从一般线性模型到广义线性模型
广义线性模型课件
（三）条件Logistic回归分析的基本原理
1.概述 条件Logistic回归是经典Logistic回归的重要拓展方法 之一，它主要用于分层数据（strata data）的影响因素 分析，通过分层来控制可能的混杂因素对结局变量的影 响。分层变量可以包括一个变量或者几个变量 。
2.条件 Logistic模型 令yk为第k层的因变量，yk=1或0；xk1，xk2…xki… xkm为 第k层的m个自变量。第k层的模型为：
推荐书籍：
Hosmer, David W . (2000). Applied logistic regression . John Wiley, New York.
（一）Logistic回归分析的任务
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回归 分析可以提供一个重要的指标：OR。
（2）令病例的生存时间比对照短 （3）在设置生存状态变量（status）时，令病例组为完全 数据，对照组为删失数据
以下实例摘自Hosme and Lemeshow（2000）. Applied Logistic Regression: Second Edition.
John Wiley & Sons Inc.
Logistic回归
因变量
协变量(自变量)
注：此处将X1、X3看作为连续变量。
OR的95%置信区间
对模型的检验
模型拟合良好
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回 归模型有显著性。
拟合分类表
符合率为 70.0%
回归系数 标准误 Wald值
P值
OR
OR置信区间
g(x)是对P的变换，称为logit变换：
广义估计方程
总结
其特点归纳如下： 1)建模稳健。即使作业相关矩阵指定不正确
，只要联接函数正确，仍然可以得到稳定的参 数估计值。
2)充分利用资料信息。对多次重复测量的纵 向数据，广义估计方程利用了每次测量的结果 ，较少损失资料的信息。
总结3)应变量不是连续性变量时，考察应变量之间
联合分布和协方差矩阵非常困难，常规的统计模 型难以处理这个问题。利用广义估计方程不仅解 决了这类资料的建模问题，还可得到相关矩阵以 衡量重复测量之间相关性的大小，是一种较好的 分析策略。
一般线性模型
方差分析
一般线性模型
应用： 用于研究某个指标(应变量，记为Yi)与一
组指标(Xi1， Xi2，… ，Xij)之间的线性关系 。 表达式：
yi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij+ei
一般线性模型
一般线性模型对于残差分布的三个重要假设： (1)独立 (2)符合正态分布，且均数为0 (3)方差齐性，即ei的方差相等
纵向数据
传统的统计方法一般都要求应变量是独立 的，因而，由于应变量之间的相关，纵向数据 不能用传统的方法来分析。因为如果忽略重复 测量间的相关性，将损失数据中的信息，参数 估计可能不准确。因此，Liang和Zeger等创立 了广义估计方程(generalized estimating equations) 。
4)模型可以引入多种形式的自变量，考察分类 、等级、连续的或其他形式的自变量对应变量影 响的大小。
应用举例
表2 某药物抗癫痫的随机对照临床试验对照组每2周的发作次数
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线性统计模型知识点总结
线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。
2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。
3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。
4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。
5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。
6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。
二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。
它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。
2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。
除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。
3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。
4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。
5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。
广义线性模型
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1
3 2
伽玛分布
1
ln
1
1
2
二项分布 ln p
ln1 e 1
1 p
Poisson 分布 ln
e
1
p
e 1 e
e
p1 p
负二项分布 ln
e
k
e
k2
何为“广义线性模型”？(续)
一个广义线性模型包括以下三个组成部分： （1）线性成分(linear component ) ：
SAS软件中的PROC GENMOD：
The GENMOD Procedure
The GENMOD procedure fits generalized linear models. The class of generalized linear models is an extension of traditional linear models that allows the mean of a population to depend on a linear predictor through a nonlinear link function and allows the response probability distribution to be any member of an exponential family of distributions. Many widely used statistical models are generalized linear models. These include classical linear models with normal errors, logistic and probit models for binary data, and log-linear models for multinomial data. Many other useful statistical models can be formulated as generalized linear models by the selection of an appropriate link function and response probability distribution.
浅谈线性、非线性和广义线性回归模型
浅谈线性、⾮线性和⼴义线性回归模型⼀、理论 1.1 多重共线性 所谓多重共线性（Multicollinearity）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或⾼度相关关系⽽使模型估计失真或难以估计准确。
⼀般来说，由于经济数据的限制使得模型设计不当，导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。
完全共线性的情况并不多见，⼀般出现的是在⼀定程度上的共线性，即近似共线性。
1.2 T检验 T检验，亦称student t检验（Student's t test），主要⽤于样本含量较⼩（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。
t检验是⽤t分布理论来推论差异发⽣的概率，从⽽⽐较两个平均数的差异是否显著。
举⼀个例⼦，⽐如，你要检验两独⽴样本均数差异是否能推论⾄总体，⽽⾏的t检验。
两样本(如某班男⽣和⼥⽣)某变量(如⾝⾼)的均数并不相同，但这差别是否能推论⾄总体，代表总体的情况也是存在著差异呢？会不会总体中男⼥⽣根本没有差别，只不过是你那麼巧抽到这2样本的数值不同？⼆、回归模型 2.1 线性回归模型 适⽤于⾃变量X和因变量Y为线性关系，具体来说，画出散点图可以⽤⼀条直线来近似拟合。
随机误差服从多元⾼斯分布。
模型有⼏个基本假设：⾃变量之间⽆多重共线性；随机误差随从0均值，同⽅差的正态分布；随机误差项之间⽆相关关系。
参数使⽤最⼩⼆乘法进⾏估计。
假设检验有两个，⼀个是参数的检验，使⽤t检验；另⼀个是整个模型的检验，使⽤F检验，在构造F统计量时，需要把模型的平⽅和进⾏分解，会使⽤到⽅差分析。
2.2 线性混合模型 我的理解为在线性模型中加⼊随机效应项。
2.3 ⼴义线性模型 ⼴义线性模型，是为了克服线性回归模型的缺点出现的，是线性回归模型的推⼴。
⾸先⾃变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散的可以是0-1变量，也可以是多种取值的变量。
与线性回归模型相⽐较，有以下推⼴： （1）随机误差项不⼀定服从正态分布，可以服从⼆项、泊松、负⼆项、正态、伽马、逆⾼斯等分布，这些分布被统称为指数分布族。
广义线性模型（GeneralizedLinearModels）
⼴义线性模型（GeneralizedLinearModels）在线性回归问题中，我们假设，⽽在分类问题中，我们假设，它们都是⼴义线性模型的例⼦，⽽⼴义线性模型就是把⾃变量的线性预测函数当作因变量的估计值。
很多模型都是基于⼴义线性模型的，例如，传统的线性回归模型，最⼤熵模型，Logistic回归，softmax回归。
指数分布族在了解⼴义线性模型之前，先了解⼀下指数分布族(the exponential family)指数分布族原型如下如果⼀个分布可以⽤上⾯形式在表⽰，那么这个分布就属于指数分布族，⾸先来定义⼀下上⾯形式的符号：η：分布的⾃然参数（natural parameter）或者称为标准参数（canonical parameter）T (y)：充分统计量，通常⽤T(y) = ya(η):对数分割函数（log partition function）:本质上是⼀个归⼀化常数，确保概率和为1。
当给定T时，a、b就定义了⼀个以η为参数的⼀个指数分布。
我们变化η就得到指数分布族的不同分布。
论证伯努利分布和⾼斯分布为指数分布族，伯努利分布均值φ，记为Bernoulli(φ)，y ∈ {0, 1}，所以p(y = 1; φ) = φ; p(y = 0; φ) = 1 − φ对⽐指数分布族的表达式可以得到：η = log(φ/(1-φ)) 我们将φ⽤η表⽰，则：φ=1/(1+e-η)，是不是发现和sigmoid函数⼀样了。
这就表明，当我们给定T,a，b，伯努利分布可以写成指数分布族的形式，也即伯努利分布式指数分布族。
同理，在⾼斯分布中，有：对⽐指数分布族，我们得到：因为⾼斯分布的⽅差与假设函数⽆关，因⽽为了计算简便，我们设⽅差=1，这样就得到：所以这也表明，⾼斯分布也是指数分布族的⼀种。
构造⼴义线性模型(Constructing GLMs)怎么通过指数分布族来构造⼴义线性模型呢？要构建⼴义线性模型，我们要基于以下三个假设：1. 给定特征属性和参数后，的条件概率服从指数分布族，即。
第3章-广义线性模型
年收入 （万元）
是否有车
年收入 （万元）
是否有车
年收入 （万元）
是否有车
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20
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15
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2. 正态线性回归模型
• 只要取联结函数为 m (i) i x iT (i 1 , ,n ),则正
态线性回归模型满足广义线性模型的定义.
• 类似的,容易验证,二项分布和泊松分布都属 于指数分布族.
• 下面介绍实际中应用广泛的两种广义线性
模型:Logistic模型和对数线性模型.
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2. 模型的参数估计和检验
• 采用R软件中的广义线性模型过程glm( )可以完成 回归系数的估计,以及模型回归系数的显著性检验. 程序如下：
线性模型知识点总结
线性模型知识点总结一、线性模型概述线性模型是统计学中一类简单而又常用的模型。
在线性模型中，因变量和自变量之间的关系被描述为一个线性方程式。
线性模型被广泛应用于各种领域，如经济学、医学、社会科学等。
线性模型的简单和普适性使得它成为数据分析中的一种重要工具。
线性模型可以用来建立预测模型、对变量之间的关系进行建模和推断、进行变量选择和模型比较等。
在实际应用中，线性模型有多种形式，包括简单线性回归、多元线性回归、广义线性模型、岭回归、逻辑回归等。
这些模型在不同的情况下可以更好地满足数据的特点和要求。
二、线性回归模型1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的线性模型之一，它描述了一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
简单线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1分别是截距项和斜率项，ε是误差项。
简单线性回归模型基于最小二乘法估计参数，从而得到最优拟合直线，使得观测值和拟合值的离差平方和最小。
简单线性回归模型可以用来分析一个自变量对因变量的影响，比如身高和体重的关系、学习时间和考试成绩的关系等。
2. 多元线性回归多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展而来的模型，它能够同时描述多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε其中，X1、X2、...、Xp是p个自变量，β0、β1、β2、...、βp分别是截距项和各自变量的系数，ε是误差项。
多元线性回归模型通过估计各系数的值，可以得到各自变量对因变量的影响情况，以及各自变量之间的相关关系。
3. 岭回归岭回归是一种用来处理多重共线性问题的线性回归方法。
在多元线性回归中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致参数估计不准确，岭回归通过对参数加上一个惩罚项来避免过拟合，从而提高模型的稳定性和泛化能力。
岭回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε - λ∑(β^2)其中，λ是岭参数，用来平衡参数估计和惩罚项之间的关系。
从线性模型到广义线性模型(2)——参数估计、假设检验
从线性模型到广义线性模型(2)——参数估计、假设检验Posted on 2011/01/31 by 张缔香1.GLM 参数估计——极大似然法为了理论上简化，这里把GLM 的分布限定在指数分布族。
事实上，实际应用中使用最多的分布就是指数分布族，所以这样的简化可以节省很多理论上的冗长论述，也不会限制实际应用。
如前文如述，指数分布族的概率密度函数可以统一地写为：这里为了在模型中体现散布参数(dispersion parameter)，把上述密度函数中的记做从而响应变量的单个观测值的(加权)对数似然函数可以表示为：再结合观测值之间的独立性，全体观测值的对数似然函数可记做：一般情况下最大化上述的对数似然函数很难找到解析解(正态分布是特例之一)，因而必须使用数值方法求解。
McCullagh 和Nelder(1989)证明了使用Newton-Raphson 方法，结合Fisher scoring 算法，上述对数似然函数的最大化等价于连续迭代的加权最小二乘法(iteratively weighted least squares, or IRWLS)。
广义线性模型的IRWLS 算法如下：1.设置线性估计量和响应变量的均值的初始估计值： 和这里是根据经验或是专家意见等信息对的一个估计值，而可以利用模型建立时选用的联接函数来获得，即。
这一函数关系也用于计算步骤2和3中对一阶导数。
2.构造调整的因变量(adjusted dependent variable)：3.构造权重：这里是利用方差函数(variance function)和构造的的估计值。
4.利用步骤2和3构造的调整的因变量和权重，拟合普通线性模型(ordinary linear model)，预测/拟合(predict)新的线性估计量和均值： 和5.重复步骤2-4直到收敛(满足一定的迭代步数或是精度要求)。
此时得到的模型就是极大似然估计方法下的广义线性模型。
IRWLS 的算法思路也从另一个方面说明了广义线性模型是普通线性模型的推广。
广义线性模型的分析及应用
广义线性模型的分析及应用一、引言广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）提供了一种在保持简单性的前提下，对非正态响应变量建立连续性预测模型的方法，适用于许多实际应用问题中。
本文旨在介绍广义线性模型的基本概念、模型构建方法、推断等内容，并通过实际案例的分析加深对GLM的理解与应用。
二、基本概念GLM是统计学中一种具有广泛适用性的模型框架，它的基本思想是将未知的响应变量与已知的协变量之间的关系描述为一个线性预测器和一个非线性函数的组合，即：g(E(Y)) = β_0 + β_1X_1 + ⋯+ β_pX_p其中，g(·)称为联接函数（Link Function），它定义了响应变量的均值与预测变量之间的关系，E(Y)为响应变量的期望，X_1,X_2,…,X_p为解释变量（predictor）或协变量（covariate），β_0, β_1, …, β_p是模型的系数或参数。
GLM假定响应变量Y服从指数分布族中的某一个分布，如正态分布、二项分布、泊松分布等。
三、模型构建方法1. 选择联接函数和分布族：不同的响应变量应选用不同的分布族。
例如，连续性响应变量可选用正态分布，二元响应变量可选用二项分布，而计数型响应变量可选用泊松分布等。
2. 选择解释变量：可使用变量选择算法，如前向选择法、向后选择法、逐步回归等，在给定样本内拟合出最佳模型。
3. 选择估计方法：由于某些非正态分布族无法使用最小二乘法拟合，可以使用极大似然估计法或广义估计方程法。
对于大样本，一般使用广义线性混合模型等。
4. 模型比较与选择：模型拟合后，需要进行模型检验和模型诊断，主要包括残差分析、Q-Q图检验、$R^2$值、F检验、AIC/BIC值等指标的分析。
四、模型应用GLM的应用非常广泛，特别是在医学、生态、社会科学、金融等领域。
下面以某市2019年全年医疗保险数据为例，运用GLM模型进行分析。
1. 数据描述健康保险数据包含了每个缴费人的性别、年龄、缴费金额、报销金额等信息。
关于广义线性模型和一般线性模型的数学理论和应用
关于广义线性模型和一般线性模型的数学理论和应用线性模型是统计学领域非常重要的一类模型，其中包括广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）和一般线性模型（General Linear Models，简称GLM）。
GLM和GLM有着紧密的联系，但也各自有着特点和应用。
本文将探讨GLM和GLM的数学理论和应用。
一、广义线性模型广义线性模型是由Mcullagh和Nelder于1982年提出的，它是线性模型的扩展，可以适应更为复杂的数据结构和变异模式。
与传统的线性模型相比，GLM的形式更为灵活，不仅能够模拟标量数据，还能够模拟其他类型的数据，比如二元数据、计数数据、序数数据等。
GLM的最大特点是可以将因变量的均值与自变量联系起来，并将自变量的参数与因变量的概率分布函数联系起来。
具体地说，GLM的一般形式为：$$ g(E(Y_i))=\beta_0+\beta_1x_{1i}+\dots+\beta_px_{pi} $$其中，$Y_i$表示因变量，$x_i$是自变量，$g$是一个连续函数，称为连接函数（link function），一般为对数函数、逆正弦函数、逆双曲正切函数等。
$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$是待求参数。
通常情况下，GLM的因变量$Y$的概率分布函数是指数分布族，具体包括正态分布、二项分布、泊松分布、伽马分布等。
GLM的优点是可以拟合非正态分布的数据，并且能够建立出统一的推导框架。
在实际应用中，GLM广泛用于医疗、金融、风险分析等领域。
二、一般线性模型一般线性模型是经典的线性模型，也是广义线性模型的一种特殊情况。
一般线性模型将因变量$Y$视为自变量的一个线性组合，即：$$ Y=X\beta+\epsilon $$其中，$X$是一个$n\times(p+1)$的矩阵，第一列全为1，$\beta$是$p+1$个待求参数，$\epsilon$是一个$n$维的随机误差向量，假设$\epsilon$服从正态分布$N(0,\sigma^2I)$。
第5章 广义与一般线性模型及R使用(王斌会)
在R语言中，数据需变形为：用y表示频数，x1表示收入人群，x2表示满意程度
5广义与一般线性模型及R使用
（1）建立Poisson对数线性模型：
程 序 与 结 果
从检验结果可看出，p1=0.0031<0.01，p2<0.01，说明收入和满意程度对产品有重要影响
5广义与一般线性模型及R使用
说 明 与 举 例
5广义与一般线性模型及R使用
说 明 与 举 例
2、随机单位组设计模型：函数形式 其中为总均数，i为处理因素A的第i个水平的效应；j为第j个单位组的效应， eij为误差项。
使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，则得火箭 射程列在下表中，试分析各种燃料A与各种推进器B对火箭射程有无显著影响？
分类变量
实验设计模型（方 差分析模型） 协方差分析模型
连续变量 分类变量
5广义与一般线性模型及R使用
表5.1 广义线性模型中的常用分布族
5广义与一般线性模型及R使用
5广义与一般线性模型及R使用
说 明 与 举 例
2、Logistic模型：函数形式 其中参数估计采用极大似然估计。
对45名驾驶员的调查结果，其中四个变量的含义为： x1: 表 示 视 力 状 况 ， 它 是 一 个 分 类 变 量 ， 1 表 示 好 ， 0 表 示 有 问 题 ； x2：年龄，数值型； x3 ： 驾 车 教育 ， 它 也 是 一 个 分 类 变 量， 1 表 示 参 加 过 驾 车 教 育， 0 表 示 没 有 ； y：分类变量（去年是否出过事故，1表示出过事故，0表示没有）。
BA B1 B2 B3 A1 582 562 653 A2 491 541 516 A3 601 709 392 A4 758 582 487
广义线性模型ppt课件
4.自变量的筛选 与多元线性回归分析类似，有Forward法（前进逐步法 ）、 Backward （后退逐步法 ）法。SPSS中默认的选入标准为 0.05，剔除标准为0.10。 注:不同自变量的筛选方法，当结果差别较大时，应该结合 专业知识，用尽可能少的变量拟合一个最佳模型。有研究 者认为，依据Wald统计量（Wald ） 、似然比统计量（LR） 或者条件统计量（Conditional ）剔除变量时， LR是决定 哪个变量应该被剔除的最好方法。
精品课件
广义线性模型的定义
该模型假定：
1. Y1,…Yn是n个服从指数分布族的独立样本 i=E（Yi | X1,X2,…,Xk），i＝1，…，n； 2. i是k个解释变量的线性组合 i=0+1Xi1+…+ kXik 3.存在一个连接函数（Link function）g，使得i 与i
有下面的关系
i =g(i)
精品课件
以下实例摘自Hosme and Lemeshow（2000）. Applied Logistic Regression: Second Edition. John Wiley & Sons Inc. 研究目的是考察与婴儿低出生体重有关的可能危险因素 （当体重低于2500g时，认为是低出生体重婴儿）。研 究收集了189例妇女的数据，其中59例分娩低出生体重 婴儿，130例分娩正常体重婴儿。
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（三）条件Logistic回归分析的基本原理
1.概述 条件Logistic回归是经典Logistic回归的重要拓展方法 之一，它主要用于分层数据（strata data）的影响因素 分析，通过分层来控制可能的混杂因素对结局变量的影 响。分层变量可以包括一个变量或者几个变量 。
广义线性模型（GeneralizedLinearModels）
⼴义线性模型（GeneralizedLinearModels）转载请注明出⾃BYRans博客：前⾯的⽂章已经介绍了⼀个回归和⼀个分类的例⼦。
在模型中我们假设：在分类问题中我们假设：他们都是⼴义线性模型中的⼀个例⼦，在理解⼴义线性模型之前需要先理解指数分布族。
指数分布族（The Exponential Family）如果⼀个分布可以⽤如下公式表达，那么这个分布就属于指数分布族：公式中y是随机变量；h(x)称为基础度量值（base measure）；η称为分布的⾃然参数（natural parameter），也称为标准参数（canonical parameter）；T(y)称为充分统计量，通常T(y)=y；a(η)称为对数分割函数（log partition function）；本质上是⼀个归⼀化常数，确保概率和为1。
当T(y)被固定时，a(η)、b(y)就定义了⼀个以η为参数的⼀个指数分布。
我们变化η就得到这个分布的不同分布。
伯努利分布属于指数分布族。
伯努利分布均值为φ，写为Bernoulli(φ)，是⼀个⼆值分布，y ∈ {0, 1}。
所以p(y = 1; φ) = φ; p(y = 0; φ) = 1 −φ。
当我们变化φ就得到了不同均值的伯努利分布。
伯努利分布表达式转化为指数分布族表达式过程如下：其中，再举⼀个⾼斯分布的例⼦，⾼斯分布也属于指数分布族。
由⾼斯分布可以推导出线性模型（推导过程将在EM算法中讲解），由线型模型的假设函数可以得知，⾼斯分布的⽅差与假设函数⽆关，因⽽为了计算简便，我们设⽅差=1。
⾼斯分布转化为指数分布族形式的推导过程如下：其中许多其他分部也属于指数分布族，例如：伯努利分布（Bernoulli）、⾼斯分布（Gaussian）、多项式分布（Multinomial）、泊松分布（Poisson）、伽马分布（Gamma）、指数分布（Exponential）、β分布、Dirichlet分布、Wishart分布。
广义线性模型在医学数据分析中的应用
广义线性模型在医学数据分析中的应用随着现代医学技术的不断发展和进步，人们越来越重视对医学数据的分析与挖掘。
广义线性模型是一种常用的统计模型，广泛应用于医学数据分析中。
本文将探讨广义线性模型在医学数据分析中的应用，包括模型的基本原理、常用的模型类型以及模型应用的实例。
一、广义线性模型的基本原理广义线性模型是在普通线性模型的基础上发展而来的统计模型。
普通线性模型只适用于因变量为连续型变量，服从正态分布的情况。
而广义线性模型考虑到了许多其他类型的因变量，比如二元变量、多元变量、计数变量等。
广义线性模型的基本形式是：g(E(Y)) = β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βpXp其中，g( )表示某个函数，E( )表示期望，Y为因变量，X1、X2、…、Xp为自变量，β0、β1、…、βp为系数。
不同的g( )函数和因变量的分布形式对应着不同的广义线性模型类型。
比如当因变量是二元的0/1变量时，g( )函数通常选用logit函数，这时的模型称为logistic 回归模型；当因变量是计数变量时，g( )函数通常选用对数函数，这时的模型称为泊松回归模型。
二、广义线性模型常用的模型类型1. Logistic回归模型Logistic回归模型是应用最广泛的广义线性模型之一，常用于二元分类问题，比如判断某个人是否患有某种疾病。
在这种情况下，因变量只有两种取值0或1，其中0表示没有患病，1表示患病。
自变量可以是各种与患病有关的因素，比如年龄、性别、体重、饮食习惯等。
Logistic回归模型的基本形式是：logit(P(Y=1))= β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βpXp其中，P(Y=1)表示某个人患病的概率。
在这个模型中，logit函数起到了将概率转化为线性函数的作用，使得可以通过计算自变量的系数得出某种因素对患病的影响大小。
2. 泊松回归模型泊松回归模型常用于计数数据的分析，比如分析某疾病的发病率、分析某种治疗方法的有效性等。
广义线性模型
广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）是一种在统计学中常用的模型，它是对普通线性模型的扩展和推广。
在广义线性模型中，因变量不需要满足正态分布的假设，而是通过连接函数（link function）与线性组合的结果进行建模。
广义线性模型的应用领域十分广泛，涵盖了回归分析、分类分析以及其他众多领域。
1. 普通线性模型普通线性模型是一种经典的建模方法，其基本形式为：$$ Y = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k + \\epsilon $$ 其中，Y表示因变量，X1,X2,...,X k表示自变量，$\\beta_0, \\beta_1,\\beta_2, ..., \\beta_k$为模型参数，$\\epsilon$为误差项。
普通线性模型的关键假设是因变量Y服从正态分布。
2. 广义线性模型的基本原理广义线性模型是对普通线性模型的推广，其基本形式为：$$ g(\\mu) = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k $$其中，g()为连接函数（link function），$\\mu$表示期望的因变量Y，其他符号的含义同普通线性模型。
通过连接函数g()，广义线性模型在一般性上不再要求因变量Y服从正态分布。
3. 连接函数（Link Function）连接函数g()的选择是广义线性模型的关键之一，不同的连接函数对应不同的模型形式。
常见的连接函数包括：•恒等连接函数（Identity link function）: $g(\\mu) = \\mu$，对应普通线性模型。
•对数连接函数（Log link function）: $g(\\mu) = log(\\mu)$，常用于泊松回归等模型。
•逆连接函数（Inverse link function）: $g(\\mu) = \\frac{1}{\\mu}$，用于逻辑回归等模型。
线性模型(5)——广义线性模型
我们知道，混合线性模型是一般线性模型的扩展，而广义线性模型在混合线性模型的基础上又做了进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广阔。
每一次的扩展，实际上都是模型适用范围的扩展，一般线性模型要求观测值之间相互独立、残差(因变量)服从正态分布、残差(因变量)方差齐性，而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差(因变量)方差齐性的要求，接下来广义线性模型又取消了对残差(因变量)服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数，根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
要注意，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是还是要求相互独立的，如果不符合相互独立，需要使用后面介绍的广义估计方程。
=================================================一、广义线性模型广义线性模型的一般形式为：有以下几个部分组成1.线性部分2.随机部分εi3.连接函数连接函数为单调可微(连续且充分光滑)的函数，连接函数起了"y的估计值μ"与"自变量的线性预测η"的作用，在一般线性模型中，二者是一回事，但是当自变量取值范围受限时，就需要通过连接函数扩大取值范围，因此在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布一种形式，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数为其中θ和φ为两个参数，θ为自然参数，φ为离散参数，a,b,c为函数广义线性模型的参数估计：广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度：广义线性模型的检验一般使用似然比检验、Wald检验。
模型的比较用似然比检验，回归系数使用Wald检验。
线性模型(5)——广义线性模型
线性模型(5)——广义线性模型广义线性模型是一种扩展了一般线性模型的模型，它在混合线性模型的基础上进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广泛。
每次扩展都是为了适用更多的情况。
一般线性模型要求观测值之间相互独立，残差（因变量）服从正态分布，残差（因变量）方差齐性。
而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差（因变量）方差齐性的要求。
广义线性模型又取消了对残差（因变量）服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数。
根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
需要注意的是，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是仍要求相互独立。
如果不符合相互独立的要求，需要使用广义估计方程。
广义线性模型的一般形式包括线性部分、随机部分εi和连接函数。
连接函数为单调可微的函数，起到连接因变量的估计值μ和自变量的线性预测值η的作用。
在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数包括θ和φ两个参数，其中θ为自然参数，φ为离散参数，a、b、c为函数广义线性模型的参数估计。
广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度一般使用似然比检验和Wald检验。
似然比检验是通过比较两个相嵌套模型的对数似然函数来进行的，统计量为G。
模型P中的自变量是模型K 中自变量的一部分，另一部分是要检验的变量。
G服从自由度为K-P的卡方分布。
回归系数使用Wald检验进行模型比较。
广义线性模型的拟合优度通常使用以下统计量来度量：离差统计量、Pearson卡方统计量、AIC、AICC、BIC、CAIC准则，准则的值越小越好。