)≤χ(H)=3，故χs (H)=3。

如果按照向日葵图的构造方法，将轮图G=C n +K 1,n （其中C n =v 1v 2…v n

）的每条外边v i v i+1

（i=n 时，为v n v 1)以双重边(无方向)代替，对每条双重边外部的一条相应的加剖分点u i ，i=1,2,…,n ，将得到一个新图G 1。事实上，G 1的集合色数一定是3。这是因为不管怎样添加顶点，G 1中始终会有奇圈（三角形），由定理2知χ(G 1)=3。

在圈C 2n =v 1v 2…v 2n-1v 2n ，n ≥2的每个顶点v i 上增加悬挂边v i u i (i=1,2…2n)，再加边u i u i+1，i ≡1(mod2)，得到风车图W *

2n 。通过直接染色可以知道χs (W *

2n )=2。下面给出与风车图有关的一类图的集合色数。在风车图的边u i u i+1，i ≡1(mod2)上加任意个顶点所得到的图记为H *，下面给出H *的集合色数。

定理3(I)若H 中所有的圈都是偶圈，则χs (H)=2。(II)若H 中存在一个奇圈，则χs (H)=3。

事实上此定理的证明完全类似于定理二的证明，这里不再赘述。已经知道K 4是4集合可染色的，那么结合上面三个定理可得到启示：是否所有的由圈组成的且不包含K 4的平面图都是3集合可染色的？

猜想：所有的由圈组成的且不包含K 4的平面图都是3集合可染色的。

参考文献［1］Ping Zhang.The set chromatic number of a graph ，Discussiones Mathematicae Graph Theory ，29(2009)543-561.

［2］邦迪.图论及其应用［M ］.北京：科学出版社，1984.［3］马祖强等.一类平面图的圆色数.北京：北京师范大学学报，5(2006)447-450.

［4］尚华辉等.几类平面图的动态色数.黑龙江科技学院学报，2(2008)154-157.

特殊平面图的集合色数

中国矿业大学（徐州）理学院

王艳丽

［摘要］设G 是非平凡连通图，记c:V(G)→N 是G 的一个顶点染色，这里相邻的两个顶点可以着相同的颜色。对于图G 的任一顶

点v ，

与v 相邻的顶点所着颜色的集称为v 的邻色集，记为NC(v)。如果G 中任意相邻的两个顶点u,v 满足NC(u)≠NC(v)，则称c 是G 的一个集合染色。集合染色所需的最少的颜色数称为G 的集合色数，记为χs (G)。本文给出了与轮图有关的一类平面图的集合色数,向日葵图和风车图的集合色数，最后给出了一个猜想。［关键词］平面图集合色数轮图向日葵图风车图

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