单片机浮点数计算

在单片机应用系统的数据处理过程中，经常会遇到小数的运算问题，如求解BCD的增量算式、线性化处理等。因此，需要用二进制数来表示小数。表示小数的方法一般有两种，定点数和浮点数。定点数结构简单，与整数的运算过程相同，运算速度快。但随着所表示数的范围的扩大，其位数成倍增加，给运算和存储带来不便，而且也不能保证相对精度不变。

浮点数的结构相对复杂，但它能够以固定的字节长度保持相对精度不变，用较少的字节表示很大的数的范围，便于存储和运算，在处理的数据范围较大和要求精度较高时，采用浮点数。

浮点数的概念

常用的科学计数法来表示一个十进制数如

l234.75＝1.23475E3＝1.23475×103

在数据很大或很小时，采用科学计数避免了在有效数字前加0来确定小数点的位置，突出了数据的有效数字的位数，简化了数据的表示。可以认为，科学计数法就是十进制数的浮点数表示方法。

在二进制效中，也可以用类似的方法来表示一个数，如

1234.75＝0.11（二进制）＝0.1×211

一般表达式为

N=S×2p

在这种表示方法中，数值由四个部分组成，即尾数S及符号，阶码P及符号。

在二进制中，通过定义相应字节或位来表示这四部分，就形成了二进制浮点数。二进制浮点数可以有多种不同的表示方法，下面是一种常见的三字节浮点数的格式：

其中尾数占16位，阶码占6位，阶符占1位，数符占1位。阶码通常用补码来表示。

在这种表示方法中，小数点的实际位置要由阶码来确定，而阶码又是可变的，因此称为浮点数。

1234.75用这种格式的浮点数表示就是：

00 1011 1001 10 01 1000

用十六进制表示为

1234.75＝0B9A58H

-1234.75＝4B9A58H

0.171875＝043B00H

-0.171875＝443B00H

三字节浮点数所能表示的最大值为

1×263＝9.22×1018

能表示的最小数的绝对值为

0.5×2-63＝5.42×10－20

其所表示的数的绝对值范围＝(5.42×10-20～

9．22×1018)，由此可以看到，比三字节定点数表示的数的范围大得多。

按同样方法可以定义一个四字节的浮点数，以满足更高精度的需要。

规格化浮点数

同一个数用浮点数表示可以是不同的，如

1234.75＝0B9A58H＝0C4D2CH＝0D2696H

虽然这几种表示其数值是相同的，但其尾数的有效数字的位数不同，分别为16位、15位和14位。在运算过程中，为了最大限度地保持运算精度，应尽量增加尾数的有效位数。这就需要对浮点数进行规格化处理。

在只考虑用二进制原码表示尾数时，尾数的最高位为l，则该浮点数为规格化浮点数。在规格化浮点数中，用尾数为0和最小阶码表示0，三字节规格化浮点数的0表示为4100H。

浮点数在运算之前和运算之后都要进行规格化，规格化过程包括以下步骤：

(1)首先判断尾是否为0，如果为0，规格化结果为4100H；

(2)如果尾数不为0，判断层数的最高位是否为1，如果不为1，尾数左移，阶码减1；

(3)再判断层数的最高位是否为1，如果不为1，继续进行规格化操作，如果为1，则规格化结束。

浮点数运算

浮点数运算包括加、减、乘、除四则运算，比较运算，开方运算，多项式运算和函数运算。其它运算都可用这些基本运算的组合来完成。本节主要介绍浮点数四则运算及其子程序。

1．浮点数的加、减运算

浮点数的运算就是求结果的尾数、数符、阶码包括阶符的过程。在加、减运算中，参加运算的浮点数的阶码可能是不同的，其尾数所代表的值也是不同的。在这种情况下，尾数不能直接相加或相减，必须首先使两个数的阶相同，这一过程称为对阶。一般是让小阶向大阶对齐，尾数相应右移。对阶相当于算术中的小数点对齐或代数中的通分。尾数相加或相减得到了结果的尾数。数符由尾数的运算结果的符号确定。阶码就是两个数中较大的阶码。

例1计算132.25+69.75

解:

132.25+69.75＝088444H+078B80H＝088444H+0845C0H＝08CA00H＝202

由于两个浮点数的阶码分别为8和7，先将加数的阶码变为8，其尾数右移1位。两个数的阶码相同后，尾数直接相加即为和的尾数，和的尾数的最高位为1，为规格化浮点数。

例2计算12.39-93.1

解:

12.39-93.1＝04C651H-07BA33H＝87A169H＝-80.71

本例中被减数小于减数，差为负数，结果的数符为1。差的阶码为两个数中较大的阶码。

2．浮点数乘法运算

如果设参加运算的两个操作数分别表示为

Na＝(-1)SSa×Sa×2Pa

Nb＝(-1)SSb ×Sb×2Pb

它们的积为

N＝Na×Nb＝(－1)SSa＋SSb×（Sa×Sb）×2Pa＋Pb

式中SSa和SSb为两个数的数符。

乘法运算可总结为：

(1)积的数符为乘数的符号位和被乘数的符号位按模2求和，即异或；

(2)积的阶为乘数和被乘数的阶的和；

(3)积的尾数为被乘数和乘数的尾数的积。

参加运算的浮点数一般都是规格化的浮点数，尾数的积小于1，不需进行右规格化处理。但有可能小于0.5，所以需进行左规格化处理，使积为规格化浮点数。如果乘数或被乘数的尾为

0、则积为4100H。由于在尾数相乘时，积的低16位不能反映在结果中，因此，积可能会产生一定的误差。

例3算22.4l×4.23。

解:

22.41×4.23＝05B349H×03875EH＝07BD9AH＝94.8

积的阶为乘数和被乘数的和，即8。尾数相乘时，积小于0.5，进行左规格化处理，阶码变为7。

例4计算2586.5×(－6.91)。

解:

2586.5×(－6.91)＝0CA1BOH×83DD13H＝8F8BA0H＝-17872

被乘数为正数，数符为0，乘数为负数，数符为1，积的数符为0⊕1＝1，积为负数。

3．浮点数的除法运算

除法运算可以表示为

N＝Na／Nb＝[(-1)SSa×Sa×2Pa]／[(-1)SSb×Sb×2Pb ]

＝(-1)SSa-SSb×(Sa/Sb) ×2Pa-Pb

浮点数的除法运算可以总结为：

(1)商的数符为被除数与除数的符号位的差；

(2)商的阶码为被除数和除数的阶码的差；

(3)商的尾数为被除数和除数的尾数的商。