平 面 向 量 旋 转 的 畅 想

平 面 向 量 旋 转 的 畅 想

我们所处的世界是飞旋的世界．旋转变换问题在我们的生产、生活中，在科学技术研究中累见不鲜，在中学数学教学中更是无法回避．但《高中数学教学大纲》的几次调整将解决旋转变换问题的知识工具，如坐标轴的旋转、极坐标、复数乘除法的几何意义等悉数删除．或许课程编制者们也发现了这个问题，在本次新课改时，于人教版《数学·必修4》习题2.5中给出了一个向量旋转的坐标公式．虽然只是惊鸿一瞥，却引起了人们无限的遐思．

1 平面向量旋转的几个结论

定理1 对任意平面向量AB =(),x y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角，得到向量AP

，则向量AP

=()cos sin ,sin cos x y x y θθθθ-+．

证明：如图1-1，有向线段AC

的方向与x 轴的正向相同，设以AC AB α为始边以为终边的角为，

AB γ=

，

有 ()(),c o s ,s i n A B x y γαγα==

，

则 AP

=()()()cos ,sin γθαγθα++

=

()cos cos sin sin ,sin cos cos sin γθαγθαγθαγθα-+

()

cos sin ,sin cos x y x y θθθθ=-+． 图1-1

注：定理中，若沿顺时针方向旋转θ角，则θ角为负角．该定理证明方法不是唯一的，此处所选证明方法是以学生已有认知为基础的．

推论1对任意平面向量AB =(),x y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角，得到向量AP

，若点A 的坐标为()00,x y ，则点P 的坐标为()00cos sin ,sin cos x y x x y y θθθθ-+++．

推论2 对任意平面向量AB =(),x y ，若AB γ= ，把AB

绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角，再把

所得向量的模伸长（或缩短）到γ'得到向量AP ，则向量()cos sin ,sin cos AP x y x y γθθθθγ

'

=-+ ．

推论3对任意平面向量AB =(),x y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角，得到向量AP

，若点A 在原点，点B 的坐标为()11,x y ，则点P 的坐标为()1111cos sin ,sin cos x y x y θθθθ-+．

若学生有复数乘除法的认知基础，则向量旋转有如下结论：

定理2 把向量AB

绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角，并将模伸长（或缩短）到原来的γ倍，则

C x

y

A

B

P

O

i AP e AB θ

γ= ．

若学生有向量外积的认知基础，则向量旋转有如下结论：

定理3 设k 是所研究的平面的单位法向量，将向量a 逆时针方向旋转θ角，得到向量b

,则向量cos sin b a k a θθ=+⨯

．

若学生有矩阵的认知基础，则向量旋转有如下结论：

定理4 对任意平面向量AB =(),x y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角，得到向量AP

，且

向量AP =(),x y ''，则cos sin sin cos x x y y θθθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪

⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭

． 2 平面向量旋转的本质特征及应用 （1）旋转点的追踪定位

向量是即有大小又有方向的量，向量发端于物理中的运动力学．而数学中的向量是可以自由移动的．平面向量旋转更具有明显的动态特征，能准确反映运动中的点的相对位置和运动姿态，在军事、航海、搜救等领域有广泛应用．平面向量旋转公式在中学数学中被用于求旋转点的坐标，这是静态的求角公式无法比肩的．

例1 已知平面内点A ()1,2，点B (

12+-

，把点B 绕点A 顺时针方向旋转4

π

后得到点P ，求点P 的坐标．

解 因为,AB =

-

所以由推论1可知点P 的坐标为

((

sin cos 24444ππππ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ 即点()0,1P -．

（2）相关点的信息旋转传递

向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，这里的旋转传递过程是一个形象的说法，它实为一个映射过程，是一个线性变换过程．在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势．

例2 设平面内曲线C 的每一点绕坐标原点逆时针方向旋转4

π后得到的点的轨迹是曲线2

2

3x y -=，

求曲线C 的方程．

解 设曲线C 上任意一点P 的坐标为(),x y ，点P 绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点(),Q x y ''，

则由推论3得 ())(),cos

sin

,sin

cos

,

4

4

4

42

2x y x y x y x y x y π

π

π

π⎛⎫⎛

⎫''=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

因为点()

'',Q x y 在曲线22

3x y -=上，

所以 ()

()2

2

''3x

y -=，

即

))22

322x y x y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

整理，得曲线C 的方程230xy +=． （3）代数式的旋转向量造影

平面向量旋转具有代数与几何双重特征，因此在中学数学中,一些代数、三角函数问题可以通过构造

平面向量旋转的模型,犹如医学中的造影一样,让代数式有迹可循,从而达到数形结合解决问题的目的．

例3 求值：cos5cos77cos149cos 221cos 293++++

．

解 设()1,0i =

,如图2-1，正五边形ABCDE 的边长为1， 向量AB ,,,,BC CD DE EA

可认为由向量i 分别

沿逆时针方向旋转5,77,149,221,293 而得到．

则由定理1可知 ()()cos5,sin 5,cos 77,sin 77AB BC ==

， 图2-1

()()()cos149,sin149,cos 221,sin 221,cos 293,sin 293CD DE EA ===

．

因为0AB BC CD DE EA ++++= ，

所以cos5cos77cos149cos 221cos 2930++++=

． （4）几何图形的旋转向量描述

向量具有与数学多个分支广泛联系的特征，如函数、三角、复数、几何、解析几何、近世代数等均与向量联系紧密，这使得向量的运算功能十分强大，应用十分广泛．在中学数学中，将几何图形中的线段改画为有向线段，将静态的角看成是由向量旋转而得的角，几何图形顿时显得动感十足，生机无限．平面向量旋转与不同数学分支联合，其公式表现出不同的形态，如本文中的定理1、定理2、定理3、定理4，应用它们就展现出不同的解题方法．

例4 如图2-2，ABC ADE 和是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC ，而将ADE 绕点A 在平面上旋转，试证：不论ADE 旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M ，使BMD 为等腰直角三角形．(1987年全国高中联赛试题)

图2-2 图2-3

A B C

D

E A C D

M

E B

x