最小二乘法计算练习
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。
()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
()4.用近似表示cos x产生舍入误差。
( )5.和作为的近似值有效数字位数相同。
( )二、填空题1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。
三、选择题1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5．作为的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)， (2)(3) ， (4)4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。
现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
5*. 采用迭代法计算，取k=0,1,…,若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。
小数乘除法简便运算分类练 习[1]
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小数乘法简便运算分类练习题一、乘法交换律0.25×8.5×4 12.5×0.96×0.80.25×0.73×4 0.25×16.2×4二乘法结合律4.36×12.5×8 0.95×0.25×435×0.2×0.5 0.75×50×0.4三、乘法分配律(1.25－0.125)×8 （20－4）×0.25 (2+0.4)×5（125+2.5）×0.84、 乘法分配律逆应用3.72×3.5＋6.28×3.5 15.6×2.1－15.6×1.1 3.83×4.56＋3.83×5.447.09×10.8－0.8×7.09 27.5×3.7－7.5×3.73.9×2.7＋3.9×7.310.6×0.35－9.6×0.35 7.6×0.8＋0.2×7.6五、把其中一个因数分成两个数的和或差，再按乘法分配律0.8×100.1 0.79×99 0.85×1993.65×10.14.6×0.9 0.65×101 4.8×10.1 3.6×102 0.39×199 8.9×1.01 0.32×4033.65×10.10.85×9.9 0.65×101六、拆分因数1.25×2.5×323.2×0.25×12.5 0.25×36 25×4.4 8.8×1.25七、添加因数“1”56.5×99＋56.5 9.7×99＋9.7 4.2×99＋4.25.4×11-5.41.87×9.9＋0.187 12.7×9.9＋1.27八、更改因数的小数点位置6.66×3.3+66.6×67 46×57＋23×86 4.8×7.8＋78×0.523.14×0.68＋31.4×0.032 101×0.87-0.91×87 3.65×4.7 －36.5×0.372.3×16+2.3×23+2.3 314×0.043＋3.14×7.2－31.4×0.15九．除法运算性质a÷b÷c= a÷（b×c）320÷1.25÷8 3.52÷2.5÷0.4 9.6÷0.8÷0.4 63.4÷2.5÷0.4 8.54÷2.5÷0.410． 除法运算性质逆运算a÷（b×c）= a÷b÷c3.9÷（1.3×5） 15÷（0.15×0.4）75.3÷（7.53×20） 48÷（0.48×0.5）十一、综合练习题5×1.03×0.2 32×1.25 0.45×9953×10.10.125×96 12.5×10.8 25×7.3×0.445×21－50×2.145×1.58＋5.5×15.8 4.2×6.51＋3.49×4.29.99×2.22＋3.33×3.34一、加法中的巧算1. “凑整法” 如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。
两位小数乘除法练习题
两位小数乘除法练习题两位小数乘除法练习题一、小数乘法1、列竖式计算。
27×0.430.86×1.21.2×1.42、计算下面各题，能简便运算的要简便运算。
.06×2.4－5.2.33×0.5×.76×0.25＋25..8×0.二、小数除法1、用竖式计算下面各题。
68.8÷4＝5.44÷16＝89.9÷18＝101.7÷9＝16.8÷28＝15.6÷24＝1.35÷27＝0.416÷32＝1.2÷3.8＝0.756÷0.18＝÷0.13＝210÷1.4＝10.625÷25＝126÷45＝0.65×1051.2×2.5＋0.8×2.567.5÷15＝243.2÷64＝9）0.138÷15＝3.64÷52＝51.3÷0.27＝2.688÷0.56＝10÷25＝2.7÷7.5＝15÷0.06＝25.6÷0.032＝2、下面各题，商保留一位小数。
14.36÷2.7≈8.33÷6.2≈1.7÷0.03≈3、下面各题，商保留二位小数。
32÷42≈1.25÷1.2≈2.41÷0.7≈三、解决问题1、一个正方形的周长是9.48米，它的边长是多少米？2、小汽车8分钟行12.8千米，公共汽车12分钟行14.4千米，谁的速度较快？快多少？3、小红、小表、小兰、小花、小梅一起去开心乐园玩，车费用去了9.5元，门票费32.5元。
平均每人用去多少元？4、解放军某部急行军3小时行了18.8千米，平均每小时行多少千米？5、王老师从家骑车到学校要用0.25小时，家离学校有多远？如果他改为步行，每小时走5千米，用0.8小时能到学校吗?6、双休日爸爸带小勇去登山。
计量经济学练习题
计量经济学试题1一 名词解释（每题5分，共10分） 1. 经典线性回归模型 2. 加权最小二乘法（WLS ） 二 填空（每空格1分，共10分）1．经典线性回归模型Y i = B 0 + B 1X i + µi 的最小二乘估计量b 1满足E ( b 1 ) = B 1，这表示估计量b 1具备 性。
2．广义差分法适用于估计存在 问题的经济计量模型。
3．在区间预测中，在其它条件不变的情况下，预测的置信概率越高，预测的精度越 。
4．普通最小二乘法估计回归参数的基本准则是使 达到最小。
5．以X 为解释变量，Y 为被解释变量，将X 、Y 的观测值分别取对数，如果这些对数值描成的散点图近似形成为一条直线，则适宜配合 模型。
6．当杜宾-瓦尔森统计量d = 4时，ρˆ＝ ，说明 。
7．对于模型i i i X Y μββ++=10，为了考虑“地区”因素（北方、南方两种状态）引入2个虚拟变量，则会产生 现象。
8. 半对数模型LnY i = B 0 + B 1X i + µI 又称为 模型。
9.经典线性回归模型Y i = B 0 + B 1X i + µi 的最小二乘估计量b 0、b 1的关系可用数学式子表示为 。
三 单项选择题（每个1分，共20分）1．截面数据是指--------------------------------------------------------------（ ）A ．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据。
B ．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据。
C ．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据。
D ．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据。
2．参数估计量βˆ具备有效性是指------------------------------------------（ ） A ．0)ˆ(=βar V B.)ˆ(βar V 为最小 C ．0)ˆ(=-ββD.)ˆ(ββ-为最小 3．如果两个经济变量间的关系近似地表现为：当X 发生一个绝对量（X ∆）变动时，Y 以一个固定的相对量（YY /∆）变动，则适宜配合的回归模型是------------------------------------------------------------------------------------------- （ ）A ．i i i X Y μβα++= B.i i i X Y μβα++=ln C ．i ii X Y μβα++=1D.i i i X Y μβα++=ln ln 4．在一元线性回归模型中，不可能用到的假设检验是----------（ ） A ．置信区间检验 B.t 检验 C.F 检验 D.游程检验5．如果戈里瑟检验表明 ，普通最小二乘估计的残差项有显著的如下性质：24.025.1i i X e +=，则用加权最小二乘法估计模型时，权数应选择-------（ ）A ．i X 1 B. 21i X C.24.025.11iX + D.24.025.11i X +6．对于i i i i X X Y μβββ+++=22110，利用30组样本观察值估计后得56.827/)ˆ(2/)ˆ(2=-∑-∑=iiiY Y Y Y F ，而理论分布值F 0.05(2,27)=3.35，，则可以判断（ ）A ． 01=β成立 B. 02=β成立C.021==ββ成立 D. 021==ββ不成立7．为描述单位固定成本（Y ）依产量（X ）变化的相关关系，适宜配合的回归模型是：A ．i i i X Y μβα++= B.i i i X Y μβα++=ln C ．i ii X Y μβα++=1D.i i i X Y μβα++=ln ln 8．根据一个n=30的样本估计ii i e X Y ++=10ˆˆββ后计算得d=1.4，已知在95%的置信度下，35.1=L d ，49.1=U d ，则认为原模型------------------------（ ）A ．存在正的一阶线性自相关 B.存在负的一阶线性自相关 C ．不存在一阶线性自相关 D.无法判断是否存在一阶线性自相关9．对于ii i e X Y ++=10ˆˆββ，判定系数为0.8是指--------------------( ) A ．说明X 与Y 之间为正相关 B. 说明X 与Y 之间为负相关 C ．Y 变异的80%能由回归直线作出解释 D ．有80%的样本点落在回归直线上10. 线性模型i i i i X X Y μβββ+++=22110不满足下列哪一假定，称为异方差现象-------------------------------------------------------------------------------( )A ．0)(=j i ov C μμ B.2)(σμ=i ar V (常数)C ．0),(=i i ov X C μ D.0),(21=i i ov X X C11．设消费函数i i i X D Y μβαα+++=10，其中虚拟变量⎩⎨⎧=南方北方01D ，如果统计检验表明1α统计显著，则北方的消费函数与南方的消费函数是--（ ）A ．相互平行的 B.相互垂直的 C.相互交叉的 D.相互重叠的12. 在建立虚拟变量模型时，如果一个质的变量有m 种特征或状态，则一般引入几个虚拟变量：----------------------------------------------------------------（ ）A ．m B.m+1 C.m －1 D.前三项均可 13. 在模型i i iX Y μββ++=ln ln ln 10中，1β为---------------------（ ）A ．X 关于Y 的弹性 B.X 变动一个绝对量时Y 变动的相对量 C ．Y 关于X 的弹性 D.Y 变动一个绝对量时X 变动的相对量14．对于i i i e X Y ++=10ˆˆββ，以S 表示估计标准误差，iY ˆ表示回归值，则-------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．S=0时，0)ˆ(=-∑ti Y Y B.S=0时，∑==-ni i i Y Y 120)ˆ( C ．S=0时，)ˆ(ii Y Y -∑为最小 D.S=0时，∑=-ni i i Y Y 12)ˆ(为最小 15．经济计量分析工作的基本工作步骤是-----------------------------（ ）A ．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B ．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型C ．理论分析→数据收集→计算模拟→修正模型D ．确定模型导向→确定变量及方程式→应用模型16．产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为：X Y5.1356ˆ-=，这说明-----------------------------------------------------------（ ）A ．产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5个百分点B ．产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C ．产量每增加一台，单位产品成本减少1.5个百分点D ．产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元17．下列各回归方程中，哪一个必定是错误的------------------------（ ）A ．8.02.030ˆ=+=XY i i r X Y B. 91.05.175ˆ=+-=XY ii r X YC ．78.01.25ˆ=-=XY i i r X Y D. 96.05.312ˆ-=--=XY ii r X Y18．用一组有28个观测值的样本估计模型i i i X Y μββ++=10后，在0.05的显著性水平下对1β的显著性作t 检验，则1β显著地不等于0的条件是统计量t 大于-------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．t 0.025(28) B. t 0.05(28) C. t 0.025(26) D. t 0.05(26)19．下列哪种形式的序列相关可用DW 统计量来检验（V t 为具有零均值、常数方差，且不存在序列相关的随机变量）---------------------------------（ ）A ．t t t V +=-1ρμμ B.t t t t V +⋅⋅⋅++=--121μρρμμ C.t t V ρμ= D. ⋅⋅⋅++=-12t t t V V ρρμ20．对于原模型t t t X Y μββ++=10，一阶差分模型是指------------（ ）A ．)()()(1)(1t tt t t t t X f X f X X f X f Y μββ++=B ．t t t X Y μβ∆+∆=∆1C ．t t t X Y μββ∆+∆+=∆10D ．)()()1(11101----+-+-=-t t t t t t X X Y Y ρμμρβρβρ四 多项选择题（每个2分，共10分）1．以Y 表示实际值，Y ˆ表示回归值，ie 表示残差项，最小二乘直线满足------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．通用样本均值点（Y X ,） B.ii Y Y ˆ∑=∑ C ．0),ˆ(=i i ov e Y C D.0)ˆ(2=-∑ii Y Y E ．0)ˆ(=-∑Y Y i 2．剩余变差（RSS ）是指--------------------------------------------------（ ）A ．随机因素影响所引起的被解释变量的变差B ．解释变量变动所引起的被解释变量的变差C ．被解释变量的变差中，回归方程不能作出解释的部分D ．被解释变量的总变差与解释变量之差E ．被解释变量的实际值与回归值的离差平方和3. 对于经典线性回归模型，0LS 估计量具备------------------------（ ） A ．无偏性 B.线性特性 C.正确性 D.有效性 E.可知性4. 异方差的检验方法有---------------------------------------------------（ ） A ．残差的图形检验 B.游程检验 C.White 检验D.帕克检验E.方差膨胀因子检验5. 多重共线性的补救有---------------------------------------------------（）A．从模型中删掉不重要的解释变量 B.获取额外的数据或者新的样本 C.重新考虑模型D.利用先验信息E. 广义差分法五简答计算题（4题，共50分）1.简述F检验的意图及其与t检验的关系。
两位小数乘两位小数练习题
两位小数乘两位小数练习题数小数位数时一定要仔细哟! 记得要“四舍”“五入”哟!一、填空1、6．3×16．789的积里有位小数。
2、6．9628保留整数是；保留到十分位是；保留两位小数是；保留三位小数是3、求一个小数的近似数，如果保留三位小数，要看小数第位。
、4.3×0.83的积是，保留两位小数后约是。
5、一个两位小数用四舍五入法保留一位小数后得到3.0，这个数最大可能是，最小可能是。
6、根据47×14=658，直接写出下面各题的积。
0.47×14= .7×14=0.47×1.4=47×0.14= 0.47×0.14=70×0.014=7、在里填上>、196×0．196×2.550.78×1.10.7.2×0.996.2若A×0.56>0.56，则A1。
若B×0.42 二、判断题1、乘数比1小时，积一定小于被乘数。
2、一个数的1.5倍一定比原数大。
3、一个两位小数乘一个一位小数，积的小数位数最多是三位小数。
4、4.37×3.8=166.065、列竖式计算小数乘法时，应把因数中的小数点对齐。
6、近似值4.0和4的大小相等，精确度一样。
7、7.995精确到百分位是8。
8、一个自然数乘小数，积一定比这个自然数小。
9、两个数的积保留两位小数的近似值是 2.16，这个准确数可能是2.156。
三、计算下面各题1、得数保留一位小数。
3.58×20.5×0. 0.37×2.42、得数保留两位小数。
35.6×0.50.728×3.24.3×0.233、计算、31.5×24.50.8×0.56.23×0.0280.63×1.0536×0.5 0.32×0.24、蒙古牛一般体重约320千克，草原红牛体重约是蒙古牛体重的1.32倍，草原红牛的体重约是多少千克？5、甲乙两人共同生产一批零件，甲每小时生产28.5个，乙每小时生产35个，甲在中路途因为修理机器耽误了一小时，5小时后，这批零件全部生产完，这批零件一共有多少个？6、有16个教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，他们共带了27个研究生，其中带1个研究生的教授人数和带2个和3个研究生的教授总数一样多，问带2个研究生的教授有几人？7、1千克面粉可磨面粉0.85千克，53.5千克小麦可磨面粉多少千克？8、在里填上适当的数字。
最小二乘解
2
2
Ga * y 2 2cT GTGa * GT y) Gc 2
2
2
Ga * y 2 Gc 2 Ga * y 2
2
2
2
n
即： 法方程组的解a使得Q s(xi ) yi 2达到最小！ i0
3 最小二乘解的唯一性
当0( x),1( x),L ,n ( x)线性无关时，则矩阵G 0 1 L n 列满秩
§1 最小二乘法
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实 际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:
编 拉伸
编 拉伸倍
编 拉伸倍 强度
号 倍数(x) 强度(y) 号 数(x) 强度(y) 号 数(x) (y)
1
1.9
1.4 9
5
5.5 17
4
4
2
2
1.3 10 5.2
5
18
4
拉伸倍数x强度y191455171310522118115519454225251263642046352728136521898527251471532265239581352726241081纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近因此可以认为强度y与拉伸倍数x的主要关系应是线性关为待定参数其中找一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点一最小二乘法原理偏离程度大小的度量标与数据点作为衡量称为平方误差从而确定1中的待定系数求解yx
给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是的一种手段。 但在实际问题中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也 包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：
①不要求过所有的点（可以减小误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。
最小二乘
5.例题与练习
例1.在上一节练习中, 从散点图可以看出, 某小卖部6天卖出热茶
的杯数(y)与当天的气温(x)之间是线性相关的.数据如下表:
气温(xi)/oC 26 18 13 10 4
-1
（1）试用最小二乘法求出 线性回归方程;（2）如果某
杯数(yi)/杯 20 24 34 38 50 64 天的气温是-3oC, 请预测这
一、复习回顾
1.两个变量之间的关系一般有两类: （1）确定性关系的函数关系, 并可以用表达式来表示; （2）关系不确定的两个变量之间的关系, 即相关关系, 相关关系又可以分为线性相关关系和非线性相关关系. 2.散点图是将两个变量之间的关系用直角坐标系中的点表示出 来, 从而可以比较直观的判断两个变量之间的关系. 3.判断两个变量之间是否有相关关系的方法有两种: （1）根据实际生活中的经验; （2）利用散点图来判断.
②由 b
x1 y1 x2 y2 x12 x22
xn yn nx y ; a y bx .
xn2 nx 2
求系数a和b.
③写出线性回归方程 y=a+bx:
2.线性回归方程必有解__x___x_, _y___y_.
3.求线性回归方程时应先利用散点图进行线性相关判断. 4.利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计,
请设计方案.
3.抽象概括
如果有n个点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), 可以用下面的表达 式来刻画这些点与直线 y=a+bx的接近程度:
y a bx 2 y a bx 2 y a bx 2 .
1
1
2
2
n
8.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计-高二数学人教A版选择性必修第三册
答：儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子身高的因
素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响，父亲的身高不能完
全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，
儿子身高一般在177cm左右.
如果把父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么
176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
参考数据：
利用公式(2)可以计算出b=0.839, a=28.957,
得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为：
y 0.839 x 28.957
由经验回归方程可以预测儿子的身高。
思考：当x=176时，ො ≈ 177,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高
Y bx a e，
2
E
(
e
)
0,
D
(
e
)
，
四、估计一元线性回归模型的参数
设满足一元线性回归模型的两个变量
的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), ‧‧‧, (xn,
yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, ‧‧‧, n)，得
| yi (bxi a ) || ei | .
如下表，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1。
*x=–12。
0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限≤41021-⨯。
(）2。
对两个不同数的近似数，误差越小,有效数位越多。
( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
（)4.用212x-近似表示cos x产生舍入误差。
( )5. 3。
14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。
（ )二、填空题1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ;2. *x =–0。
003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限为 ；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为 ；5。
设计算法应遵循的原则是 。
三、选择题1．*x =–0。
026900作为x 的近似值,它的有效数字位数为（ ） .(A ） 7； (B) 3；（C ） 不能确定 （D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
（A ） 只取有限位数 （B ） 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C ） 观察与测量 （D ） 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( ）误差。
（A ）. 模型 （B ）。
观测 （C ）. 截断 （D ）. 舍入4．用s ＊=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度），s t 是在时间t 内的实际距离,则s t - s ＊是（ ）误差。
（A)。
舍入 (B ）. 观测 （C ）。
模型 (D ）. 截断5．1。
41300作为2的近似值，有（ ）位有效数字。
（A) 3; (B ） 4； (C) 5； (D ） 6。
四、计算题1． 3.142，3.141，227分别作为π的近似值，各有几位有效数字？2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%,问测量球直径的相对误差限最大为多少？3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1）1||,11211<<+-++x x x x ， （2） 1||1112<<+⎰+x dt t x x（3） 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21g t 2，g 为重力加速度。
高中数学相关性最小二乘估计总结练习含答案解析
§7相关性§8最小二乘估计1.变量之间的两种关系(1)函数关系:函数关系是一种①的关系.例如,圆的面积S=πr2,面积S与半径r之间就是一种确定性的关系,对于自变量r的每一个确定的值,都有唯一的确定的S的值与之对应.(2)相关关系:变量之间有一定的联系,但不能完全用②来表示.如人的体重与身高的关系,一般来说,身高越高体重越重,但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.在现实生活中,相关关系到处存在,从某种意义上说,函数关系可以看作是一种理想的关系模型.研究和学习相关关系,不仅使我们能够处理更为广泛的数学问题,还可以使我们对函数关系的认识再上升到一个新的高度.2.线性回归方程(1)散点图用横坐标表示一个变量,纵坐标表示另一个变量,建立平面直角坐标系,将给出的数据所表示的点在坐标系内标出,这样的图就称为③.从散点图可以看出,给出的点是否集中在一条直线附近.(2)最小二乘法如果有几个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),可以用表达式[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度,使此式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.(3)线性相关关系能用直线方程近似表示的相关关系叫作④.如果在散点图中,各点集中在一条直线附近,则称这两个变量具有线性相关关系.(4)线性回归方程、回归直线一般地,设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应的n组观测值的n个点(xi ,yi)(i=1,2,…,n)大致分布在一条直线的附近,求在整体上与这n个点最接近的一条直线.设所求直线的方程为y=bx+a,其中a,b是待定的参数,则{b=∑i=1n(x i-x)(y i-y)∑i=1n(x i-x)2=∑i=1nx i y i-nx y∑i=1nx i2-nx2, a=y-bx,其中x=1n ∑i=1nxi,y=1n∑i=1nyi.这时我们将所得到的直线方程叫作线性回归方程,相应的直线叫作回归直线.注意:(i)在求出这种具有两个变量的回归直线后,就可以根据其部分观测值获得对这两个变量之间的整体关系的了解;(ii)线性相关关系主要研究两个变量之间的关系;(iii)由不具有线性相关关系的数据求出的线性回归方程是毫无意义的.一、判断变量间的相关性1.(2013湖北,4,5分,★★☆)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且y^=2.347x-6.423;②y与x负相关且y^=-3.476x+5.648;③y与x正相关且y^=5.437x+8.493;④y与x正相关且y^=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A.①②B.②③C.③④D.①④思路点拨本题主要考查线性回归的有关概念,注意题目中选择的是不正确的.二、线性回归方程的应用2.(2014重庆,3,5分,★★☆)已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ＾=0.4x+2.3 B.y ＾=2x-2.4C.y ＾=-2x+9.5 D.y ＾=-0.3x+4.4思路点拨 线性回归方程一定过点(x ,y ),验证各选项,由正相关,可得答案. 3.(2012湖南,5,5分,★☆☆)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y ^=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( ) A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x ,y )C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg思路点拨 本题主要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念.4.(2013福建,11,5分,★★☆)已知x 与y 之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^=b ^x+a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是( ) A.b ^>b',a ^>a' B.b ^>b',a ^<a' C.b ^<b',a ^>a' D.b ^<b',a ^<a'5.(2012福建,18,12分,★★☆)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483 807568(1)求回归直线方程y ^=bx+a,其中b=-20,a=y -b x ;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)思路点拨利用待定系数法求得回归直线方程,列关于利润的方程求解,即得结论.基础巩固训练1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正n边形的边数和内角和D.人的年龄和身高2.变量y与x之间的回归方程( )A.表示y与x之间的函数关系B.表示y与x之间的不确定关系C.反映y与x之间的真实关系D.反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合3.对变量x,y,有观测数据(xi ,yi)(i=1,2,…,10),得散点图(1);对变量u,v,有观测数据(ui ,vi)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )A.变量x与y线性相关,u与v非线性相关B.变量x与y非线性相关,u与v线性相关C.变量x与y线性相关,u与v线性相关D.变量x与y非线性相关,u与v非线性相关4.若用水量x与某种产品的产量y的线性回归方程是y=2x+1 250,若用水量为50 kg,预计该种产品的产量是( )A.1 350 kgB.大于1 350 kgC.小于1 350 kgD.以上都不对5.已知x与y具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表:x 0 1 2 3y 1 2 4 6则y与x的回归直线y=bx+a必过点( )A.(2,3)B.(1.5,2)C.(1.5,3.25)D.(2,3.25)6.画出下表中对应数据的散点图.根据散点图判断两个变量是否具有相关关系.A 26 18 13 10 4 -1B 20 24 34 38 50 64能力提升训练7.若在一次试验中,测得(x,y)的四组数值分别是(1,3),(2,3.8),(3,5.2),(4,6),则y 与x 之间的回归直线方程是( ) A.y=x+1.9 B.y=1.04x+1.9 C.y=0.95x+1.04D.y=1.05x-0.98.“回归”一词是在研究子女身高与父母身高之间的遗传关系时,由高尔顿提出的,他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论,在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归方程y=a+bx 中,b( ) A.在(-1,0)内 B.等于0 C.在(0,1)内D.在[1,+∞)内9.某个服装店经营某种服装,在某周内每天获得的纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x(件)的数据如下表所示: x 3 4 5 6 7 8 9 y66697381899091已知∑i=17x i 2=280,∑i=17y i 2=45 309,∑i=17x i y i =3 487.(1)求x ,y ; (2)画出散点图;(3)求每天获得的纯利y(元)与每天销售件数x(件)之间的线性回归方程.10.一机器可以按不同的速度运转,其生产物件有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷物件的多少随机器运转速度而变化,用x 表示转速(单位:转/秒),用y 表示每小时生产的有缺陷物件个数,现得到(x,y)的4组观测值为(8,5),(12,8),(14,9),(16,11).(1)假定y与x之间有线性相关关系,求y与x之间的回归直线方程;(2)若实际生产中所容许的每小时最多生产的有缺陷物件个数为10,则机器的速度不得超过多少转/秒?(精确到1)11.炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量与冶炼时间的关系.已测得炉料熔化完毕时,钢水含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示:x(0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125(1)作出散点图,你能从散点图中发现钢水含碳量与冶炼时间的一般规律吗?(2)求线性回归方程;(3)预测当钢水含碳量为160时,冶炼时间应为多长较合适?知识清单①确定性 ②函数 ③散点图 ④线性相关关系链接高考1.D 由回归直线方程y ^=^x+a ^,知当b ^>0时,y 与x 正相关;当b ^<0时,y 与x 负相关.∴①④一定错误.故选D.2.A 由变量x 与y 正相关知C 、D 均错,又回归直线经过样本点的中心(3,3.5),代入验证得A 正确,B 错误.故选A. 3.D ∵0.85>0, ∴y 与x 正相关, ∴A 正确;∵线性回归方程经过样本点的中心(x ,y ), ∴B 正确;∵Δy=f(x+1)-f(x)=0.85(x+1)-85.71-(0.85x-85.71)=0.85, ∴C 正确.故选D.4.C x =216=72,y =136,代入公式求得b ^=58-6×72×13691-6×(72)2=57,a ^=y -b ^x =136-57×72=-13, 而b'=2,a'=-2,∴b ^<b',a ^>a',故选C. 5.解析 (1)由于x =16(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6)=8.5, y =16(y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6)=80,所以a=y -b x =80+20×8.5=250,从而回归直线方程为y ^=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为L 元, 依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x 2+330x-1 000 =-20(x -334)2+361.25.当且仅当x=334=8.25时,L 取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.基础过关基础巩固训练1.D D 是相关关系,非函数关系.2.D3.C 由题中两个散点图可以判断,变量x 与y 线性相关,u 与v 线性相关,故选C.4.A 预测值为y=2×50+1 250=1 350(kg).5.C x =0+1+2+34=1.5,y =1+2+4+64=3.25.回归直线必过点(x ,y ),即(1.5,3.25). 6.解析 散点图如图所示.从图中可以看出各点都在一条直线附近,因此两个变量具有相关关系. 能力提升训练 7.B x =1+2+3+44=2.5,y =3+3.8+5.2+64=4.5,将(2.5,4.5)代入选项验证得B 正确.8.C 因为子代的平均身高向中心回归,所以b∈(0,1). 9.解析 (1)x =3+4+5+6+7+8+97=6.y =66+69+73+81+89+90+917=5597≈79.86.(2)散点图如下:(3)由(2)中散点图知,y 与x 有线性相关关系.设线性回归方程为y=bx+a,∵∑i=17x i 2=280,∑i=17x i y i =3 487,x =6,y =5597, ∴b=3 487-7×6×5597280-7×36=13328=4.75,a=5597-6×4.75≈51.36.∴线性回归方程为y=4.75x+51.36. 10.(1)设回归直线方程为y=bx+a, 则x =8+12+14+164=12.5,y =5+8+9+114=8.25,x 2=156.25,x ·y =103.125,∑i=14x i y i =5×8+12×8+14×9+16×11=438, ∑i=14x i 2=82+122+142+162=660.∴b=∑i=14x i y i -4x ·y ∑i=14x i 2-4x 2=438-4×103.125660-4×156.25=438-412.5660-625≈0.728 6,a=y -b x =8.25-0.7286×12.5=-0.857 5.∴y 与x 之间的回归直线方程为y=0.728 6x-0.857 5.(2)要使y≤10,即0.728 6x-0.857 5≤10,所以x≤14.901 9,所以机器的速度不得超过15转/秒.11.解析 (1)以x 轴表示钢水含碳量,y 轴表示冶炼时间,可作散点图如图所示.从图中可以看出,各点分布在一条直线附近,即它们线性相关. (2)列出下表,并用科学计算器进行计算: i 1 2 3 4 5 x i 104 180 190 177 147 y i100200210185155x i y i 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 i 6 7 8 9 10 x i 134 150 191 204 121 y i 135 170 205 235 125 x i y i18 09025 50039 15547 94015 125x =159.8,y =172, ∑i=110x i 2=265 448,∑i=110x i y i =287 640.设所求的线性回归方程为y=bx+a.b=∑i=110x i y i -10x ·y ∑i=110x i2-10x 2≈1.267,a=y -b x =-30.466 6.∴线性回归方程为y=1.267x-30.466 6.(3)当x=160时,y=1.267×160-30.466 6=172.253 4. 即预测当钢水含碳量为160时,冶炼172.253 4 min 较合适.。
小学二年级数学乘除法口诀表(背诵技巧)附练习题,打好小学计算基础
小学二年级数学乘除法口诀表(背诵技巧)附练习题，打好小学计算基础！对于二年级的孩子来说，乘法和除法是本学期要学习的重要知识点，如何让孩子更好的掌握乘除法呢？王老师在此整理了乘除法口诀表以及背诵的方法。
最后，还整理了相关习题可测试孩子的掌握情况。
乘除法口诀表快速背熟乘法口诀方法22525理解记忆法理解性记忆需要有一定的参照物，即自己比较熟悉的口诀，比如:七七四十九，八八六十四，九九八十一等，根据这些可以很轻松的找到推算的办法。
例如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个9”，也就是“81-9=72”，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把“8×9”的口诀在心里默念一遍，多经历几次这样的思考后，“八九七十二”这句也将成为铭记于心的口诀了。
对比记忆法对比即是多对数字进行观察和比较。
故事记忆法故事对于故事族的精灵来说是喜闻乐见的，有些口诀比较特殊，他们可以利用故事的形式来帮助学记忆.如：唐僧师徒在取经的过程中历尽了九九八十一难,孙悟空有八九七十二变,而猪八戒只有一半法力,四九三十六变,遇到妖怪,孙悟空不管三七二十一,抡起金箍棒就打。
手指记忆法“伸出十个手指头，手心朝向自己，从左数，顺序依次为1---10。
如果想要知道几个9的乘积，只要弯住第几个手指，看它的左边有几个指头就是几个十，右边有几个指头就是几个一，合起来就是所要求得的积。
”如：二九十八，意义为2个9得18，所以弯曲第二个手指头，弯曲的手指的左边有1个指头，右边有8个指头，合起来就是18 ，即二九十八。
小数乘除法练习题一、填空题1、26.4+26.4+26.4+26.4+26.4+26.4=（）× （）2、把3.67的小数点去掉后，原数就（）到它的（）。
3、1.625保留一位小数大约是（），精确到百分位约是（）。
4、4.09×0.05的积有（）小数，5.2×4.76的积有（）位小数。
5、根据47×14=658，直接写出下面各题的积。
小学二年级数学乘除法口诀表(背诵技巧)附练习题
乘除法口诀表快速背熟乘法口诀方法①先了解乘法口诀的意义，发现乘法表的规律,再加以引导。
②背过2个2个的数,5个5个的数,所以可以借助这个铺垫先背2和5的乘法口诀，其余的再采取同样的方法。
③背完后，练习时可以采取横着背、竖着背、拐弯背等多种多样的形式。
④做“对口令”、“找朋友”等的游戏提高兴趣.加强口诀熟练成程度和速度。
理解记忆法理解性记忆需要有一定的参照物，即自己比较熟悉的口诀，比如:七七四十九，八八六十四，九九八十一等，根据这些可以很轻松的找到推算的办法。
例如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个9”，也就是“81-9=72”，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把“8×9”的口诀在心里默念一遍，多经历几次这样的思考后，“八九七十二”这句也将成为铭记于心的口诀了。
对比记忆法对比即是多对数字进行观察和比较。
故事记忆法故事对于故事族的精灵来说是喜闻乐见的，有些口诀比较特殊，他们可以利用故事的形式来帮助学记忆.如：唐僧师徒在取经的过程中历尽了九九八十一难,孙悟空有八九七十二变,而猪八戒只有一半法力,四九三十六变,遇到妖怪,孙悟空不管三七二十一,抡起金箍棒就打。
手指记忆法“伸出十个手指头，手心朝向自己，从左数，顺序依次为1---10。
如果想要知道几个9的乘积，只要弯住第几个手指，看它的左边有几个指头就是几个十，右边有几个指头就是几个一，合起来就是所要求得的积。
”如：二九十八，意义为2个9得18，所以弯曲第二个手指头，弯曲的手指的左边有1个指头，右边有8个指头，合起来就是18 ，即二九十八。
小数乘除法练习题一、填空题1、26.4+26.4+26.4+26.4+26.4+26.4=（）× （）2、把3.67的小数点去掉后，原数就（）到它的（）。
3、1.625保留一位小数大约是（），精确到百分位约是（）。
4、4.09×0.05的积有（）小数，5.2×4.76的积有（）位小数。
高等数学：第五讲 最小二乘法
)最小
n
(B) (gm (xi ) yi ) i0
n
(D) (gm (xi ) yi )2 i0
)
( A) 3
(B) 0
(C) 1
(D) 5
谢谢
求最小二乘多项式的步骤
1.确定最小二乘多项式的次数m
2.写出
a
a0 a1
,
y
y0 y1
,
A
1 1
x0 x1
x02 x12
x0m x1m
am
yn
1 xn xn2
xnm
3.解方程组 AT Aa AT y 得 a0*, a1*, , am* , 代入得最小二乘多项式
gm (x) a0* a1*x am* xm
由微分学知 a0*, a1*,
a2*
满足
a0
n
2 (a0 a1xi a2 xi2 yi ) 0
i0
a1
n
2
i0
(a0
a1xi
a2 xi2
yi )xi
0
a2
n
2
i0
(a0
a1xi
a2 xi2
yi )xi2
0
(n 1)a0 ( n
n
xi )a1 (
xi2 )a2
n
yi
n
拟合 y f (x), 使得 (a0, a1, , am ) (gm (xi ) yi )2 取最小值. i0
m=2 情形的系数推导
当 m 2 时，则有 g2 (x) a0 a1x a2x2.
n
选取a0*, a1*, a2*, 使得 (a0 , a1, a2 ) (a0 a1xi a2 xi2 yi )2 的值最小. i0
【高中数学】一元线性回归模型参数的最小二乘估计(2) 高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
年份/t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
x
0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29
记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
画出上表中成对数据的散点图，
编号
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年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
解：用Y表示男子短跑100m的世界纪录 ,t表示纪录产生的年份
根据最小二乘法 , 由表中的数据得到经验回归方程为：
8.2 一元线性回归模型及其应用
8.2.2 一元线性回归模型参数
的最小二乘估计(2)
复习回顾
1. 经验回归方程：
+ 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或
我们将ො =
ො
经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫
做最小二乘法.
计算公式为：
ො
2. 最小二乘估计：经验回归方程中的参数和
=
=
变换公式
变换后的线性关系式
c=ln a，v=ln x，u=ln y
u=c+bv
c=ln a，u=ln y
u=c+bx
c=ln a， =
，u=ln
最小二乘法的应用举例
高二 ! 语数外
本期巩固练习参考答案
" 最小二乘法的应用举例 # ! !!曲线 5 ) "! 的拟合程度更好 ! % ! "可靠 ! "8 # ! "5 ) 9% &8# "!! ! 8 " 9 "
有没有 ! ! 将此问题一般化了" % 则 7 算法如下 $ M !! * ) !# M " M 8 输入第 * 个数’ *# 若’ 则输出 ’ 7% * )! *# 若* % ! 则转 M #% "!
"
#" " #" & " " #) I! ! # @ 7! 7 #&I! ! " 6 I! # 9&I! " ! 8
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责 编 ／ 顾 ! 俊 ! 邮 箱 ／! " " $ % & ’ % % ’!’ ( )* + , #
) ! # # $ 年第 $ 期 ( ! !! !
自
我
检
测 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
高二 ! 语数外 !! !!!!!!!!!!!!!!!!!! 一
做
就
会
最小二乘法的应用举例
" 徐进勇 关于最小二乘法" 在教材必修8第"章中有介绍# 一般地 " 设两个变量的 * 对观测数据如下 #
% 5 % !
! 5
度更好 ! 例 ! ! 某工厂某产品!至9月的生产量分别为 为了估测以后各个月的 !" !! "" !! 8" !! 8 0" !! @万 件" 要用一个函数模拟该产品的月产量5$ 万件 % 与 产量 " 模拟函数可以选用二次函数或函 数 5 月份 % 的关系 " $ " 问用以上 哪 个函 数作 为 模 ( "1 ’" (" 1 为常数 % )’ 拟函数较好？
最小二乘估计
小结： 、如何求线性回归方程（公式法） 小结：1、如何求线性回归方程（公式法） 2、在怎样的基础上求回归方程（线性相关） 、在怎样的基础上求回归方程（线性相关）
作业： 同测》 作业：《同测》P31 1、2、3 在书上 、 、 P33 1、2、3、4在书上 、 、 、 在书上 P31 5、P33 5 在作业本上 、 思考： 思考：书P65 思考交流
最小二乘估计
教学目标：会求线性回归系数和回归方程 教学目标：
教学难点： 教学难点：线性回归系数的公式
问题：怎样的拟合直线方程最好？ 问题：怎样的拟合直线方程最好？ 答：保证这条直线与所有点的都近. 保证这条直线与所有点的都近 基于这种想法： 基于这种想法：最小二乘法 问题：怎么定义”与所有点都近”？ 问题：怎么定义”与所有点都近” 答：设直线y＝a+bx，任意给定的一个样本点 设直线 ＝ ， （xi，yi） [yi－(a+bxi)]2 刻画这个样本点与这条直线的 距离” 表示了两者的接近程度 表示了两者的接近程度. “距离”,表示了两者的接近程度
练习： 练习：P67动手实践 动手实践
概括：选取的样本数不同， 概括：选取的样本数不同，得到的回归方程可能 不一样 样本量越大， 样本量越大，所得到的方程更能反映变量 之间的关系. 之间的关系
练习： 练习：下面是两个变量的一组数据 x y 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64
6.2 454
之间具有线性相关关系， 若y与x之间具有线性相关关系，求 与 之间具有线性相关关系 1）y对x的回归方程，以了解汽车配件销售额随 的回归方程， ） 对 的回归方程 汽车拥有量的变化而变化的情况. 汽车拥有量的变化而变化的情况 2）x对y的回归方程，以了解售后服务体系对汽车 的回归方程， ） 对 的回归方程 拥有量的影响. 拥有量的影响
大学高等数学_15方向导数与梯度_极值与最值_二元泰勒公式_最小二乘法和习题讲解
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证
y
o
P
x 2 1
60 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
cos
f l M l grad f M l
6 arccos 130
2. P73 题 16
u n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 2 2 y0 2 2 z0 2 a b c x0 2 y0 2 z0 2 2 4 4 4 a b c
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17
五年级上册数学小数乘除法练习题及答案
五年级上册数学小数乘除法练习题及答案⒈ 据216×32＝6912，很快写出下面各题的积。
⒉ 口算。
0.8×7＝ 1.5×7＝ 1.32×8＝0.7×8＝10.3×2＝5×0.6＝⒊ 用竖式计算下面各题。
0.72×80.312×1 1.08×25.92×157.83×1.2×2.11.82×0.4. 1×0.4521.6×32＝2160×32＝0.216×32＝.16×32＝16×320＝、十个边长为1.5分米的正方形铁圈，需要多少米的铁丝？5、“a×30的积一定大于30”这句话对吗？请举例说明。
6、水果店运来了3筐苹果，每筐30.5千克，一共运来多少千克？如果每千克苹果售价2.6元，这些苹果一共可收入多少元？⒈ 个1.6相加，用加法表示算式是，用乘法表示版式是，结果是。
⒉ 0.486×7的积末尾有位小数。
★⒉ 按一定的规律填数3.125、_______、12.5、________、________、100。
★★⒊ 在方框里填上适当的数字在积里标上小数点。
小数乘、除法练习——小数乘法一、用竖式计算。
2.52×3.41.08×0.12×0.440.042×0.5 0.76×0.3 0.25×0.046三、学校平均每天用电17.3度，5月份一共要用电多少度？如果每度电0.5元，这个月要交电费多少元？四、无锡灵山大佛高88米，是四川乐山大佛的1.15倍还多0.6米，四川乐山大佛的高度是多少米？五、水果店每一天卖出苹果32.5千克，每二天卖出的是第一天的0.9倍。
⒈ 第二天卖出苹果多少千克？⒉ 哪天卖得多？多多少千克？⒈ 15名同学要过河，每位同学要过渡费0.6元，10元钱够不够？★里填上“＞”或“＜”。